18.2 分式的乘法与除法+18.3 分式的加法与减法-导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕“分式的运算”展开，涵盖分式的乘除、乘方、加减及混合运算，通过长方体容器水面高度、拖拉机工作效率等现实问题导入，联系分数运算引入分式运算，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料以实际问题驱动学习，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，例题与练习注重推理过程提升运算能力和推理意识，习题分层设计兼顾基础与应用，帮助学生用数学语言表达数量关系，发展应用意识。

18.2~18.3 分式的运算 知识框架： · 分式的乘除 · 分式的乘方 · 分式的加减 · 分式的混合运算 一、分式的乘除 问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？ 长方体容器的高为： 水面的高度为： (分式乘法) 问题2 大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？ 大拖拉机的工作效率是____hm2/天，小拖拉机的工作效率是____hm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的()倍.(分式除法) 根据分数的乘除法的法则计算： (1) (2) 想一想 ？，？. · 分式的乘除法法则 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. ，. 例1 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 运算结果应化为最简分式. 例2 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2，单位面积产量是kg/m2. ∵ a ＞ 1 ∴ (a-1)2 ＞ 0，a2-1 ＞ 0 由上图可得(a-1)2 ＜ a2-1 ∴ ＜，即丰收2号小麦的单位面积产量高. (∵ a ＞ 1，∴ (a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1) ＜ 0，即(a-1)2 ＜(a2-1)) 解：(2) 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍. 练习1 1.写出本节中问题1和问题2的计算结果. 2.计算： (1) (2) (3) (4) 3.计算： (1) (2) 作业1 1．计算的结果是（ ）． A．5a2－1 B．5a2－5 C．5a2＋10a＋5 D．a2＋2a＋1 2．的结果是（ ）． A．－8a2 B． C． D． 3．计算的结果是（ ）． A． B． C． D． 4．化简：＝________． 5．计算：． 检测1 1．计算下列各式，所得结果中是分式的是（ ）． ① ② ③ ④ A．① B．①④ C．④ D．①③ 2．下列计算中正确的是（ ）． A．m÷n·＝m B．m·n÷m·n＝1 C．n··m·＝1 D．m3÷÷m2＝1 3．计算． （1）＝_______________．（2）＝_______________＝_______________． 4．计算：． 5．计算：． 6．计算：． 二、分式的乘方 回顾思考 an表示的意义是什么？其中a表示什么？n表示什么？ an是指n个a相乘，读作a的n次方或(a的n次幂)； a表示底数，n表示指数. am·an=_____ (am)n=_____ (ab)n=_____ 计算：(-3)2=____ (a-2b)2=_____________ an中的a可以是数，也可以是整式，那a可不可以是一个分式呢？即两个整式的商的n次方？ 思考 根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得： ，，. 一般地，当n是正整数时，，即. 这就是说，分式的乘方要把分子、分母分别乘方. 例5 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除. 练习2 1.计算：(1) (2) 2.计算： (1) (2) 作业2 1．的值是（ ）． A． B． C． D． 2．的化简结果是（ ）． A． B．xy4z2 C．xy4z4 D．y5z 3．下列分式运算，结果正确的是（ ）． A． B． C． D． 4．如果，那么的值是（ ）． A．3 B．6 C．9 D．81 5．化简：＝________． 6．已知，求的值． 三、分式的加减 从分数所想到的…… 你认为 【同分母分数加减法的法则】同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. · 同分母加减 同分母分式加减法的法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 解：(1) (2) (3) (4) (1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号. (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分. · 异分母转化 异分母的分式同分母的分式 小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同. 你对这两种做法有何评论？ · 异分母加减 【异分母分式加减法的法则】异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 异分母的分式同分母的分式 异分母分式通分时，通常取最简公分母作为它们的共同分母. 计算下列各题： (1) (2) 解：(1) 结果也可以写成 (2) 对于式子中出现的整式，可以把它看成分母是“1”的分式. 综合运用 问题3 甲工程队完成一项工程需 n 天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ 解：甲工程队一天完成这项工程的，乙工程队一天完成这项工程的，两队共同工作一天完成这项工程的. 问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位：km2)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？ 解：2011年的森林面积增长率，2010年的森林面积增长率是，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 练习3 计算：(1) (2) (3) (4) 检测2 1．化简的结果是（ ）． A． B． C． D．y 2．一件工作，甲单独做需a小时完成，乙单独做需b小时完成，则甲、乙两人合作完成需要 （ ）． A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．化简（m＋1）的结果是__________． 4．已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子＝__________． 5．2011年国庆假期，x名学生去旅游 ，预计共需租车费m元，后来人数增加a人，但租车费仍不变，那么每人少分摊租车费__________元． 6． 计算． （1） ； （2） ； （3）； （4）． 四、分式的混合运算 例7 计算： 解：原式= = 式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减. 例8 计算：(1) (2) 解：(1)原式= (2)原式= 练习3 计算：(1) (2) 作业3 1．下列计算正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．化简的结果是（ ）． A．－4 B．4 C．2a D．－2a 3．计算的结果是（ ）． A． B． C． D． 4．化简． 5．化简求值：，其中． 检测3 1．下列各式计算错误的是（ ）． A． B． C． D． 2．化简的结果是（ ）． A．零次多项式 B．零 C．一次多项式 D．不为零的分式 3．计算＝_________________． 4．计算． 5．计算． （1） （2） 答案 练习1 1、解：问题1：，问题2： 2、解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式=-1 3、解：(1)原式= (2)原式= 作业1 1．B． 2．D． 3．B．4．． 5．===． 检测1 1．A．2．C．3．（1），（2）；． 4．原式＝． 5．原式＝． 6．原式＝． 练习2 1、解：(1)原式= (2)原式= 2、解：(1)原式= (2)原式= 作业2 1．D． 2．B． 3．A． 4．C．5．． 6．由，得，． 将，代入， 得原式=＝＝＝． 练习3 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 检测2 1．B．2．D．根据题意，甲、乙两人合作需要时间为1÷＝1÷小时 3．m． （m＋1）＝m＋1－（m＋1）·＝m＋1－1＝m． 4．－6．==．∵ab＝－1，a＋b＝2，∴＝－6． 5．． 由题意得，． 6．（1）原式＝＝7； （2）原式＝； （3）原式＝；（4）原式＝＝0． 练习3 (1)原式= (2)原式= 作业3 1．C． 2．A． 3．B． 4．＝＝＝＝． 5．＝＝＝＝ 将代入，得原式＝＝． 检测3 1．B．2．B．3．－1． 4．原式＝＝． 5． （1）原式＝＝ ＝＝． （2）原式＝＝． 学科网（北京）股份有限公司 $