综合与实践 最短路径问题-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——轴对称（人教版·新教材）

。·轴对称 【关注过程】证明：：BE⊥AC于点E, :∠AFE=∠BFD,且∠EAD+∠AFE+ ∴.∠AEF=90° ∠AEF=∠FBD+∠BDF+∠BFD=180°， .∠EAD=30°，∴.AF=2EF. .∴∠FBD=∠EAD=30°， AF=DF, ∴.BF=2FD=4EF, ∴.DF=2EF 即BF=4EF AD⊥BC, 【学会总结】利用含30°角的直角三角形 .∠BDF=90°. 的性质等知识是解题的关键， 综合与实践 最短路径问题 基础解读： 知识点最短路径问题 1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最 小的问题，只要连接这两点，所得线段与直 线的交点即为所求的位置 图2 如图1所示，点A,B分别是直线1异侧的两 例1要在河边修建一个水泵站C,分别向张庄、 个点，在I上找到一个点C,使CA+CB最小， 李庄送水（如下图）.水泵站修在河边什么地方 这时点C是直线l与AB的交点.依据是两点 可使所用水管最短？并说明理由 之间线段最短. 张庄 李B ● A 河边 -a B 图1 【解析】要使所用水管最短，只要使水泵站 C到A,B的距离之和最小，即AC+BC最短.为此 2.求直线同侧的两，点到直线上一点距离的和最 作点A关于河岸的对称点A',根据“两点之间， 小的问题，只要找到其中一个点关于这条直 线段最短”，连接A'B,A'B与河岸的交点即为 线的对称点，连接对称点与另一个点，所得 所要确定的水泵站C 线段与该直线的交点即为所求的位置， 【答案】解：如图(1)所示，作点A关于 如图2所示，点A,B分别是直线l同侧的两： 直线a的对称点A',连接A'B交直线a于点C.则 个点，在l上找到一个点C,使CA+CB最小.这 点C即为水泵站的位置，理由如下： 时先作点B关于直线I的对称点B'，,则点C .A与A'关于直线a对称， 是直线L与AB'的交点；或者先作点A关于 ∴.AC=A'C, 直线l的对称点A',则点C是直线I与A'B ∴.AC+CB=A'C+CB 的交点. 7》 数学专项训练 :A',B在直线a的异侧，要使A'C+CB最小， ·作两次轴对称。 则连接A'B,与直线a的交点为C, 【答案】解：（1)作点A关于直线，对称 ∴点C即为所求 的点A'; (2)作点B关于直线2对称的点B; B (3)连接A'B,分别与直线L,(相交于C, D两点，连接AC,BD,则沿路线A→C→D→B 走才能使总路程最短 (1) 例2如下图，在一条河的两岸有A,B两个村 庄.现要在河上建一座小桥，桥与河岸垂直，设 河的宽度不变，试问：桥造在何处才能使从A村 例4已知∠MON=40°，P为∠MON内一定 庄到B村庄的路径最短？ 点，OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB A· 的周长取最小值时，求∠APB的度数 M .P B 0 -N 【解析】解决“造桥选址”问题，一般用平 【解析】求周长最小，利用轴对称的性质， 移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未 找到P的对称，点来确定A、B的位置，角度的计算， 知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间， 可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质 线段最短”解决问题 计算 【答案】解：如下图，过点B作BB垂直于 【答案】解：分别作P关于OM,OW的对 河岸GH,且使BB等于河宽，连接AB',与河岸 EF交于点P,过点P作PD⊥GH,在点P处造 称点P1,P2,连接PP2交OM于点A,交ON 桥PD才能使从A村庄到B村庄的路径最短. 于点B.则△PAB为符合条件的三角形. A P E F G D B B 例3如下图，为了做好国庆期间的交通安全工 作，某交警执勤小队从A地出发，先到公路 .'∠M0N=40° 上设卡检查，再到公路2上设卡检查，最后再 ∴.∠P1PP2=360°-40°-90°-90°=140°， 到达B地执行任务，他们如何走才能使总路程 ∠PPA=2∠PAB,∠PPB=∠PBA, 最短？ 2(∠PMB+∠PB)+∠NPB=∠PPR=I40, . B A· ∴.∠PAB+∠PBA+2∠APB=280°. 【解析】要使总路程最短，需要将三条线：∠PAB十∠PBA十∠APB=180°， 段设法转化到一条线段上，由轴对称的知识可。.∠APB=100°· 18 ·轴对称 提分训练 训练点。 最短路径问题 如图(1)，厂址应该选在M处； ● 如图，A,B两村在一条小河的同一侧，要在河 B 边建水厂向两村供水. (1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址 M D M应选在哪个位置？ (1) (2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省， (2)由题意可知，若自来水厂到两村的输 厂址N应选在哪个位置？ 水管用料最省，即AN+BN最小，如图(2)，A' (3)自来水厂建好后，在招收职工的试卷中 为点A关于CD的对称点，连接A'B,与CD交 有道题“请你在河流CD上找出一点P,使 于点N,则厂址应该选在点N处； PA-PB的值最大.”你能找到P点吗？ °B 请将上述M,N,P三点在下列各图中分别 标出，并保留尺规作图痕迹· B A (2) (1) (3)若PA-PB最大，根据三角形两边之 差小于第三边，如图（3)，可知P位于AB与 CD交点处时，IPA-PB最大. B A B (2) (3) B 【学会总结】本题考查的是用尺规作图，解 D 决最短路径问题.熟知轴对称的性质和垂直平 (3) 分线的性质以及三角形三边关系是解答此题的 【关注过程】解：（1)自来水厂到两村 关键 的距离相等，即MA=MB, .M在AB的垂直平分线上， 19》