第十五章 轴对称拓展之最值篇 专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以轴对称性质为核心，通过垂线段最短、将军饮马等七大方法模块，系统构建最值问题解题体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂线段最短|4题|点到直线距离最短原理|点线位置关系→距离最值| |将军饮马(最小)|4题|对称转化为两点间线段最短|轴对称性质→路径最短模型| |三点共线(最大)|4题|三角形三边关系得最值|线段和差→共线时取极值| |周长最小—将军饮马|4题|单对称化折线为直线|周长问题→线段和最小转化| |周长最小一双对称|4题|双对称构建最短路径|多动点问题→两次对称转化| |手拉手最值|4题|旋转构造全等求最值|图形变换→线段长度极值| |最短路径综合|4题|转化思想解决实际问题|实际情境→数学模型构建|

轴对称拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】垂线段最短 1．如图，平分，于点A，Q是射线上一个动点．若，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，，E是边上一动点，连接，根据作图痕迹，若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，的平分线交于点D，点E是上的一个动点．若，则的最小值为_________． 4．如图，平分，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为______． 【覆盖二】将军饮马(最小) 1．如图，在等边中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在等边三角形中，D是的中点，点E，F分别在，上，且，，在上有一动点G，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．12 3．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 4．如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是________．     【覆盖三】三点共线(最大) 1．如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 3．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 4．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为______，的最大值为______． 【覆盖四】周长最小—将军饮马 1．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（     ） A．11 B．13 C．14 D．16 3．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 4．如图，在中，垂直平分线段是直线上的任意一点，则周长的最小值是_____． 【覆盖五】周长最小一双对称 1．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．如图，，点是内的一动点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．“如图，，点为内一点，，点分别是射线上的动点，求周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：周长的最小值为______． 4．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？______（用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由．______ 【覆盖一】两动一定 1．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的两动点，是的中点，连接，，，若．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 2．如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 3．如图，在中，平分交于点，点、分别是线段，上的动点，则的最小值是____________． 4．如图，在中，平分，，点，分别在，上，则的最小值等于______． 【覆盖二】四点共线 1．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 2．如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 3．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为_________ 4．如图，四边形中，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为______．（用含m的式子表示） 【覆盖三】面积最大 1．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，连接，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，的角平分线于点D，E为的中点，与交于点F，则与面积之差的最大值是（   ） A． B．2 C．3 D． 3．如图，中，的角平分线于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为_____． 4．如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为______． 【覆盖四】两定两动 1．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在y轴上，点、在轴上，，，与关于轴对称，，点、分别是边、上的动点，则的最小值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为________． 4．如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是__________，当取得最小值时，的度数是__________． 【覆盖一】手拉手最值 1．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 3．如图，为等边三角形外一点，连接．已知，为的中点，则的最大值为___________． 4．如图，中，，，以为边向外作等边，连接，则的最大值为________． 【覆盖二】其他特殊最值 1．如图，中，，，． D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E ，F，则线段长的最大值为（      ） A． B． C． D．4 2．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 3．在中，，，平分，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 4．如图，在等腰中，，P是内一点，若，则的最小值为_____________． 【覆盖三】最短路径综合 1．综合与实践 【问题情境】 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后到达空间站．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站所在直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 【推理论证】：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． 【问题解决】 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 2．高效路径规划中的转化策略 在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用． 情境导入 某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区．为保证配送效率，需确定点的位置，使得从到，再从到的总路程最短．该问题可抽象为以下几何模型： 问题一：基础模型构建 （1）如图1，已知直线外有两点和位于异侧．请你在直线上确定一个点，使最短（保留作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________． 问题二：实际应用作图 （2）已知直线及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在上标出使最短的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 问题三：拓展情境探究 （3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路与旁分别设立了“智能快递柜”与“便民缴费点”．居民王阿姨需要从家出发，先到道路上的快递柜取件，再到道路上的缴费点办理业务，最后回到家． ①请分别在边，上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示） ②若，，求的周长的最小值． 3．路径探究问题中最短路径是常见的优化目标，今天我们运用转化思想，一起来研究一类经典的最短路径模型． 【提出问题】某小区计划在，，三栋楼之间建一个水塔，使得水塔到三栋楼之间的距离和最小． 【建立模型】如图1，我们将三栋楼抽象为三点，那么问题转化为在内部确定一点，使得的值最小．已知，当时，点满足条件，下面我们进行说明．（注：为锐角三角形） 如图2，分别以，为边，在其右侧作等边三角形和等边三角形，由此，我们将转化为，将转化为． 【问题解决】 (1)如图3，当，，，在同一直线上时，的值最小．请你说明的理由，并判断此时，和是否都等于； (2)根据以上研究经验，小明尝试在中作出符合上述条件的点．他的作法如下：如图4，分别以，为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接，交于点．请你分析小明作出的点是否符合题意．（提示：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形） 4．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      学科网（北京）股份有限公司 $ 轴对称拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】垂线段最短 1．如图，平分，于点A，Q是射线上一个动点．若，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，过P作于E，当Q和E重合时，的值最小，根据角平分线性质得出，即可求出答案． 【详解】解：过P作于E，当Q和E重合时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 即的最小值是8， 故选：C． 2．如图，在中，，E是边上一动点，连接，根据作图痕迹，若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质及角平分线的性质，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，此时的长度等于点D到的距离，由作图痕迹可知为的角平分线，根据角平分线性质可知． 【详解】解：在中，，E是边上一动点， 根据垂线段最短的性质，当时，的值最小， 由作图痕迹可知，是的角平分线， ∵，， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，的平分线交于点D，点E是上的一个动点．若，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时根据角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵的平分线交于点D，，， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 4．如图，平分，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，取得最小值是解题的关键． 连接，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，然后根据角平分线的性质定理可知此时，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵点Q是射线上一个动点， ∴当时，取得最小值， ∵平分，，，， ∴． 故答案为：3． 【覆盖二】将军饮马(最小) 1．如图，在等边中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】连接，根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值； 【详解】解：如图，连接 ， 在等边中，是边上的高 ∴垂直平分 ∴ ∴ 当三点共线时，有最小值； 此时 ∵等边中，是边的中点 ∴ 即的最小值为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键． 2．如图，在等边三角形中，D是的中点，点E，F分别在，上，且，，在上有一动点G，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 作E点关于的对称点，连接交于点G，结合等边三角形的性质得到，进而得到是等边三角形，从而得到的最小值． 【详解】解：如图，作E点关于的对称点，连接交于点G， 在等边三角形中，，， 、， 、， ， ， 是等边三角形， 的最小值为， 故选：C． 3．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质及最短路径问题．关键是利用垂直平分线的对称性将转化为，再根据“两点之间线段最短”确定的最小值为的长度，最后结合等边三角形高的性质求出的长度． 【详解】解：如图，连接． ∵是等边三角形，是边上的高， ∴垂直平分， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴． 根据两点之间线段最短，当为与的交点时，取得最小值，最小值为的长度． 又∵是的中点，是等边三角形， ∴是边上的高， ∴， 故的最小值为． 故答案为：． 4．如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是________．     【答案】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 依据由题，先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：由题意，连接， ∵等边中，是边上的高， ∴是边上的中线，即垂直平分． ∴． ∴当B、F、E三点共线时，为最小值． ∵等边中，E是边的中点， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【覆盖三】三点共线(最大) 1．如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 3．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【答案】 【分析】将的周长转化为的形式，从而求出的长，再利用三角形三边关系确定最大值即可．　 【详解】如图，连接， 是的垂直平分线， ， 的周长为：， 长度是定值， 要使的周长最小，即的值最小， 根据两点之间，线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，为， 周长的最小值为：， 则， 根据三角形任意两边之差小于第三边，可得， 当，，三点共线时，取得最大值， 即的最大值是． 4．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为______，的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，绝对值的意义等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【覆盖四】周长最小—将军饮马 1．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 2．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（     ） A．11 B．13 C．14 D．16 【答案】B 【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，则周长为，因此当、、三点共线时，周长取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长取得最小值． 3．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 【答案】11 【分析】利用垂直平分线，将转化为，根据两点之间线段最短，得到，再加上的长，即可得到最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长的最小值是11． 4．如图，在中，垂直平分线段是直线上的任意一点，则周长的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质与两点之间线段最短的综合应用，利用垂直平分线转化线段并结合两点之间线段最短确定最值位置是解题的关键，通过等量代换将△ABP 的周长转化为，进而求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 垂直平分线段， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 即． 故答案为：． 【覆盖五】周长最小一双对称 1．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 2．如图，，点是内的一动点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题，分别作点关于的对称点，连接，于的交点即为点，此时的周长最小为的长，证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，则：，    ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长， ∴周长的最小值为的长，即为3； 故选B． 3．“如图，，点为内一点，，点分别是射线上的动点，求周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：周长的最小值为______． 【答案】8 【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：作点关于、的对称点、，连接， 则垂直平分，垂直平分， ， 周长为， 由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， （等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值是8， 周长的最小值是8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键． 4．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？______（用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由．______ 【答案】 存在 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． （1）周长是存在最小值； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，由对称的性质证出是等边三角形，求得的长，即可求得的周长的最小值． 【详解】解：（1）周长是存在最小值； 故答案为：存在； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等边三角形， ． 的周长的最小值， 故答案为：． 【覆盖一】两动一定 1．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的两动点，是的中点，连接，，，若．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，轴对称的性质，含30度直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由三线合一得到，，推出，得到，，然后利用垂线段最短两点之间线段最短求解即可. 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当C、M、N共线时且时，取最小值， 在中，，， ∴； ∴的最小值是，故选项A正确； 当M运动到A点，N运动到B点时， 即也远大于m，因此的最大值不是m，故选项D错误； ∵， 故， ∵O是定点，M是动点， ∴当C、M、O共线时，取得最小值，即； 因此的最小值为n，故选项B正确； ∵是等腰的高，O是的中点， ∵，故， 当M运动到A点时，， 因此的最大值是，故选项C正确． 故选：D． 2．如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（A定，M、N动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，过作于点E， ，即当三点共线且时，的最小值为， 在中，， 连接， 则， ， 在长方形中，，， ， 则的最小值为， 故选：C． 3．如图，在中，平分交于点，点、分别是线段，上的动点，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角形的性质等知识点，作C点关于的对称点，过作交于点E，交于点F，的最小值的长． 【详解】解：平分， 作C点关于的对称点，点在上， 如图：过作交于点E，交于F， ∴， ∴的最小值的长， C点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．如图，在中，平分，，点，分别在，上，则的最小值等于______． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短，垂线段最短的性质，直角三角形的性质．作点关于的对称点，连接，，作于点，得到，求得的最小值等于的长，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴作点关于的对称点，连接，，作于点， ∴， ∴， ∴的最小值等于的长， ∵，，， ∴， 故答案为：6． 【覆盖二】四点共线 1．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，由对称的性质得，，，，再由“有一个角为的等腰三角形是等边三角形．”可判定为等边三角形，由等边三角形的性质得，由，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、， ， ， ， ， M 为的中点， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了对称在几何变换中的应用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，根据题意构建等边三角形来转移线段是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠的性质和等边三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 3．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为_________ 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边三角形的判定及性质，证明等边三角形是解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示： 是边的中点， ， 点，点关于对称， ，， ， ， ，， ． 同理可证：，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当、、、共线时的值最大，最大值为10． 故答案为：10． 4．如图，四边形中，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为______．（用含m的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明是等边三角形是解题的关键．将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，证明是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得，即可求出最大值． 【详解】解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接， 由翻折可知：，， ，， ∵E是中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∵， ∴当D，M，N，C共线时，取得最大值为， 故答案为：． 【覆盖三】面积最大 1．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，连接，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为， 图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：B． 2．如图，中，的角平分线于点D，E为的中点，与交于点F，则与面积之差的最大值是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明，得出当的面积最大时，最大，根据，得出时，的面积最大，求出最大值即可． 【详解】解：延长，交于点G，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴当的面积最大时，最大， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：D． 3．如图，中，的角平分线于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长交于点H．设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点H．设交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故答案为：． 4．如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，过点作 于，由轴对称性质得，，即，从而有，则，进而即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点是边的中点，, ∴，， ∵将沿折叠至，点的对应点为， ∴，，即， ∴， ∴， 当，即点与点重合时， 的面积最大，最大面积为 ， 故答案为：． 【覆盖四】两定两动 1．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 2．如图，点在y轴上，点、在轴上，，，与关于轴对称，，点、分别是边、上的动点，则的最小值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】分别作出点、关于、的对称点、，连接分别交、于、，得出为最小，再依据等边三角形性质和判定，轴对称的性质分别求出和，即可求得． 【详解】解：分别作出点、关于、的对称点、， 连接分别交、于、，如图所示， 则 此时为最小． 由题知为正三角形，、， 连，过作轴于， 由对称性可得： ，， ，， ∴，同理可得， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形变化，能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 3．如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， 的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ， ∵， 为等边三角形， ， 即的值最小为3； 故答案为：3． 4．如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是__________，当取得最小值时，的度数是__________． 【答案】 4 /20度 【分析】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果，先求出的度数，即可求出取得最小值时，的度数． 【详解】作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接， 则， ∴ ∴为的最小值． ∵，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 即的值最小为4 当取得最小值时， 由作图知 故答案为： 4，． 【覆盖一】手拉手最值 1．如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值． 【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD， 则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图， ∵△ABC为等边三角形ABC， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△DAC和△PAB中， ， ∴△DAC≌△PAB（SAS）， ∴DC＝PB， ∵DA＝PA，, ∴为等边三角形， ∴, 而PB＝2，PA＝1， ∴DC＝2， ∵PC≤DP＋DC， ∴PC≤3， 所以PC所能达到的最大值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 2．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 连接，证明，得到相等角和边，然后根据三角形的三边关系得出何时为最大值，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，, ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 当点共线的时候，最大，最大值为6， 此时，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴, 故选：B． 3．如图，为等边三角形外一点，连接．已知，为的中点，则的最大值为___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形的三边关系， 先根据等边三角形的性质得，再将绕点A顺时针旋转得到，然后根据旋转的性质得出是等边三角形，可得，接下来根据三角形的三边关系得，可知当点B，D，P，三点共线时最大，可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵是等边三角形， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 根据三角形的三边关系得， 当点B，D，P，三点共线时，，此时最大，即， ∴的最大值为6． 故答案为：6． 4．如图，中，，，以为边向外作等边，连接，则的最大值为________． 【答案】8 【分析】如图，在直线的上方作等边三角形，连接，只要证明，推出，推出点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，的值最大． 【详解】解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【覆盖二】其他特殊最值 1．如图，中，，，． D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E ，F，则线段长的最大值为（      ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及不等式的应用．利用特殊直角三角形的性质，确定的长度，再利用线段垂直平分线的性质，设，并根据直角三角形的性质求解的最大值． 【详解】解：过点F作于H，连接， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，， 当点、重合时，， ∴，解得， ∴的最小值为，的最大值为． 故选：C． 2．如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、点到直线的距离垂线段最短等知识点，过作，根据等边三角形的性质得，有，那么，结合点到直线的距离垂线段最短，过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，再次利用等边三角形的性质得到即可． 【详解】解：过作，如图， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为的长， ∵是等边三角形，，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 3．在中，，，平分，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】5 【分析】作，使，证明得，从而当三点共线时，，此时最小，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：作，使， ， ， ， ， ， 当三点共线时，，此时最小． ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最小值为5． 4．如图，在等腰中，，P是内一点，若，则的最小值为_____________． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质可证是等边三角形，进而可证，，三点共线，根据求解即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图， 由旋转可知：，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，，三点共线， ∴， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【覆盖三】最短路径综合 1．综合与实践 【问题情境】 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后到达空间站．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站所在直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 【推理论证】：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． 【问题解决】 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)；；； (2)如图， 即为最短路径； (3)过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【分析】（1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．高效路径规划中的转化策略 在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用． 情境导入 某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区．为保证配送效率，需确定点的位置，使得从到，再从到的总路程最短．该问题可抽象为以下几何模型： 问题一：基础模型构建 （1）如图1，已知直线外有两点和位于异侧．请你在直线上确定一个点，使最短（保留作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________． 问题二：实际应用作图 （2）已知直线及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在上标出使最短的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 问题三：拓展情境探究 （3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路与旁分别设立了“智能快递柜”与“便民缴费点”．居民王阿姨需要从家出发，先到道路上的快递柜取件，再到道路上的缴费点办理业务，最后回到家． ①请分别在边，上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示） ②若，，求的周长的最小值． 【答案】（1）见解析，两点之间，线段最短；（2）见解析；（3）①见解析；②10 【分析】（1）利用两点之间，线段最短求解； （2）作点关于直线的对称点，连接，利用两点之间，线段最短求解； （3）①分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、即可求解； ②先得出垂直平分，从而可得，，，于是有，从而可证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后证明是等边三角形，从而可得，，进而求得，即可得出的周长的最小值为10． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． 这其中的道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：如图2，点即为所求； （3）①解：如图3，点，点即为所求； ②解：连接，，， 由题意得：垂直平分 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为10． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，全等的性质和综合，等边三角形的判定和性质，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．路径探究问题中最短路径是常见的优化目标，今天我们运用转化思想，一起来研究一类经典的最短路径模型． 【提出问题】某小区计划在，，三栋楼之间建一个水塔，使得水塔到三栋楼之间的距离和最小． 【建立模型】如图1，我们将三栋楼抽象为三点，那么问题转化为在内部确定一点，使得的值最小．已知，当时，点满足条件，下面我们进行说明．（注：为锐角三角形） 如图2，分别以，为边，在其右侧作等边三角形和等边三角形，由此，我们将转化为，将转化为． 【问题解决】 (1)如图3，当，，，在同一直线上时，的值最小．请你说明的理由，并判断此时，和是否都等于； (2)根据以上研究经验，小明尝试在中作出符合上述条件的点．他的作法如下：如图4，分别以，为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接，交于点．请你分析小明作出的点是否符合题意．（提示：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形） 【答案】(1)证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴． (2)解：小明作出的点符合题意，理由如下， 如图，连接， ∵三角形和三角形是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴小明作出的点符合题意． 【分析】（1）由和是等边三角形得出，，，根据邻补角的定义得出，，利用角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出，，根据周角的定义即可求出； （2）根据等边三角形的性质，利用证明，得出，，利用外角的性质，结合角的和差关系得出，同理得出，，即可证明，得出小明作出的点符合题意． 【详解】（1）证明：略 （2）解：略 4．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】（2）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，，，分别在轴和轴上找点，，使得的值最小，请在图2中画出点和点的位置，并直接写出点，的坐标； 【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，且，交于点，求点的坐标．      【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，，；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的轴对称变换，图形的面积等知识点，解题关键是熟练掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先完成画图，再设，根据，列出关于的方程求解，即可求得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，根据，，列出方程求解即可； （3）过点作交的延长线于点，过点作轴于点，先利用“”易证出，可得，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：完成画图，如图， 设， ，， ． ， ， ． ， ， 解得：， ． （2）如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点． 根据对称可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ， ， 即，解得． ∴， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $