15.1 图形的轴对称-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——轴对称（人教版·新教材）

第十五章 轴对称 思维导图 定义 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合 轴对称 图形 性质 轴对称图形的对称轴，是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线 轴对称 定义 一个图形沿着某一条直线折叠，能够与另一个图形重合】 成轴对称 对称点 折叠后重合的点) 性质 (1)成轴对称的两个图形全等；(2）成轴对称的两个 图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 线段的垂 直平分线 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 作法 尺规作图 轴 步骤 对 画轴对称 画图 找作、连 称 的图形 关于x轴对称 用坐标表示轴对称 Px,y)→P'c,-) 关于y轴对称 Pe,)→P"-x,y 等边对等角 性质 等腰三 三线合一 角形 有两边相等的三角形 判定 等角对等边 等边三 性质 三个角都相等，并且每一个角都等于60° 角形 三边相等（定义） 判定 般三角形 三个角都相等】 等腰三角形 有一个角是60° 含30°角的直角 前提：直角三角形 三角形的性质 30°角所对的直角边等于斜边的一半 最短路 两点在直线异侧 连接两点 径问题 两点在直线同侧 找其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点 数学专项训练… 15.1 图形的轴对称 基础解读 知识点1轴对称图形的有关概念 注意 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠， 不在对称轴上的点与其对称，点分布在 直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就 对称轴的两侧，在对称轴上的点的对称点 叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴· 是它本身 2.轴对称图形满足的条件：（1)一个平面图形； 3. 成轴对称和轴对称图形的区别与联系： (2)沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 名称 互相重合，两者缺一不可. 关系 成轴对称 轴对称图形 对象不同 两个图形 个图形 注意 意义不同 两个图形的特 具有特殊形 区别 殊位置关系 状的图形 轴对称图形的对称轴是一条直线，而 对称轴的 不是线段或射线，它可以是一条，也可以 只有一条对称 至少有一条 数量不同 轴 对称轴 是多条，甚至是无数条 (1)定义中都有一条直线，都要沿 例1下列四个图形： 着这条直线折叠： (2)若把成轴对称的两个图形看成 联系 一个整体，则它就是一个轴对称图 形；若把一个轴对称图形沿对称轴 分成两个图形，则这两个图形关于 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图 这条直线成轴对称 形的个数是 例2下列图形中，成轴对称的是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】给出的四个图形都是轴对称图形， 第1个图有2条对称轴，第2个图有2条对称轴， 第3个图有2条对称轴，第4个图有3条对称轴， 故对称轴的条数为2的图形有3个.故选C 【答案】C 知识点2成轴对称的概念 1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 C D 两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两 【解析】按照成轴对称的定义，只要两个图 个图形关于这条直线对称 形能够沿某条直线折叠后重合在一起，这两个图 2.对称点：折叠后重合的点是对应点，叫作 形就成轴对称，故选B. 【答案】B 对称点· 2 。。轴对称 知识点3线段的垂直平分线的性质 系计算即可」 1.线段垂直平分线的定义 【答案】解：DE垂直平分BC, 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， ∴.BE=CE, 叫作这条线段的垂直平分线， ·,△AEC的周长=AC+AE+CE=AC+AE+BE 2.线段的垂直平分线必须满足两个条件 =AC+AB, (1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段 .13=8+AC. 两者缺一不可· .AC=5. 例4如图所示，AB比AC长2cm,BC的垂直 平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的 “线段垂直平分线的定义”既可以作 周长是14cm,求AB和AC的长. 为性质，也可作为判定的方法.如图，若 4 直线AD⊥BC,垂足为点D,且BD=DC, D 则直线AD为线段BC的垂直平分线.反之 若直线AD是线段BC的垂直平分线，则 B BD=CD,AD⊥BC. 【解析】此题用代数方法解较好.可设 D AB,AC的长分别为xcm,ycm,已知AB比AC长 2cm,只需再找到AB与AC的另一个等量关系 3.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两 即可列出二元一次方程组 个端点的距离相等.如图， 【答案】解：DE垂直平分BC, ·AD⊥BC,BD=CD, ∴.DB=DC .∴.AB=AC. AC+AD+DC=14 cm, 华哦意 ∴.AC+AD+DB=14cm, 即AC+AB=14cm. 在线段垂直平分线上取任意一点，这 设AB=xcm,AC=ycm, 个点与线段两个端，点所连的两条线段的长 都相等 x+y=14, 「x=8, 则 解得 x-y=2, y=6, 例3如图所示，在△ABC中，AB>AC,AB=8, .AB长8cm,AC长6cm. BC的垂直平分线DE分别交AB,BC于E和D. 知识点4线段的垂直平分线的判定 △AEC的周长为13，求AC的长. 1.线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上. D 如图，AB=AC,.点A在线段BC的垂直 【解析】要求AC的长，就要利用已知的 平分线上 周长计算.可先利用垂直平分线的性质一线 段的垂直平分线上的点到线段的两个端，点的距 离相等，得出BE=CE,再根据三角形周长关。 3 D) 数学专项训练 2.线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线 例6写出下列命题的逆命题，并判断其真假： 的判定的区别 (1)同位角相等，两直线平行； 类别 线段垂直平 线段垂直平分线 (2)如果=3，那么x2=9: 关系 分线的性质 的判定 (3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两 直接用来证明 直接用来证明某 区别 一个点在线段的 个实数的平方也相等 两条线段相等 垂直平分线上 【解析】将原命题的题设和结论交换位置， (1)均不必通过三角形全等进行证明： 即可得到逆命题，然后判断真假即可， (2)可得任意一个三角形三条边的垂 联系 直平分线必相交于一点，且这个点 【答案】（1)逆命题：两直线平行，同 到三角形各个顶点的距离相等， 位角相等.它是真命题 例5如图，AD垂直平分BE,且AB+BD=DC, (2)逆命题：如果x2=9,那么x=3.它是假 求证：点E在线段AC的垂直平分线上· 命题 (3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那 么这两个实数的绝对值也相等，它是真命题 知识点6尺规作图一 作垂线 B D E 1.过直线外一点作这条直线的垂线的方法 【解析】此题考查线段垂直平分线的性 已知：直线AB和AB外一点C,如图： 质和判定，解题关键在于求证AE=EC,由AD 垂直平分BE,得AB=AE,又由AB+BD=DC, 易得AE=EC,继而可得，点E在线段AC的垂直 A B 平分线上 求作：AB的垂线，使它经过点C 【答案】证明：AD垂直平分BE, 作法：(1)任意取一点K,使点K和点C .'AB=AE,BD=DE. 在AB的两侧： .·AB+BD=DC,∴.AE+DE=DC (2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交 .·DE+EC=DC,∴.AE=EC, AB于点D和点E; ∴.点E在线段AC的垂直平分线上 知识点5互逆命题和互逆定理 (3)分别以点D和点E为圆心，大于】DE 名称 定义 说明 的长为半径作弧，两弧相交于点F; 如果两个命题的题 (1)命题有真有 (4)作直线CF.即为所求作的垂线，如图： 设、结论正好相反， 假，而定理都是 互逆 那么这两个命题叫作 真命题： 互逆命题.如果把其 (2)每个命题都 命题 中一个叫作原命题， 有逆命题，但不 、D E B 那么另一个叫作它的 是所有定理都有 逆命题 逆定理； 如果一个定理的逆命 (3)原命题的真 题经过证明是真命 假与其逆命题的 互逆 题，那么它也是一个 真假没有关系； :2.线段的垂直平分线的作法 定理 定理，这两个定理叫 (4)互逆命题不 作互逆定理，其中 一定是互逆定理， 已知：线段AB,如图： 个定理叫作另一个定 但互逆定理一定 理的逆定理 是互逆命题 。轴对称 求作：线段AB的垂直平分线1. 【解析】根据题意，作∠AOB的角平分线 作法：(1)分别以点A和点B为圆心，大 OC,作线段OE的垂直平分线DF,射线OC 于号AB的长为半径作弧，两弧相交于C,D 与直线DF交于点P.作法如下： 两点； 【答案】 D (2)过C,D两点作直线1.即为所求作的 直线，如图： B 米D 例7如图，已知∠AOB和边OB上一点E, (1)作∠AOB的角平分线OC; 求作：点P,使P到∠AOB两边的距离相等， (2)作线段OE的垂直平分线DF; 且OP=EP. (3)射线OC与直线DF交于点P. A 所以P点即为所求.（如图） 0 ⊙ 提分训练 训练点1轴对称图形的有关概念 1.美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( 感动中国 A.AM=BM B.AP=BN B D C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM 【关注过程】·直线MW是四边形AMBN 【关注过程】轴对称图形是指在平面内沿一 的对称轴，点A与点B对应 条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的 ∴.AM=BM,AN=BN,∠ANM=∠BNM, 图形，可得C是轴对称图形，故选C. ∠MAP=∠MBP,AP=BP, 【学会总结】根据轴对称图形的概念，找出 ·.A,C,D正确，而B错误.故选B. 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重 【学会总结】根据轴对称图形的概念，确定 合的字即可 相等的对应元素 2.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴， 训练点2成轴对称的概念 点P是直线MN上的点，下列判断错误的是 3.下列图形中，△A'B'C与△ABC关于直线 MW成轴对称的是 数学专项训练 直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm, 则BC的长为 () 【关注过程】运用对应点的连线与对称轴 的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被 A.1cm B.2 cm C.3cm D.4 cm 对称轴垂直平分解题.根据轴对称的性质，结 【关注过程】·线段AB的垂直平分线交 合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对 AC于点N,∴.NB=NA, 称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的.故 .'△BCN的周长=BC+CN+BN 选B =BC+CN+AN=7 cm, 【学会总结】认真观察各选项给出的图形， ∴.BC+AC=7cm.又AC=4cm, 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的 ∴.BC=3cm. 连线进行判断 故选C. 4.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称， 【学会总结】根据线段的垂直平分线的性 BC与DE的交点F在直线MN上. 质得到NB=NA,根据三角形的周长公式计算 (1)指出两个三角形中的对应顶点； 即可. (2)指出图中相等的线段； 6.如图，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线 (3)图中还有哪些对称的三角形？ MN交AC于点D,交AB于点E.求∠DBC的 度数 B N B 【关注过程】解：(1)A→A,B→D,C→E; 【关注过程】解：.AB=AC, (2)AB=AD,AC=AE,BC=DE,EF=FC, BF-DF; ·∠ABC=∠ACB=180-∠A =70° 2 (3)不另加字母和线段的情况下：△AFC与 .MN垂直平分AB,∴.DA=DB, △AFE,△ABF与△ADF也都关于直线MN成 ∴.∠ABD=∠A=40°， 轴对称. ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°， 【学会总结】根据成轴对称的性质：如果 【学会总结】线段垂直平分线的性质：线段 两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 意一对对应点所连线段的垂直平分线即可得出 训练点4线段的垂直平分线的判定 答案 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, 训练点3线段的垂直平分线的性质 DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足，则下列三个 5.如图，在△ABC中，AC-4cm,线段AB的垂结论：①AE=AF;②AD垂直平分EF;③EF 6 。。轴对称 垂直平分AD,其中正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【关注过程】证明：连接DF, 【关注过程】.AD平分∠BAC,DE⊥AB, .:∠BCE+∠ACE=90°， ∠ACE+∠CAE=90°， DF⊥AC, ∴.∠BCE=∠CAE. ·.DE=DF,∠EAD=∠DAF, .AC⊥BC,BF∥AC, ∠AED=∠AFD=90°， ∴.BF⊥BC, AD=AD, 在Rt△AED和Rt△AFD中， ∴.∠ACD=∠CBF=90°. DE=DF, AC=CB, ·.Rt△AED≌Rt△AFD(HL), ∴.△ACD≌△CBF（ASA),∴.CD=BF. ·.AE=AF,故①正确； D为BC边的中点， 在△AE0和△AF0中， .CD-BD-BC.BF-BD, 「AE=AF, ∴.△BFD为等腰直角三角形， ∠EAD=∠FAD, A0=A0, .'∠ACB=90°，CA=CB, .△AE0≌△AFO(SAS), ∴.∠ABC=45°，∴.AB平分∠DBF, ∴.AB垂直平分DF ∴.∠AOE=∠AOF,EO=OF 【学会总结】本题主要考查了三角形全等 .∠A0E+∠A0F=180°， 的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分 .∠A0E=∠A0F=90°， 线的性质等几何知识.要注意的是等腰三角形 ·.AD垂直平分EF,故②正确； 的“三线合一”与底边的垂直平分线的关系， 由已知及①②的结论无法得出EF垂直平分 AD,故③错误，正确的个数有2个.故选B. 训练点5互逆命题与互逆定理 【学会总结】本题主要考查直角三角形全； 9.写出下列命题的逆命题，并判断其真假： 等的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟 (1)对顶角相等； 练掌握直角三角形全等的判定及线段垂直平 (2)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距 分线的判定定理是解题的关键 离相等 8.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 【关注过程】解：（1)逆命题：相等的两个角是 AC=BC,D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E, 对顶角，是假命题 BF∥AC交CE的延长线于点F.求证：AB垂直 (2)逆命题：到线段两个端点距离相等的点在该 平分DF 线段的垂直平分线上，是真命题 数学专项训练 【学会总结】写出一个命题的逆命题的关键是分·作图形；②如图，BF为所作图形； 清原命题的题设和结论，然后将题设和结论交换 位置，即得逆命题判断一个命题是真命题须证明， 判断一个命题是假命题只需举出一个反例即可， 有些命题不容易确定题设和结论，一般写成“如 果…那么…”的形式。 训练点6尺规作图—作垂线 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC<BC. (2)证明：DE垂直平分AB,.AE=BE. BF⊥AE,垂足为F, ∴.∠BFE=∠ACE=90° (1)动手操作：要求尺规作图，不写作法，但 ∠BEF=∠AEC, 保留作图痕迹 .△BEF≌△AEC(AAS), ①作出AB的垂直平分线MN,MN分别与AB ∴.AC=BF. 交于点D,与BC交于点E; 【学会总结】此题主要考查了垂直平分线 ②过点B作BF垂直于AE,垂足为F; 的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作 (2)推理证明：求证AC=BF 法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用· 【关注过程】解：（1)①如图，DE为所 15.2 画轴对称的图形 基础解读 知识点1画轴对称的图形 2.画轴对称图形的方法 1.关于某直线成轴对称的两个图形之间的 由直线、线段或射线组成的图形，作出图形 关系 中一些特殊点（能确定图形的点）的对称点， (1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直 连接这些对称点，就能得到原图形的轴对称 线对称的图形，这个图形与原图形的形状、 图形 大小完全相同； 画轴对称图形的方法简单归纳如下： (2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点 (1)找—在原图形上找特殊点（如线段的端 关于直线l的对称点； 点、线与线的交点等)； (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂 (2)作一作各个特殊点关于已知直线的对 直平分. 称点； 48