第3章 圆全章高频重点题型突破（11大高频+3大重难题型，专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“基础-核心-综合”三级架构系统覆盖圆的14类高频题型，通过分层训练构建从概念认知到综合应用的完整知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|约40题|聚焦圆的基本认识、位置关系及公式计算，题型以选择填空为主|从圆的定义出发，逐步延伸至点与圆、直线与圆的位置关系，夯实几何直观与空间观念| |核心提升|约14题|突出垂径定理、切线判定与性质、圆锥相关计算，强调推理证明|以圆的性质定理为核心，构建“性质-判定-应用”逻辑链条，培养推理能力| |综合攻坚|约13题|融合圆与三角形、四边形等知识，涉及动态几何与实际应用|通过多知识点交叉，提升用数学语言表达现实问题的能力，对接中考综合题型|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型01圆的基本认识 1.【答案】B 【详解】解：在⊙0中，最长的弦是5cm, ∴.⊙0的直径为5cm, ∴⊙0的半径为5÷2=2.5(cm). 2.【答案】D 【详解】解：圆是中心对称图形，对称中心为圆心且仅有1个，故A、C正确，D错误， 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，故B正确. 3.【答案】3.14 【详解】解：已知圆的周长C=6.28cm,π=3.14. 由圆的周长公式C=2π”，可得圆的半径 r=C-628 =1cm. 2π2×3.14 由圆的面积公式S=πr2,代入r=lcm,π=3.14得 S=3.14×12=3.14cm2. 4.【答案】16 【详解】解：正方形的周长为：4×12.56=50.24， 因此圆的周长为5024厘米，设圆的直径为d,根据圆的周长公式C=πd,可得： d=C-50.24 π3.14 16, 故答案为：16 ◆题型02点与圆的位置关系问题 5.【答案】C 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确. B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确 C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误， 1/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确. 6.【答案】C 【详解】解：如下图所示，连接OD、OC, :点D在量角器上对应的刻度为110°， .∠A0D=180°-110°=70°， 由图可知点O是AB的中点， ∴点O是△ABC外接圆的圆心， ∴.OA=OB=OC=OD ∴点A、B、C、D四点共圆， ∠4CD=540D×70=35°. 2 D 7.【答案】D 【详解】解：，AC2+BC2=32+4=25,且AB2=52=25, :.AC2+BC2=AB2, 、.∠C=90°，则△ABC是直角三角形， ,直角三角形的外接圆直径等于斜边长， BC的外接题半径为方4B5-月 2 2 8.【答案】（-山，1) 【详解】解：分别作线段AB,BC的垂直平分线，如图所示： 43201.2 2145 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴由坐标系可知：△ABC的外接圆的圆心坐标为(-山，)： 故答案为(-1,1)」 9.【答案】2 【分析】 【详解】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求， B D ,等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6N2. .BC =2AB=12 ,直角三角形的外心是斜边的中点， 4D=BC=6, 2 I是△ABC的重心， ∴.I是三角形三条中线的交点， Dcp-2. 故答案为：2. 10.【答案】(1) 解：如图所示，点M即为所求，则点M的坐标为(2,0)： (2)(7,0) 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图所示，连接MC,过点C作CT⊥x轴于点T, 3/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O 1M 由切线的性质可得MC⊥CD, .∠MCT=90°. :CT⊥x轴， ∴.∠CTM=∠CTD=90°， :.∠TMC+∠TCM=∠TCM+∠TCD=90°. ∴.∠TMC=∠TCD, .△TMC∽△TCD TM TC ·TCTD .M(2,0)C(6,2), .TM=6-2=4,TC=2, .42 2TD' .TD=1, .OD=OT+TD=6+1=7, D(7,0) ◆题型03弧、弦、角的关系 11.【答案】B 【详解】⊙O的半径r=10cm,点A到圆心O的距离OA=8cm, :.OA<r. :点A在⊙0内. 12.【答案】A 【详解】解：，点B在⊙A外， .AB>2. ,点A、B在数轴上，分别表示V2和b, 4/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AB=b-2. b-2>2 .b>2+V2或b<V2-2. 2>1, 2+V2>3,V2-2>-1, ∴.b的值可能是-1. 13.【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, :.由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V32+42=5, 对于圆B,圆心为B,半径a=BC=4, AB=5>4=B,点A在圆B外部， 对于圆C,圆心为C,半径心=BC=4」 AC=3<4=心，点A在圆C内部. 14.【答案】B 【详解】当点P在⊙O外时， ,点P到⊙O上点的最长距离为6cm,最短距离为2cm, :⊙0的直径为6-2=4cm,半径为4÷2=2cm, 当点P在⊙0内时， ,点P到⊙0上点的最长距离为6cm,最短距离为2cm, :.⊙0的直径为6+2=8cm,半径为8÷2=4cm. 因此⊙0的半径为2cm或4cm。 ◆题型04三角形的外接圆问题 15.【答案】C 【详解】解：如图，作∠AOB的平分线OE,交⊙O于点E,连接AB、CD、AE、BE, D 5/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠AOB=2∠AOE=2∠BOE. ∠AOB=2∠COD ∴∠AOE=∠BOE=∠COD 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ..AE=BE CD 在△ABE中，AE+BE>AB, ,CD+CD>AB,即AB<2CD 16.【答案】机网30° 【详解】解：在⊙O中，AB=CD, .BD=AC, .∠1=∠2， ∠1=30°， 即∠2=30° 17.【答案】C 【详解】解：，CD平分∠ACH,DP⊥AC,DH⊥BC .DP=DH .DC=DC .Rt△DPC≌Rt△DHC(HL) ∴.CH=CP,故①正确： 连接BD, B ,DP⊥AC,DH⊥BC ∴.∠DPA=∠DHB=90° ,∠I=∠2，DP=DH ∴.△DPA≌△DHB(AAS) .DB=DA,AP=BH 6/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=BD,故②、③正确： 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴，正确的有3个 18.【答案】证明：AB=AC, .AB=AC. ,∠ACB=60°， .△ABC是等边三角形 .'AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC 【详解】略 19.(第二十九章圆高效同步练习29.2.2圆心角)如图所示，⊙0的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点 P,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,AC=BD.求证：四边形OEPF是正方形. E 【答案】证明：连接OA、OD,如图 AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD, .四边形OEPF是矩形， AC=BD .AC+BC=BD+BC,即AB=CD ∴.AB=CD ~OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, AE-4B,DF-ICD. 2 :AE=DF, 7/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA=OD,OE2=OA2-AE2,OF2=OD2-DF2, ∴.OE=OF, ∴四边形OEPF是正方形. 【详解】略 ◆题型05圆周角定理的有关计算 20.【答案】B 【详解】解：在优弧AB上取点E,连接AE,BE, C 0= ∠ACB+∠E=180° :∠ACB+)∠0=180°，故B正确，C错误 2 由题意得，∠DCB<∠ACB, ∠DC8+号0<180，枚A错误 ,∠CAE+∠CBE=180°，∠CAO≠∠CAE,∠CBO≠∠CBE ∴.∠CAO+∠CB0≠180°，故D错误. 21.【答案】B 【详解】解：连接BD, D E ,AD是⊙O的直径， .∠ABD=90°， :∠ABC=112°， .∠CBD=112°-90°=22°， 8/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠E与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， ∴∠E=∠CBD=22° 22.【答案】(1)29° (2)8 【分析】 【详解】(1)解：连接OB」 D :OA⊥BC,且OA为⊙O的半径， ∴.BE=EC,AB=AC, .∠AOC=58°， :.∠BOA=∠AOC=58° &∠ADB=2∠B0A=290 (2)解：OB=0A=5,OE=3, .BE=VOB2-0E2=V52-32=4, .'BC=2BE=8. 23.(第二十九章追梦综合演练卷)如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC,垂足为点E,且AB 与AC的长度为方程x2-9x+18=0的两个根(AB>AC),⊙O是△ABC的外接圆. (1)求⊙0的半径： (2)计算BE的长. 【答案】(1)3√2 9/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V 【分析】 【详解】(1)解：连接OB, E 解方程x2-9x+18=0,得x=3,:=6, ∴.AC=3,AB=6, .∠AOB=2∠C=90°」 ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴OB2+OA=AB2,即20B2=62, ∴.OB=3V2.即⊙O的半径为3W2 (2)解：∠C=45°，AE⊥BC, △AEC为等腰直角三角形， ÷由勾股定理得AB=3V2 2 服=48-AE-a 24.【答案】(1)证明：BD是⊙0的直径， .∠BAD=90° ∴.∠ABO+∠ADB=90°， :DA平分∠BDE, .∠ADB=∠ADE, AE⊥CD, .∠AED=90°， .∠EAD+∠ADE=90°， .∠ABO=∠EAD: (2)EH=5 【分析】 10/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：由题意可得，OB=OA=5, ∴.∠ABO=∠BAO, ·∠ABO=∠EAD .∠BAO=∠EAD」 ·∠BAD=90° .∠BAO+∠OAD=90°， ∴.∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°， :AE⊥CD,OH⊥CD .四边形AOHE是矩形， ..EH=OA=5 ◆题型06圆内接四边形 25.【答案】120°/120度 【详解】解：在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD ◇ ··∠AOB=120° :∠ADB=∠A0B=60, :四边形ACBD内接于O0, .∠ACB+∠ADB=180°」 ∠ACB=180°-60°=120° 26.【答案】30° 【详解】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ,∠BAD+∠BCD=180°，（圆内接四边形对角互补） 又∠BCD=120°， ∴.∠BAD=180°-∠BCD=60° BE是⊙O的直径， .∠BAE=90°， 11/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-60°=30°， 27. 【答案】105° 【详解】解：：AD是⊙O的直径， ∠ABD=90°. .∠BAD=90°-∠ADB=75°， ,四边形ABCD是圆内接四边形， ∠BCD+∠BAD=180°. ∴∠BCD=105° 28.【答案】证明：：∠BAD+∠BCD=180°，∠EAD+∠BAD=180° ∠EAD=∠DCB .BD=DC. .∠DBC=∠DCB 又'∠DBC=∠DAC, ∴.∠EAD=∠DAC, 即AD平分∠EAC 【详解】略 ◆题型07直线与圆的位置关系 29.【答案】D 【详解】解：：直线与⊙0有公共点， ∴直线与圆相交或相切， ,直线与圆相交时d<r,相切时d=r, .d≤r 30.【答案】D 【详解】解：当直线y=一x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在y=-x+b中，令x=0时，y=b,则与y轴的交点是B(0,b), 12/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当y=0时，x=b,则与x轴的交点是A(b,0), 则OA=OB=b,即△OAB是等腰直角三角形， 在RtAOAB中，AB=VOA+OB2=Vb+b2=√2b, 连接圆心O和切点C,则OC=4,OC⊥AB, 1 S.40B=OA-OB=OC.AB, 4=O4-0Bb:b AB√2b 则b=42: 同理，当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=4V2: 则若直线y=-x+b与⊙0相交，则b的取值范围是-42<b<4V2. 31.【答案】D 【详解】解：如图，过点P作PC⊥OB于点C,则PC=OP 2 2, 5 即当r=)时，此时⊙P与射线OB只有一个公共点： 、B 如图，当r>5时，则⊙P与射线OB只有一个公共点，此时r>5: B 综上，当成，>5时，0P与射战oB具有一个公共点 32.【答案】相交 【详解】解：⊙0的直径为l5cm, .⊙0的半径r _15=7.5(cm)。 :圆心O与直线I的距离d=7cm, 13/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .d<r, ∴.直线1与⊙0的位置关系是相交. ◆题型08切线长定理 33.【答案】D 【详解】解：四边形ABCD是正方形， AB⊥BC,DC⊥BC, .AB,DC是圆O的切线， :AE与圆O切于点F, 根据切线长定理有AF=AB=4,EF=EC, 设EF=EC=x, 则DE=4-x,AE=4+x, 四边形ABCD是正方形， .∠ADE=90°， 三角形ADE是直角三角形， 在三角形ADE中由勾股定理得： (4-x}2+42=(4+x)}, .x=1, .CE=1, .DE=4-1=3, .SMDE=ADDE÷2=3×4÷2=6 34.【答案】42°142度 【详解】解：，PA是⊙O的切线，A为切点，∠OAB=21°， .∠CAP=90°， .∠BAP=90°-21°=69°， :PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， .'PA=PB, .∠ABP=∠BAP=69°. ∴∠P=180°-69°×2=42° 35.【答案】 10 20 【详解】解：：PA、PB切⊙O于点A、B, 14/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PA=PB=10, 又，CD切OO于点E ∴.CA=CE,DB=DE, ∴.CD=CE+DE=CA+DB, ∴.△PCD的周长为PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=20 36.【答案】26 【详解】解：⊙O是直角△ABC的内切圆，且AF=6,CF=5, .AD=AF=6,CE=CF=5,BE=BD, AD=3BD 8E=BD=号4D=2, '△ABC的周长为AB+BC+AC=AF+CF+CE+BE+BD+AD=26, 故答案为：26 37.【答案】(1) 证明：如图所示，连接AB交OP于点M,连接BO, :PA,PB是⊙O的切线， ∴.PA=PB, :OA=OB」 ∴.PO垂直平分AB, .∠AM0=90°， ∴，AC是⊙O的直径， ∴.∠CBA=90°， .∠CBA=∠AMO. ..BCIIOP: 9 【分析】 15/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略： (2):AP=2,OP=V5,∠PA0=90° A0=V√P02-AP2=1, :∠AOP=∠MOA,∠PAO=∠AMO=90° ∴.△PAO△AMO A0 PO 1=5 ÷Mo=S 5 :PO垂直平分AB, .AB⊥OP,AM=BM, .OA=OC, ∴OM为△ABC中位线， .'BC=2MO= 2W5 5· 【点睛】此题考查了切线长定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关 键是掌握以上知识点， ◆题型09切线的判定 38.【答案】证明：如图，过点O作OH⊥AB于H, H 是 的角平分线， 0 .·∠ACB=90°AO△ABC ∴.OC=OH :0为圆心，OC为半径， .AB是⊙O的切线 【详解】略。 39.【答案】证明：连接OM, .AB=AC, .∠B=∠C, 16/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,以AB为直径的⊙O交BC于点M, ..OB=OM. ∴.B=∠OMB, .∠OMB=∠C, ..OM IAC :MN⊥AC, ∴OM⊥MN. .OM是⊙0的半径， MN是⊙O的切线. 0, M 【详解】略 40.【答案】(1)∠DCB=20° (②)证明：如图所示，连接OD, ◇E C .:DE⊥CB ∴.∠E=90° ∴.∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70° BD=BD .∠DAB=∠DCE=20° .OA=OD, ∴.∠ODA=∠OAD=20° ∴.∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20°. ∴.∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°，即OD⊥DE, 又：OD是⊙0的半径， DE是⊙O的切线. 17/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：如图所示，连接AD, AC=AC,∠ABC=40°， D E B .∠ADC=∠ABC=40° AD=CD, .∠DCA=∠DAC=-180°-∠ADC=18040°=70° 2 2 :AB是OO的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20°： (2)略 41.【答案】(1)∠BAC=45 (2)证明：如图，连接AD,BC」 G :点D是BC的中点， .OD⊥BC, :∠ACB=90°， .OD‖AC, :DE⊥AC, .OD⊥DE, :OD是⊙0的半径， .DE是⊙O的切线. 【分析】 18/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：如图，连接BC, G :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° .AC=BC, .AC=BC, 则△ABC是等腰直角三角形. .∠BAC=45°： (2)略 ◆题型10正多边形与圆 42.【答案】A D 【详解】 解：连接OA,OB,OC,OE,OA交EM于点N, :正五边形ABCDE内接于OO, .AB=BC=CD=DE=EA, ∠B0C=∠C0D=∠A0B=∠A0E=×360=72, ∠BMc=B0c-*2=36, 故小慧的结论正确： AB=BC=CD=DE=EA, .DA=DB,⊙O的直径为DM, 19/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DM⊥AB,点M是AB的中点 ∴.MA=MB .ME MC 即EM=CM,MA=MB. AOM =ZBOM-Z408-x72-36 :.∠EOM=∠EOA+∠AOM=72°+36°=108」 又OE=OM, :∠0EM=180°-E0M-180,108°=36， 2 2 :.∠ENO=180°-∠EON-∠OEN=180°-72°-36°=72°=∠EON, ∴.EN=EO=OM. 又OA=OM,∠AOM=36° ∴.∠OAM=∠OMA=72°， 又∠MNA=∠ENO=72°， .∠MAN=∠MNA=72°， ..MA=MN. AM OM_AM+OM_MN +EN-EM-1. .CM EM EM EM EM 故小丽的结论正确。 故选：A· 【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定 理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键， 43.【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为⊙O,连接OA,OB」 .·∠ADB=15 .∠AOB=2∠ADB=30°， 20/45 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而360°÷30°=12， ∴这个正多边形为正十二边形. 4.【答案】()解：如图，正六边形ABCDEF即为所求： (2)解：四边形BCEF是矩形，理由如下， 如图，连接OE, 六边形 是正六边形， ABCDEF ∴，AB=AF=DE=DC,FE=BC .AB=AF=DE=DC, ∴BF=CE, :BF=CE, EF =BC. ∴四边形BCEF是平行四边形. :∠E0D=360 =60° 6 OE=OD' ∴△EOD是等边三角形， ∴.∠OED=∠ODE=60° ∴.∠EDC=∠FED=2∠ODE=120° ..DE =DC, ∴∠DEC=∠DCE=30° .∠CEF=∠DEF-∠CED=90°. ∴.平行四边形BCEF是矩形. 【分析】 21/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 45.【答案】(1)如图，BE即为所求： G B (2)如图，直线OG即为所求. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 46. 【答案】（△ABE,AADE,△ABM,△DME,△AME (2)证明：：∠AEM=∠AEM,LDAE=∠ABE=36, .△EAM∽△EBA, AE ME ·BEAE· .AE2=BE·ME, 由(I)可知，AE=AB=BM, .BM2=BE.ME. 【分析】 【详解】(1)解：，五边形ABCDE为正五边形， B∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠AED=1806-208”,AB=AE=DE 5 :ABE=乙AEB=∠DAE=乙ADE-1sD,10S=36,BE ADE4E都是等限兰角，形 2 22/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAM=∠BAE-∠DAE=72°，∠DEM=∠AED-∠AEB=72° .∠AMB=180°-∠BAM-∠ABE=72°，∠DME=180°-∠DEM-∠ADE=72°， .∠BAM=∠AMB,∠DME=∠DEM, .AB BM,DM =DE. ∴.△ABM,△DME都是等腰三角形. (2)略 ◆题型11扇形的弧长和面积公式 47.【答案】B 【详解】解：设圆心角为n°，根据题意，得 8n=1x9 180, ∴.n=160 即这条弧所对的圆心角为160° 4 48.【答案】3-25 【详解】解：连接OC,交AB于点D, B D ○ 由折叠的性质可知，AC=OA,BC=BO, ,点O恰好落在弧AB上的点C处， :OA、OB、OC为扇形的半径， .'.OA=OB=OC=2, ∴，在△A0C中，AC=OA=OC=2, ∴.△AOC是等边三角形， ∴.∠AOC=∠OAC=∠AC0=60°， 同理，△BOC是等边三角形， .∠BOC=∠OBC=∠BC0=60°. ∴.四边形AOBC是菱形，扇形的圆心角∠AOB=∠BOC+∠AOC=120°， .AB⊥OC, 23/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 120 扇形的面积=360× 兀 3 .∠ABC=30°，∠BDC=90°， CD=2BC=1.BD=BC-CD=2= .AB=2BD=23. 菱形406C的面积=2Sc=2××2V5x1=2V5】 4 阴影部分的面积_扇形的面积_菱形408C的面积=了π-2V5 15 49. 【答案】2π 【详解】解：AB=18cm,BD=9cm,∠DAE=150°， ∴.AD=9cm, 50×π×915 DE的长为 180 2 (cm). 50.【答案】()V2 3π ②48 【分析】 【详解】(1)解：连接BD, B :AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， .∠BDC=90°， :BC与⊙O相切于点B, AB⊥BC, ∠ABC=90° .AD=CD=1. 24/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BD=- 4C=1, :.在RtABCD中，BC=VCD2+BD2=VP+1P=√2. (2)解：连接OD D AD=CD OA=OB OD∥BC, OD-18C- 2 2 ∠ABC=90°， :∠B0D=90°， √2 90π× 2 3π. 22 2 360 48 51.【答案】(1)证明：连接BF,OC, O B ,AB是⊙O的直径， ,∠AFB=90°，即BF⊥AD, ,CE⊥AD ∴BF∥CE, ,点C为劣弧BF的中点， ∴OC⊥BF, .BF∥CE .OC⊥CE, OC是⊙0的半径， 25/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE是⊙O的切线. 2 回π 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：连接OF,CF, D B ,OA=OC,∠BAC=30°， .∠BAC=∠OAC=30° .∠B0C=60°， :点C为劣弧BF的中点， .FC=BC, ∴.∠FOC=∠B0C=60°， OF =OC, ∴，aFOC是等边三角形， .∠0CF=60°. .OCF=∠BOC, ∴CF∥AB, 'SAACF=SACOF, .S阴影=S扇形Foc, ,AB=4, ..OF=OC=OB=2. 60.π×222 ∴.S扇形FOc= 360 ， 2 即阴影部分的面积为3π· 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法 26/45 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是解答此题的关键 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1垂径定理 1.【答案】22 【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E,连接OC,如图所示： C OP B 则CE=DE, .∠APC=45°， .∠EOP=90°-∠OPC=45°. .∠EOP=∠OPE .'EP=OE, .PC2+PD2=(CE+EP)+(DE-EP) CE2+2CE.EP+EP2+DE2-2DE.EP+EP2 =2CE2+2EP2 =2(CE2+EP2) =2(CE2+0E2) =20C2, ,PC2+PD2=16. .20C2=16, .0C2=8, ∴0C=22,负值舍去， 即⊙0的半径为2√2. 2.【答案】72°72度 【详解】解连接OA,OB, 27/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :过点O作OD⊥AB交⊙O于点D, ∴AD=BD, .∠AOD=∠BOD=5∠AOB 2 .OA=OD,∠D=54° .∠0AD=∠D=54°，∠A0D=180°-2×54°=72°， .∠A0B=144°， :∠C=5∠40B=72: 故答案为：72° 3.【答案】(1)34米 (②)不需要采取紧急措施 【分析】 【详解】(1)解：连接OA, D D 由题意得：1D=2B=30米，OD=-18)米。 在Rts4DC0中，有r2=302+亿-18)，解得r=34米： (2)解：连接OA. OE=OP-PE=30米， 28/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴在Rt△AE0中，AE=√AO2-OE2=16(米)， .AB=32米 'B=32>30, ∴.不需要采取紧急措施 4.【答案】(1)25 (2)8 【分析】 【详解】(1)解：OC⊥AB, .AD=BD 1 1 ∴.∠DEB= ∠AOD=5×50°=25° 2 2 (2)OA=0D=5, 在Rt△A0C中，AC=VOA-0C2=V52-32=4, OC⊥AB. ∴.AB=2AC=8 ◆题型2切线的判定与性质 5.【答案】(1) 证明：如图，连接OE, E 10 G B AE DE, ∴.∠1=∠2， .OE=OB, .∠2=∠3， .∠1=∠3， .OE∥BF, 29/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BF⊥GF,点E在OO上， OE⊥GF, .GF是⊙O的切线： (29W2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：设0A=0E=r, :GF是⊙O的切线， ∴∠OEG=90°. 在Rt△GOE中，AG=6,GE=6N2, 0G2=GE2+0E2,即(6+r}=(62°+r2, 解得：r=3, 即OE=3, .S△GoE= OE-GE-x3x6-9 ,△GOE的面积为9√2 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切 线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直 6.【答案】(1) 证明：如图，连接OC, B D .OC=OA, .∠A=∠ACO .∠A=∠CDE .·∠CDE=∠ACO ·.·DE⊥AE ∴∠CDE+∠ECD=90°， .∠ACO+∠ECD=90°， 301/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OCD=180°-（∠ACO+∠ECD)=90°， .OC⊥CD OC为⊙0的半径， ∴.CD是⊙O的切线 (2)5 【分析】 【详解】(1)略 (2)设⊙0的半径长为r. 在Rt&OCD中，OC=,OD=AD-OA=18-r. OC2+CD2 =OD2. 即r2+122=(18-r)2 解得r=5,即⊙0的半径长为5. 7.【答案】(1) 如图，连接OD, B ,CD是⊙O的切线， .∠ODE=90°， OE∥AD. .∠ODA=∠DOE,∠OAD=∠BOE, .OA=OD ∴.∠ODA=∠OAD .∠DOE=∠BOE, 在△DOE和△BOE中， OD=OB ∠DOE=∠BOE OE=OE 31/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△DOE≌aBOE(SAS) ·∠ODE=∠OBE=90°， BE⊥AB, :AB为⊙O的直径， BE是⊙O的切线： (2)6 【分析】 【详解】(1)略 (2)设⊙0的半径长为T,则OA=OD=r,OC=OA+AC=r+4, 在Rt△ODC中，由勾股定理得CD2+OD2=OC2, 82+2=(r+4)2, 解得r=6, 即⊙0的半径长为6. 8.【答案】(1) 如图直线BF即为所求直线： M G水 B N (2)BF=4 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：，AB=AC, :∠ABC=∠ACB. :AB∥CE, .∠ABC=∠BCF, ∴.∠BCF=∠ACB, :点D在以AB为直径的圆上， 32/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADB=90°， ∠BDC=90°， :BF为⊙O的切线， ∠ABF=90°， :AB∥CE, .∠BFC+∠ABF=180°. .∠BFC=90°， ·LBDC=LBFC, 在△BCD和△BCF中， ∠BDC=∠BFC ∠DCB=∠FCB BC=BC :.△BCD≌△BCF(AAS). .'BF =BD=4. 9.【答案】(1)见解析 9 (3)9≤d+f≤15 【分析】 【详解】(1)证明：连接OC, A B P ,PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴.∠OBP=90° 在APOC与△POB中， PC=PB OC=OB OP=OP .aCOP≌aBOP(SSS). 33/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OCP=∠OBP=90°， PC⊥OC, OC是⊙0的半径， :.PC是⊙O的切线： (2)解：过O作OD⊥AC于D, B OD⊥AC,OA=OC ·∠0DC=90, cD=34C,∠A=4C0 2 :∠OCP=90°=∠ODC, △COP=△BOP, .∠BOP=∠COP, :∠COB=∠BOP+∠COP=∠A=∠DCO. ∴.∠DCO=∠COP, .△ODCn△PCO, CD OC 0c0p,即cD.0P=0C2, 3 :OP=34C, 4C=20P, 3 CD-OP, 3 ∴30p0p=0c2, 0c-5 OP 3 sin∠CPo=OcV5 OP 3 (3)解：连接BC, 34/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,AB是OO的直径， .∠ACB=90° .AC⊥BC, ,AC=9,AB=15, .'BC=AB2-AC2 =12, 当CM⊥AB时，d=AM,f=BM, ..d+f=AM+BM=AB=15 当M与B重合时，d=AC=9,f=0, d+f=9 :.d+f的取值范围是：9≤d+f≤15 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形 的判定和性质，圆周角定理及正确的作出辅助线是解题的关键， ◆题型3圆锥问题的相关计算 10.【答案】C 120π 【详解】解：圆锥的底面半径为6元÷2π=3” 圆锥的母线为6π÷ =9 180 .h=V92-32=6v2. 11.【答案】D 【详解】解：设该圆锥的底面半径为cm, ',圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， .2πr= 120π×40 180, 40 解得r= 3 40 即该圆锥的底面半径为3cm。 35/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.【答案】B 【详解】解：如下图所示， ,扇形的半径为6cm, ∴.AB=6cm, 1 阴影扇形的弧长是 3x2mx6= x2元×6=8m, .2πOB=8π， .OB=4, .A0=VAB2-0B2=V62-42=25cm O、 13.【答案】B 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为5+3=8， 1 对应的弧长1=2π×8×二=4元. 4 设圆锥底面半径为T,则2r=4π. r=2 14.【答案】A 【详解】解：：扇形圆心角为60°，半径为OA=OB=R ∴△OAB是等边三角形， .AB=R,∠OBA=60° 过点O作OJ⊥AB于点J, B:.d-OJ-R.sin6O=R=R R- 2 6 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 36/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60πR .2π= 180 1=6R, 圆锥如图，取底面圆的中点V,连接O”, h R ..OM=ON. .O'⊥MN, 六油勾定理得：=---- 35R-3 6 V27<√35 ② R<35 R 6 6 .d<h. 题型专练 高频重难特训 1.【答案】C 【详解】解：：CE是⊙0的直径， .∠CDE=90°， .∠BDC=20° ∴.∠BDE=∠CDE-∠BDC=70° ,四边形ABDE是⊙O的内接四边形， .∠A=180°-∠BDE=110° 2.【答案】B 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为BD的长与正方形的边长的和， ,正方形ABCD的边AB=1, .BC=1,∠BAD=90°， 37/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 90 1=2元， BD的长为180×1 :阴影部分的周长为+1 3.【答案】C 【详解】解：AC=OA=2,OC=OA, ∴.△OAC是等边三角形， .∠C0D=60°， :BC⊥OA, .∠OCD=30°， ..OD -oc-1, 在Rt△ODC中，根据勾股定理得CD=VOC2-OD2=√5， BC⊥OA, .BC=2CD=23. 4.【答案】C 【详解】解：连接OB, D B ,四边形OABC是菱形， ..OA=AB, .OA=OB=OC, .'.OA=AB=OB, ∴△AOB是等边三角形， .∠A0B=60°， 同理可得∠B0C=60°， .∠AOC=∠AOB+∠B0C=120°. ∴D-40c=60. 5.【答案】A 38/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接OC, D B.OA=OC ∴.∠OCA=∠A=22.5° ∴.∠C0D=∠0CA+∠A=22.5°+22.5°=45° 又CD⊥AB, .∠CD0=90° △COD为等腰直角三角形 设OD=x,则CD=x, 根据题意得：0D2+CD2=0C2, 即x2+x2= 解得：x=4W2,=4V2(不符合题意，舍去)， .CD=4V2」 6.【答案】B 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥OB于D, O是正多边形的中心， ∴OA、OB都是正多边形外接圆的半径，A、B是正多边形的相邻顶点，C在外接圆上， ..OA=OB=1. :∠ACB=15°，∠AOB和∠ACB是外接圆的圆心角和圆周角， .∠AOB=2∠ACB=30°， :AD=104=1 1 2 2 正多边形所有中心角和为360°， 39/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 360° :正多边形的边数为30-12，即该正多边形为正十二边形， 1 11 :SAOB=5OB·AD=5×1×5 2 24 :正=边形的面积为12，m2×子=3 7.【答案】 40°140度 【详解】解：：⊙0是△ABC的外接圆，∠ABO=50°， ..OA=OB. .∠OAB=∠AB0=50°， .∠A0B=180°-2×50°=80°， :∠ACB=∠A0B=400】 8.【答案】90 【详解】解：，俯视图呈正八边形， 360°=45°， ·正八边形的中心角为 即∠AOB=∠B0C=∠COD=45°， :△OCD是由△OAB绕着点O按逆时针方向旋转得到的， ∴.线段OA旋转后的对应线段为OC,线段OB旋转后的对应线段为OD, .旋转角为∠AOC, ∴.旋转角∠AOC=∠A0B+∠B0C=45°+45°=90°. 9,9π 9.【答案】2+4 【详解】解：记AB与半圆O交于点C,连接OC,如图所示. A B 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，∠OAC=45°， 40/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S阴影=S半圆0-S号形4C=S半圆0-S号形AC=S,0ac+S形08C, ..OA=OC. ∴.∠0AC=∠0CA=45° ∴.∠BOC=∠0AC+∠OCA=90°，∠AOC=90°， :AB=6, ∴.0A=OC=3, n影=50c+Snoc=x3x3+ 90π×32_99m 2 36024 10.【答案】13 【详解】解：设OB=x, :圆锥的侧面展开图的弧长为10π， ∴，该圆锥的底面圆的周长为10π， .2x=10π， ∴.x=5, .0B=5, 在RIAABC0中，由勾股定理得AB=√OA+OB2=V122+52=13. 11.【答案】(1)45° (2)2 【分析】 【详解】(1)解：：AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ..AB=BC, ∠B1c=∠8C4-080-∠4BC)-x080-90)=45, :在⊙O中，BC所对的圆周角为∠BAC、∠BDC, ∴.∠BDC=∠BAC=45°： (2)解：如图，过点C作CK⊥BD于点K, 41/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :AE⊥BD, .∠CKD=LBKC=∠AEB=90°， 由(1)知：∠ABC=90°，∠BDC=45°， ∴.∠CBK=90°-∠ABE=∠BAE, ∠DCK=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC, .DK =CK. 在△BCK和△ABE中， ∠CBK=∠BAE ∠BKC=∠AEB, BC=AB .△BCK≌AABE(AAS). ..CK=BE=2, DK=CK=√2， 在R△CDK中，CD=VDK2+CK=2+(2=2, 即CD的长为2. 12.【答案】(1)解：FC与⊙0相切.理由如下： 如图，连接OC, D :BD与⊙O相切于点B,, ∴OB⊥BD,即∠OBD=90°， :AB为⊙O的直径， .∠ACB=∠DCB=90°， E是BD的中点， 42/45 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .CE=BE=BD, ∴.∠ECB=∠EBC, ..OB=OC, .∠OCB=∠OBC, ∴.∠OCE=∠OBD=90°，OC⊥FC, .OC是⊙0的半径， :.FC与⊙O相切： 4V5 (四BF=25:00的半径为 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：：BD=8,∠DCB=90°，E是BD的中点， ÷CE=BE=BD=4. 2 EF 3 BE2’ .EF=6, .FC=EF-EC=6-4=2, 在RteFBE中，BF=√EF2-BE2=V6-42=25, 由(1)得∠OCF=∠ABD=90°， 设OC=x,则OF=BF-OB=25-x, .OF2=0C2+FC2, :(25-x=x2+2, 4v5 解得：x= 5 ,4v5 “·00的半径为5 13.【答案】(1)V41+1 (2)18 【分析】 43/45 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, B ,OE⊥AB, .AE=BE=AB=7, 2 .CE=BE-BC=7-4=3, 在Ra40E中，0E=VOA-AE=52)-72=-1, :OE⊥AB,OF⊥CD,CD⊥AB, .∠OEC=∠OFC=∠ECF=90°. ∴四边形OECF是矩形， ∴CF=OE=1,OF=CE=3, 在RtAOFD中，DF=VOD-OF2=52-32=V④， ..CD=DF+CF=41+1; (2)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, D B 同(1)得AE=7,CF=1,四边形OECF是矩形， 设CE=a,DF=b,则OF=CE=a, ..AC+CD=AE+CE+CF+DF=7+a+1+b=8+(a+b), 故求AC+CD的最大值，只需求a+b的最大值， 在Rta0FD中，OF2+DF2=OD2,即a2+b=(52=50, (a-b)2≥0，即a2-2ab+b2≥0， .50-2ab≥0，即2ab≤50， 44/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .50+2ab≤100 :.(a+b)}2=a2+2ab+b2=50+2ab≤100，即a+b≤10， ∴当且仅当a=b时，a+b取得最大值，最大值为l0, ∴.AC+CD的最大值为8+(a+b)=8+10=18 45/45函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1圆的基本认识 题型2点与圆的位置关系问题 题型3弧、弦、角的关系 题型4三角形的外接圆问题 题型5圆周角定理的有关计算 题型6圆内接四边形 题型7直线与圆的位置关系 题型8切线长定理 题型9切线的判定 题型10正多边形与圆 题型11扇形的弧长和面积公式 目核心提升：重难题型归纳 题型1垂径定理 题型2切线的判定与性质 题型3圆锥问题的相关计算 目综合攻坚知能拔高 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型01圆的基本认识 1.在⊙0中，最长的弦是5cm,则⊙0的半径为() A.2cm B.2.5cm C.5cm D.10cm 【答案】B 【详解】解：，在⊙0中，最长的弦是5cm, 1/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .⊙0的直径为5cm, ∴.⊙0的半径为5÷2=2.5(cm) 2.下列说法中，不正确的是() A.圆是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C.圆的对称中心只有一个 D.圆的对称中心有无数个 【答案】D 【详解】解：圆是中心对称图形，对称中心为圆心且仅有1个，故A、C正确，D错误， 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，故B正确， 3.周长为6.28cm的圆，面积为cm2.(元取3.14). 【答案】3.14 【详解】解：已知圆的周长C=6.28cm,π=3.14. 由圆的周长公式C=2r,可得圆的半径 r=C6.28 =1cm 2π2×3.14 由圆的面积公式S=πr2,代入r=lcm,π=3.14得 S=3.14×12=3.14cm2 4.一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是12.56厘米，那么圆的直径是 厘米 (π取3.14). 【答案】16 【详解】解：正方形的周长为：4×12.56=50.24， 因此圆的周长为50.24厘米，设圆的直径为d,根据圆的周长公式C=πd,可得： d=C=50.24 π3.14 6， 故答案为：16 ◆题型02点与圆的位置关系问题 5.下列关于三角形外心的说法中，错误的是() A.三角形的外心到三个顶点的距离相等 B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C.等腰三角形的外心在三角形内 2163 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确. B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确， C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误 D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确， 6.如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边 AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为11O°，连接CD.那么∠ACD的度数为() -0 D A.55 B.45° C.35 D.25° 【答案】C 【详解】解：如下图所示，连接OD、OC, :点D在量角器上对应的刻度为110°， ∴∠AOD=180°-110°=70°， 由图可知点O是AB的中点， ∴点O是△ABC外接圆的圆心， ∴.OA=OB=OC=OD. ∴.点A、B、C、D四点共圆， ∠ACD=}∠A0D=x70°=350， 2 3163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 211109 543210 B 9 D 7.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4,那么△ABC的外接圆半径为() A.5 B.3 C.2 J D.2 【答案】D 【详解】解：AC2+BC2=32+42=25,且AB2=52=25, .AC2+BC2 AB2, ∴∠C=90°，则△ABC是直角三角形， :直角三角形的外接圆直径等于斜边长， a1BC的外接圈半径为B=×5= 1 2 2 8.如图，在平面直角坐标系xO中，己知点A(-2,),B(0,1),C(1,0),写出△ABC的外接圆的圆心坐标 为 B 43219 12 【答案】（-1，) 【详解】解：分别作线段AB,BC的垂直平分线，如图所示： .由坐标系可知：△ABC的外接圆的圆心坐标为(-1,1)： 4/63 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为(-1,1)】 9.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6N2,则此三角形的重心与外心之间的距离为： B 【答案】2 【分析】 【详解】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，D1为所求， D :等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6N2, ∴.BC=√2AB=12 :直角三角形的外心是斜边的中点， 0ac=6 .I是△ABC的重心， ∴.I是三角形三条中线的交点， .DI=5CD=2, 故答案为：2. 10.在正方形网格中建立如图所示平面直角坐标系xO,⊙M经过网格点A(0,4),B(4,4),C(6,2).仅利用 无刻度直尺作图： (1)在网格中作出该圆圆心M的位置，点M坐标为 (②)过点C做⊙M的切线，与x轴交于点D,点D坐标为 5163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】() 解：如图所示，点M即为所求，则点M的坐标为(2,0)： M (②(7,0) 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图所示，连接MC,过点C作CT⊥x轴于点T, 1, 由切线的性质可得MC⊥CD, ∴.∠MCT=90° CT⊥x轴， .∠CTM=∠CTD=90°， ∴.∠TMC+∠TCM=∠TCM+∠TCD=90°， :.∠TMC=∠TCD ∴.△TMC∽△TCD TM TC .TCTD' .M(2,0),C(6,2). .TM=6-2=4,TC=2. 42 2-TD ∴.TD=1, 6163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OD=OT+TD=6+1=7, .D(7,0) ◆题型3弧、弦、角的关系 11.已知⊙0的半径为l0cm,点A为平面内一点，且OA=8cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在⊙0上B.点A在⊙O内 C.点A在⊙0外 D.无法判断 【答案】B 【详解】：⊙O的半径r=10cm,点A到圆心O的距离OA=8cm, :.OA<r. ∴点A在⊙0内. 12.己知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为√2，点B所表示的实数为b,作 以A为圆心，2为半径的⊙A,若点B在⊙A外，则b的值可能是() A.-1 B.0 C.2 D.3 【答案】A 【详解】解：，点B在⊙A外， .AB>2 :点A、B在数轴上，分别表示√2和b, :.AB=b-V2. :b-V2>2 .b>2+V2或b<V2-2. 2>1, ∴2+V2>3,V2-2>-1, ∴.b的值可能是-1. 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.分别以B、C为圆心，BC长为半径作圆B、圆C,下 列关于点A的位置描述正确的是() A.在圆B外部，在圆C外部 B.在圆B外部，在圆C内部 C.在圆B内部，在圆C内部 D.在圆B内部，在圆C外部 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, 7/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V32+42=5, 对于圆B,圆心为B,半径B=BC=4, :AB=5>4=B,点A在圆B外部， 对于圆C,圆心为C,半径心=BC=4, AC=3<4=,.点A在圆C内部. 14.平面上有⊙0及一点P,P到⊙0上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙0的半径为()cm. A.4 B.2或4 C.3或2 D.4或3 【答案】B 【详解】当点P在⊙0外时， ,点P到⊙O上点的最长距离为6cm,最短距离为2cm, :.⊙0的直径为6-2=4cm,半径为4÷2=2cm 当点P在⊙O内时， :点P到⊙0上点的最长距离为6cm,最短距离为2cm, “⊙0的直径为6+2=8cm,半径为8÷2=4cm. 因此⊙0的半径为2cm或4cm ◆题型04三角形的外接圆问题 15.在⊙O中，圆心角∠AOB=2∠COD,则弦AB与弦CD的关系是() A,AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.不能确定 【答案】C 【详解】解：如图，作∠AOB的平分线OE,交⊙O于点E,连接AB、CD、AE、BE, D E 则∠AOB=2∠AOE=2∠BOE, ∠AOB=2∠COD. ∴.∠AOE=∠BOE=∠COD ,在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， 8163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AE=BE=CD 在△ABE中，AE+BE>AB, .CD+CD>AB,即AB<2CD 16.如图，在⊙0中，AB=CD,∠1=30°，则∠2=一 B 【答案】机网30° 【详解】解：在⊙O中，AB=CD, .BD=AC. .∠1=∠2， ∠1=30°， 即∠2=30° I7.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于点D,DP⊥AC,垂足为P,DH⊥BC,垂足 为H,有下列结论：①CH=CP;②AD=BD;③AP=BH;④AB=BC.其中一定成立的结论有() D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：，CD平分∠ACH,DP⊥AC,DH⊥BC ∴.DP=DH .DC=DC :.Rt△DPC≌Rt△DHC(HL) CH=CP,故①正确： 连接BD, 9163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 B :DP⊥AC,DH⊥BC ∴.∠DPA=∠DHB=90° ,I=∠2，DP=DH :.△DPA≌△DHB(AAS) ∴.DB=DA,AP=BH ∴.AD=BD,故②、③正确： 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个. 18.如图，在⊙0中，AB=AC,∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. B 【答案】证明：，AB=AC, ∴.AB=AC :∠ACB=60°， ∴，△ABC是等边三角形. .'AB=BC=CA, .∠AOB=∠BOC=∠AOC. 【详解】略 19.(第二十九章圆高效同步练习29,2.2圆心角)如图所示，⊙0的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点 P,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,AC=BD.求证：四边形OEPF是正方形. 10/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】证明：连接OA、OD,如图 AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD, ∴.四边形OEPF是矩形， AC=BD .AC+BC=BD+BC,AB=CD, .AB=CD OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, .AE=1AB,DF=CD. 2 .AE=DF, .OA=OD,OE2=0A2-AE2,OF2=OD2-DF2. ∴.OE=OF, ∴.四边形OEPF是正方形. 【详解】略 ◆题型05圆周角定理的有关计算 20.如图，点C在弧AB上，点D在半径OA上，则下列结论正确的是() 4<DC8+号<0=180 B.ACB+50=180 C.∠ACB+∠O=180° D.∠CAO+∠CBO=180 11/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：在优弧AB上取点E,连接AE,BE, E <0= .∠ACB+∠E=180° :∠4CB+0=180,故B正确，C错误 由题意得，∠DCB<∠ACB, :∠DCB+号0<1S0,故A错误： :∠CAE+∠CBE=180°，∠CAO+≠∠CAE,∠CBO≠∠CBE .∠CAO+∠CB0≠180°，故D错误. 21.如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是⊙0上的三点，∠B=112°，则∠E的度数为() A.20° B.22° C.30° D.32° 【答案】B 【详解】解：连接BD, D E :AD是OO的直径， .∠ABD=90°， :∠ABC=112°， 12/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBD=112°-90°=22°， :∠E与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， .∠E=∠CBD=22 22.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧BC上一点，连接BD,AD,OC, ∠AOC=58° (I)求∠ADB的度数. (2)若OE=3,OA=5,求BC的长. 【答案】(1)29° (2)8 【分析】 【详解】(1)解：连接OB. :OA⊥BC,且OA为OO的半径， .BE=EC,AB=AC. :∠AOC=58°， .∠B0A=∠A0C=58°， ∠ADB=∠B0A=290】 (2)解：，OB=OA=5,OE=3, .BE=VOB2-0E2=V52-32=4, ∴.BC=2BE=8 23.(第二十九章追梦综合演练卷)如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC,垂足为点E,且AB 13/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与AC的长度为方程x2-9x+18=0的两个根(AB>AC),⊙0是△ABC的外接圆. (1)求⊙0的半径： (2)计算BE的长。 【答案】(1)3√2 a 【分析】 【详解】(1)解：连接OB, E 解方程x2-9x+18=0,得x=3,3=6, ∴.AC=3,AB=6, .∠AOB=2∠C=90° ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴.0B2+OA=AB2,即20B2=62, ∴.OB=3V2.即⊙0的半径为3V2 (2)解：∠C=45°，AE⊥BC, ∴△AEC为等腰直角三角形， 由勾股定理得1E=32 2 E=48-AG- 24.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD经过⊙O的圆心O,过点A作AE⊥CD,与 14163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD的延长线交于点E,且DA平分∠BDE. DE (I)求证：∠ABO=∠EAD: (②)过点O作OH⊥CD于点H,连接OA,若⊙0的半径为5，求EH的长. 【答案】(1)证明：BD是OO的直径， .∠BAD=90°， .∠ABO+∠ADB=90°. DA平分∠BDE, .∠ADB=∠ADE, ·AE⊥CD, .∠AED=90°， ∴.∠EAD+∠ADE=90°， ∴.∠ABO=∠EAD: (2)EH=5 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：由题意可得，OB=OA=5, ∴.∠ABO=∠BAO ∠ABO=∠EAD, ∴.∠BAO=∠EAD, ∠BAD=90° .∠BAO+∠0AD=90°， ∴.∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°， AE⊥CD,OH⊥CD, ∴.四边形AOHE是矩形， .EH=OA=5 ◆题型06圆内接四边形 15/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.如图，AB为⊙O的一条弦，且AB=8,∠AOB=120°，C为劣弧AB上一点，连接AC,BC,则 ∠ACB的度数为 【答案】120°/120度 【详解】解：在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD. D C .'∠AOB=120° ∠ADB= 2∠40B=60, ~四边形ACBD内接于⊙0， .∠ACB+∠ADB=180° ∠ACB=180°-60°=120°， 26.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=120°，则∠DAE 的度数是 【答案】30° 【详解】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BAD+∠BCD=180°，（圆内接四边形对角互补） 又∠BCD=120°， ∴.∠BAD=180°-∠BCD=60°， :BE是⊙O的直径， 16/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=90°， ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-60°=30° 27.如图，AD是⊙O的直径，点B,C在⊙O上，若∠ADB=15°，则∠BCD的度数为 D 【答案】105° 【详解】解：AD是⊙O的直径， .∠ABD=90°， .∠BAD=90°-∠ADB=75°， :四边形ABCD是圆内接四边形， .∠BCD+∠BAD=180°. .∠BCD=105° 28.己知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.求证：AD平分∠EAC. D 【答案】证明：：∠BAD+∠BCD=180,∠EAD+∠BAD=180°， .∠EAD=∠DCB .BD DC. ∠DBC=∠DCB 又：∠DBC=∠DAC, ∴∠EAD=∠DAC, 即AD平分∠EAC, 【详解】略 ◆题型07直线与圆的位置关系 29.⊙0的半径为r,某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d,则（) A.d=r B.d<r c.d≥r D.dsr 17/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】解：，直线与⊙0有公共点， ∴.直线与圆相交或相切. ,直线与圆相交时d<r,相切时d=r, d≤r 30.以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y=-x+b与⊙0相交，则b的取值范围是() A.0≤b<22 B.-4V2≤b≤4V2 C.-22<b<2N2 D.-4V2<b<42 【答案】D 【详解】解：当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在y=-x+b中，令x=0时，y=b,则与y轴的交点是B(0,b), 当y=0时，x=b,则与x轴的交点是A(b,0), 则OA=OB=b,即aOAB是等腰直角三角形， 在RtAOAB中，AB=VOA+OB2=Vb+b2=√2b, 连接圆心O和切点C,则OC=4,OC⊥AB, :S0=040B=0CAB. 2 2 4=01-0Bb6 AB√2b: 则b=42; 同理，当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-42: 则若直线y=-x+b与⊙0相交，则b的取值范围是-4v2<b<4V2 31.如图，∠0=30°，P为边OA上的一点，且OP=5,若以P为圆心，T为半径的圆与射线OB只有一个 公共点，则半径r的取值范围是() 18/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、B 0 A.r=5 B.r=2 C.2≤r<5 D.r= 2或，>5 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作PC⊥OB于点C,则PC-OP 2 2 5 即当=2时，此时OP与射线OB只有一个公共点： 、B 如图，当r>5时，则⊙P与射线OB只有一个公共点，此时r>5; B 综上，当 2或r>5时，⊙P与射线OB只有一个公共点. 32.⊙0的直径为l5cm,若圆心0与直线l的距离为7cm,则l与⊙0的位置关系是 【答案】相交 【详解】解：⊙O的直径为l5cm, 15 :00的半径r=2 =7.5(cm), :圆心O与直线I的距离d=7cm, ∴d<r, .直线1与⊙0的位置关系是相交 ◆题型08切线长定理 33.如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆 的切线，与半圆相切于点F,与DC相交于点E,则△ADE的面积为() 19163 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 0 A.12 B.24 C.8 【答案】D 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ∴.AB⊥BC,DC⊥BC, .AB,DC是圆O的切线， :AE与圆O切于点F, 根据切线长定理有AF=AB=4,EF=EC, 设EF=EC=x, 则DE=4-x,AE=4+x, 四边形ABCD是正方形， ∠ADE=90°， ∴三角形ADE是直角三角形， 在三角形ADE中由勾股定理得： (4-x)2+42=(4+x)2, x=1, ∴CE=l, .DE=4-1=3, SDE=ADDE÷2=3×4÷2=6 34.如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC是OO的直径，若∠OAB=21°，则∠P= B 【答案】42°42度 【详解】解：，PA是⊙O的切线，A为切点，∠OAB=21°， 20/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAP=90°， ∠BAP=90°-21°=69°， :PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， .'PA=PB, ∴.∠ABP=∠BAP=69°. .∠P=180°-69°×2=42° 35.如图，PA、PB切⊙O于点A、B,PA=10,则PB=:CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、 D两点，则aPCD的周长是 【答案】 10 20 【详解】解：，PA、PB切⊙O于点A、B, ∴PA=PB=10 又，CD切⊙O于点E .'.CA=CE,DB=DE, ∴CD=CE+DE=CA+DB. ∴.△PCD的周长为PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=20 36.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,已知AF=6,CF=5,AD=3BD,则△ABC 的周长为 0 D B 【答案】26 【详解】解：⊙0是直角△ABC的内切圆，且AF=6,CF=5, .AD=AF=6,CE=CF=5,BE=BD, AD=3BD, ∴.BE=BD=。AD=2. 3 21/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC的周长为AB+BC+AC=AF+CF+CE+BE+BD+AD=26, 故答案为：26」 37.如图，已知P为圆O外一点，PA,PB为⊙O的切线，切点为A、B,AC是OO直径， (I)说明BC∥PO: (2)若AP=2,OP=V5,求BC长. 【答案】() 证明：如图所示，连接AB交OP于点M,连接BO, :PA,PB是⊙O的切线， .PA=PB, ..OA=OB, ∴.PO垂直平分AB, ∠AM0=90°， ·AC是⊙O的直径， .∠CBA=90°， :.∠CBA=∠AMO, ..BCIOP; V5 05 【分析】 【详解】(1)略； (2):AP=2,OP=V5,∠PA0=90° ∴.A0=√P02-AP2=1, 22/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:∠AOP=∠MOA,∠PAO=∠AMO=90 .△PAOP△AMO A0 PO 1V5 ÷M0A0,即 MO 1 Mo=⑤ 5 ,PO垂直平分AB, .AB⊥OP,AM=BM, .OA=OC, .OM为△ABC中位线， ∴.BC=2MO= 25 5 【点睛】此题考查了切线长定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关 键是掌握以上知识点 ◆题型09切线的判定 38.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙0与直 线AO交于E、D两点. 求证：AB是⊙O的切线： 【答案】证明：如图，过点O作OH⊥AB于H, 是 的角平分线， C :∠ACB=90°AO△ABC ∴.OC=OH :O为圆心，OC为半径， 23/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AB是⊙O的切线 【详解】略 39.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点M,MN L AC于点N.求证：MN是 ⊙O的切线 A M 【答案】证明：连接OM, AB=AC, ∠B=∠C, :以AB为直径的OO交BC于点M, ..OB =OM, .∠B=∠OMB ∴.∠OMB=∠C, .OM I AC MN⊥AC, OM⊥MN ,OM是⊙0的半径， MN是⊙O的切线. M 【详解】略 40.如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙O上一点且与点C位于AB两侧， AD=CD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,连接CD. 24163 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C (L)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线： 【答案】(I)∠DCB=20° (②)证明：如图所示，连接OD, D E C .·DE⊥CB ∠E=90°， ∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70°， BD=BD ∴.∠DAB=∠DCE=20°. .OA=OD .∠ODA=∠OAD=20°， ∴.∠ODC=∠ADC-∠AD0=40°-20°=20°， ∴.∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°，即OD⊥DE, 又：OD是⊙0的半径， DE是⊙O的切线. 【分析】 【详解】(1)解：如图所示，连接AD, AC=AC,∠ABC=40°， D B .∠ADC=∠ABC=40° 25163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CD, .∠DCA=∠DAC=180°-∠ADC=180-40 -=70° 2 :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20°： (2)略 41.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是BC的中点.过点D作DE⊥AC交AC的延长 线于点E.四边形ACFG内接于⊙O，CF是⊙O的直径，连接AF,CG. G D (1I)若AC=BC,求∠BAC的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线. 【答案】(1)∠BAC=45° (②)证明：如图，连接AD,BC. G D :点D是BC的中点， .OD⊥BC, ∠ACB=90°， :OD‖AC, ,DE⊥AC, .OD⊥DE, OD是⊙0的半径， 26163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE是⊙O的切线. 【分析】 【详解】(1)解：如图，连接BC. D :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° AC=BC, :.AC=BC, 则△ABC是等腰直角三角形. .∠BAC=45°： (2)略 ◆题型10正多边形与圆 42.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,⊙O的直径为DM,连接AM,BM,CM,EM.小慧、小丽 经过探索，分别得到以下结论，小：MC3；小丽：+，下列关于两人结论的判斯中 正确的是() D E A.小慧和小丽的结论都正确 B.小慧和小丽的结论都错误 C.小慧的结论正确，小丽的结论错误 D.小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 27163 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【详解】 解：连接OA,OB,OC,OE,OA交EM于点N, :正五边形ABCDE内接于⊙O, .AB=BC=CD=DE=EA, ∠B0C=∠C0D=∠A0B=∠A0E=2x360=72, 、.∠BMC=∠BOC=2×72=36 2 故小慧的结论正确： AB=BC=CD=DE=EA. :.DA=DB,OO的直径为DM, .DM⊥AB,点M是AB的中点 .MA=MB ∴.ME=MC 即EM=CM,MA=MB, ∠A0M=∠B0M-40B=5x72r=36 2 ∴.∠EOM=∠EOA+∠AOM=72°+36°=108°， 又OE=OM, :∠0EM=180°-∠E0M-180°-108 =36°」 2 2 :∠EN0=180°-∠E0N-∠0EN=180°-72°-36°=72°=∠E0N, .EN=EO=OM, 又0A=OM,∠AOM=36°， .∠0AM=∠OMA=72°， 又LMNA=∠ENO=72°， .∠MAN=∠MNA=72°， 28/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MA=MN, AM OM AM+OM MN+EN EM .CM EM EM EM EM =1, 故小丽的结论正确， 故选：A 【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定 理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键 43.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB=15°，则该正多边形的边数为 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为⊙O,连接OA,OB. B A .·∠ADB=159 ∠AOB=2∠ADB=30°， 而360°÷30°=12. .这个正多边形为正十二边形. 4.作图与证明：如图，己知⊙0和⊙0上的一点A,请完成下列任务： (1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF: (2)连接BF,CE.判断四边形BCEF的形状并加以证明. 29163 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)解：如图，正六边形ABCDEF即为所求； (②)解：四边形BCEF是矩形，理由如下， 如图，连接OE, 六边形 是正六边形， B ABCDEF ∴，AB=AF=DE=DC,FE=BC .AB=AF=DE=DC, BF=CE, :BF=CE, .EF =BC, ∴.四边形BCEF是平行四边形 ·∠E0D=360 6 =60°，0E=0D' ∴.△EOD是等边三角形， .∠OED=∠ODE=60° ∴.∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°. DE DC. .∠DEC=∠DCE=30°， ∴.∠CEF=∠DEF-∠CED=90°， ∴平行四边形BCEF是矩形. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 30163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45.如图，⊙O与正六边形ABCDEF相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹. E 】 (I)作∠ABC的角平分线： (2)过点O画一条直线将图形分成面积相等的两部分. 【答案】()如图，BE即为所求： G B (2)如图，直线OG即为所求. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 46.如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点M, B ()写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）： 31/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：BM2=BE·ME 【答案】()△ABE,△ADE,△ABM,aDME,△AME (2)证明：：∠AEM=∠AEM,∠DAE=∠ABE=36°， .△EAMP△EBA, AE、ME BEAE’ .AE2=BE·ME, 由(1)可知，AE=AB=BM, .BM2=BE·ME 【分析】 【详解】(I)解：：五边形ABCDE为正五边形， ∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=LAED=o=108°，AB=AE=DE. 5 ·.∠ABE=∠AEB=∠DAE=∠ADE=180°-108 2 =36°，AABE,△ADE,AAME都是等腰三角形， .∠BAM=∠BAE-∠DAE=72°，∠DEM=∠AED-∠AEB=72°， ∴.∠AMB=180°-∠BAM-∠ABE=72,∠DME=180°-∠DEM-∠ADE=72, :.∠BAM=∠AMB,∠DME=∠DEM. .AB=BM,DM=DE ·.△ABM,aDME都是等腰三角形. (2)略 ◆题型11扇形的弧长和面积公式 47.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为() A.200° B.160° C.120° D.80° 【答案】B 【详解】解：设圆心角为°，根据题意，得 8n=nnx9 180· .n=160 即这条弧所对的圆心角为160° 48.如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在弧AB上的点C处，则图中阴 32/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 影部分的面积为 O 4 【答案】3π-25 【详解】解：连接OC,交AB于点D, C B 由折叠的性质可知，AC=OA,BC=BO, :点O恰好落在弧AB上的点C处， OA、OB、OC为扇形的半径， .0A=0B=OC=2, ∴.在△AOC中，AC=OA=OC=2, ∴.△AOC是等边三角形， .∠AOC=∠OAC=∠AC0=60°， 同理，△BOC是等边三角形， :.∠BOC=∠OBC=∠BCO=60°， ∴，四边形AOBC是菱形，扇形的圆心角∠AOB=∠BOC+∠AOC=120°， AB⊥OC. 120 扇形的面积=360 .∠ABC=30°，∠BDC=90°， CD=2BC=1,BD=BC-CD=2- .AB=2BD=25, 菱形406C的面积=2S.c=2x)×2V3×1=25 2 33163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 阴影部分的面积_扇形的面积_菱形AOBC的面积--25. 4 49.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分.历来中国有“制扇王国”之称.折扇 是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾.如 图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC夹角为l50°，AB的长为l8cm,BD的长为cm,则DE 的长为 cm 15 【答案】2π 【详解】解：：AB=18cm,BD=9cm,∠DAE=150°. .'AD =9cm, 150×π×915 :DE的长为180 2(cm) 50.如图，AB是⊙O的直径，AD是OO的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C,AD=DC=1. A (I)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)√2 、3π ②48 【分析】 【详解】(1)解：连接BD, 34163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .LBDC=90°， :BC与⊙O相切于点B, 、AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， ..AD CD=1, BD=24C=1, :.在RtABCD中，BC=VCD2+BD2=V1?+1P=√2. (2)解：连接OD A B .AD=CD OA=OB OD /BC. OD=- BCs② 2 2 :∠ABC=90°， .∠BOD=90°， 90π× 2 S影=S特形O0CB一S前形0DB= 3元 22 2 360 48 51,如图，AB为⊙O的直径，射线AD交OO于点F,点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD,垂 足为E,连接AC. 35163 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：CE是⊙O的切线： (2)若∠BAC=30°，AB=4,求阴影部分的面积. 【答案】(1)证明：连接BF,OC, B ,AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°，即BF⊥AD, CE⊥AD ∴.BF∥CE, ,点C为劣弧BF的中点， .OC⊥BF, BF∥CE, ∴.OC⊥CE. ,OC是⊙0的半径， ∴.CE是OO的切线. 2 (②)5π 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：连接OF,CF, 36163 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OA=OC,∠BAC=30°， .∠BAC=∠OAC=30°， .∠B0C=60°， :点C为劣弧BF的中点， , .FC=BC ∴.∠FOC=∠B0C=60°， ..OF =OC, ∴△FOC是等边三角形， .∠0CF=60°， .∠OCF=∠BOC, CF∥AB, .S△AcF=S△coF, .S阴影=S扇形FoC, AB=4, ..OF=OC=OB=2. 60元×222 ∴.S扇形FOC= 360 3， 2 即阴影部分的面积为；π· 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法 是解答此题的关键。 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1垂径定理 1.如图，⊙0的直径AB与弦CD相交于点P,且∠APC=45°，若PC2+PD2=16,则⊙0的半径为 37/63 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】2W2 【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E,连接OC,如图所示： E OP D 则CE=DE, :LAPC=45°， .∠EOP=90°-∠OPC=45°， .∠EOP=∠OPE ∴.EP=OE, ..PC2+PD2=(CE+EP)+(DE-EP) CE2 +2CE.EP+EP2+DE2-2DE.EP+EP2 =2CE2+2EP2 =2(CE2+Ep2） =2(CE2+0E2） =20C2, PC2+PD2=16, .20C2=16, .0C2=8, .0C=22,负值舍去， 即⊙0的半径为2√2 2.如图，△ABC内接于⊙0，过点O作OD⊥AB交⊙0于点D,连接AD,若∠D=54°，则∠C的度数 为 38163 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】72°172度 【详解】解：连接OA,OB :过点O作OD⊥AB交OO于点D, ∴.AD=BD, 太∠AOD=∠BOD=∠AOB 2 0A=0D,∠D=54° .∠0AD=∠D=54°，∠A0D=180°-2×54°=72°， .∠A0B=144°， <C=5408=2: 故答案为：72° 3.有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画.如图1，大观河上的这座圆弧形拱 桥建于上世纪70年代.图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米. B 0 图1 图2 39/63 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求圆弧所在的圆的半径r的长： (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取 紧急措施？ 【答案】(1)34米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】 【详解】(1)解：连接OA, 由题意得：4D=方4B=30米，OD=-18米。 在RtAD0中，有r2=30+(-18)2,解得r=34米： (2)解：连接OA'. OE=OP-PE=30米， .在Rt△AE0中，AE=VA'O2-OE2=16(米)， .AB=32米 AB=32>30, ∴.不需要采取紧急措施 4.如图，AB是⊙0的弦，0C1AB于点C,交⊙0于点D,点E在⊙0上. B O (I)若∠AOD=50°，求∠DEB的度数； (2)若OC=3,OD=5,求AB的长. 【答案】(1)25 (2)8 【分析】 40/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：OC⊥AB, .AD=BD DEB-ZAOD-7x50-25 (2)0A=0D=5, 在Rt△AOC中，AC=VOA2-OC2=V52-32=4, OC⊥AB, ∴.AB=2AC=8 ◆题型2切线的判定与性质 5.如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点，且AE=DE,过点E作 EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G. G (1)求证：GF是⊙0的切线： (2)若AG=6,GE=6V2,求△GOE的面积. 【答案】(1) 证明：如图，连接OE, B .AE=DE, ∴.∠1=∠2， .OE=OB, 41./63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠2=∠3， .∠1=∠3， OE∥BF, :BF⊥GF,点E在⊙O上， ∴.OE⊥GF .GF是⊙O的切线： (2)9√2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：设OA=OE=r, :GF是⊙O的切线， .∠OEG=90° 在Rt△GOE中，AG=6,GE=6N2, 0G2=GE2+0E2,即(6+r)}=(6N2+r2, 解得：r=3, 即OE=3, .SAGOE 0EGE=*3x65=w5, :△G0E的面积为92 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切 线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直 6.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙0上，点D在AB的延长线上，过点D作DE上AC,交AC的延长 线于点E,且∠A=∠CDE, E (1)求证：CD是⊙O的切线. (②)若AD=18,CD=12,求⊙0的半径长. 【答案】(1) 42/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图，连接OC 万 B .OC=OA, ∴∠A=∠ACO :∠A=∠CDE, .∠CDE=∠ACO. DE⊥AE, :∠CDE+∠ECD=90°， .∠AC0+∠ECD=90°， .∠OCD=180°-（∠ACO+∠ECD)=90°， ∴.OC⊥CD OC为⊙0的半径， ∴.CD是⊙O的切线. (2)5 【分析】 【详解】(1)略 (2)设⊙0的半径长为r. 在RtAOCD中，OC=r,OD=AD-OA=18-r, 0C2+CD2=0D2, 即2+122=(18-r)2 解得r=5,即⊙0的半径长为5 7.如图，AB为⊙O的直径，点D为圆上任意一点，过点D作OO的切线CD交直径BA的延长线于点C, 过点O作OE∥AD交CD的延长线于点E,连接BE. 43/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：BE是⊙O的切线： (2)若CA=4,CD=8,求⊙0的半径长. 【答案】(1) 如图，连接OD, E ,CD是⊙O的切线， ∴.∠ODE=90° ,OE∥AD, ∴∠ODA=LDOE,∠OAD=∠BOE, .OA=OD .∠ODA=∠OAD, ∴∠DOE=∠BOE, 在△DOE和△BOE中， OD=OB ∠DOE=∠BOE OE=OE .△DOE≌aBOE(SAS), ∴.∠ODE=∠OBE=90°. ∴BE⊥AB, ,AB为⊙O的直径， 44/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE是⊙O的切线： (2)6 【分析】 【详解】(1)略 (2)设O0的半径长为r,则OA=OD=r,OC=OA+AC=r+4, 在Rt△ODC中，由勾股定理得CD+OD2=OC2, 82+r2=(r+4), 解得r=6, 即⊙0的半径长为6 8.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交边AC于点D,连接BD,过点C作CE∥AB, B E ()请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；(不写作法，保留作图痕迹，标 明字母) (2)在(1)的条件下，若BD=4,求BF的长. 【答案】() 如图直线BF即为所求直线： M D N (2)BF=4 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：：AB=AC, 45/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠ACB, :AB∥CE, ∴∠ABC=∠BCF, ∠BCF=∠ACB, :点D在以AB为直径的圆上， .∠ADB=90°， .∠BDC=90°， :BF为OO的切线， .∠ABF=90° :AB∥CE, .∠BFC+∠ABF=180°， .∠BFC=90°， .∠BDC=∠BFC, 在△BCD和△BCF中， ∠BDC=∠BFC ∠DCB=∠FCB, BC=BC .△BCD≌△BCF(AAS). ∴.BF=BD=4. 9.已知AB是OO的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，PB=PC,M是直径AB上的动点，A与 直线CM上的点的连线距离的最小值为d,B与直线CM上的连线距离的最小值为f (1)求证：PC是⊙0切线. (2)设OP =34C,求∠CP0的正切值. (3)设AC=9,AB=15,求+f的取值范围 【答案】(1)见解析 46/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g 3 (3)9≤d+f≤15 【分析】 【详解】(1)证明：连接OC, :PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， .∠OBP=90°， 在△POC与△POB中， PC=PB OC=OB OP=OP .aCOP≌aBOP(SSS). .∠OCP=∠OBP=90° .PC⊥OC, .OC是⊙0的半径， ∴PC是⊙O的切线： (2)解：过O作OD⊥AC于D, B :OD⊥AC,OA=OC, 六∠0DC=90,CD= 24C,∠A=∠AC0 .∠0CP=90°=∠0DC, aCOP≌△BOP, 47163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BOP=∠COP, :∠COB=∠BOP+∠COP=∠A=∠DCO, ∴.∠DCO=∠COP, .△ODCr△PCO, CD OC 0c0P,即cD.0P=0C2 ..OP= :.AC-OP, 3 .cp-oP OP.OP=OC 0C5 sin∠CPo=Oc=V3 OP 3 (3)解：连接BC, B :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， AC⊥BC, :AC=9,AB=15, ∴.BC=VAB2-AC2=12, 当CM⊥AB时，d=AM,f=BM, d+f=AM+BM=AB=15 当M与B重合时，d=AC=9,f=0, d+f=9 48/63 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .d+f的取值范围是：9≤d+f≤15 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形 的判定和性质，圆周角定理及正确的作出辅助线是解题的关键. ◆题型3圆锥问题的相关计算 10.如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为() h A.9 B.35 C.6√2 D.310 【答案】C 【详解】解：圆锥的底面半径为6元÷2z=3” 圆锥的母线为5π÷120z (180 =9, .h=V92-32=62 11.若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为120°，母线长为40©m,则该圆锥的底面半径为() 20 40 A.10cm B.13cm c.3 cm D.3 cm 【答案】D 【详解】解：设该圆锥的底面半径为cm :圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， .2πr= 120π×40 180 40 解得r= 3 40 即该圆锥的底面半径为3cm 1 12.如图，从半径为6cm的圆形纸片剪去3圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重 叠)，则这个圆锥的高是() 49/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 剪去 A.6cm B.25cm C.35cm D.8cm 【答案】B 【详解】解：如下图所示， ·扇形的半径为6cm, .AB =6cm, 阴影形长足1-》2×6-子×26= .2πOB=8π， ∴.OB=4, .A0=VAB2-0B2=V6-42=25cm. 13.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5，…画出来的螺旋曲线。 如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1,1,2,3,5为半径的一个四分之 一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为() A. 4 B.2 D.4 【答案】B 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为5+3=8， 50/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对应的弧长1=2π×8×，=4π， 4 设圆锥底面半径为T,则2r=4π P=2. 14.如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的距离记为d,把这张扇形纸 片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h,下列关于和h的大小关系正确的是() B A.d<h B.d=h C.d>h D.无法确定 【答案】A 【详解】解：扇形圆心角为60°，半径为OA=OB=R △OAB是等边三角形， .AB=R,∠OBA=60° 过点O作OJ⊥AB于点J, B..d-0J-R.sin60 R=27 6 设圆锥底面半径为” :扇形弧长等于圆锥底面周长 60πR .2πf= 180 i.r-ZR, 6 圆锥如图，取底面圆的中点V,连接OV, A 51/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OM =ON, .OV⊥MN, 油刻股定理：A=度于=-名F- 3R-5R 6 V27<√35 :27R<55R 66 .d<h. 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙0的直径，连接BC,DC.若∠BDC=20°.则∠A 的度数为() E D B A.90° B.100° C.110° D.120° 【答案】C 【详解】解：，CE是⊙O的直径， .∠CDE=90°， .∠BDC=20° .∠BDE=∠CDE-∠BDC=70°， :四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴.∠A=180°-∠BDE=110° 2.如图，正方形ABCD的边AB=1,AC和BD都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是() 52/63 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 c.1+经 D.π-1 【答案】B 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为BD的长与正方形的边长的和， :正方形ABCD的边AB=1, .BC=1,∠BAD=90° 90元 1 8D的长为180×1=2元， 二阴影部分的周长为了+1 3.如下图所示，A,C为⊙0上两点，且AC=OA=2,弦BC⊥OA于D点，则弦BC的长为() A.3 B.3 C.2W5 D.4 【答案】C 【详解】解：AC=OA=2,OC=OA, ∴.△OAC是等边三角形， ∴.∠C0D=60°， BC⊥OA, .∴∠OCD=30° ∴OD=5OC=1, 在Rt△ODC中，根据勾股定理得CD=VOC2-OD2=√5， BC⊥OA, .BC=2CD=2√3. 53163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，点A,B,C,D在⊙O上，四边形OABC是菱形，则∠D的度数是() D A.45° B.50° C.60° D.65° 【答案】C 【详解】解：连接OB, :四边形OABC是菱形， ..OA=AB .OA=OB=OC, ∴OA=AB=OB, :.△AOB是等边三角形， .∠AOB=60°， 同理可得∠BOC=60°， ∴.∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°， ∠D=40c=60 5.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，CD1AB于D,若∠A=22.5°，AB=16,则CD=() D B A.4V2 B.8 C.82 D.16 【答案】A 【详解】解：如图，连接OC, 54163 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B.OA=OC ∴∠0CA=∠A=22.5° .∠C0D=∠0CA+∠A=22.5°+22.5°=45° 又：CD⊥AB, .∠CD0=90°， ∴△COD为等腰直角三角形 设OD=x,则CD=x, 根据题意得：OD2+CD2=OC2, 即x2+x2 解得：x=4V2,x=4V2(不符合题意，舍去)， .CD=42. 6.如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，OA=1,若∠ACB=15°，则这个正多边形的面积为 () A.1 B.3 C.π D.3π 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥OB于D, ,O是正多边形的中心， ∴.OA、OB都是正多边形外接圆的半径，A、B是正多边形的相邻顶点，C在外接圆上， 55163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴OA=OB=1, :∠ACB=15°，∠AOB和∠ACB是外接圆的圆心角和圆周角， .∠AOB=2∠ACB=30°， :.AD-104-1 1 2 正多边形所有中心角和为360°， 360° :正多边形的边数为30°=12，即该正多边形为正十二边形， 1 1 11 S4OB=5OB·AD=。×1×5 224 :正十二边形的面积为125.。=12×好3， 二、填空题 7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为 B C 【答案】 40°140度 【详解】解：：⊙O是△ABC的外接圆，∠AB0=50°， ..OA=OB. .∠OAB=∠ABO=50° .∠A0B=180°-2×50°=80°， <4C8-号10m:40 8.拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子 正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O按逆时针方向旋转一定角度得到，则 旋转角的度数为° 56/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 【答案】90 【详解】解：，俯视图呈正八边形， 360° 、正八边形的中心角为8 =45°， 即∠AOB=∠BOC=∠COD=45°， ,△OCD是由△OAB绕着点O按逆时针方向旋转得到的， ,线段OA旋转后的对应线段为OC,线段OB旋转后的对应线段为OD, ∴.旋转角为∠AOC, 旋转角∠A0C=∠A0B+∠B0C=45°+45°=90° 9.如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转45°得到半圆O',点B的对应点为B'.若 AB=6,则阴影部分的面积为 (结果保留兀)· 0 B 9,9π 【答案】2+4 【详解】解：记AB'与半圆O交于点C,连接OC,如图所示. A -B 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，∠OAC=45°， 、.S阴影=S半圆0-S号形Ac=S半圆0-S号形Ac=S0C+S扇形08C, .OA=OC. ∴.∠0AC=∠OCA=45°， 57163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BOC=∠0AC+∠OCA=90°，∠AOC=90°， :AB=6, ..OA=OC=3. 1 :S阴影=S△o4c+S喻形08c= ×3×3+ 90元×329,9元 36024· 10.如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为12，则该圆锥母线AB的长为. A 10元 【答案】13 【详解】解：设OB=x, ,圆锥的侧面展开图的弧长为0π， ∴.该圆锥的底面圆的周长为l0π， .2x=10π， .x=5, 0B=5, 在Rt△AB0中，由勾股定理得AB=VOA+OB2=V122+52=13. 三、解答题 11.如图，A,B,C,D是OO上的四个点，AC为⊙O的直径，且AB=BC,连接AB,BC,BD, CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E, B (1)求∠BDC的度数： (2)若BE=V2,求CD的长. 【答案】(1)45° 58/63 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)2 【分析】 【详解】(1)解：：AC为⊙0的直径， ∴.∠ABC=90° ..AB=BC, ÷∠BAC=∠BCA=180-∠ABC)=x180-90)=45 2 :在⊙O中，BC所对的圆周角为∠BAC、∠BDC, ·.∠BDC=∠BAC=45°： (2)解：如图，过点C作CK⊥BD于点K, B :AE⊥BD, .∠CKD=∠BKC=∠AEB=90°， 由(1)知：∠ABC=90°，∠BDC=45°. :.∠CBK=90°-∠ABE=∠BAE, ∠DCK=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC, ..DK =CK, 在△BCK和△ABE中， ∠CBK=∠BAE ∠BKC=∠AEB. BC=AB △BCK≌△ABE(AAS), ..CK=BE=2, :.DK=CK=2, 在RIACDK中，CD=VDK2+CK=N2+(V2=2, 即CD的长为2 12.如图，△ABC是以AB为直径的OO的内接三角形，BD与OO相切于点B,与AC的延长线交于点D, 59163 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E是BD的中点，延长EC,交BA的延长线于点F. D (1)FC与⊙O有怎样的位置关系并说明理由； EF 3 (2②若BD=8”BE2,求BF的长和o0的半径. 【答案】(1)解：FC与⊙O相切.理由如下： 如图，连接OC, B :BD与⊙O相切于点B,, OB⊥BD,即∠OBD=90°， ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=∠DCB=90°， E是BD的中点， CE=BE=方8D .∠ECB=∠EBC, ..OB=OC, .∠OCB=LOBC, .∠OCE=∠OBD=90°，OC⊥FC, OC是⊙0的半径， :.FC与⊙0相切： 4V5 (②BF=25:O0的半径为 【分析】 【详解】(1)略 60163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：BD=8,∠DCB=90°，E是BD的中点， CE=E=】BD=4 EF 3 BE2 .EF=6. .FC=EF-EC=6-4=2. 在RtAFBE中，BF=VEF2-BE2=V6-4=2√5， 由(1)得∠OCF=∠ABD=90°、 设OC=x,则OF=BF-OB=2W5-x, .OF2=0C2+FC2. (25-x2=x2+22, 解得：x=4 5, 5 ·o0的半径为 51 13.己知，如图：⊙0的半径R=5V2,弦AB=14.点C在AB上CD1AB交⊙0于点D. D 0. (I)若BC=4,求线段CD的长。 (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 【答案】()V41+1 (2)18 【分析】 【详解】(1)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, 61/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :OE⊥AB 六AE=8E=号48=7， ,CE=BE-BC=7-4=3, 在RAA0E中，OE=VOAP-AE2=52}'-72=L, .OE⊥AB,OF⊥CD,CD⊥AB, .∠OEC=∠OFC=∠ECF=90°， ∴.四边形OECF是矩形， ..CF=OE=1,OF=CE=3. 在RtAOFD中，DF=VOD2-OF=V52}-32=V4, :CD=DF+CF=41+1; (2)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, D B 同(1)得AE=7,CF=1,四边形OECF是矩形， 设CE=a,DF=b,则OF=CE=a, ..AC+CD=AE+CE+CF+DF=7+a+1+b=8+(a+b), 故求AC+CD的最大值，只需求a+b的最大值， 在Rta0FD中，OF2+DF:=OD2,即a2+b2=(52=50, (a-b)≥0，即a2-2ab+b2≥0， .50-2ab≥0，即2ab≤50， .50+2ab≤100， 62163 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.(a+b)}2=a2+2ab+b2=50+2ab≤100，即a+b<10, ∴.当且仅当a=b时，a+b取得最大值，最大值为l0, .AC+CD的最大值为8+(a+b)=8+10=18, 63/63 第3章 圆全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的基本认识 题型2 点与圆的位置关系问题 题型3 弧、弦、角的关系 题型4 三角形的外接圆问题 题型5 圆周角定理的有关计算 题型6 圆内接四边形 题型7 直线与圆的位置关系 题型8 切线长定理 题型9 切线的判定 题型10 正多边形与圆 题型11 扇形的弧长和面积公式 核心提升：重难题型归纳 题型1 垂径定理 题型2 切线的判定与性质 题型3 圆锥问题的相关计算 综合攻坚·知能拔高 ◆题型01 圆的基本认识 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 3．周长为的圆，面积为_______．（取）． 4．一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是厘米，那么圆的直径是___________厘米（取）． ◆题型02 点与圆的位置关系问题 5．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 6．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    9．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 10．在正方形网格中建立如图所示平面直角坐标系经过网格点．仅利用无刻度直尺作图： (1)在网格中作出该圆圆心的位置，点坐标为_________； (2)过点做的切线，与轴交于点，点坐标为___________ ◆题型03 弧、弦、角的关系 11．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 12．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 13．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 14．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 ◆题型04 三角形的外接圆问题 15．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 16．如图，在中，，，则______． 17．如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在中，，．求证：． ◆题型05 圆周角定理的有关计算 20．如图，点C在弧上，点D在半径上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 21．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 24．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． ◆题型06 圆内接四边形 25．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 26．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 27．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 28．已知：如图，是圆内接四边形的一个外角，并且．求证：平分． ◆题型07 直线与圆的位置关系 29．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 30．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 31．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 32．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． ◆题型08 切线长定理 33．如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 34．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 35．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 36．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为______． 37．如图，已知P为圆O外一点，，为的切线，切点为A、B，是直径， (1)说明； (2)若，，求长． ◆题型09 切线的判定 38．如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于、两点． 求证：是的切线； 39．如图，在中，，以为直径的交于点M，于点N．求证：是的切线． 40．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 41．如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． ◆题型10 正多边形与圆 42．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 43．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 44．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 45．如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 46．如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． ◆题型11 扇形的弧长和面积公式 47．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 48．如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 49．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 50．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 51．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． ◆题型1 垂径定理 1．如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 2．如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ________． 3．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 4．如图，是的弦，于点，交于点，点在上．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． ◆题型2 切线的判定与性质 5．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 6．如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径长． 7．如图，为的直径，点D为圆上任意一点，过点D作的切线交直径的延长线于点C，过点O作交的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 8．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 9．已知是的直径，是的切线，C是上的点，，M是直径上的动点，A与直线上的点的连线距离的最小值为d，B与直线上的连线距离的最小值为f．    (1)求证：是切线． (2)设，求的正切值． (3)设，，求的取值范围． ◆题型3 圆锥问题的相关计算 10．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 11．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 12．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 13．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 14．如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 一、单选题 1．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 3．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 6．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，是的外接圆，已知，则的大小为________． 8．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 9．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 10．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 三、解答题 11．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 12．如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 13．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $