四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三下学期数学仿真训练一

泸县一中高2022级高考仿真训练（一） 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数对应的点位于（    ）. A．第一象限. B．第二象限. C．第三象限. D．第四象限. 3．设,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（   ） A．108 B．112 C．120 D．124 7．已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（   ） A．， B．若，则 C． D． 10．对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 11．在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 C．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在的展开式中，常数项为 . 13．若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，年末全国常住人口城镇化率增长至.下图为年年末常住人口城镇化率的折线图. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程； (2)从这年中任取年，记常住人口城镇化率超过的年数为，求的分布列与数学期望. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，. 16．已知正项数列的前项的和为，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项的和. 17．如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 19．如图，在直角坐标系中，已知是拋物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且满足. (1)求的值； (2)已知点，直线，与拋物线的另一个交点分别为，，直线交轴于点，交直线于点.抛物线在，处的切线交于点，过点作平行于轴的直线，分别交直线KD，于点，. （i）求证：点为定点； （ii）记，的面积分别为，，求的最小值. 《仿真训练一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D A B B C ACD AB 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】由于，所以， 故选：D 2．C 【详解】复数对应的点坐标为，因此可表示为： 所以，对应的点坐标为，位于第三象限. 故选：. 3．A 【详解】当时,,此时; 当时,,此时或； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 4．D 【详解】根据题意，函数定义域为， 且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 又时，，所以，且恒成立， 则，所以只有D满足. 故选：D 5．A 【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A 6．B 【详解】取正四棱台过侧棱的轴截面，上、下底面中心分别为，如下图所示：    依题意可得， 因此可得， 所以其体积为. 故选：B 7．B 【详解】两边取对得，则且，即同号或， 所以，当时，不成立，A错； 由，B对； 由，若时，，C错； 由，且， 当时，，此时，D错. 故选：B 8．C 【详解】由题意的，则， 所以，在中，， 则，所以，且. 由正弦定理得，， 即， 故选：C. 9．ACD 【详解】因为（单位：小时）服从正态分布，， 根据正态分布知识，，，A正确； 若，则，得，B错误； ， 根据原则，可得，C正确； ， ， 由对称性可知， 所以，D正确. 故选：ACD 10．AB 【详解】若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得，取， 所以，A正确； 若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得， 所以，，线性无关，B正确； 假设，，线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则， 因为，，线性无关，则，得， 与假设矛盾，C错误； 对于非零向量，，，若存在实数，使得， 即， 所以， 但不能确定，，是否线性相关，D错误. 故选：AB 11．ABD 【详解】设圆的半径. 当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点， 此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确； 当点在圆内且非圆心时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点，，， （其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项B正确； 当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项C错误； 当点在圆外时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点， ，，或， ∴或（其中为圆的半径），即， ∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确. 故选：ABD. 12． 【详解】因为的通项公式为， 则的展开式中的项为或， 所以常数项为， 故答案为：. 13． 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上的值域为的子集， 当时，，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，即函数在上的值域为， 由题意可得，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论. 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是或或或或， 或或或或，所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是， 所以；所以， 满足的情况有：或或或或. 所以，所以. 故答案为：. 15．(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设年份代码的平均数为，则. 设常住人口城镇化率的平均数为，则. 因为， ， 所以. 所以. 所以关于的回归方程为. （2）由图可知，第、、年常住人口城镇化率超过， 由题意可知，的取值可能为、、， 因为；；. 所以的分布列为： 所以的数学期望为. 16．(1)，. (2)证明见解析. (3). 【详解】（1）由， 令，有，因为，所以. 令，有，即，由，解得. 所以，. （2）当时，由，代入， 化简得，即， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. （3）由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而. 由， 所以. 所以数列的前项的和. 17．(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，， 依题意，，则，由，得， 而，，是梯形的中位线，于是，， 而平面，，则平面， 而平面，于是，又平面，且和一定相交， 因此平面，而平面，所以平面平面. （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由平面，，得平面，过作平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，， 令， 则， 由平面，得平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 19．(1). (2)（i）证明见解析；（ii）144 【详解】（1）由题意，直线斜率必存在， 设，，， 联立得，. 所以，. 由. 解得或（舍）.所以. （2）（i）直线斜率必存在，设，，， 联立得，所以. 同理.又因为，所以. 直线斜率必存在，设， 联立得，所以. 解得，所以直线过定点.即的坐标为. （ii）由，且，， 得. 所以直线的方程为.由直线与直线相交，可得. 联立解得. 因为抛物线方程为，所以. 抛物线在点处切线方程为. 所以.同理. 又，所以的中点为. 联立得， 由及，所以. 过作平行于轴的直线交于点，则. 所以 . 当且仅当时，即直线方程为或时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $