2025届四川省泸州市泸县第一中学高三二诊模拟数学试题

**基本信息** 泸县一中高2022级迎二诊模拟数学试题，以课外阅读时间统计分析和“完美曲线”椭圆创新定义为载体，考查数学建模与逻辑推理，适配二模综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、数列、立体几何等基础|梯度设计，从概念辨析到简单应用| |多选题|3题|统计回归、立体几何折叠、曲线性质|选项分层，考查批判性思维| |填空题|3题|向量运算、数列求和、球表面积|聚焦核心技能，强调空间想象| |解答题|6题|统计分析、导数应用、解三角形、立体几何、椭圆综合|情境真实（阅读时间）与创新定义（完美曲线）结合，突出数学建模与逻辑推理|

泸县一中高2022级迎二诊模拟试题1 一、单选题 1．满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 2．已知等比数列满足，则其公比（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知某圆柱的高和底面直径均为4，某圆锥与该圆柱的底面积和侧面积相等，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则（ ） A．3 B．1 C． D． 5．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设抛物线：（）的焦点为，点（）是上一点．已知以为圆心的圆与轴相切，与线段相交于点，，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数则方程的实数个数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 9．某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A．与正相关 B． C．当时，残差为 D．样本的相关系数为负数 10．如图，等边的边长为，边上的高为，沿把折起来，则（ ）    A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥的体积的最大值为 C．当时，点到的距离为 D．当时，点到平面的距离为 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 三、填空题 12．已知向量的夹角为，则 . 13．已知数列满足，，，设的前项和为，则 . 14．已知三棱锥的四个顶点都在球体的表面上，若，且，则球体的表面积为 . 四、解答题 15．为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间（单位：分钟）绘制成频数分布表，如表所示： 阅读时间 人数 8 10 12 11 7 2 若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图： (1)根据已知条件完成列联表： 男生 女生 总计 阅读达人 非阅读达人 总计 (2)依据小概率α=0.01的独立性检验，能否认为“阅读达人”跟性别有关？ 附：参考公式，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为m，求证． 17．在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，的周长为，求的面积. 18．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．    (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 19．定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切． (1)求的表达式和离心率 (2)已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于．设右焦点为，证明是定值，并求其正切值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B B A C ABC ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】因为集合，则集合可以为,，，，，，，共8个，故选：C 2．B 【详解】设等比数列的公比为q，则由题得，所以.故选：B 3．A 【详解】依题意，圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为4， 则圆锥的侧面积等于圆柱的侧面积等于． 设圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，且，解得， 所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：A． 4．D 【详解】，则，所以.故选：D 5．B 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即，又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件，所以是的必要不充分条件.故选：B. 6．B 【详解】由已知，点在抛物线上，则，即①，其中, 如图所示，过作直线的垂线，为垂足，且与轴交于， 易知，，故，得，抛物线的准线方程为：．故选：B． 7．A 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以，即，两边同时平方整理得，所以．故选：A 8．C 【详解】函数的部分图象如图所示.由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11.故选：C. 9．ABC 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，，所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错.故选：ABC. 10．ABC 【详解】    A选项：因为，，且，，平面，所以平面，故A选项正确； B选项：又已知三棱锥的体积， 所以当即时，三棱锥的体积最大， 最大值为，故B选项正确； C选项当时，是等边三角形，且是以为底的等腰三角形， 设的中点为，连接，则，即为点到的距离， ，故C选项正确； 当时，，，且，，平面，故平面，则就是点到平面的距离，且，故D选项错误； 11．ABD 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则，即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确.故选：ABD 12． 【详解】因为，，所以， 所以.故答案为：. 13． 【详解】由，所以，所以数列为等差数列， 并设其公差为，首项为，又因为，即，解得， 因为，所以，，所以.故答案为：. 14． 【详解】如图所示：取的中点，连接， 因为，所以，又，，所以， 因为，，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以，又，平面， 所以平面，又是的外心，所以三棱锥的外接球球心在直线上， 设，则，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以球体的表面积为. 故答案为：. 15．(1)列联表见解析；(2)跟性别有关 【详解】（1）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是11+7+2=20人，根据等高条形图作出2×2列联表如下： 男生 女生 总计 阅读达人 6 14 20 非阅读达人 18 12 30 总计 24 26 50 （2） 计算， 由于4.327＜6.635，故在α=0.01的独立性检验下，能认为“阅读达人”跟性别有关． 16．(1)答案见解析；(2)证明见解析 【详解】（1），当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减；在上单调递增； （2）由（1）可知当时，，所以， 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以． 17．（1）（2） 【详解】（1）由 以及正弦定理，， 因为，故故， 而，因此因为，所以 （2）由，以及余弦定理：知，又 故，由于的周长为 故，故，，，故 因此的面积为 18．(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）正方形中，， ∵平面平面，平面平面，平面，∴平面， 又平面，∴，， 又，，∴，又∵，∴，∴， 又，∴，又，平面，∴平面. （2）假设存在点，满足题意，由（1）知，平面，， 故以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 设点，，∴， ∴，∴，∴，， 设平面的法向量为，∴， 令，∴，，∴，由（1）知平面的法向量为， ∴，即， 即，即，解得或（舍去）， 所以存在一点，使得，即． 19．(1)，；(2)证明见解析，. 【详解】（1）焦点和长轴顶点共线，它们不会共圆，从而焦点和短轴顶点共圆，则，为半焦距， ，因此的离心率为， 椭圆的方程为，由消去得， 由和相切，得，解得，此时，由对称性知，和相切，所以的表达式为. （2）设从而斜率必然存在且非0，令， 设切线代入得到 由在上，得，从而， 由直线与椭圆相切，得上述方程有相等实根，则，即， 从而，即 由，解得，记为 同理，记为， 即，，， ，，， 由，得，直线的斜率分别为， ， ， ， 当时，，和重合，与已知矛盾，又， 因此，所以是定值，其正切值为． 学科网（北京）股份有限公司 $