1.1三角形中的线段和角（分层作业，24大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本练习以“三角形中的线段和角”为核心，通过A、B、C三级分层设计，实现从概念理解到综合应用再到创新探究的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解层级）|三角形三边关系、高、角平分线等基础概念与计算|以选择、填空为主，结合基础解答题，巩固核心概念，如三边关系取舍值、角平分线求值| |B组（掌握层级）|三边关系范围/最值/证明、中线与面积、重心、网格面积、图形规律|增加综合计算与推理题，如等积法求值、数三角形个数，培养运算与推理能力| |C组（运用层级）|三角形中的创新性问题|设计无刻度直尺作图、图形分割规律探究等开放题，发展创新意识与空间观念|

分层作业 1.1 三角形中的线段和角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形的三边关系 题型02 利用三边关系取舍值 题型03 大边对大角，大角对大边 题型04 三角形的高 题型05 三角形的角平分线 题型06 与角平分线有关的求值 题型07 与角平分线有关的证明 题型08 三角形的高、中线与角平分线的有关综合计算 题型09 三角形的识别与有关概念 题型10 三角形的垂心 B组 能力进阶 题型01 利用三角形的三边关系求范围 题型02 利用三角形的三边关系进行化简 题型03 利用三边关系求最值 题型04 利用三角形的三边关系进行证明 题型05 三边关系的应用 题型06 三角形的中线 题型07 利用三角形的中线求长度 题型08 三角形的中线与面积计算问题 题型09 等积法求值 题型10 数三角形的个数 题型11 三角形的重心 题型12 网格中求三角形面积 题型13 与三角形有关的图形规律 C组 思维拔高 题型 三角形中的线段和角·创新性问题 三角形的三边关系题型01 1．（24-25八年级上·天津·期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判定即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B ． 2．有长度分别为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】先列出四根木条选三根的所有组合，再根据三角形三边关系判断能组成三角形的组合数量，判断时只需验证两条较短边的和大于最长边，即可确定能否组成三角形． 【详解】解：从四根木条中选三根，所有组合为：；；；. 组合中，，满足三边关系，可组成三角形； 组合中，，满足三边关系，可组成三角形； 组合中，，不满足三边关系，不能组成三角形； 组合中，，满足三边关系，可组成三角形. 符合条件的选法共有种． 3．下列命题中，为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．三角形的内角和为 D．三角形任意两边之差小于第三边 【答案】B 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据三角形的三边关系，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、对顶角相等，原说法是真命题，故本选项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原说法是假命题，故本选项符合题意； C、三角形的内角和为，原说法是真命题，故本选项不符合题意； D、三角形任意两边之差小于第三边，原说法是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【答案】(1)的长是 (2)，， 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案； （2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【详解】（1）由题意，得， 解得． 即的长是． （2）设，则，， 由题意，得， 解得． 故，，． 所以，，． 【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 5．在平面内，分别用3根、4根、5根、6根…火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成什么形状的三角形？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示： 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题： (1)用4根火柴能搭成三角形吗？ (2)用8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图． 火柴数 8 12 示意图 形状 【答案】(1)不能 (2) 8根火柴能搭成一种形状的三角形，12根火柴能搭成3种不同形状的三角形； 火柴数 8 12 示意图 形状 等腰三角形 等边三角形       等腰三角形        直角三角形 【分析】（1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【详解】（1）解：把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，但，不满足三角形三边关系定理， ∴4根火柴不能搭成三角形； （2）解：8根火柴能搭成一种形状的等腰三角形； 12根火柴能搭成3种不同形状的三角形： 三边都为4的等边三角形， 三边为5，5，2的等腰三角形， 三边为3，4，5的直角三角形． 利用三边关系取舍值题型02 1．（24-25上·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴x为8、9、10， ∴这样的三角形个数为3． 故选：C． 2．若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为（   ） A．18 B．22 C．24 D．18或24 【答案】C 【分析】分类讨论，等腰三角形的三边长可能为4,4,10或10,10,4，根据三角形两边和大于第三边，三角形两边差小于第三边，可知其三边长只可能为10,10,4，据此求其周长即可. 【详解】解：等腰三角形的三边长可能为4,4,10或10,10,4，根据三角形两边和大于第三边，三角形两边差小于第三边，可知其三边长只可能为10,10,4，所以这个三角形的周长为10+10+4=24. 故选C 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，注意分情况讨论，同时结合三角形的三边关系确定等腰三角形的三边长. 3．一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是_______． 【答案】7或9 【详解】设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11．又因三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，可得第三边长为奇数，所以x=7或9，即第三边边长是7或9． 4．（24-25八年级上·重庆·月考）已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】30 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、一元一次不等式组的整数解等知识点，由不等式组解集的条件和三角形的三边关系得到a的范围是解题的关键． 由不等式组至少有2个整数解和三角形的三边关系得到a的范围，进而确定所有符合条件a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∵不等式组至少有2个整数解 ∴，即 ∵存在以，，为边的三角形 ，即 ∴满足条件的a的整数解是， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：30． 5．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值． 【答案】的值为或或 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进而确定的值即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，且x为奇数， ∴，即：， 则的值为或或． 大边对大角，大角对大边题型03 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级下·上海·学情自测）在中，若，则，其依据是___________． 【答案】 在同一个三角形中，大角对大边 【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 3．在中，已知，，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 5．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)解：， 证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等，熟知相关性质定理并正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明过程写这两步的依据即可； （2）连接，由，得，在边上截取，连接，方法同（1），即可证明结论； 【详解】（1）略 （2）略 三角形的高题型04 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：∵题目要求作中边上的高， ∴该高线应过顶点，且垂直于边所在的直线， 、过点作交的延长线于点，符合定义，符合题意． 、作的是，不是三角形边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)如图， (2)的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． (1)【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； (2)【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 【答案】(1)钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于三角形外部． (2)或 【分析】（1）画钝角三角形，并作出三条高即可得出其特点； （2）分高在内部和高在外部两种情况求解． 【详解】（1）解：如图，钝角中， 分别为边上的高，相交于， 所以钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部， 且三条高交于一点，交点位于三角形外部； （2）解：情况一：如图，高在内部， 为边的高， ， 又， ， ， ； 情况二：如图，高在外部， 为边的高， ， 又， ，， ， ； 综上，的度数为或． 5．按下列要求画图并回答问题： (1)在图1中将的面积分成1：3的两部分，并描述你的作法______________； (2)在图2中，完成以下问题： ①作的高，； ②比较______的大小（用“>”“<”“=”填空）； ③请用无刻度的直尺（只能画直线）作出边上的高，描述的作法_____． 【答案】(1) 如图所示，找到线段的四等分点E，连接，则，， ∴． (2) ①作图如下： ②； ③如上图，延长，交于点O，连接并延长，交于点F，则为边上的高． 【分析】（1）若将的面积分成1：3的两部分，找到的四等分点，利用三角形面积计算公式即可解答； （2）①根据高线的作法作图即可； ②根据三角形内角和定理可得答案； ③根据三角形的三条高线交于一点，先作出交点，进而可得高线． 【详解】（1）解： （2）解：①如图，，分别为边和边上的高， 作法：过点B作的垂线交的延长线于点D，过点C作的垂线交的延长线于点E，垂足分别为点D和点E，线段，即为所求； ②∵,, ∴， 故答案为：； ③理由：∵点O为边和边上的高线的交点， ∴高线过点O， ∴连接并延长，交于点F，为边上的高． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形高线的作法和性质，三角形内角和定理等知识，掌握三角形三条高线交于一点（即垂心）是解题的关键． 三角形的角平分线题型05 1．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 3．下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 【答案】D 【分析】角平分线为线段，即可判断A中说法是否正确，三角形的中线是线段，即可判断B中说法是否正确，钝角三角形和直角三角形有一条边上的高在三角形内，锐角三角形三边上的高都在三角形内，即可判断C中说法是否正确；根据三角形中线的定义，即可判断D中说法是否正确． 【详解】解：平分三角形内角的线段叫做三角形的角平分线，故A说法不符合题意； 三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故B说法不符合题意； 钝角三角形最长边上的高在三角形内，构成钝角的两边上的高在三角形外，故C说法不符合题意； 三角形的三条中线总在三角形内，故D说法符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的中线、高线、角分线的定义及特点，掌握相关定义是解题的关键． 4．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线等定义，熟记相关定义是解本题的关键．根据三角形中线即为三角形的顶点与其对边中点的线段、角平分线即为三角形的一个内角的平分线与对边相交的线段、三角形的高即为过三角形的一个顶点作对边的垂线段，据此进行解答即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵是高， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故选项D正确，不符合题意； 根据题意不一定得出， 故选：B． 5．如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线．熟练掌握三角形的中线，角平分线的定义，是解题的关键．三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的平分线．先根据是中线，是角平分线得出，；根据这两个条件逐一判断即得． 【详解】∵是的中线， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意； ∵是的角平分线， ∴， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵是的中线，但不是的中线，故C错误，符合题意． 故选：C． 与角平分线有关的求值题型06 1．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 先根据角平分线的定义求出，进而根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 4．如图，在中，平分，交于点，若，，则为__________．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到，再根据平行线分线段成比例得到即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵交于点， ∴， ∴， ∵交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 5．已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接． (1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出的数量关系； (2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 证明：如图2，过点Q作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）如图1，过P作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行，内错角相等即可解答； （2）如图2，过点Q作，证出，根据平行线的传递性即可证明； （3）如图3，根据三角形内角和即可得，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出，结合（2）即可解出，过K作，证出，根据平行线性质得出，即可得，进而可求的大小． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图3， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∵， ∴， 由（2）知，即， ∴， 解得， 如图3，过K作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ∴的大小为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线是解题的关键． 与角平分线有关的证明题型07 1．如图，是的角平分线，，交于点E．图中与有什么关系？为什么？ 【答案】， 理由如下： 是的角平分线， ． ， ， ． 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据三角形的角平分线得到，再由平行得到，即可等量代换出结果． 【详解】略 2．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD． 【答案】 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F， ∴∠CAD＝∠F， ∴． 【分析】利用角平分线得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形外角的性质推出∠CAD＝∠F，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了角平分线的计算，三角形外角性质，平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 3．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分． 【答案】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴平分． 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义以及判定，平行线的性质，由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，，进而可得出， 即可得出平分． 【详解】略． 4．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，外角平分线．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵平分外角， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质以及三角形的外角，运用以上性质进行推理是解题的关键． 先由平行线得到，再利用角平分线证得，等量代换解题即可． 【详解】略 5．如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 【答案】(1)，理由如下： ∵三角形是由三角形平移得到的， ． ． 平分， ． ． (2) 证明：∵三角形是由三角形平移得到的， ． 平分， ． ． 平分． 【分析】考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等． （1）根据平移的性质得到，从而得到，然后根据平分得到，从而得到∶ （2）根据平移的性质得到进一步得到，然后根据平分得到，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 三角形的高、中线与角平分线的有关综合计算题型08 1．（24-25八年级上·贵州·月考）如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形的高等，弄清楚各角之间的数量关系是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形内角和得出，即可得出答案． 【详解】解：在中，． ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 3．如图，分别是的中线、角平分线和高线．请指出图中相等的角及相等的线段． 【答案】相等的角有，，相等的线段有． 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形的高，中线和角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴相等的角有，，相等的线段有． 4．如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 5．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在的直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）． 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ； 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图，是上一点，则有．如图，中，M是上一点＝，N是的中点，若三角形的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示） 【答案】（1）①； ②如图，分别延长，，两者交于，连接交的延长线于，即为所求； （2）①；②；（3） 【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②分别延长，，两者交于，连接交的延长线于，即为所求； （2）①由三角形内角和定理和角平分线的定义可以得出，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理：，设，，再求出，，利用面积关系求解即可. 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； 略 ② （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）连接，如图所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，，   ，， ， ， 即：， 解得： ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的中线，三角形内角和，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 三角形的识别与有关概念题型09 1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可． 【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项， 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 3．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（    ） A．8 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数． 【详解】解：如图示： 设立方体的边长为，则在立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能： 边长为，面对角线为，体对角线为．立方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如，第三个顶点可以是 、、、、、 中之一， 有6个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是． 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的性质以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能是解决问题的关键． 4．在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°，那么△ABC是_______三角形．（选填“锐角”“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C的度数，据此即可判定． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-15°-65°=100°， 故此三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，用最大角的度数确定三角形的形状是解决本题的关键． 5．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 三角形的垂心题型10 1．三角形三条高的交点一定在　　 A．三角形内部 B．三角形外部 C．三角形内部或外部 D．以上说法都不完整 【答案】D 【分析】分别指出锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形的三条高线交点的位置即可求解． 【详解】解：锐角三角形三角形三条高的交点在三角形内部， 直角三角形三角形三条高的交点在三角形直角顶点， 钝角三角形三角形三条高所在直线的交点在三角形外部， 综上所述，、、说法都不完整． 故选：． 【点睛】本题考查三角形的高的交点，掌握三角形中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形高的画法与交点的位置是解题关键． 2．我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】此题考查三角形的高、垂心的定义、余角的性质等知识， （1）由高的定义得到，则，得到，同理可得，，，即可得到答案； （2）根据三角形垂心的定义进行解答即可； （3）根据三角形垂心的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵于点E，于点F， ∴ ∴， ∴， 同理可得，，， 故答案为：或或； （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心； 故答案为：； （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点A是三角形的垂心， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：作A关于的对称点，连接、，如图， (2) 解：，理由如下： F是高线交点（垂心），在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边． 【分析】本题主要考查轴对称和垂心的性质， （1）根据对称的做法找到点A关于线段的对称点，连接、即可； （2）根据高线交点即为垂心，在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边即可． 【详解】（1）略 （2）略 利用三角形的三边关系求范围题型01 1．若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（   ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 则， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 2．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，    PB=12m，那么AB间的距离不可能是（   ）． A．5m B．15m C．20m D．28m 【答案】D 【详解】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m． 故选：D． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形的三边关系. 3．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个． 【详解】解： 解不等式①，可得x＜2a， 解不等式②，可得x≥4， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴a＞， 又∵存在以3，a，5为边的三角形， ∴2＜a＜8， ∴a的取值范围是3＜a＜8， ∴a的整数解有4、5、6、7共4个， 故选：B． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 4．若三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求x的取值范围． 【详解】根据任意两边之差小于第三边得：， 解得：， 根据任意两边之和大于第三边得：， 解得：， 则的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是根据题意正确列出不等式求解． 5．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是____________． 【答案】16或18或20或22 【分析】已知三角形的两边，则第三边的范围是大于两边之差的绝对值，小于两边之和． 【详解】依据题意得，已知三角形的两边之和为12，两边之差为2，则第三边的范围为大于2、小于12的偶数，故第三边的长度可取：4、6、8、10． 那么这个三角形的周长是：或或或． ∴答案为：16或18或20或22． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系及奇偶数的性质，解题的关键是确定第三边的取值范围． 利用三角形的三边关系进行化简题型02 1．已知，，是三角形的三条边，化简__________． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系可得 ， ，然后根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，是三角形的三条边， ∴ ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，熟练掌握三角形的三边关系，绝对值的性质是解题的关键． 2．已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝___． 【答案】8 【分析】根据三边关系得到x的取值范围，再化简. 【详解】∵三角形的三边长分别是3、x、9， ∴6<x<12， ∴x−5>0，x−13<0， ∴|x−5|+|x−13|=x−5+13−x=8， 故答案为8. 【点睛】本题考查三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．（24-25七年级下·宁夏·期中）若、、分别为三边，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 【详解】解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 4．已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 5．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)的周长为11或13 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 利用三边关系求最值题型03 1．一个三角形三条边的长度均为整厘米数，已知其中两条边的长度分别是、，第三条边最长是（　　）． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握 三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第三条边的长度范围，即可得答案． 【详解】因为两边长为、， 则第三边的取值范围是第三边，即第三边 因为第三边长度为整厘米数， 所以第三边最长为， 故选：B． 2．如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三角形的第三边长是，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设三角形的第三边长是， ， ， 第三边长为偶数， 的最大值为， 周长最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 3．已知三角形的三边长分别为3，5和，则整数x的最大值为________． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， ∴整数x的最大值为4 故答案为：4 4．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 【答案】(1)的最大值是25，最小值是5 (2) 【分析】此题考查了三角形的三边关系及不等式的应用，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． (1)最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； (2)当x大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据(1)中的最大值和最小值即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为A、、、． ， 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线； 将绕点逆时针方向旋转，使其与共线， 即四点从左到右依次为、A、、． ． 综上，的最大值是25，最小值是5． （2）解：由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为． 5．（1）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10选出5个数，使得这5个数的任意三个数都不能构成某个三角形的三边边长； （2）从1、2、3、4……、2016中任选个数，使所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的的最小值是多少？ 【答案】（1）1，2，3，5，8；（2）的最小值为17． 【分析】（1）根据三角形的三边关系定理即可得； （2）先将问题转化为“在1，2，3，……，2016中选个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的的最大值是多少？”再从开始，选出符合条件的数，然后不断扩大数组，根据三角形的三边关系定理即可得． 【详解】（1）三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 则选出的5个数为1，2，3，5，8； （2）这一问题等价于在1，2，3，……，2016中选个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的的最大值是多少？ 当时，最小的三个数就是1，2，3 由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和 所以为使达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样可得1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597①共16个数 对符合上述条件的任数组，，……显然总有大于等于①中的第个数 则 从而知的最小值为17． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，较难的是题（2），将所求问题参照（1）进行等价转化是解题关键． 利用三角形的三边关系进行证明题型04 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． (1)如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． (2)如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的一个外角大于和它不相邻任何一个内角． （1）由三角形两边之和大于第三边，不等式的性质，即可得到答案； （2）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ， ， 将不等式左边、右边分别相加，得 ， ， 故答案为：，，，； （2）解：依题意，是的外角， 则, 故； 同理得，，． 2．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 【答案】(1) 补全过程如下： 在中，， ， ， ∴乌龟的路线更短． (2) 选路线②，理由如下： 如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ∴路线②的路程比路线③短， ∴乌龟可选路线②． 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点M，延长交于点N．分别在，，中，根据三角形的三边关系得出，，，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 三边关系的应用题型05 1．中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得，第三边的长度大于，小于， ∴符合题意， 故选：C． 2．如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到的取值范围，进而根据各选项数值即可求解． 【详解】解：由题意，，， ∴，即， 只有选项D中不可能是，两点间的距离，此选项符合题意， 故选：D． 3．（2025·河北唐山·模拟）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 4．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． 逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答． 【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； B． 当时，第三段长为，由，得 4，4，6能组成三角形，故该选项正确； C． 当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； D． 当时，第三段长为，由，得 2，4，8不能组成三角形，故该选项错误； 故选B． 三角形的中线题型06 1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据三角形的中线的定义即可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 3．（2026·河北张家口·一模）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【答案】A 【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可． 【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点， 线段是的中线． 4．（25-26八年级·期末）如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线，熟练掌握折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线是解题的关键； 根据折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线的定义，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、由折叠可知，，则所得为的中线，符合题意； B、由折叠可知，，则所得不为的中线，不符合题意； C、由折叠可知，，即，则所得为的高，不符合题意； D、由折叠可知，，则所得为的角平分线，不符合题意； 故选：A． 5．数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是中线的是（    ） A．沿折叠，点C落在BC边上的点E处 B．沿折叠，点C落在AB边上的点E处 C．沿折叠，使点C与点B重合 D．沿折叠，点C落在三角形外的点E处 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和中线的概念逐项求解即可． 【详解】解：A、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； B、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； C、由折叠的性质可得， ∴点D是线段的中点 ∴线段是中线，符合题意； D、由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴线段不是中线，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质和中线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 利用三角形的中线求长度题型07 1．（25-26八年级上·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比周长多（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义以及周长的计算方法． 根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 故选：D 3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 4．（25-26七年级下·福建·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 5．如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长．    【答案】， 【分析】先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成70和50两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件 ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， ，． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 三角形的中线与面积计算问题题型08 1．（25-26八年级上·新疆·月考）如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，理解重心的概念，三角形中线平分面积是关键． 三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B ． 2．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出， ，，即可求出结果． 【详解】解：连接， ， ， ∴， 设， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为_____； （2）的面积为_____； （3）的面积为______． 【答案】 2 3 1.5 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，得到，再根据三角形周长的公式，代入化简，即可求得答案； （2）根据三角形的中线的性质，中线将的面积平分，可得到，据此即可求解； （3）根据三角形中线的性质，得到中线将的面积平分，进而得到，据此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为2． 故答案为：2； （2）∵为边上的中线， ∴． ∴， 故答案为：3； （3）∵为边上的中线， ∴． ∴． 故答案为：1.5． 4．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 5．（25-26七年级·陕西宝鸡·质检）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，请按要求画图并回答问题： (1)请画出，使它与关于直线成轴对称； (2)若点P是的重心，请在图中画出边的中线，并求出面积． 【答案】(1)如图，为所求， (2)如图，为所求，面积为. 【分析】（1）直接根据轴对称的性质找出A、B、C点的对称点，然后连线即可； （2）根据三角形重心是三角形中线的交点，连接并延长交于即可，在网格图中根据割补法求出的面积，再利用三角形中线平分三角形面积即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：连接并延长交于点， 的面积， ∵是边的中线， ∴， 等积法求值题型09 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 3．直角三角形两条直角边分别是和，它的面积是_____ ． 【答案】16 【分析】直接根据直角三角形的面积等于两直角边长的乘积的一半，即可求解． 【详解】解：直角三角形两条直角边分别是和， 它的面积是， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了直角三角形的面积，熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 5．如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键． 【详解】解： 如图，连接、， 则， ，，， ，，，， ． 数三角形的个数题型10 1．（25-26八年级上·海南·期中）如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的定义．解题关键在于准确识别图中由三条线段首尾顺次连接所构成的封闭图形．按照一定的顺序（例如从小到大或从左到右等）去找出图中所有符合三角形定义的图形，然后统计其数量即可． 【详解】解：图中的三角形有、、，共个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·云南昆明·月考）图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90度． 根据直角三角形的定义判断即可． 【详解】图中直角三角形的个数有共4个， 故选：C． 3．定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)，然后根据三边关系来确定，的取值组合，从而得出整数边三角形的个数． 【详解】解：设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)， 当时，根据三边关系需满足， 又因为， 所以， 则a可以为或或或或或或，此时有种情况满足题意； 同理可得：当时，，则a可以为或或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或，此时有种情况满足题意； ，共有种情况满足题意， 故选：C． 4．（25-26八年级上·广西百色·月考）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 5．如图，在中，，，，…，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中出现了6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接分点的个数 1 2 3 4 出现三角形的个数 ________ ________ ________ ________ (2)若连接n个分点，即连接，，，…，，试用含有n的代数式表示出现三角形的个数为________个； (3)若出现了28个不同的三角形，则共连接了________个分点． 【答案】(1)3  6  10  15 (2) (3)6 【分析】（1）通过数分点个数与三角形个数的对应关系，完成表格； （2）根据规律推导出含的代数式； （3）列方程求解分点个数． 【详解】（1）解：当上面有个分点时，出现个三角形； 当上面有个分点时，出现个三角形； 当上面有个分点时，出现个三角形； 连接分点的个数 1 2 3 4 出现三角形的个数 3 6 10 15 （2）解：连接个分点，出现的三角形的个数为： ． （3）解：由（2）得 解得（负值舍去）； 若出现了个不同的三角形，则共连接了个分点． 三角形的重心题型11 1．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京·期末）如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 4．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】## 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（   ） A．点    B．点    C．点    D．点 (2)如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； (3)如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 【答案】(1)A； (2)； (3)解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形，． 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． 根据重心的定义，作出的三条中线，三条中线的交点即为的重心； 根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； 把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，三条中线的交点是点， 的重心是点， 故选：A； （2）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 线段中点的坐标是， 正方形的重心坐标为； （3）图略 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是,， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ，， ． 网格中求三角形面积题型12 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为________； （2）阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）借助网格求面积即可； （2）设与的交点为，与的交点为，根据平移的性质，推出，进行求解即可． 【详解】解：（1）的面积为：； 故答案为：； （2）设与的交点为，与的交点为， 根据格点可得，四边形是矩形，对角线交于点，，的顶点均在格点上， ∴点G和点H是两个相邻格点的中点 ∴，， 由平移的性质可知，， ∴， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点B平移到点，点A，C平移后的对应点分别是点，． (1)在给定方格纸中画出平移后的． (2)连接线段、，则线段与的关系是______． (3)的面积是______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)平等且相等 (3)8 【分析】本题主要考查平移作图及平移的性质，熟练掌握平移的性质及割补法求三角形的面积是解题关键． （1）由点B及其对应点得出平移方式为：先向左移7格，再向下移1格，据此作出点，点，再顺次连接即可； （2）根据平移变换的性质，即可解题． （3）利用格点找出底和高，根据三角形面积公式求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由平移变换的性质可知，线段与的关系是平等且相等， 故答案为：平等且相等． （3）解：， 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·天津·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形． (1)在图①中， 作， 使其面积为； (2)在图②中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3． 【答案】(1) 如图：或或即为所求． (2) 如图：四边形或四边形即为所求． 【分析】本题主要考查格点作图、轴对称图形等知识点，利用网格特征作图、轴对称图形的性质是解答本题的关键． （1）画高与底分别为2与3或3与2，或底与高为与的三角形即可； （2）结合轴对称图形的性质，使四边形的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) 解：如图，三角形即为所求，，，； (2)． 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 【答案】(1) 即为所求： (2) (3) 点即为所求： 【分析】本题考查了轴对称作图，求网格三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可得，故此时最小． 【详解】（1）略 （2）解：的面积， 故答案为：； （3）略 与三角形有关的图形规律题型13 1．如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． 2．平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，解决本题的关键是逐一增加三角形个数进行判断． 平面被n个三角形最多分成的区域数遵循递推规律，每新增一个三角形，其每条边与之前每个三角形的两条边相交，新增区域数等于交点数． 【详解】解：初始状态：平面未被分割时，区域数为1． 第1个三角形：将平面分成2部分，即新增1部分，累计区域数， 第2个三角形：每条边与第1个三角形的两条边相交，产生个交点，新增6部分，累计区域数， 第3个三角形：每条边与前2个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增12部分，累计区域数， 第4个三角形：每条边与前3个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增18部分，累计区域数， 第5个三角形：每条边与前4个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增24部分，累计区域数， 综上，5个三角形最多将平面划分成62个部分， 故选C． 3．长方形内点的个数与可以形成的三角形个数的有关数据如下：当长方形内点的个数依次为1，2，3，4，…时，可以形成的三角形的个数分别为4，6，8，10，…． 【归纳】观察上述数据中的规律得到：当长方形内点的个数为n（n为正整数）时，可以形成的三角形有________个； 【解决问题】当长方形内有100个点时，可以形成的三角形有________个． 【答案】 202 【分析】认真观察图形和数字之间的关系，总结规律：三角形内有个点时，可以形成的三角形个数是即可. 【详解】解：如图：当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 当内的点的个数是时，可以形成的三角形个数是； 故答案为：①  ②202 ． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，重点考查了学生的观察能力和总结能力． 4．如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么，________．    【答案】24 【分析】本题主要考查了图形类规律题，根据题意得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：24 三角形中的线段和角·创新性问题题型 1．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)如图（1），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小； (2)如图（2），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小． 【答案】(1)如图： (2)如图， 【分析】此题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键． （1）移动点至，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； （2）移动点至，作点关于直线l的对称点，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； 【详解】（1）解：移动点至，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； 理由：∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴单位长度， ∴，当三点共线时，最小． （2）解：移动点至，作点关于直线l的对称点，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； 理由：∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴单位长度， ∴，当三点共线时，最小，长度固定，故此时最小． 2．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把分割成3个互不重叠的小三角形． 探究二：以的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图． 探究四：以的三个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形． 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形． 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形． 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算) 【答案】 探究三： 7，分割示意图如下（答案不唯一）： 探究四：； 探究拓展；； 问题解决：； 实际应用：4030 【分析】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键． 探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可． 探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出个点分割的部分数即可． 探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解． 问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解． 实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解． 【详解】解：探究三：略 探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，， 三角形内部2个点时，共分割成5部分，， 三角形内部3个点时，共分割成7部分，， …， 所以，三角形内部有m个点时，共分割成部分． 探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点， 则分割成的不重叠的三角形的个数为：=． 问题解决：=． 实际应用：把，代入上述代数式，得． 3．在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在中，，是上的动点，点是的中点，、相交于点．    ①若为的中点，如图2所示，则四边形的面积是________； ②若，如图3所示，则四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，利用面积的转化即可求解； ①根据三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，可得四边形的面积是其中2个三角形的面积，即可求解； ②连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据题意设，则，进而表示出，根据得出，即可求解． 【详解】解：①如图2所示，连接交于点，    则是边上的中线， ∵三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形， ∴四边形的面积是； 故答案为：4； ②如图所示，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，    ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵是中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，点是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作等腰梯形． 【答案】(1) 线段即为所求； (2) 等腰梯形即为所求． 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的高，等腰三角形的性质，解题的关键是三角形三边的高所在直线相交于一点． （1）连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求； （2）连接，延长交延长于点，连接交延长线于F，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求； ∵，点是的中点， ∴，即是边的高， ∵是边上的高，交于点，三角形三边的高所在直线相交于一点， ∴ 是边上的高． （2）解：如图2中，等腰梯形即为所求． ∵，点是的中点， ∴，即是边的高， ∵是边上的高，交于点，三角形三边的高所在直线相交于一点， ∴ 是边上的高． ∵，， ∴， 在与中， ， ∴ ∴ ∴, ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴, ∵ ∴四边形是等腰梯形． 5．如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关系是解题的关键． 设，，则，，，，由角平分线可得，如图，作，则，可得，，，，则，根据，求得，然后求的值，进而可得的值． 【详解】解：设，，则，，，， ∵平分， ∴， 如图，作，则， ∴， ， ，， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．已知M、N直线l上两点，MN＝20，O、P为线段MN上两动点，过O、P分别作长方形OABC与长方形PDEF（如图），其中，两边OA、PF分别在直线l上，图形在直线l的同侧，且OA＝PF＝4，CO＝DP＝3，动点O从点M出发，以1单位/秒的速度向右运动；同时，动点P从点N出发，以2单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t秒． （1）若t＝2.5秒，求点A与点F的距离； （2）求当t为何值时，两长方形重叠部分为正方形； （3）运动过程中，在两长方形没有重叠部分前，若能使线段AB、BC、AF的长构成三角形，求t的取值范围． 【答案】（1）4.5；（2）当t分别为5秒、秒时，两长方形重叠部分为正方形；（3）t的取值范围为 【分析】（1）求出MA，NF的值即可判断； （2）分两种情形:ABEF是正方形；OCDP是正方形.分别求解即可解决问题； （3）求出相遇前AF＝7或1时的时间即可解决问题. 【详解】解：（1）当t＝2.5秒时，MA＝MO+OA＝2.5+4＝6.5， NF＝NP+PF＝2.5×2+4＝9， ∴AF＝20﹣6.5﹣9＝4.5． （2）第一次重叠部分为正方形ABEF（如图）此时FA＝3， MA＝t+4，NF＝2t+4， ∴（t+4）+（2t+4）﹣20＝3， ∴t＝5． 第二次重叠部分为正方形PDCO（如图）此时OP＝3， OM＝t，PN＝2t， ∴20﹣t﹣2t＝3， ∴t＝， ∴当t分别为5秒、秒时，两长方形重叠部分为正方形； （3）∵线段AB、BC、AF的长构成三角形，AB＝3，BC＝4， ∴1＜AF＜7， 重叠前AF＝7，则有20﹣（t+4）﹣（2t+4）＝7， 解得t＝； AF＝1，则有20﹣（t+4）﹣（2t+4）＝1， 解得t＝， ∴t的取值范围为. 【点睛】本题考查平移变换、矩形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题. 7．（24-25八年级·质检）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A； ②如图，即为所求． （2）①25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②略 （2）①中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②略 （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 三角形中的线段和角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形的三边关系 题型02 利用三边关系取舍值 题型03 大边对大角，大角对大边 题型04 三角形的高 题型05 三角形的角平分线 题型06 与角平分线有关的求值 题型07 与角平分线有关的证明 题型08 三角形的高、中线与角平分线的有关综合计算 题型09 三角形的识别与有关概念 题型10 三角形的垂心 B组 能力进阶 题型01 利用三角形的三边关系求范围 题型02 利用三角形的三边关系进行化简 题型03 利用三边关系求最值 题型04 利用三角形的三边关系进行证明 题型05 三边关系的应用 题型06 三角形的中线 题型07 利用三角形的中线求长度 题型08 三角形的中线与面积计算问题 题型09 等积法求值 题型10 数三角形的个数 题型11 三角形的重心 题型12 网格中求三角形面积 题型13 与三角形有关的图形规律 C组 思维拔高 题型 三角形中的线段和角·创新性问题 三角形的三边关系题型01 1．（24-25八年级上·天津·期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．有长度分别为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．下列命题中，为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．三角形的内角和为 D．三角形任意两边之差小于第三边 4．已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 5．在平面内，分别用3根、4根、5根、6根…火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成什么形状的三角形？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示： 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题： (1)用4根火柴能搭成三角形吗？ (2)用8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图． 火柴数 8 12 示意图 形状 利用三边关系取舍值题型02 1．（24-25上·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为（   ） A．18 B．22 C．24 D．18或24 3．一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是_______． 4．（24-25八年级上·重庆·月考）已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为______． 5．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值． 大边对大角，大角对大边题型03 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海·学情自测）在中，若，则，其依据是___________． 3．在中，已知，，则的取值范围是_____． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 5．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 三角形的高题型04 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． (1)【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； (2)【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 5．按下列要求画图并回答问题： (1)在图1中将的面积分成1：3的两部分，并描述你的作法______________； (2)在图2中，完成以下问题： ①作的高，； ②比较______的大小（用“>”“<”“=”填空）； ③请用无刻度的直尺（只能画直线）作出边上的高，描述的作法_____． 三角形的角平分线题型05 1．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 3．下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 4．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 与角平分线有关的求值题型06 1．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，平分，交于点，若，，则为__________．    5．已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接． (1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出的数量关系； (2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，求的大小． 与角平分线有关的证明题型07 1．如图，是的角平分线，，交于点E．图中与有什么关系？为什么？ 2．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD． 3．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分． 4．（25-26八年级上·新疆·期中）如图，外角平分线．求证：． 5．如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 三角形的高、中线与角平分线的有关综合计算题型08 1．（24-25八年级上·贵州·月考）如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，分别是的中线、角平分线和高线．请指出图中相等的角及相等的线段． 4．如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 5．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在的直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）． 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ； 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图，是上一点，则有．如图，中，M是上一点＝，N是的中点，若三角形的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示） 三角形的识别与有关概念题型09 1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 3．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（    ） A．8 B．18 C．24 D．36 4．在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°，那么△ABC是_______三角形．（选填“锐角”“钝角”或“直角”） 5．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 三角形的垂心题型10 1．三角形三条高的交点一定在　　 A．三角形内部 B．三角形外部 C．三角形内部或外部 D．以上说法都不完整 2．我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 利用三角形的三边关系求范围题型01 1．若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（   ） A．3 B．4 C．6 D．10 2．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，    PB=12m，那么AB间的距离不可能是（   ）． A．5m B．15m C．20m D．28m 3．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．若三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_______． 5．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是____________． 利用三角形的三边关系进行化简题型02 1．已知，，是三角形的三条边，化简__________． 2．已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝___． 3．（24-25七年级下·宁夏·期中）若、、分别为三边，化简：． 4．已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 5．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 利用三边关系求最值题型03 1．一个三角形三条边的长度均为整厘米数，已知其中两条边的长度分别是、，第三条边最长是（　　）． A．11 B．10 C．9 D．8 2．如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（    ） A． B． C． D． 3．已知三角形的三边长分别为3，5和，则整数x的最大值为________． 4．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 5．（1）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10选出5个数，使得这5个数的任意三个数都不能构成某个三角形的三边边长； （2）从1、2、3、4……、2016中任选个数，使所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的的最小值是多少？ 利用三角形的三边关系进行证明题型04 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． (1)如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． (2)如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． 2．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 三边关系的应用题型05 1．中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·模拟）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 4．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 三角形的中线题型06 1．如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 3．（2026·河北张家口·一模）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 4．（25-26八年级·期末）如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A． B． C． D． 5．数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是中线的是（    ） A．沿折叠，点C落在BC边上的点E处 B．沿折叠，点C落在AB边上的点E处 C．沿折叠，使点C与点B重合 D．沿折叠，点C落在三角形外的点E处 利用三角形的中线求长度题型07 1．（25-26八年级上·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 2．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比周长多（ ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（25-26七年级下·福建·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 5．如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长．    三角形的中线与面积计算问题题型08 1．（25-26八年级上·新疆·月考）如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，于点E，为边上的中线，为中边上的中线．已知，，的面积为6． （1）与的周长之差为_____； （2）的面积为_____； （3）的面积为______． 4．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 5．（25-26七年级·陕西宝鸡·质检）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，请按要求画图并回答问题： (1)请画出，使它与关于直线成轴对称； (2)若点P是的重心，请在图中画出边的中线，并求出面积． 等积法求值题型09 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．直角三角形两条直角边分别是和，它的面积是_____ ． 4．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 5．如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 数三角形的个数题型10 1．（25-26八年级上·海南·期中）如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·云南昆明·月考）图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西百色·月考）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 5．如图，在中，，，，…，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中出现了6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接分点的个数 1 2 3 4 出现三角形的个数 ________ ________ ________ ________ (2)若连接n个分点，即连接，，，…，，试用含有n的代数式表示出现三角形的个数为________个； (3)若出现了28个不同的三角形，则共连接了________个分点． 三角形的重心题型11 1．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 3．（25-26八年级上·北京·期末）如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（   ） A．点    B．点    C．点    D．点 (2)如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； (3)如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 网格中求三角形面积题型12 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为________； （2）阴影部分的面积为________． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点B平移到点，点A，C平移后的对应点分别是点，． (1)在给定方格纸中画出平移后的． (2)连接线段、，则线段与的关系是______． (3)的面积是______． 3．（24-25八年级上·天津·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形． (1)在图①中， 作， 使其面积为； (2)在图②中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3． 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 与三角形有关的图形规律题型13 1．如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 2．平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 3．长方形内点的个数与可以形成的三角形个数的有关数据如下：当长方形内点的个数依次为1，2，3，4，…时，可以形成的三角形的个数分别为4，6，8，10，…． 【归纳】观察上述数据中的规律得到：当长方形内点的个数为n（n为正整数）时，可以形成的三角形有________个； 【解决问题】当长方形内有100个点时，可以形成的三角形有________个． 4．如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么，________．    三角形中的线段和角·创新性问题题型 1．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)如图（1），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小； (2)如图（2），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小． 2．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把分割成3个互不重叠的小三角形． 探究二：以的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图． 探究四：以的三个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形． 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形． 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形． 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算) 3．在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在中，，是上的动点，点是的中点，、相交于点．    ①若为的中点，如图2所示，则四边形的面积是________； ②若，如图3所示，则四边形的面积是________． 4．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，点是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作等腰梯形． 5．如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 6．已知M、N直线l上两点，MN＝20，O、P为线段MN上两动点，过O、P分别作长方形OABC与长方形PDEF（如图），其中，两边OA、PF分别在直线l上，图形在直线l的同侧，且OA＝PF＝4，CO＝DP＝3，动点O从点M出发，以1单位/秒的速度向右运动；同时，动点P从点N出发，以2单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t秒． （1）若t＝2.5秒，求点A与点F的距离； （2）求当t为何值时，两长方形重叠部分为正方形； （3）运动过程中，在两长方形没有重叠部分前，若能使线段AB、BC、AF的长构成三角形，求t的取值范围． 7．（24-25八年级·质检）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $