专题04 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（       ） A. 5 B. 7 C.  D.  【答案】D 【分析】 利用椭圆的定义得出椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2倍长半轴长，再利用椭圆的标准方程求出，进而求解． 【详解】    椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2倍长半轴长，即， 又，焦点在轴上， ，故长半轴长， 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为，故D正确． 故选：D． 2．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出椭圆平行与直线的切线方程，进而利用两平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】 设椭圆平行于直线的切线为，代入椭圆方程得， 则，解得， 则切线方程为． 由于在椭圆上方，故直线与直线之间的距离即为椭圆上的点到直线的最大距离， . 故选：B. 3．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的定义得到，，再根据抛物线的定义求出点的坐标，利用两点间距离公式得到方程，即可求出，即离心率. 【详解】 因为抛物线的焦点为，则抛物线方程可写为， 若，则， 由椭圆的定义得，所以，， 由抛物线的定义得，所以点的横坐标， 代入抛物线方程得，， 所以，即， 所以. 所以椭圆的离心率. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（       ） A. 10 B. 13 C. 19 D. 21 【答案】C 【分析】 根据题目条件利用椭圆的定义转化，结合三角形性质即可求出的最大值. 【详解】 已知椭圆方程：， 故：，， 焦距：， 焦点为：， 已知，在椭圆上，求： 由椭圆的定义：，可得， 代入目标：， 问题转化为求：， 对于任意点，由三角形性质可得（三点共线时取等）：， 因此：，又， ， ，. 故选：C 5．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）（多选）已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（     ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D. 【详解】 A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确.    故选：BCD 6．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可. 【详解】 由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 7．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（       ） A. 椭圆的离心率为 B.  C. 点的纵坐标满足 D.  【答案】ACD 【分析】 根据椭圆的定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断. 【详解】 对于A，由题意知，，，则，，故，故A正确； 对于B，在中，由椭圆的定义，， 由余弦定理， ， 即，解得，故B错误； 对于C，由的面积， 可得，故C正确； 对于D，由C选项知，点的横坐标满足， 所以，故，故D正确. 故选：ACD. 8．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知椭圆的长轴长为短轴长的3倍，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【分析】 利用椭圆的性质求解即可. 【详解】 ，椭圆的长轴长，短轴长，由题意可知，，解得. 故选:A 9．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）（多选）已知为椭圆：上一动点，的左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（       ） A. 的周长为定值10 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为 【答案】ABC 【分析】 根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解. 【详解】 ∵椭圆C方程为：， 的周长为，∴A正确； ∴面积的最大值为，此时位于短轴的端点，∴B正确； 对C，由椭圆，所以，又，所以， 所以，当三点共线取最大值，故C正确； 对于D：直线与椭圆交于，两点， 设，且的中点为， 因为，所以， 则，，所以 ，则的斜率为，D选项错误. 故选：ABC 10．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，则，利用椭圆的定义及勾股定理解得， 表示出，，再利用锐角三角函数表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出离心率. 【详解】 如图所示，设，，设，则， 在中，， 由椭圆定义可知，， ，解得， 所以，， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ， ，即0， 解得，所以椭圆离心率. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（     ） A.  B.  C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】 椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组 ，可得， 所以的面积为. 故选：C 12．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由椭圆的定义得出，于是有，只要求得的最大值即可得，而，从而可得结论． 【详解】 由可知，， 所以，， 所以， 而，即， 故，当且仅当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 故选：C 13．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】 根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A. 14．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，且椭圆C的离心率为，则（       ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的短轴长为 C. 椭圆C的焦距为 D. 椭圆C的一个顶点坐标为 【答案】ABD 【分析】 根据椭圆的蒙日圆的定义结合已知条件得出，利用椭圆的性质和离心率得出，从而求出，进而判断各选项． 【详解】 与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆，即为该椭圆的蒙日圆， 设椭圆的蒙日圆半径为，则， 椭圆C：的蒙日圆方程为， ， ，， ，解得， ，解得，即， ，即，， 椭圆方程为， 选项A：椭圆C的长轴长为，故A正确； 选项B：椭圆C的短轴长为，故B正确； 选项C：椭圆C的焦距为，故C错误； 选项D：椭圆C的一个顶点坐标为，故D正确． 故选：ABD． 15．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】 连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 16．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）（多选）已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B不是椭圆的顶点，过点A作轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（       ） A. 四边形的周长为16 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D.  【答案】BCD 【分析】 对A：利用四边形为平行四边形及椭圆定义可求四边形的周长； 对B：由为定值，再结合基本不等式求的最小值即可； 对C：直线AB的方程为，与椭圆方程联立，将的面积表达为的函数，再用基本不等式求最值. 对D：设，，，求得，又，可求得，验证是否垂直. 【详解】 对于A，连接，，AF，BF，则四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为8，故A错误； ， 当且仅当时，等号成立，故B正确； ∵A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，∴设直线AB的方程为， 由 得，∴， ∴的面积， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，设，，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 则， 又点P和点A在椭圆C上，①，②，①②得， 因为，则，得， ∴，∴，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】 椭圆第三定义：为椭圆上一点， 为离心率， ①为两个顶点，则； ②为关于原点对称的两点，则； 以上结论也适用于双曲线. 17．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】 因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解， 【详解】 圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，，则，， 由椭圆定义得的轨迹方程为， 故答案为： 19．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）若方程所表示的曲线为椭圆，且焦点在轴上，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据椭圆的标准方程列出条件求解. 【详解】 若曲线为椭圆，且焦点在轴上， 则 ，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：． 20．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），焦点在轴上； （2）椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设椭圆的标准方程为，结合求解即可； （2）设椭圆的标准方程为，结合椭圆的定义利用求解即可. (1) 小问详解： 设焦点在轴上的椭圆标准方程为， 由,,得. 因此标准方程为，即. (2) 小问详解： 由焦点、，可知焦点在轴上，且； 设椭圆的标准方程为， 由“点到两焦点的距离之和为10”，可知，即. 由，得， 因此标准方程为. 21．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）在直角坐标系中，过圆上任意一点作轴的垂线段为垂足．当点在圆上运动时，总有，设点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设点，，利用的中点在圆上建立方程； （2）联立直线和曲线方程，利用三角形面积公式建立方程，解出即可. (1) 小问详解： 设点，点， 则点． 由是的中点得：. 因为点在圆上，所以 将代入方程得：． 故的方程为：. (2) 小问详解： 设直线的方程为：， ，， 联立 ， 得 解得；，所以或 所以直线的方程为或. 22．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． (1) 小问详解： 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立 ，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 23．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知，分别为椭圆的左右焦点，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出直线的方程，设出点坐标，利用向量垂直的坐标运算得到，根据，并借助和，化简得到，再利用椭圆中，即可得解. 【详解】 如图，由题意得，，，， 直线的方程为：， 点在直线上，设点坐标为， 则，， 由，得， 即，即， 化简得　　（1） 直线上存在点，使得，即方程（1）有解， 所以， 化简得，即， 化简得，即，即， 解得：，即， 即， 即，又椭圆中， 所以. 故答案为：. 【点睛】 本题考查椭圆中离心率的取值范围的求解，其中涉及到向量垂直的坐标运算，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题. 24．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知椭圆经过点，且离心率． （1）求的方程； （2）记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 【答案】（1）     （2）    由（1）得，易知直线的斜率存在且不为0， 设． 由 得， 由，得． 所以，则， 把，代入，得， 把代入，得，不满足， 所以， 则， 所以直线关于直线对称．      【分析】 （1）根据椭圆上的点和离心率列方程，然后解方程得到即可得到椭圆方程； （2）设直线的方程，然后与椭圆联立，利用韦达定理得到，即可得证. (1) 小问详解： 由经过点，得， 由，得，所以， 与联立，得， 所以的方程为． (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知椭圆C：，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若，记线段AB的中点为，求的坐标； （ⅱ）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1）     （2）（ⅰ）当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是. （ⅱ）．      【分析】 （1）根据椭圆的定义求出，进而可求出椭圆的标准方程. （2）（i）分两种情况讨论，当线斜率不存在时和当线斜率存在时，分别求出，根据其值为0求出点的坐标；（ii）设直线的方程可化为，联立该直线与椭圆方程组，结合韦达定理，化简的表达式，然后利用基本不等式的性质求出最大值即可. (1) 小问详解： 由，得． 由离心率，得． 则．所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）由（1）得点坐标，易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 因为，所以. ① 直线斜率不存在时，在椭圆方程中令，得， 不妨设，所以； ② 直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为. 设，联立 ，消去得， 则有，所以 解得. 当时，， 所以点的坐标是； 同理当时，点的坐标是. （ii）设直线的方程可化为，联立 ， 消去得，则有， 所以，又，所以，则． 同理设，则． 所以 ． 当且仅当，即，时取等号． 故的最大值为． 26．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）已知椭圆的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为　　　　. 【答案】 【分析】 先根据已知条件求得椭圆的方程.设出的坐标，根据直线、、的方程求得，进而求得与的面积之比. 【详解】 焦点在轴上，两个顶点分别为点，，， ，， 椭圆的方程为； 设，，可得， 直线的方程为：， ，，直线的方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理为：，即， ，计算可得， 代入直线的方程可得.，则， 又. 故答案为： 27．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. （1）求的方程； （2）若上存在不关于轴对称的两点M， N，使得恰好被轴平分， ①证明：直线MN过定点； ②求△MTN面积的取值范围. 【答案】（1）     （2） ① 由题意可知，直线的方程可设为， 设，                                  联立 整理得，                     所以，，                                                             因为恰好被轴平分，即， 易知直线的斜率与直线NT的斜率存在且， 即，                                                整理得，即，即. 因为，所以时符合题意，即直线经过定点. ②      【分析】 （1）由离心率及两个顶点间的距离求出，得到方程； （2）设直线的方程为，由可得求出定点；由结合基本不等式求出范围. (1) 小问详解： 依题意可得                                                  解得，                                                             所以的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②的面积 ， 当且仅当时，即时，等号成立，        因为，所以面积的取值范围是.              28．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出椭圆的方程，设直线与椭圆的另一个交点为，由对称性得出，进而得出，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的最小值，进而得解. 【详解】 半圆的圆心为，半径为， 半圆的圆心为，半径为， 对于椭圆的焦距为，则，可得， 所以，椭圆的方程为，如图所示， 设直线与椭圆的另一个交点为， 由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称， 即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，， ， 若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设直线的方程为，设点、， 联立 可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， 故当时，取最小值， 则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于利用对称性得出，由此得出，将问题转化为椭圆的焦点弦长的最值问题. 29．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）①（）；② 存在，.      【分析】 （1）根据离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）① 利用相关点代入法求轨迹方程即可；② 设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理计算，由可得，根据斜率公式及韦达定理即可求解. (1) 小问详解： 由题意，，所以， 而，所以， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 设，，由题意得， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 所以， 因为在椭圆上，所以， 可得，所以， 所以，即， 因为不与重合，所以， 所以的轨迹为（）. ② 设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设， 因为， 所以， 则， 即， ， 即，即， 所以， 因为不恒为0，所以，所以， 所以在轴上存在定点，使得，此时. 30．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】 设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以 ，即 ，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 31．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知为椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线分别交椭圆于和，且，试求四边形的面积S的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 (1)由椭圆的定义及离心率的意义求出a，b即可得解； (2)按直线l1的斜率是否存在及是否为0的三种情况讨论，分别求出AC，BD长，再建立起S的函数关系，探讨其值域即可得解. 【详解】 （1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率得半焦距，， 所以椭圆的标准方程为：； （2）由(1)知点， ① 当直线的斜率为0时，直线的方程为，则，直线的方程为， 则与椭圆的二交点坐标为，，此时，可得； ② 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，，此时， 直线的方程为，则，可得； ③ 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线， 由 得， ，设，则， 所以， 同理可得， 所以． 由于（当时取等号），，， ，，所以， 综合① ② ③ 可知，四边形面积的取值范围是． 【点睛】 结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离； 直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离. 32．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】（1）     （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）1      【分析】 （1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. (1) 小问详解： 依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 (2) 小问详解： （i）略 （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 33．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为　　　　　　． 【答案】.125 【分析】 根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解. 【详解】 设椭圆:，（），则. 设椭圆:，（），则. 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以. 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，为. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题的关键在于把表示成函数，结合函数的值域求解. 34．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设椭圆的左顶点为，下顶点为，右焦点为，，为坐标原点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知过且斜率的直线与交于不同于的两点，. （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）若，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）（i）（ii）      【分析】 （1）先将点的坐标表示出来，然后根据已知条件列出方程组，进而求出，从而得到椭圆的标准方程. （2）（i）先求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，化简的表达式，即可求得其值；（ii）利用和差倍角的正切函数，结合几何图形进行化简得到，然后利用韦达定理求出，进而根据（i）中的结果求出，从而得到直线方程. (1) 小问详解： 设，，， 由条件可知， 解得 故椭圆的标准方程为 (2) 小问详解： （ⅰ）由（1）可知，. 设直线的方程为，，，， 由 ，消去，化简得， 则，， 由题意得，， ， 则 （ⅱ）不妨设，，如图，，， 所以， 由（ⅰ）可知， ， 所以，则， 当时，由（ⅰ）知，，所以； 当时，由（ⅰ）知，，所以， 故直线的方程为，即. 35．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）或；（ii）存在，.      【分析】 （1）利用椭圆定义和基本不等式求，结合离心率求解可得； （2）（i）直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；（ii）利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得. (1) 小问详解： 因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 故，所以，所以， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）设， 由 得， 由直线与椭圆交于两点，知，得， 所以或. （ii）存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知，设直线的方程为， 令，得，同理， 又由（i）知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得 得，所以点的坐标为. 36．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】（1）     （2）由，得直线斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程 ，得， 则，，，所以直线与椭圆相切， 线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；     （3）点 的轨迹是圆，该圆的方程为      【分析】 （1）根据椭圆焦点坐标得 ，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程； （2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰有一个公共点； （3）解法一：设出直线方程，直线与椭圆联立方程消掉一个未知数，根据判别式等于0，即可求解．解法二：利用椭圆的定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到，从而得到点 的轨迹和轨迹方程． (1) 小问详解： 因为椭圆左、右焦点分别为，，所以 ， 又因为椭圆的离心率为，得 ，所以， 所以椭圆方程为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为， 此时，解得或 ； 当时，的垂直平分线方程为： ， 联立 ， 得， 即 因为线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点， 故， 即， 则， 即， ，即， ， 而，也满足该式， 故点 的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 解法二：设线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点为 ， 则当点 不在长轴时，线段的垂直平分线即为点 处的切线，也为的角平分线，     作的角平分线 ，根据椭圆的光学性质得， ，则，故， 所以三点共线，所以， 所以点 的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当 在椭圆长轴上时，点 为或也满足， 故点 的轨迹是圆，该圆的方程为. 37．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 【答案】（1）；     （2）① 当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为. 因为右焦点，直线的方程为，设. 由 ，消去得，. ，，. 所以线段的中点M的坐标，，即. 同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成）， 所以线段的中点N的坐标，，即. 所以的斜率，其中，直线的方程为 ，化简，即 所以当，直线：过定点.如图：    当时，，此时直线与轴垂直且过定点； 当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点； 当直线的斜率不存在时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 当直线的斜率为0时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 综上可知，直线过定点. ②.      【分析】 （1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）① 根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点. ② 由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值. (1) 小问详解： 因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线的斜率存在且不等于零时， 由① 可知， 同理可得（只需将换成），因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值. 当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换， 此时，，或者， 所以，显然. 综上可知，所以四边形面积有最小值. 38．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知为椭圆上一点，为圆：上一点，且的最大值为6，则该椭圆离心率的最大值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出圆的圆心、半径，利用圆的几何性质确定最大值条件，再利用两点间距离公式，借助一次函数性质求出最大值，进而求出离心率的最大值. 【详解】 圆的圆心，半径， 由，得的最大值为6等价于的最大值为4， 设，由，得，又，则， 整理得在上恒成立， 当时，显然不等式在时恒成立； 当，由在上， 因此，即在上恒成立， 令，由，得函数在上单调递减， 于是，解得，则， 综上，，解得， 所以椭圆的离心率的最大值为. 故答案为： 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）双曲线的渐近线方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 令可得. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，即． 故选：C. 2．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）与圆及圆都内切的圆的圆心在（       ） A. 双曲线上 B. 直线上 C. 圆上 D. 椭圆上 【答案】D 【分析】 根据椭圆的定义确定正确答案. 【详解】 圆的标准方程为， 圆心为，半径为． ，圆心为，半径为． 设所求圆的圆心为，半径为， 则，，， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的椭圆． 故选：D． 3．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用双曲线方程可以写出渐近线方程和顶点坐标，再用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解． 【详解】 由题意，双曲线渐近线方程为， 因为一条渐近线与直线平行，可得， 则，即双曲线的离心率为． 故选：C． 5．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【详解】 在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 6．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 连接，，，，由条件证明四边形为矩形，利用勾股定理和双曲线定义联立求出的值，代入三角形面积公式即得. 【详解】 由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，，，三点共线， 连接，，，，，则四边形为矩形， 所以，，    由双曲线可得，， 则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以. 故选：B. 7．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】    如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 8．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】 设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】 如下图所示： 因为，则，， 所以，， 因为，则， 设，则，则， 由勾股定理可得，即， 整理可得，因为，解得，所以，，， 由勾股定理可得，即，整理可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】 设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】 由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 12．（25-26学年高二上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，点在的右支上，直线与交于另一点的中点为为坐标原点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线的斜率不可能为 B. 可以为90° C. 存在点，使得 D. 点的横坐标可以为 【答案】AC 【分析】 对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用F_1A F_2A，求出A点的横坐标在，结合选项A的斜率分析判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得k_OM· k_AB=(b^2)/(a^2)，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】 设点，，，F_2( c,0)， 由题知离心率e=(c^2)/(a^2)= (a^2+b^2)/(a^2)=1+(b^2)/(a^2)=√5，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于选项A：如果存在点，使得直线的斜率为， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A正确； 对于选项B： 因为，， 若，即F_1A F_2A， 可得F_1A · F_2A =x_0^2-c^2+y_0^2=0，即， 而位于双曲线右支上，其中， 则，可得，解得，， 则直线的斜率，由选项A可知不符合题意， 故不存在点，使得，故B选项错误； 对于选项C：由，即，化简得， 由点在的右支上可知：， 故存在点，使得，故C选项正确； 对于选项D：设，，， 因为的中点为，根据中点坐标公式可知M((x_0+x_1)/(2) ,(y_0+y_1)/(2) )， 故k_OM =(y_0+y_1)/(x_0+x_1)，k_AB =(y_0-y_1)/(x_0-x_1)，可得， 而，两点均位于双曲线上， 则 ，两式相减得：， 化简得，故k_OM· k_AB=(b^2)/(a^2)， 即，可得， 且，可得， 可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 故选：AC. 13．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（       ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到S_△ _F_1PF_2=b^2 (∠ F_1PF_2)/(2)，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果S_△ _F_1PF_2=b^2 (∠ F_1PF_2)/(2)，再结合条件，即可求解. 【详解】 对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又S_△ _F_1PF_2=(1) /(2) mn ∠ F_1PF_2， 所以S_△ _F_1PF_2=(1) /(2) × (2b^2)/(1- ∠ F_1PF_2)× ∠ F_1PF_2=b^2 (∠ F_1PF_2)/(2)，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 14．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由双曲线定义可知轨迹，求出得解即可； （2）由题意求出点到轴的距离，利用三角形面积公式得解. (1) 小问详解： 因为， 由双曲线定义得，点的轨迹是以，为焦点，且的双曲线， 所以， 故的方程为． (2) 小问详解： 由题意得，的渐近线方程为， 以为直径，则为直角，且， 从而得到点到轴的距离为， 所以四边形的面积． 15．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线与交于另一点，若，，则的离心率为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据双曲线的定义及图形，再结合勾股定理计算得出，即可得出离心率. 【详解】 如图，连接，，设，则， 由双曲线的定义可知，，， 设，则，. 在中，， 即，整理得，① 又，在中，， 即，整理得，② 由②① 得，，则，所以，. 在中，， 即，化简得. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知双曲线：的右焦点为，则点到的一条渐近线的距离为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 先求出右焦点坐标及渐近线，再利用点到直线距离公式计算求解. 【详解】 双曲线：的右焦点为， 渐近线为， 则点到的一条渐近线的距离为． 故答案为：2. 17．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 先利用点差法得到，结合，可得.再设，利用和三点共线，可得的关系，进而求双曲线的离心率. 【详解】 如图：    设，，则. 由 ， 所以. 又，，所以. 又，所以． 设，由，得． 又三点共线，故． 代入，得，故． 离心率. 故答案为：2 18．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程. （2）设为双曲线与轴负半轴的交点，直线与双曲线交于异于点的两点.若以为直径的圆经过点且于点，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】（1）     （2） 易知，设， （i）当直线的斜率存在时，设的方程为， 由 化简得， 则，即，且 ， 因为， 所以， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. （ii）当直线的斜率不存在时，由对称性可知，不妨设直线的方程为， 由 得（舍去）或，此时直线过定点. 因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，即为的中点，为该圆半径， 因为中点坐标为，即为，且， 故存在定点，使得为定值. 【分析】 （1）根据条件计算出的值，则双曲线的标准方程可求； （2）先根据条件证明直线过定点，然后再根据圆的几何性质判断出定点的位置，由此可完成证明. (1) 小问详解： 由题意知，因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以， 故双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 略 19．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2． （1）求双曲线的方程． （2）直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点． ①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标； ②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值． 【答案】（1）     （2） ① 证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点， ，， 设直线的方程为，， 联立双曲线得，( )， ， ，， ， ，解得或， 若，则直线过，与题意矛盾舍去，故， 直线过． ②9      【分析】 （1）根据已知条件，结合双曲线的性质求出，进而得出双曲线方程； （2）① 根据已知条件结合圆的性质得出，设直线方程为，联立双曲线方程，根据韦达定理得出坐标关系，结合垂直关系得出向量数量积为0，从而解出的值，求出点坐标证明结论；② 利用① 结论联立方程，运用韦达定理结合三角形面积公式得出三角形面积表达式，结合位于右支得出参数取值范围，构造函数求出面积最小值． (1) 小问详解： 双曲线的左右顶点分别为且， ，， ，， ， 双曲线：． (2) 小问详解： ① 略 ②，， ， 由① 知，直线：， 联立双曲线方程得( ), ， 都在双曲线的右支上，，， ， ， 令，则，代入得 ， 令，，解得， ， 求导得，在时恒成立， 在单调递增，在时取最小值，， 的最小值为9． 20．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． （1）求的方程． （2）过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）（i）由的方程知， 设． 由 得， 因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得， 即， 所以． 直线的方程为， 令，得， 所以，同理得． 所以 即． 当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足； 当时，有，也满足． 综上，． （ii） 所以，即存在，符合条件． 【分析】 （1）由已知可求得，进而由离心率求得，可求得的方程． （2）（i）设，将直线方程与的方程联立，由韦达定理可得，求得点的坐标，分与两种情况讨论可得结论；（ii）根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. (1) 小问详解： 设的半焦距为． 因为在上，所以， 因为的离心率，即， 所以． 故的方程为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 21．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. （1）求双曲线的标准方程. （2）若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 【答案】（1）     （2）（i）是定值，1；（ii）      【分析】 （1）由题设条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（i）设，可得，，利用和角公式即可推得；（ii）直线与双曲线联立，消元后得韦达定理，求出和的表达式，利用（i）已得建立方程，求解即得. (1) 小问详解： 根据题意，得，， 解得，， 则双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： （i）判断：为定值. 如图设， 则， 所以 所以的定值为1. （ii）联立直线与双曲线，得. 由题可知 解得，且， 设，则 所以. 由（i）得，即，即， 所以，解得，可得. 因为两点均在第一象限， 所以，故， 综上，当时，. 22．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设，为双曲线的左、右顶点，的渐近线方程为，且经过点.直线与分别相交于，两点（异于点，）. （1）求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且斜率为1，求的面积； （3）若轴，直线与直线相交于点，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；     （2）；     （3）（且）.      【分析】 （1）由渐近线的方程结合双曲线的方程得到，将点代入双曲线，联立方程组求解； （2）求出直线的方程，设，，直线和双曲线联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离求出点到直线的距离为，利用三角形面积得到的面积. （3）写出和的坐标，设，，由轴得到的坐标， 由，，三点共线利用斜率相等建立等式，由，，三点共线利用斜率相等建立等式，这两个等式相乘得到一个等式，代入双曲线方程，从而得到. (1) 小问详解： 由双曲线的渐近线方程为可知，，① 又经过点，所以，② 由① ② 解得，， 故双曲线的方程为； (2) 小问详解： 易知直线的方程，设，， 由 ，整理得， 则，， 所以， 又点到直线的距离为， 故的面积 (3) 小问详解： 易知，， 设，，因为轴，所以， 因为，，三点共线，所以；① 因为，，三点共线，所以；② 由① ×② ，得， 又，所以， 所以，整理得， 当时，，此时，与矛盾，故， 故点的轨迹方程为（且）. 23．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程． （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①若是双曲线上异于，的一点，且，证明：的面积小于． ②过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1）；     （2） （2）① 由题意可知，，，， 因为， 又因为，即 又因为,, 在中，由余弦定理可得， 即, 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以， 又因为三角形与三角形的高相等，且， 所以； ②在定直线上.      【分析】 （1）根据离心率为，过点，求解即可； （2）① 在三角形中，由余弦定理及基本不等式可得，再由，三角形与三角形的高相等，可得，即可得证； ② 分直线与轴不垂直和直线与轴垂直两种情况分别求解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线的离心率为， 所以， 所以， 所以双曲线方程为， 又因为双曲线过点， 所以， 解得， 所以双曲线方程为 (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线与轴不垂直时，设的方程为， 由 ，得， 又因为与右支交于，两点， 所以 ， 所以； 设 则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 由， 得， 即， 整理得 ； 当直线与轴垂直时，的方程为， 由 ，解得 或 ， 不妨设 则直线的方程为； 直线的方程为， 由, 得， 所以， 即， 解得， 综上，点M在直线上. 24．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】 因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立 ，解得， 所以点的坐标为， 联立 ，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）（多选）对抛物线，下列描述正确的是（　　） A. 开口向上，焦点为 B. 开口向右，准线方程为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向上，准线方程为 【答案】AD 【分析】 把抛物线化为标准形式，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】 由题意，把抛物线化为标准形式， 则抛物线的开口向上，且，所以焦点为，直线方程为. 故选：AD. 2．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，则（       ） A. 的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D.  【答案】BC 【分析】 根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程即可判断AB，然后再由抛物线的焦半径公式求解判断CD. 【详解】 由抛物线，则，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，由于点在上，则， 而，则，即，所以，故C正确； 对于D，，当且仅当，即在原点时，等号成立，故D错误. 故选：BC 3．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）抛物线的准线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线的准线方程求解即可. 【详解】 由抛物线，则，即， 所以抛物线的准线方程是. 故选：D 4．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】 因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（     ） A. 2029 B. 2030 C. 2031 D. 2032 【答案】B 【分析】 利用抛物线的定义将点到直线的距离转化为点到焦点的距离即可求出. 【详解】 由已知得的焦点为，准线为， 设为点到的距离，设为点到的距离， 则，即， 由抛物线的定义得，故所求距离之和为， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ， ， 当点为线段与的交点时取等号． 故选：. 6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）（多选）过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（     ） A. 的最小值为4 B.  C. 以为直径的圆过点 D. 以为直径的圆过点 【答案】BC 【分析】 由抛物线的方程求得焦点，设直线的方程，联立抛物线的方程，得为定值.利用基本不等式可判断A；根据垂直直线斜率乘积为判断B；由圆周角为直角，根据向量垂直的坐标表示可判断C、D. 【详解】 对于，由题得，设直线的方程为，与联立， 得，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，抛物线C的准线方程为，设，由， 得. 所以，即，故B正确； 对于C，由上述分析知，同理有， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以为钝角，点在以为直径的圆内，故D错误． 故选：BC. 7．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】 如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点， 设，所以，由抛物线的定义得，所以， 在中，，又因为， 解得，又记准线与对称轴交于点，因为，解得，即到抛物线的准线的距离为4. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）（多选）已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（     ） A. 拋物线的准线方程为 B. 若直线过，且轴，则 C. 若直线过，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【分析】 根据抛物线方程求出，确定焦点位置，即可判断A项；通过计算点的坐标易判断B项；设的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C项；对于D项，结合图形可推出当且仅当经过点时，，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，计算的中点的横坐标，即得的中点到轴距离的最小值为2. 【详解】 由可知抛物线的焦点在轴正半轴上，且. 对于A，拋物线的准线方程为，故A正确； 对于B，因直线过，且轴，把代入，解得， 故，故B正确； 对于C，由上分析知，因直线的斜率不能为0，故可设其方程为， 代入，可得，由韦达定理，可得，故C错误； 对于D，由图知，，当且仅当经过点时，等号成立. 设直线的方程为，，代入，可得， 则，由韦达定理，可得，， 则， 因，故可得，即得， 设的中点为，而即点到轴的距离， 因， 故当时，的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确. 故选：ABD. 9．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）（多选）已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（       ） A. 若直线过抛物线的焦点，则 B. 若线段的长度为8，则 C. 当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为 D. 无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形 【答案】AC 【分析】 对于A，利用抛物线的标准方程即可得出答案；对于B，利用弦长公式求出弦长，令弦长等于8，将代入验证即可；对于C，利用点到直线的距离公式，列出方程，判断解的个数即可；对于D，分类讨论，根据不同的边相等列出等式，计算解的个数即可判断. 【详解】 对A，若直线过抛物线的焦点，所以焦点为，即，故A正确； 对B， ， 设，，则， ， 代入验证不成立，故B错误； 对C，当时，，直线， 设抛物线上点，， 则到直线距离， 即有两个解，或， 所以共有3个这样的点P，故C正确； 对D，为等腰三角形, ∴，，三种情况， 当时，M在AB垂直平分线上，设AB中点为，， 即AB垂直平分线的方程为，联立， 得到， ，所以方程有两个解， 故此时符合题意的点M有2个，如下图， 当时，M在以B为原点，AB为半径的圆上，如图， ∵直线，∴倾斜角为，， 故此时符合题意的点M至少一个，且不与重合， 当时，M在以A为原点，AB为半径的圆上，如图， 故此时符合题意的点M至少一个， 综上，无论p为何值，使得为等腰三角形的点M至少4个，故D错误， 故选：AC. 10．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（       ） A. 点F的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个P点，使得 D. 若为正三角形，则圆M与直线PQ相交 【答案】ACD 【分析】 对A，准线与圆相切，可知，即可确定焦点为F坐标，即可判断选项；对B，转化为，根据将军饮马理论可判断选项； 对C，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对D，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断. 【详解】 对A，准线与圆相切， 可知，可得，所以，故A正确； 对B，根据可得， 可确定最小值为，故B错误；    对C，若，则，做中垂线， 根据题意知，设为中点，则可得， 直线斜率为，根据点斜式可确定为， 与抛物线联立得， ， 所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确； 对D，根据为正三角形，所以，则， 且，所以可得，和圆与轴交点为， ，所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确.    故选：ACD 【点睛】 关键点点睛：合理利用抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等. 11．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. (1) 小问详解： 设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 12．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知抛物线：的准线方程为． （1）求抛物线的方程； （2）直线：交抛物线于、两点，求弦长． 【答案】（1）     （2）8      【分析】 （1）根据抛物线的准线求得，从而求得抛物线的方程. （2）联立直线的方程和抛物线的方程，根据根与系数关系求得. (1) 小问详解： 由抛物线：的准线方程为，得，． 抛物线的方程为． (2) 小问详解： 设，， 由 消去，得，则，． 又直线过抛物线的焦点， ． 13．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为　　　　　． 【答案】8 【分析】 先求得双曲线的右焦点，结合抛物线的知识求得的值. 【详解】 双曲线，，右焦点， 抛物线的焦点为，所以. 故答案为： 14．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得 ， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立 ，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 15．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是　　　　　　　　　　　 【答案】3 【分析】 求出焦点，准线，作出辅助线，设动点直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到. 【详解】 由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，即时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3.    故答案为：3 16．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）设直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，通过，求得斜率，再由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由点在抛物线上，得， 由，可得，得， 所以抛物线的方程； (2) 小问详解： 当斜率不存在时，方程为：， 此时， 则， ，不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为：， 联立抛物线方程消去可得： ， 设， 又，则， 代入， 可得： 代入 得： 化简可得：， 即或， 当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去， 当，直线方程为， 所以 由弦长公式得： 17．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； （3）直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【答案】（1）；     （2） ；     （3） 由题意可知直线斜率不为0，设其方程为， 联立方程得： ， 整理得：，， 其中，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又因为， ∵，∴， 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时， 所以定点为，为定值２．      【分析】 （1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为， 则，即， 所以抛物线为； (2) 小问详解： 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程： ， 得，，设， 由韦达定理得， 故； (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（       ） A. 5 B. 7 C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（       ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（       ） A. 10 B. 13 C. 19 D. 21 5．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）（多选）已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（     ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 6．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 3 7．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（       ） A. 椭圆的离心率为 B.  C. 点的纵坐标满足 D.  8．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知椭圆的长轴长为短轴长的3倍，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）（多选）已知为椭圆：上一动点，的左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（       ） A. 的周长为定值10 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为 10．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（     ） A.  B.  C. 4 D. 5 12．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，点，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，且椭圆C的离心率为，则（       ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 椭圆C的短轴长为 C. 椭圆C的焦距为 D. 椭圆C的一个顶点坐标为 15．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）（多选）已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B不是椭圆的顶点，过点A作轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（       ） A. 四边形的周长为16 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D.  17．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为　　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）若方程所表示的曲线为椭圆，且焦点在轴上，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），焦点在轴上； （2）椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 21．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）在直角坐标系中，过圆上任意一点作轴的垂线段为垂足．当点在圆上运动时，总有，设点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 22．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 23．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知，分别为椭圆的左右焦点，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知椭圆经过点，且离心率． （1）求的方程； （2）记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 25．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知椭圆C：，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若，记线段AB的中点为，求的坐标； （ⅱ）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值． 26．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）已知椭圆的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为　　　　. 27．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. （1）求的方程； （2）若上存在不关于轴对称的两点M， N，使得恰好被轴平分， ①证明：直线MN过定点； ②求△MTN面积的取值范围. 28．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 30．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知为椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线分别交椭圆于和，且，试求四边形的面积S的取值范围. 32．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 33．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为　　　　　　． 34．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设椭圆的左顶点为，下顶点为，右焦点为，，为坐标原点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知过且斜率的直线与交于不同于的两点，. （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）若，求直线的方程. 35．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 36．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； （3）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 37．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 38．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知为椭圆上一点，为圆：上一点，且的最大值为6，则该椭圆离心率的最大值为　　　　　　　　. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）双曲线的渐近线方程为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）与圆及圆都内切的圆的圆心在（       ） A. 双曲线上 B. 直线上 C. 圆上 D. 椭圆上 3．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B.  C.  D. 3 5．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  8．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，点在的右支上，直线与交于另一点的中点为为坐标原点，则下列说法正确的是（       ） A. 直线的斜率不可能为 B. 可以为90° C. 存在点，使得 D. 点的横坐标可以为 13．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（       ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 14．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）以为直径的圆与的一条渐近线相交于M，N两点，求四边形的面积． 15．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线与交于另一点，若，，则的离心率为　　　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知双曲线：的右焦点为，则点到的一条渐近线的距离为　　　　　　　　． 17．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知A，B为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线AC，AB的斜率之积为，设直线BC与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程. （2）设为双曲线与轴负半轴的交点，直线与双曲线交于异于点的两点.若以为直径的圆经过点且于点，证明：存在定点，使得为定值. 19．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2． （1）求双曲线的方程． （2）直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点． ①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标； ②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值． 20．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． （1）求的方程． （2）过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. （1）求双曲线的标准方程. （2）若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 22．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设，为双曲线的左、右顶点，的渐近线方程为，且经过点.直线与分别相交于，两点（异于点，）. （1）求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且斜率为1，求的面积； （3）若轴，直线与直线相交于点，求点的轨迹方程. 23．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程． （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①若是双曲线上异于，的一点，且，证明：的面积小于． ②过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点，证明：点在定直线上． 24．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为　　　　　　　　. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）（多选）对抛物线，下列描述正确的是（　　） A. 开口向上，焦点为 B. 开口向右，准线方程为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向上，准线方程为 2．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，则（       ） A. 的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D.  3．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）抛物线的准线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 5．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（     ） A. 2029 B. 2030 C. 2031 D. 2032 6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）（多选）过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（     ） A. 的最小值为4 B.  C. 以为直径的圆过点 D. 以为直径的圆过点 7．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）（多选）已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（     ） A. 拋物线的准线方程为 B. 若直线过，且轴，则 C. 若直线过，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 9．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）（多选）已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（       ） A. 若直线过抛物线的焦点，则 B. 若线段的长度为8，则 C. 当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为 D. 无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形 10．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（       ） A. 点F的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个P点，使得 D. 若为正三角形，则圆M与直线PQ相交 11．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 12．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知抛物线：的准线方程为． （1）求抛物线的方程； （2）直线：交抛物线于、两点，求弦长． 13．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为　　　　　． 14．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 15．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是　　　　　　　　　　　 16．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 17．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； （3）直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．D 2．B 3．A 4．C 5．BCD 6．A 7．ACD 8．A 9．ABC 10．D 11．C 12．C 13．A 14．ABD 15．D 16．BCD 17．【答案】 【分析】 根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】 因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 18．【答案】 【分析】 先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解， 【详解】 圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，，则，， 由椭圆定义得的轨迹方程为， 故答案为： 19．【答案】 【分析】 根据椭圆的标准方程列出条件求解. 【详解】 若曲线为椭圆，且焦点在轴上， 则 ，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设椭圆的标准方程为，结合求解即可； （2）设椭圆的标准方程为，结合椭圆的定义利用求解即可. (1) 小问详解： 设焦点在轴上的椭圆标准方程为， 由,,得. 因此标准方程为，即. (2) 小问详解： 由焦点、，可知焦点在轴上，且； 设椭圆的标准方程为， 由“点到两焦点的距离之和为10”，可知，即. 由，得， 因此标准方程为. 21．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设点，，利用的中点在圆上建立方程； （2）联立直线和曲线方程，利用三角形面积公式建立方程，解出即可. (1) 小问详解： 设点，点， 则点． 由是的中点得：. 因为点在圆上，所以 将代入方程得：． 故的方程为：. (2) 小问详解： 设直线的方程为：， ，， 联立 ， 得 解得；，所以或 所以直线的方程为或. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． (1) 小问详解： 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立 ，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 23．【答案】 【分析】 求出直线的方程，设出点坐标，利用向量垂直的坐标运算得到，根据，并借助和，化简得到，再利用椭圆中，即可得解. 【详解】 如图，由题意得，，，， 直线的方程为：， 点在直线上，设点坐标为， 则，， 由，得， 即，即， 化简得　　（1） 直线上存在点，使得，即方程（1）有解， 所以， 化简得，即， 化简得，即，即， 解得：，即， 即， 即，又椭圆中， 所以. 故答案为：. 【点睛】 本题考查椭圆中离心率的取值范围的求解，其中涉及到向量垂直的坐标运算，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题. 24．【答案】（1）     （2）    由（1）得，易知直线的斜率存在且不为0， 设． 由 得， 由，得． 所以，则， 把，代入，得， 把代入，得，不满足， 所以， 则， 所以直线关于直线对称．      【分析】 （1）根据椭圆上的点和离心率列方程，然后解方程得到即可得到椭圆方程； （2）设直线的方程，然后与椭圆联立，利用韦达定理得到，即可得证. (1) 小问详解： 由经过点，得， 由，得，所以， 与联立，得， 所以的方程为． (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1）     （2）（ⅰ）当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是. （ⅱ）．      【分析】 （1）根据椭圆的定义求出，进而可求出椭圆的标准方程. （2）（i）分两种情况讨论，当线斜率不存在时和当线斜率存在时，分别求出，根据其值为0求出点的坐标；（ii）设直线的方程可化为，联立该直线与椭圆方程组，结合韦达定理，化简的表达式，然后利用基本不等式的性质求出最大值即可. (1) 小问详解： 由，得． 由离心率，得． 则．所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）由（1）得点坐标，易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 因为，所以. ① 直线斜率不存在时，在椭圆方程中令，得， 不妨设，所以； ② 直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为. 设，联立 ，消去得， 则有，所以 解得. 当时，， 所以点的坐标是； 同理当时，点的坐标是. （ii）设直线的方程可化为，联立 ， 消去得，则有， 所以，又，所以，则． 同理设，则． 所以 ． 当且仅当，即，时取等号． 故的最大值为． 26．【答案】 【分析】 先根据已知条件求得椭圆的方程.设出的坐标，根据直线、、的方程求得，进而求得与的面积之比. 【详解】 焦点在轴上，两个顶点分别为点，，， ，， 椭圆的方程为； 设，，可得， 直线的方程为：， ，，直线的方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理为：，即， ，计算可得， 代入直线的方程可得.，则， 又. 故答案为： 27．【答案】（1）     （2） ① 由题意可知，直线的方程可设为， 设，                                  联立 整理得，                     所以，，                                                             因为恰好被轴平分，即， 易知直线的斜率与直线NT的斜率存在且， 即，                                                整理得，即，即. 因为，所以时符合题意，即直线经过定点. ②      【分析】 （1）由离心率及两个顶点间的距离求出，得到方程； （2）设直线的方程为，由可得求出定点；由结合基本不等式求出范围. (1) 小问详解： 依题意可得                                                  解得，                                                             所以的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②的面积 ， 当且仅当时，即时，等号成立，        因为，所以面积的取值范围是.              28．【答案】 【分析】 求出椭圆的方程，设直线与椭圆的另一个交点为，由对称性得出，进而得出，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的最小值，进而得解. 【详解】 半圆的圆心为，半径为， 半圆的圆心为，半径为， 对于椭圆的焦距为，则，可得， 所以，椭圆的方程为，如图所示， 设直线与椭圆的另一个交点为， 由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称， 即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，， ， 若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设直线的方程为，设点、， 联立 可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， 故当时，取最小值， 则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于利用对称性得出，由此得出，将问题转化为椭圆的焦点弦长的最值问题. 29．【答案】（1）     （2）①（）；② 存在，.      【分析】 （1）根据离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）① 利用相关点代入法求轨迹方程即可；② 设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理计算，由可得，根据斜率公式及韦达定理即可求解. (1) 小问详解： 由题意，，所以， 而，所以， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 设，，由题意得， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 所以， 因为在椭圆上，所以， 可得，所以， 所以，即， 因为不与重合，所以， 所以的轨迹为（）. ② 设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设， 因为， 所以， 则， 即， ， 即，即， 所以， 因为不恒为0，所以，所以， 所以在轴上存在定点，使得，此时. 30．【答案】 【分析】 根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】 设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以 ，即 ，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 31．【答案】（1）；（2）. 【分析】 (1)由椭圆的定义及离心率的意义求出a，b即可得解； (2)按直线l1的斜率是否存在及是否为0的三种情况讨论，分别求出AC，BD长，再建立起S的函数关系，探讨其值域即可得解. 【详解】 （1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率得半焦距，， 所以椭圆的标准方程为：； （2）由(1)知点， ① 当直线的斜率为0时，直线的方程为，则，直线的方程为， 则与椭圆的二交点坐标为，，此时，可得； ② 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，，此时， 直线的方程为，则，可得； ③ 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线， 由 得， ，设，则， 所以， 同理可得， 所以． 由于（当时取等号），，， ，，所以， 综合① ② ③ 可知，四边形面积的取值范围是． 【点睛】 结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离； 直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离. 32．【答案】（1）     （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）1      【分析】 （1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. (1) 小问详解： 依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 (2) 小问详解： （i）略 （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 33．【答案】.125 【分析】 根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解. 【详解】 设椭圆:，（），则. 设椭圆:，（），则. 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以. 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，为. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题的关键在于把表示成函数，结合函数的值域求解. 34．【答案】（1）     （2）（i）（ii）      【分析】 （1）先将点的坐标表示出来，然后根据已知条件列出方程组，进而求出，从而得到椭圆的标准方程. （2）（i）先求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，化简的表达式，即可求得其值；（ii）利用和差倍角的正切函数，结合几何图形进行化简得到，然后利用韦达定理求出，进而根据（i）中的结果求出，从而得到直线方程. (1) 小问详解： 设，，， 由条件可知， 解得 故椭圆的标准方程为 (2) 小问详解： （ⅰ）由（1）可知，. 设直线的方程为，，，， 由 ，消去，化简得， 则，， 由题意得，， ， 则 （ⅱ）不妨设，，如图，，， 所以， 由（ⅰ）可知， ， 所以，则， 当时，由（ⅰ）知，，所以； 当时，由（ⅰ）知，，所以， 故直线的方程为，即. 35．【答案】（1）     （2）（i）或；（ii）存在，.      【分析】 （1）利用椭圆定义和基本不等式求，结合离心率求解可得； （2）（i）直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；（ii）利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得. (1) 小问详解： 因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 故，所以，所以， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）设， 由 得， 由直线与椭圆交于两点，知，得， 所以或. （ii）存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知，设直线的方程为， 令，得，同理， 又由（i）知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得 得，所以点的坐标为. 36．【答案】（1）     （2）由，得直线斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程 ，得， 则，，，所以直线与椭圆相切， 线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；     （3）点 的轨迹是圆，该圆的方程为      【分析】 （1）根据椭圆焦点坐标得 ，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程； （2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰有一个公共点； （3）解法一：设出直线方程，直线与椭圆联立方程消掉一个未知数，根据判别式等于0，即可求解．解法二：利用椭圆的定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到，从而得到点 的轨迹和轨迹方程． (1) 小问详解： 因为椭圆左、右焦点分别为，，所以 ， 又因为椭圆的离心率为，得 ，所以， 所以椭圆方程为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为， 此时，解得或 ； 当时，的垂直平分线方程为： ， 联立 ， 得， 即 因为线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点， 故， 即， 则， 即， ，即， ， 而，也满足该式， 故点 的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 解法二：设线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点为 ， 则当点 不在长轴时，线段的垂直平分线即为点 处的切线，也为的角平分线，     作的角平分线 ，根据椭圆的光学性质得， ，则，故， 所以三点共线，所以， 所以点 的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当 在椭圆长轴上时，点 为或也满足， 故点 的轨迹是圆，该圆的方程为. 37．【答案】（1）；     （2）① 当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为. 因为右焦点，直线的方程为，设. 由 ，消去得，. ，，. 所以线段的中点M的坐标，，即. 同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成）， 所以线段的中点N的坐标，，即. 所以的斜率，其中，直线的方程为 ，化简，即 所以当，直线：过定点.如图：    当时，，此时直线与轴垂直且过定点； 当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点； 当直线的斜率不存在时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 当直线的斜率为0时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 综上可知，直线过定点. ②.      【分析】 （1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）① 根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点. ② 由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值. (1) 小问详解： 因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线的斜率存在且不等于零时， 由① 可知， 同理可得（只需将换成），因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值. 当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换， 此时，，或者， 所以，显然. 综上可知，所以四边形面积有最小值. 38．【答案】 【分析】 求出圆的圆心、半径，利用圆的几何性质确定最大值条件，再利用两点间距离公式，借助一次函数性质求出最大值，进而求出离心率的最大值. 【详解】 圆的圆心，半径， 由，得的最大值为6等价于的最大值为4， 设，由，得，又，则， 整理得在上恒成立， 当时，显然不等式在时恒成立； 当，由在上， 因此，即在上恒成立， 令，由，得函数在上单调递减， 于是，解得，则， 综上，，解得， 所以椭圆的离心率的最大值为. 故答案为： 考点02 双曲线 1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．B 10．D 11．A 12．AC 13．ABD 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由双曲线定义可知轨迹，求出得解即可； （2）由题意求出点到轴的距离，利用三角形面积公式得解. (1) 小问详解： 因为， 由双曲线定义得，点的轨迹是以，为焦点，且的双曲线， 所以， 故的方程为． (2) 小问详解： 由题意得，的渐近线方程为， 以为直径，则为直角，且， 从而得到点到轴的距离为， 所以四边形的面积． 15．【答案】 【分析】 根据双曲线的定义及图形，再结合勾股定理计算得出，即可得出离心率. 【详解】 如图，连接，，设，则， 由双曲线的定义可知，，， 设，则，. 在中，， 即，整理得，① 又，在中，， 即，整理得，② 由②① 得，，则，所以，. 在中，， 即，化简得. 故答案为： 16．【答案】2 【分析】 先求出右焦点坐标及渐近线，再利用点到直线距离公式计算求解. 【详解】 双曲线：的右焦点为， 渐近线为， 则点到的一条渐近线的距离为． 故答案为：2. 17．【答案】2 【分析】 先利用点差法得到，结合，可得.再设，利用和三点共线，可得的关系，进而求双曲线的离心率. 【详解】 如图：    设，，则. 由 ， 所以. 又，，所以. 又，所以． 设，由，得． 又三点共线，故． 代入，得，故． 离心率. 故答案为：2 18．【答案】（1）     （2） 易知，设， （i）当直线的斜率存在时，设的方程为， 由 化简得， 则，即，且 ， 因为， 所以， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. （ii）当直线的斜率不存在时，由对称性可知，不妨设直线的方程为， 由 得（舍去）或，此时直线过定点. 因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，即为的中点，为该圆半径， 因为中点坐标为，即为，且， 故存在定点，使得为定值. 【分析】 （1）根据条件计算出的值，则双曲线的标准方程可求； （2）先根据条件证明直线过定点，然后再根据圆的几何性质判断出定点的位置，由此可完成证明. (1) 小问详解： 由题意知，因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以， 故双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 略 19．【答案】（1）     （2） ① 证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点， ，， 设直线的方程为，， 联立双曲线得，( )， ， ，， ， ，解得或， 若，则直线过，与题意矛盾舍去，故， 直线过． ②9      【分析】 （1）根据已知条件，结合双曲线的性质求出，进而得出双曲线方程； （2）① 根据已知条件结合圆的性质得出，设直线方程为，联立双曲线方程，根据韦达定理得出坐标关系，结合垂直关系得出向量数量积为0，从而解出的值，求出点坐标证明结论；② 利用① 结论联立方程，运用韦达定理结合三角形面积公式得出三角形面积表达式，结合位于右支得出参数取值范围，构造函数求出面积最小值． (1) 小问详解： 双曲线的左右顶点分别为且， ，， ，， ， 双曲线：． (2) 小问详解： ① 略 ②，， ， 由① 知，直线：， 联立双曲线方程得( ), ， 都在双曲线的右支上，，， ， ， 令，则，代入得 ， 令，，解得， ， 求导得，在时恒成立， 在单调递增，在时取最小值，， 的最小值为9． 20．【答案】（1）     （2）（i）由的方程知， 设． 由 得， 因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得， 即， 所以． 直线的方程为， 令，得， 所以，同理得． 所以 即． 当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足； 当时，有，也满足． 综上，． （ii） 所以，即存在，符合条件． 【分析】 （1）由已知可求得，进而由离心率求得，可求得的方程． （2）（i）设，将直线方程与的方程联立，由韦达定理可得，求得点的坐标，分与两种情况讨论可得结论；（ii）根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. (1) 小问详解： 设的半焦距为． 因为在上，所以， 因为的离心率，即， 所以． 故的方程为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 21．【答案】（1）     （2）（i）是定值，1；（ii）      【分析】 （1）由题设条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（i）设，可得，，利用和角公式即可推得；（ii）直线与双曲线联立，消元后得韦达定理，求出和的表达式，利用（i）已得建立方程，求解即得. (1) 小问详解： 根据题意，得，， 解得，， 则双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： （i）判断：为定值. 如图设， 则， 所以 所以的定值为1. （ii）联立直线与双曲线，得. 由题可知 解得，且， 设，则 所以. 由（i）得，即，即， 所以，解得，可得. 因为两点均在第一象限， 所以，故， 综上，当时，. 22．【答案】（1）；     （2）；     （3）（且）.      【分析】 （1）由渐近线的方程结合双曲线的方程得到，将点代入双曲线，联立方程组求解； （2）求出直线的方程，设，，直线和双曲线联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离求出点到直线的距离为，利用三角形面积得到的面积. （3）写出和的坐标，设，，由轴得到的坐标， 由，，三点共线利用斜率相等建立等式，由，，三点共线利用斜率相等建立等式，这两个等式相乘得到一个等式，代入双曲线方程，从而得到. (1) 小问详解： 由双曲线的渐近线方程为可知，，① 又经过点，所以，② 由① ② 解得，， 故双曲线的方程为； (2) 小问详解： 易知直线的方程，设，， 由 ，整理得， 则，， 所以， 又点到直线的距离为， 故的面积 (3) 小问详解： 易知，， 设，，因为轴，所以， 因为，，三点共线，所以；① 因为，，三点共线，所以；② 由① ×② ，得， 又，所以， 所以，整理得， 当时，，此时，与矛盾，故， 故点的轨迹方程为（且）. 23．【答案】（1）；     （2） （2）① 由题意可知，，，， 因为， 又因为，即 又因为,, 在中，由余弦定理可得， 即, 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以， 又因为三角形与三角形的高相等，且， 所以； ②在定直线上.      【分析】 （1）根据离心率为，过点，求解即可； （2）① 在三角形中，由余弦定理及基本不等式可得，再由，三角形与三角形的高相等，可得，即可得证； ② 分直线与轴不垂直和直线与轴垂直两种情况分别求解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线的离心率为， 所以， 所以， 所以双曲线方程为， 又因为双曲线过点， 所以， 解得， 所以双曲线方程为 (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线与轴不垂直时，设的方程为， 由 ，得， 又因为与右支交于，两点， 所以 ， 所以； 设 则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 由， 得， 即， 整理得 ； 当直线与轴垂直时，的方程为， 由 ，解得 或 ， 不妨设 则直线的方程为； 直线的方程为， 由, 得， 所以， 即， 解得， 综上，点M在直线上. 24．【答案】 【分析】 由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】 因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立 ，解得， 所以点的坐标为， 联立 ，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点03 抛物线 1．AD 2．BC 3．D 4．B 5．B 6．BC 7．B 8．ABD 9．AC 10．ACD 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. (1) 小问详解： 设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 12．【答案】（1）     （2）8      【分析】 （1）根据抛物线的准线求得，从而求得抛物线的方程. （2）联立直线的方程和抛物线的方程，根据根与系数关系求得. (1) 小问详解： 由抛物线：的准线方程为，得，． 抛物线的方程为． (2) 小问详解： 设，， 由 消去，得，则，． 又直线过抛物线的焦点， ． 13．【答案】8 【分析】 先求得双曲线的右焦点，结合抛物线的知识求得的值. 【详解】 双曲线，，右焦点， 抛物线的焦点为，所以. 故答案为： 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得 ， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立 ，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 15．【答案】3 【分析】 求出焦点，准线，作出辅助线，设动点直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到. 【详解】 由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，即时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3.    故答案为：3 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）设直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，通过，求得斜率，再由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由点在抛物线上，得， 由，可得，得， 所以抛物线的方程； (2) 小问详解： 当斜率不存在时，方程为：， 此时， 则， ，不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为：， 联立抛物线方程消去可得： ， 设， 又，则， 代入， 可得： 代入 得： 化简可得：， 即或， 当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去， 当，直线方程为， 所以 由弦长公式得： 17．【答案】（1）；     （2） ；     （3） 由题意可知直线斜率不为0，设其方程为， 联立方程得： ， 整理得：，， 其中，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又因为， ∵，∴， 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时， 所以定点为，为定值２．      【分析】 （1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解. (1) 小问详解： 抛物线的焦点为， 则，即， 所以抛物线为； (2) 小问详解： 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程： ， 得，，设， 由韦达定理得， 故； (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $