精品解析：湖南省永州市江永县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

江永三中2025年下期高二期中考试数学试卷 命题人：何榕 审核人：李乐 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合－1，0，1，2，0，1，2，3，则＝（　　） A. 0，1，2 B. 1，2，3 C. －1，3 D. －1，0，1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义运算即可 【详解】∵A＝{－1，0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，∴＝{0，1，2}， 故选：A 2. 复数满足，那么复数对应的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接化简计算，然后可求出其对应的坐标 【详解】由，得， 所以复数对应的点坐标为， 故选：D 3. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 6. 两台机器分别加工一个零件．加工为级产品的概率分别为和，两个零件是否加工为级产品相互独立，则这两个零件中恰有一个级产品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】解：记两个零件中恰有一个级产品为事件 仅第一台机器加工零件为级产品为事件 仅第二台机器加工零件为级产品为事件 则 故选：C. 7. 在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及直线与的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线线角的关系即可求解. 【详解】因为 所以， 所以, 又因为侧棱与底面垂直， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示 易得， 所以, 设异面直线与所成角为，则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 8. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取正方形的中心，利用线面垂直及线面角可求得，进而确定轨迹并求出面积. 【详解】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，分直线的中点和直线两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由点，可得的中点坐标，且， 因为点到直线的距离相等， 当直线过点的中点，可得，解得； 当直线时，可得，即， 综上可得，实数的值为或， 故选：AB. 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 11. 已知直线l过点P（－1，1），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l与直线l1的斜率互为相反数 B. 所围成的等腰三角形面积为1 C. 直线l关于原点的对称直线方程为 D. 原点到直线l的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题直线l与直线的倾斜角互补，可求直线l方程，即可判断. 【详解】由题意可知直线l与直线的倾斜角互补， 所以直线l的斜率为－2，故A正确； 直线l过点P（－1，1）， ∴直线方程l为：, 所以所围成的等腰三角形面积为，故B错误； 所以直线l关于原点的对称直线方程为，故C正确； 所以原点到直线l的距离为，故D正确. 故答案为：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与的距离为则等于______. 【答案】10或30 【解析】 【分析】根据两平行线之间的距离公式建立关于c的方程，解之即可求解. 【详解】由，知两平行线之间的距离为， 解得或30. 故答案为：10或30 13. 若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，即可求得圆心坐标，得到答案. 【详解】由圆的方程，可化为， 所以圆的圆心坐标为. 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 16. 在棱长为2的正方体中，求 （1）求证：平面； （2）直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的所成夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）45° （3） 【解析】 【分析】（1）通过四边形为平行四边形，得到，即可求证； （2）建系，求得直线方向向量，平面法向量，代入夹角公式即可求解； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由于，，则四边形为平行四边形， ，而平面，不在平面内， 所以平面； 【小问2详解】 建立如图所示，以D为坐标原点， 、、分别为x轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有， 又因为，所以. 【小问3详解】 如图所示，，，， ∴， 设平面的一个法向量为 ∵，取，则. ∴. 同理得平面的一个法向量为. 设平面与平面所成角为. 则. 即平面与平面的所成夹角余弦值为. 17. 已知点.求： （1）过点P且在y轴上截距的直线的方程； （2）已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 18. 在中，角的对边分别为，若： （1）求的大小； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角的余弦值，进而求出角的值； （2）由（1）可知，所以，用代替角，化简，结合角的范围即可求出最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 则 又，则， 所以当时，即时，有最大值为1. 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江永三中2025年下期高二期中考试数学试卷 命题人：何榕 审核人：李乐 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合－1，0，1，2，0，1，2，3，则＝（　　） A. 0，1，2 B. 1，2，3 C. －1，3 D. －1，0，1，2，3 2. 复数满足，那么复数对应的点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 4. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 6. 两台机器分别加工一个零件．加工为级产品的概率分别为和，两个零件是否加工为级产品相互独立，则这两个零件中恰有一个级产品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 11. 已知直线l过点P（－1，1），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l与直线l1的斜率互为相反数 B. 所围成的等腰三角形面积为1 C. 直线l关于原点的对称直线方程为 D. 原点到直线l的距离为 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与的距离为则等于______. 13. 若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 在棱长为2的正方体中，求 （1）求证：平面； （2）直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的所成夹角余弦值. 17. 已知点.求： （1）过点P且在y轴上截距的直线的方程； （2）已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 18. 在中，角的对边分别为，若： （1）求的大小； （2）求的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $