专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量与立体几何 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 ①考点01空间向量及其运算 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C 11.C 12.C 13.A 14.AD 15.C 16.B 17.BD 18.【答案】2 【分析】 根据数量积的定义求出。~b再由数量积的运算律计算可得 【详解】 因为日6l=20,b=60 i以a-6=d6lcsa,a-2×2×号=2， 116 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以a--9石 故答案为：2 19.【答案】 1-0.5 【分析】 先利用题给条件求得m,n之间的关系，再利用二次函数即可求得mn的最小值. 【详解】 空间向量 =4,7,m,b=0,-5,2,c=2,6,n 若。，b.共面，则可令a=b+uc入，μ∈R a,b,c 4=2μ H=2 则7=-5入+6μ，解之得 =1则mn=(2n+2)n=2n2+2n m=2λ+nμ m=2+2n 三次函数y=2x+2x的最小值为-子则mn=2n+2n的最小值为号 故答案为：一 1-2 【容】 【分析】 由空间向量基本定理即可求解. 【详解】 由A,B,C,D四点共面可知，存在唯一实数对m,n:使得AD=mAB+nAC b+ac=m2a-3c+na+b=(2m+nja+nb-3mc' 1 m=- 2m+n=0 2 所以 n=1, 解得 n=1 -3m=入 λ= 3 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 然省物是 2》 考点02空间向量基本定理 1.A 2.B 3.B 4.C 5.ABD 6.【答案】(1) 3 (2)2▣ 【分析 (1)现根据正弦面积公式，求出边长，再根据正弦定理和余弦定理解三角形： (2)根据平面向量基本定理，用基底表示向量，根据向量模长的计算方法，求出线段的长. 1)小问详解： 3四叵 :△ABC面积S=号acsin B=3+9▣，即×ax2a, a=*口 在△ABC中，由余弦定理得=d+-2ac0sB-月， ∴.b=2/▣' 由正弦定理b C 喂▣ sinB sinC∴.sinC=2*aa a□，A>C,C=37 (2)小问详解： 由：∠AcD=子2受 :DE-EAci=GD+Di=cn+号DA=cn+cA-cn-号cD+写cA 316 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GA-8 CD-32 CA.CD-2 CE-号c0+号cicD+号cA-音×2+号-8+分×8=1g4 9 9 CE=2▣ ①考点03空间向量及其运算的坐标表示 1.A 2.C 3.C 4.A 5.BCD 6.C 7.A 8.【答案】1 【分析】 利用空间向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 因为a=2,1,-1b=1,-4,-3 所以a-b=2×1+1×-4+-1×-3=1 故答案为：1. 9.【答案】V▣ 【分析】 a⊥6由2×1-2m=0求得m=1,再利用向量的模公式求解 根据 【详解】 因为向量a=2,m6=1,2若a16 所以2×1-2m=0解得m=1则a=2,1 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以d-g石 故答案为：叵 10.【答案】1 【分析】 利用投影向量的定义列式计算即得. 【详解】 因a=-1,1,-1b=2,-2,-1 向量一在向量上的投影向量为 ✉- ab56-121x-2-1-1b=五， c=acos<a,b> lb 162 22+(-2)2+(-12 则d-b1号×如 故答案为：1. 11.【答案】▣ 【分析】 首先求出点P的轨迹，然后根据定义把DAC,AP表示成三角函数的形式，利用三角函数的值域即可求 解 【详解】 易知A0,0,0C2,2,0:AC=2,2,0 D B D 因为P在上底面A1B,C1D,内（含边界）运动， 且AP=O; 516 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以A1P=5-4=1?A1P=1 即P在上底面A1BC1D1内，点P在以A1为圆心，1为半径的圆周上， 可pews0,sn0,2”AP=s0,n0,2”0e0, 所DAC,APl-2-cs91+2-sn6+2=2-cos9+2-5n0+2=6-p-到0e0, 因%经0+异贤以n9牙e空} 4 则DAC,AP∈|6-从而M-N=5-6-河□ 故答案为：口 616 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知向量，，若，则（       ） A.  B.  C.  D. 3 2．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（       ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 3．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南邵阳第二中学·期中）已知向量满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使，则三棱锥的体积为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D. 5 10．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 5 11．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知向量满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（       ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 13．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（       ） A. 若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 若非零向量满足，，则有； C. 若是空间向量的一组基底，且，则四点共面； D. 若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底. 15．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（       ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 18．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知向量，满足，，则　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知空间向量，若共面，则的最小值为　　. 20．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则　　　　　　. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）在斜四棱柱中，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）在四面体OABC中，，点在OA上，且为BC的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（     ） A. 3 B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）（多选）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，设，是棱上靠近的三等分点，为的中点，且，则（     ） A.  B.  C.  D. 异面直线与所成角的余弦值为 6．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为． （1）求角的大小； （2）如图，点在边的延长线上，若，，求的长． 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知，，若，则实数（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）在空间直角坐标系中，，，则（     ） A.  B. 6 C. 29 D.  5．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 平面ABC的一个法向量是 6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知四棱柱的底面是正方形，以为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，，则四棱柱的体积为（     ） A.  B. 12 C. 8 D. 4 7．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知向量，满足，，则　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知向量，，若，则　　　　　． 10．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知，，若向量在向量上的投影向量为，则　　　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知向量，，若，则（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】 若，则， 因此可得，解得. 故选：D 2．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（       ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 根据投影向量相等列方程，进而求得正确答案. 【详解】 依题意，向量，在上的投影向量相等， 所以，则，即， 所以. 故选：B 3．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据向量的线性运算，分析即得解 【详解】 由题意，向量， 故选：D 4．（25-26学年高二上·湖南邵阳第二中学·期中）已知向量满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据向量模长公式和运算求解. 【详解】 , 所以，解得， 故选：C 5．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】 依题意有. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【详解】 由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 7．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥中，平面，且，若， 则 . 故选：A. 8．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使，则三棱锥的体积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题设得且，结合已知条件求得，再利用棱锥体积公式求体积. 【详解】 若为正方形的中心，由题设知， 所以，且， 所以，即， 所以，则，则， 所以三棱锥的体积为.    故选：D 9．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】B 【分析】 根据向量加减的几何意义把表示出来，再利用已知条件计算即可. 【详解】 在平行六面体中，，， 由向量加减的几何意义得， 即 ， . 故选：. 10．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 5 【答案】C 【分析】 根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】 由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 11．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知向量满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据数量积的运算律计算. 【详解】 ， 所以． 故选：C. 12．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（       ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】C 【分析】 根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【详解】 由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】 . 故选：A. 14．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（       ） A. 若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 若非零向量满足，，则有； C. 若是空间向量的一组基底，且，则四点共面； D. 若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底. 【答案】AD 【分析】 根据空间向量基底的概念，可判定A正确；举出反例，说明满足，，但 与不共线，可判定B错误；设，结合，列出方程组，求解即可判定C错误；假设，列出方程组，求解即可判定D正确. 【详解】 对于A，若向量与空间任意向量都不能构成基底， 即向量与空间任意向量共面，所以，所以A正确； 对于B，若向量， 此时满足，，但与不共线，所以B错误； 对于C，因四点共面，等价于存在实数，使得， 即， 可得， 因为，故需使 ，而此方程组无解， 故四点不共面，即 C错误； 对于D，假设存在不全为的实数，使得， 可得， 因为向量是空间向量的一组基底，不共面， 所以，即， 即线性无关，故它们可以作为空间向量的基底，所以D正确. 故选：AD. 15．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】 在等腰△中，，则， ∵分别是边的点， ∴，，而， ∴两边平方得：，而， ∴，又，即， ∴当时，最小值为，即的最小值为. 故选：C 【点睛】 关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值. 16．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由与为单位向量及分析可知的夹角为.令，则，点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，且.结合图形即可求解. 【详解】 因为与为单位向量， ， ∴. 又，，即的夹角为. ∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且. 令，则， 易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点， ∴. 如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点. 则. 又， 可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值 此时，最小值为. ∴. 故选：B. 17．（25-26学年高二上·湖南长沙湖南大学附属中学·期中）（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（       ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【分析】 对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】 本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 18．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知向量，满足，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】 因为，， 所以， 所以. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知空间向量，若共面，则的最小值为　　. 【答案】 【分析】 先利用题给条件求得之间的关系，再利用二次函数即可求得的最小值. 【详解】 空间向量， 若共面，则可令， 则 ，解之得 则 二次函数的最小值为，则的最小值为. 故答案为： 20．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则　　　　　　. 【答案】.5 【分析】 由空间向量基本定理即可求解. 【详解】 由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以 ，解得 . 故答案为： 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）在斜四棱柱中，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用空间向量数量积可求. 【详解】 ， 则 ． 故选：A. 2．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】 利用中，，， 所以． 故选：B． 3．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）在四面体OABC中，，点在OA上，且为BC的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据向量的运算法则即可求解. 【详解】 如图所示： 可知： 即， 故选：B 4．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（     ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】 由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）（多选）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，设，是棱上靠近的三等分点，为的中点，且，则（     ） A.  B.  C.  D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】 由几何体结构结合基底法即可求解判断A；由即可计算求解判断B；由结合模长公式即可计算求解判断C；计算即可得解判断D. 【详解】 对于A，因为是的中点，所以， 因为是棱上靠近的三等分点，所以， 所以，故A正确； 对于B，由题，因为， 所以 ， 解得，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD 6．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为． （1）求角的大小； （2）如图，点在边的延长线上，若，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）现根据正弦面积公式，求出边长，再根据正弦定理和余弦定理解三角形； （2）根据平面向量基本定理，用基底表示向量，根据向量模长的计算方法，求出线段的长. (1) 小问详解： 面积，即， ， 在中，由余弦定理得， ， 由正弦定理，， ，，， (2) 小问详解： 由（1），， ，， ，，， ， . 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据平面对称的特征求解. 【详解】 关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数， 故所求坐标为. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用空间向量坐标运算即得. 【详解】 由，，得. 故选：C 3．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知，，若，则实数（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用空间向量模及数量积的坐标表示，结合垂直关系的向量表示及运算律列式求解. 【详解】 由，，得， ，由， 得，所以. 故选：C 4．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）在空间直角坐标系中，，，则（     ） A.  B. 6 C. 29 D.  【答案】A 【分析】 根据空间两点间的距离公式求解即可. 【详解】 . 故选：A 5．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【分析】 对于A，由两点间的距离公式验算即可；对于B，终点坐标减区起点坐标验算即可；对于C，验算是否等于0即可判断；对于D，直接验证所给向量与是否垂直即可. 【详解】 对于A，，故A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，， 所以，于是有，故C正确； 对于D，因为，， ，， 所以是平面的一个法向量，故D正确， 故选：BCD． 6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知四棱柱的底面是正方形，以为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，，则四棱柱的体积为（     ） A.  B. 12 C. 8 D. 4 【答案】C 【分析】 根据得到四棱柱的高，然后根据列方程得到底面的边长，最后求体积即可. 【详解】    由得，所以该四棱柱的高为2， 设，则， 由，得，解得， 所以底面是边长为2的正方形，所以该四棱柱的体积为． 故选：C. 7．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的坐标运算得，进而利用数量积的坐标运算求得和，最后代入投影向量公式求解即可. 【详解】 因为，，所以， 又，所以， 又， 所以在上的投影向量的模为 . 故选：A 8．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知向量，满足，，则　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 利用空间向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 因为，， 所以， 故答案为：1． 9．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知向量，，若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 根据，由求得，再利用向量的模公式求解. 【详解】 因为向量，，若， 所以，解得，则， 所以， 故答案为： 10．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知，，若向量在向量上的投影向量为，则　　　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 利用投影向量的定义列式计算即得. 【详解】 因，， 向量在向量上的投影向量为 ， 则. 故答案为：1. 11．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先求出点的轨迹，然后根据定义把表示成三角函数的形式，利用三角函数的值域即可求解. 【详解】 易知，，．    因为P在上底面内（含边界）运动，且， 所以，， 即P在上底面内，点P在以为圆心，1为半径的圆周上， 可设，，， 所以，． 因为，所以， 则，从而． 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $