专题03 直线和圆的方程（期中真题汇编，湖南专用）高二数学上学期

专题03 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）若直线与直线平行，则的值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 由两线平行的判定列方程求参数. 【详解】 由题设. 故选：C 2．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直线倾斜角与斜率的关系求直线的倾斜角. 【详解】 设直线倾斜角为，则，又， ∴. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】 直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 4．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据两直线垂直的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】 由， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用两点式求斜率，结合参数范围有，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围. 【详解】 由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为. 故选：B 6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知直线过点（2，0），且与直线平行，则（     ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】D 【分析】 利用两条直线平行的特点即可求出. 【详解】 由直线过点，得，即， 由直线与直线平行，得，即， 所以． 故选：. 7．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）“”是“直线与直线互相垂直的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】 由两直线垂直，则，整理得， 所以或，经检验均满足题设， 所以“”是“直线与直线互相垂直的充分不必要条件. 故选：A 8．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知直线，，则“”的充要条件是（       ）． A.  B.  C. 或 D. 或4 【答案】A 【分析】 根据一般方程条件下两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】 因为，所以，即.解得或． 当时，，，此时两直线重合，舍去； 当时，，，此时． 故“”的充要条件是“”． 故选：A. 9．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【分析】 根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】 直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 10．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）（多选）已知直线与，则下列选项正确的是（     ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线恒过点 D. 若，则，之间的距离为 【答案】BCD 【分析】 由两直线位置关系计算可得AB；令的系数为，计算可得C；借助平行线间距离公式计算可得D. 【详解】 对A：若，则，解得或， 当时，两直线方程分别为，，符合题意； 当时，两直线方程分别为，， 此时两直线重合，不符合题意； 综上，，故A不正确； 对B：若，则， 解得或，故B正确； 对C：令 ，得 ，所以恒过点，故C正确； 对D：若，由A知，， 所以直线，的方程分别为，， 所以，之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知直线与直线平行，则实数的值为（     ） A. -2 B. 1 C. -2或1 D. 0 【答案】C 【分析】 利用两条直线平行列式，再验证得解. 【详解】 由直线与平行，得 整理得，因式分解为，解得或. 当时，，. 斜率均为，纵截距分别为和，不重合，平行； 当时，，. 斜率均为，纵截距分别为和，不重合，平行. 综上所述，实数的值为或. 故选：C 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线方程的一般式确定直线斜率，进而确定倾斜角. 【详解】 由直线方程为， 则该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为， 故选：A. 2．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用直线的方向向量与斜率、倾斜角的关系来求解即可． 【详解】 直线方向向量为，则斜率，设倾斜角为，由，得． 故选：C． 3．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）设直线的倾斜角为，则（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【分析】 设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解. 【详解】 由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线方程确定直线斜率，由倾斜角与斜率的关系即可得倾斜角大小. 【详解】 设直线倾斜角为，则直线的斜率． ，， 故选：C． 5．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（       ） A.  B.  C. 直线过定点 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 AB选项，根据不等式解集得到方程，对照系数可得，，故A正确，B错误；C选项，直线可化为，经过定点；D选项，不等式化为，解得，所以. 【详解】 对于A和B，因为不等式的解集为， 所以，， 则，，故A正确，B错误； 对于C，直线可化为，经过定点，故C正确； 对于D，不等式即为，即， 即，解得，所以，故D正确； 故选：ACD 6．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意写出直线的两点式方程，化简可得直线的一般式方程. 【详解】 由直线的两点式方程得，，整理得. 所以直线的一般式方程为. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）与直线垂直且过点的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两直线垂直，求得直线的斜率，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】 由题意，直线，可得斜率为， 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为， 又由所求直线过点，所以直线的方程为，即. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（     ） A. 直线的倾斜角为 B. 过点且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 点到直线的距离为1 【答案】ABC 【分析】 通过直线方程求斜率，再由斜率推导倾斜角可判断A选项；利用“平行直线斜率相等”，结合点斜式求直线方程，可判断B选项；利用“垂直直线斜率乘积为”，结合点斜式求直线方程，可判断C选项；代入点到直线的距离公式计算验证，可判断D选项. 【详解】 对A选项：将直线化为斜截式：，其斜率. 设倾斜角为（），由，得，故A正确； 对B选项：由平行关系可得，与平行的直线斜率为，过点， 由点斜式方程可得所求直线方程为，整理得，故B正确； 对C选项：由垂直关系可得，与垂直的直线斜率为，过点， 由点斜式可得所求直线方程为，整理得，故C正确； 对D选项：由点到直线的距离公式，点到的距离： ，故D错误. 故选：ABC 9．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）经过两点的直线的方向向量为，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数. 【详解】 由题设. 故答案为： 10．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）过点，垂直于轴的直线方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据直线的点斜式方程可得. 【详解】 因过点，垂直于轴的直线的斜率为0. 所以过点，垂直于轴的直线方程为, 即．如图：    故答案为：． 11．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 令计算出的值，则结果可知. 【详解】 令，得，即在轴上的截距为. 故答案为：. 12．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. (1) 小问详解： 由题知，，在直线上， 设， 则 ，解得 ， 即点坐标为. (2) 小问详解： 设， 则 ，解得 ，即， 所以直线的方程为， 即. 13．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，. （1）若，求过点且与直线平行的直线方程； （2）求证：直线经过一个定点，并写出原点到直线距离最大时直线的方程． 【答案】（1）；     （2）由， 可得：， 由 ，可得， 即直线经过一个定点； 由题意可得，当时，原点到直线的距离最大， 因为，所以， 所以直线的方程为, 即.      【分析】 （1）求出直线l的斜率为2，进而利用点斜式求出直线方程，得到答案； （2）由方程组 即可求证，当时距离最大，从而求出直线的斜率，代入点斜式方程化为一般式方程即可求解. (1) 小问详解： 当时，直线l的方程为，斜率为， 则过点且与直线l平行的直线方程为， 即； (2) 小问详解： 略 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知平行直线与之间的距离为，则实数（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 先根据两直线平行求出参数，然后由平行线之间的距离公式求出参数，最后求出即可. 【详解】 因为与平行，所以，得， 则， 所以，计算得或， 所以或. 故选：A 2．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（     ） A.  B.  C. 3 D. 6 【答案】B 【分析】 先判断两直线平行，再利用两平行直线的距离公式计算即得. 【详解】 因直线与直线互相平行，、是两直线上的点， 故当且仅当为两直线的公垂线段时，取得最小值， 即的最小值为两直线之间的距离，为. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A. 2 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 求得直线所过的定点，再利用两点间的距离公式进行计算. 【详解】 直线， 即， 由 解得 ， 所以直线过定点， 所以的最大值为． 故选： 4．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】 设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得 （*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 5．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知直线与直线平行，则平行线间的距离为　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（       ） A. [4,10] B. [8,10] C. [4,16] D. [8,16] 【答案】C 【分析】 由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据表示圆上点到原点距离的平方求范围. 【详解】 将化为，即圆心为，半径为3， 由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1， 又在圆内， 所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是. 故选：C 2．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】 由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出圆心关于直线的对称点坐标，代入圆的标准方程，即可得答案. 【详解】 圆的圆心为，半径， 设关于直线对称点为， 则 ，解得 ，即对称的圆心为， 所以对称圆的方程为：. 故选：C 4．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）（多选）已知曲线，则（　　） A. 曲线表示一个圆 B. 点在曲线上 C. 曲线被直线截得的弦长为 D. 曲线与所有平行于轴的直线都有交点 【答案】BD 【分析】 根据圆的一般方程可判定A，代入点可判定B，联立直线和曲线方程，求得交点坐标，再利用两点间的距离公式计算可判定C，联立直线和曲线方程求解可判定D. 【详解】 对于A，由圆的一般方程可知，圆的方程中无项， 故A错误； 对于B，代入点得， 因此点在曲线上，故B正确； 对于C，联立 ， 整理得， 因此直线与曲线的交点分别为， 弦长为，故C错误； 对于D，设与轴平行的直线为， 联立 ， 整理得，， 故正确． 故选： 5．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）定义两曲线，之间的最短距离为.已知，，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 设，先求出的最小值，那么即可求得的最小值. 【详解】 由题意可知圆心，半径， 设，则，所以，， 当时，等号成立，所以. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知直线过两点，直线过点，且与垂直． （1）求的方程； （2）若圆过三点，求圆的方程． 【答案】（1）的方程分别为，     （2）      【分析】 （1）利用截距式求得的方程，进而求得直线的斜率，利用点斜式方程可求直线的方程； （2）由题意可得，即圆是以为直径的圆，可求圆的方程． (1) 小问详解： 因为过两点， 所以的方程为，即． 所以的斜率，因为， 所以的斜率， 又因为过点， 所以的方程为，即． (2) 小问详解： 因为点， 所以，则，即， 所以圆是以为直径的圆． 圆心为，半径， 所以圆的方程为． 7．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设梯形的外接圆为，已知，且，，. （1）求的标准方程； （2）求梯形的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设的一般方程为，根据过三点，将点的坐标代入方程，列出方程组求解即可； （2）根据平行关系求出的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求出，由梯形的面积公式求解即可. (1) 小问详解： 设的一般方程为， 由题意可知， 解得，，， 所以的一般方程为， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 因此， 易知，且圆心在直线上，所以梯形的高， 故梯形的面积为 8．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，求的值. 【答案】（1）；     （2）8.      【分析】 （1）设，求出 和，代入，计算求解即可； （2）求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得到，代入数值计算求解. (1) 小问详解： 设，，，，， ，，， ，， 的方程为； (2) 小问详解： 的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， . 9．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设点，令，利用阿波罗尼斯圆，求得定点，利用，可求最大值. 【详解】 已知圆和点，且点不在圆上、不与点重合， 则根据性质1知一定存在唯一一个定值和一个定点， 使得对于圆上的任意一点都有． 设点，令， 则，因此圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且． 根据定点，圆心三点共线可知点在轴上， 由，和相似比可知点． 如图，当点位于图中的位置时， 的值最大，最大值为． 故答案为：． 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知圆与圆外切，则的最大值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 利用两圆外切求出的关系，再利用基本不等式求解即得. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，依题意，， 于是，即，因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 2．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）圆：和圆：的公切线的条数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数. 【详解】 由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线. 故选：C 3．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）如果实数 满足等，那么 的最大值是（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 可理解为，即点与原点连线的斜率，数形结合即可解决. 【详解】 的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，如图所示， 设直线方程为，则，解得斜率的最大值为，所以max＝． 故选：C 4．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）圆与圆的位置关系为（     ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 【答案】A 【分析】 分别求得和的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】 将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径， 圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径， 由，且，可得， 所以圆和外切. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·湖南邵阳第二中学·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用圆的切线长公式求解. 【详解】 由圆，则圆心，半径为， 则切线长为， 当时，切线长取得最小值， 此时点，且，即点在圆外，满足题意. 故选：A 6．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（    ） A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交 【答案】D 【分析】 根据给定条件，求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系. 【详解】 圆的圆心，半径； 将圆化为标准方程，得圆心，半径， 则，所以圆与圆相交. 故选：D 7．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）若圆与圆外切，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 利用两圆外切的性质可得，解方程即可求出的值. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由两圆外切，可得，解得，故. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用圆的性质转化为求圆心到直线的距离即可得解. 【详解】 由可得， 可知圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则点到圆上的点的最短距离为， 故选：D 9．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）（多选）已知直线和圆，则（       ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆有四条公切线 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】AB 【分析】 令可得即可得A；计算可得点在圆内部，即可得B；得到两圆位置关系可得C；借助垂径定理计算可得D. 【详解】 对A：令，则有，即，故直线恒过点，故A正确； 对B：当，时，有， 故点在圆内部，又直线恒过点，故直线与圆相交，故B正确； 对C：圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 则两圆心距离为，又两半径和为，故两圆向外切， 则圆与圆有三条公切线，故C错误； 对D：由直线恒过点且点在圆内部， 则当点与圆圆心所过直线与直线垂直时，有最短弦长， 此时弦长，故D错误. 故选：AB. 10．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 定点到圆上的点的最大距离为 D. 过定点且与圆相切的直线方程为或 【答案】BD 【详解】 A：过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线，包含过原点的直线，其方程为，错误； B：直线PM，PN的斜率分别为， 依题意，或，即或，正确； C：圆的圆心，半径， 定点到圆上的点的最大距离为错误； D：圆的圆心，半径， 过点斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 此切线方程为， 所以过点且与圆相切的直线方程为或，正确； 故选：BD 11．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（       ） A. 或0 B.  C. 或0 D. 0 【答案】A 【分析】 画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的公式建立方程求解即可. 【详解】 由题易知两圆不可能相交或相切， 如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大， 此时圆心到对称轴的距离为4， 所以，即，解得或. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 13．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）已知圆，直线，则（       ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【分析】 将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】 对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令 ，解得 ，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 14．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论. 【详解】 由，可得， 所以圆心的坐标为, 半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个. 故选：B. 15．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出图形，利用勾股定理求出的取值范围，即可得解. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 直线的方程可化为， 联立 ，解得 ，即直线过定点，且直线不表示直线， 显然当直线过圆心时，取最大值， 当直线与垂直时，圆心到的距离取最大值， 此时，取最小值， 因为，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即，不合乎题意， 因此，的取值范围是. 故选：A. 16．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】    如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 17．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知点集分别表示曲线，则的公共点的个数为（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 分情况讨论，同一坐标系内作出曲线的图象，数形结合，判断公共点个数. 【详解】 曲线，曲线是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，理由如下： 当，时，曲线方程可化为，为双曲线的一部分； 当，时，曲线方程可化为，即，无解； 当，时，曲线方程可化为，为圆的一部分，半径为； 当，时，曲线方程可化为，为双曲线的一部分. 曲线，曲线是由四条线段构成的图象，理由如下： 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为. 如图：同一坐标系内画出， 因为点到直线的距离为：， 所以（，）与线段（，）相切，有1个公共点. 故在第一、三、四象限各1个交点，共3个交点． 故选：B 18．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）（多选）已知对任意，不等式恒成立，则实数m的取值可能是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】BC 【分析】 先分析不等式的几何意义得出不等式表示点到直线的距离大于等于3，再利用直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式构造不等式求出的取值范围，进而判断选项． 【详解】 把不等式转化为点到直线的距离问题，设点， ，令，两边同平方化简得，是上的点， 则表示点到直线的距离大于等于3， 直线在轴的截距为，在半圆上方，则圆上点到直线的最小距离为原点到直线的距离减去半径， ， 最小距离为， 不等式恒成立， ，即，解得， ，，故选项BC正确． 故选：BC． 19．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）在平面直角坐标系中，已知三动点，，，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先确定三点的轨迹方程，然后判断直线与圆的位置关系，然后作辅助线确定最大和最小时三点的位置关系，进而由几何图形和三角函数的单调性可求得范围. 【详解】 设，，则，所以为直线上的动点， 令 ，则 ，所以， 则为圆上的动点. 同理知，也为圆上的动点. 易知圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离. 如图，当时，过作直线，与相切，且切点为，，此时最大， 由圆的切线性质可知，，所以. 又，所以， 当，，三点共线，或，重合时，最小，且为， 根据余弦函数的单调性可知，. 故选：C. 20．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（       ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 【答案】BCD 【分析】 对于A，设点，结合点为线段的中点，可得 ，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】 对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则 ， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 21．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知圆C：（x+2）2+（y+2）2=3，直线l过原点O．若直线l与圆C相切，求直线l的斜率． 【答案】 【分析】设出直线方程，由题意利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设直线l的方程为y=kx． 由直线l与圆C相切．则， 整理为k2﹣8k+1=0．解得：． 【点睛】本题考查了点斜式方程、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于基础题. 22．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交     （2）和      【分析】 （1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. (1) 小问详解： 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. (2) 小问详解： 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 23．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】 已知圆，圆, 将两圆方程相减： 化简得：. 故答案为： 24．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）若直线与圆只有一个公共点，则　　　　　　． 【答案】或 【分析】 将问题转化为“圆心到直线的距离等于半径”，由此可求解出的值. 【详解】 由圆，得，圆心为，半径为， 因为直线与圆只有一个公共点， 所以到直线的距离等于，即，解得或． 故答案为：或． 25．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意，设圆心且圆为，结合所过的点并应用待定系数法求参数，即可得； （2）首先确定直线所过的定点，再判断点圆位置，结合圆的性质和弦长最短确定所求直线与的位置关系，即可得. (1) 小问详解： 由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则 且，解得 ， 即圆的标准方程为； (2) 小问详解： 已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 26．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意可得圆必经过原点，圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大，进一步求解即可. 【详解】 圆是以圆上一点为圆心， 所以圆必经过原点， 又因为圆经过原点， 所以圆与圆交于原点，设为． 当圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大， 此时，而， 所以．    故答案为：. 27．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），以为圆心，半径为2的圆；     （2）（ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上， 而的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为，显然该直线恒过定点，得证. GSP （ⅱ）存在，.      【分析】 （1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程； （2）（ⅰ）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标； （ⅱ）根据（ⅰ），若定点为，易知在以为直径的圆上，根据圆的性质判断面积最大时的位置，即可确定的坐标. (1) 小问详解： 设，则，即， 所以，整理得. (2) 小问详解： （ⅰ）证明略；定点； （ⅱ）存在，，理由如下： 由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时. 28．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）和      【分析】 （1）根据圆心及过原点，可得半径，即可得方程. （2）根据点到直线的距离公式，可得d，代入弦长公式，即可得到答案. （3）讨论斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，计算求解，综合分析，即可得答案. (1) 小问详解： 因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. (2) 小问详解： 设圆心到的距离为，则， 所以. (3) 小问详解： 当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 29．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】（1），     （2），和      【分析】 （1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. (2) 小问详解： 结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 30．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. (1) 小问详解： 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. (3) 小问详解： 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 31．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知点，，，圆是的外接圆． （1）分别求直线，的斜率； （2）求圆的方程； （3）若直线：与圆相交于，两点，求的最小值． 【答案】（1），，     （2）     （3）      【分析】 （1）由斜率公式即可求解； （2）设圆的一般方程，代入点的坐标求解即可； （3）确定直线过定点，由时，最小即可求解. (1) 小问详解： 因为，，， 所以，； (2) 小问详解： 设圆的方程为， 由题意可得： ， 解得： ，满足, 所以圆的方程为； (3) 小问详解： 由， 可得， 由 得 ， 即直线过定点， 当时，最小， 由圆的方程为，可得,半径为， ， 所以， 即的最小值为. 32．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知圆，直线，直线与圆交于点M，N. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； 【答案】（1） 证明：将直线的方程整理为， 当时，式子为与无关， 所以 ，解得 ， 因此直线恒过定点.     （2）或      【分析】 （1）证明直线过定点：将直线方程整理为含参数的线性组合形式，令参数的系数与常数项分别为0，解方程组即可得到定点坐标. （2）求直线方程：先确定定点的位置（圆内），由向量关系，设，结合弦长公式得到圆心到直线的距离，再通过点到直线的距离公式建立关于的方程，求解得到直线方程. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知. 圆，则圆心，半径， ， 设，则， 过作交于， ，， | CN| ^2=| CH| ^2+| HN| ^2 | CP| ^2=| CH| ^2+| HP| ^2 ，即 ， 解得 ， 即圆心到直线的距离， ，解得， 此时直线方程为或. 33．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知圆，直线． （1）设与圆交于，两点，若，求的倾斜角； （2）设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得的值，则直线的倾斜角可求； （2）由是弦的中点，所以，得弦的中点的轨迹. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， ， ，解得． 所以直线的方程为或． ∴直线的斜率为，故直线的倾斜角为或． (2) 小问详解： 直线，即， 令 ，解得 ，所以直线过定点, 因为轴，当为的中点时，则轴， 所以的方程为，显然不符合题意， 故不为的中点， 因为与圆交于两点，是的中点，所以， 又因为过定点， 所以， 所以中点的轨迹是以为直径端点的圆（除点）. 所以，即. 34．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）如图，在四边形中，，且与间的距离为6，O为的中点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．    （1）求等腰梯形的外接圆的方程； （2）已知直线：，过直线上的动点作圆的两条切线交圆于M，N，求当四边形的面积取得最小值时，直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由圆心在轴上先设出圆心，再设出圆的方程，并由点和在圆上，将点的坐标代入圆的方程可得结果； （2）先由圆的切线的性质分析得到要使四边形的面积最小，则圆心到直线的距离最小，将过圆心的直线的垂线方程和直线的方程联立，得到点坐标，最后由为四点所在圆和圆的公共弦，联立两圆方程可得直线的方程. (1) 小问详解： 由已知可得圆心在轴上，设圆心，半径为，则圆的方程为． 由，，代入圆的方程得 ，解得 ． 故圆的方程为． (2) 小问详解： 四边形的面积． 要使四边形的面积最小，则圆心到直线的距离最小． 过圆心作直线的垂线，垂线的方程为．联立 ，解得 ． 则四边形的面积最小时，． 因为四点共圆，直径为，其方程为． 联立 ，得直线的方程为． 故所求的直线的方程为． 35．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知点在圆上，则当取最小值时，　　　　　　　　　　　． 【答案】1或. 【分析】 首先将点代入圆方程中，再结合，对表达式进行化简，最终得到，转换成几何运算，结合绝对值三角不等式找到最小值和点的位置，最终联立方程求出点的坐标，计算出的值. 【详解】 解：已知点在圆上，所以，即， 所以 ， 其几何意义是点到点，的距离之和， 即， 根据绝对值三角不等式：，当点在线段上时取等号； 点即在圆上，也在线段上，所以此时点为线段与圆的交点； 已知点，，利用两点式方程可得：直线的方程为； 方程联立 得：，解得 或 ； 即 或 ； 两组解均满足题意，所以或； 故答案为：或. 36．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知是圆内一点，若过点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域（忽略边界）面积为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意分析过点的最短弦长的范围，然后可得的范围，进而确定点构成的区域，然后可求面积. 【详解】 圆的半径，点在圆内，直径是最长的弦，长度为8. 以下分析过点的最短的弦，    由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大，由图可知，，当时取等号， 所以当时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这7条长度为正整数的弦的长度分别是， 要使得有两条长度为5的弦，并且没有长度为4的弦，则最短弦长小于5，大于4， 因此，过点的最短的弦长， 又因为，， 所以， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 故答案为： 37．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．C 10．BCD 11．C 考点02 直线的方程 1．A 2．C 3．A 4．C 5．ACD 6．D 7．A 8．ABC 9．【答案】 【分析】 利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数. 【详解】 由题设. 故答案为： 10．【答案】 【分析】 根据直线的点斜式方程可得. 【详解】 因过点，垂直于轴的直线的斜率为0. 所以过点，垂直于轴的直线方程为, 即．如图：    故答案为：． 11．【答案】 【分析】 令计算出的值，则结果可知. 【详解】 令，得，即在轴上的截距为. 故答案为：. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. (1) 小问详解： 由题知，，在直线上， 设， 则 ，解得 ， 即点坐标为. (2) 小问详解： 设， 则 ，解得 ，即， 所以直线的方程为， 即. 13．【答案】（1）；     （2）由， 可得：， 由 ，可得， 即直线经过一个定点； 由题意可得，当时，原点到直线的距离最大， 因为，所以， 所以直线的方程为, 即.      【分析】 （1）求出直线l的斜率为2，进而利用点斜式求出直线方程，得到答案； （2）由方程组 即可求证，当时距离最大，从而求出直线的斜率，代入点斜式方程化为一般式方程即可求解. (1) 小问详解： 当时，直线l的方程为，斜率为， 则过点且与直线l平行的直线方程为， 即； (2) 小问详解： 略 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．A 2．B 3．D 4．C 5．【答案】 【分析】 先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 考点04 圆的方程 1．C 2．C 3．C 4．BD 5．B 6．AB 7．【答案】（1）的方程分别为，     （2）      【分析】 （1）利用截距式求得的方程，进而求得直线的斜率，利用点斜式方程可求直线的方程； （2）由题意可得，即圆是以为直径的圆，可求圆的方程． (1) 小问详解： 因为过两点， 所以的方程为，即． 所以的斜率，因为， 所以的斜率， 又因为过点， 所以的方程为，即． (2) 小问详解： 因为点， 所以，则，即， 所以圆是以为直径的圆． 圆心为，半径， 所以圆的方程为． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设的一般方程为，根据过三点，将点的坐标代入方程，列出方程组求解即可； （2）根据平行关系求出的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求出，由梯形的面积公式求解即可. (1) 小问详解： 设的一般方程为， 由题意可知， 解得，，， 所以的一般方程为， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 因此， 易知，且圆心在直线上，所以梯形的高， 故梯形的面积为 9．【答案】（1）；     （2）8.      【分析】 （1）设，求出 和，代入，计算求解即可； （2）求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得到，代入数值计算求解. (1) 小问详解： 设，，，，， ，，， ，， 的方程为； (2) 小问详解： 的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， . 10．【答案】 【分析】 设点，令，利用阿波罗尼斯圆，求得定点，利用，可求最大值. 【详解】 已知圆和点，且点不在圆上、不与点重合， 则根据性质1知一定存在唯一一个定值和一个定点， 使得对于圆上的任意一点都有． 设点，令， 则，因此圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且． 根据定点，圆心三点共线可知点在轴上， 由，和相似比可知点． 如图，当点位于图中的位置时， 的值最大，最大值为． 故答案为：． 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．C 8．D 9．AB 10．BD 11．A 12．C 13．ACD 14．B 15．A 16．A 17．B 18．BC 19．C 20．BCD 21．【答案】 【分析】设出直线方程，由题意利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设直线l的方程为y=kx． 由直线l与圆C相切．则， 整理为k2﹣8k+1=0．解得：． 【点睛】本题考查了点斜式方程、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于基础题. 22．【答案】（1）相交     （2）和      【分析】 （1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. (1) 小问详解： 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. (2) 小问详解： 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 23．【答案】 【详解】 已知圆，圆, 将两圆方程相减： 化简得：. 故答案为： 24．【答案】或 【分析】 将问题转化为“圆心到直线的距离等于半径”，由此可求解出的值. 【详解】 由圆，得，圆心为，半径为， 因为直线与圆只有一个公共点， 所以到直线的距离等于，即，解得或． 故答案为：或． 25．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意，设圆心且圆为，结合所过的点并应用待定系数法求参数，即可得； （2）首先确定直线所过的定点，再判断点圆位置，结合圆的性质和弦长最短确定所求直线与的位置关系，即可得. (1) 小问详解： 由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则 且，解得 ， 即圆的标准方程为； (2) 小问详解： 已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 26．【答案】2 【分析】 先由且，求的值，再代入计算即可. 【详解】 因为且，所以. 于是 故答案为：2 27．【答案】 【分析】 根据题意可得圆必经过原点，圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大，进一步求解即可. 【详解】 圆是以圆上一点为圆心， 所以圆必经过原点， 又因为圆经过原点， 所以圆与圆交于原点，设为． 当圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大， 此时，而， 所以．    故答案为：. 28．【答案】（1），以为圆心，半径为2的圆；     （2）（ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上， 而的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为，显然该直线恒过定点，得证. GSP （ⅱ）存在，.      【分析】 （1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程； （2）（ⅰ）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标； （ⅱ）根据（ⅰ），若定点为，易知在以为直径的圆上，根据圆的性质判断面积最大时的位置，即可确定的坐标. (1) 小问详解： 设，则，即， 所以，整理得. (2) 小问详解： （ⅰ）证明略；定点； （ⅱ）存在，，理由如下： 由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时. 29．【答案】（1）     （2）     （3）和      【分析】 （1）根据圆心及过原点，可得半径，即可得方程. （2）根据点到直线的距离公式，可得d，代入弦长公式，即可得到答案. （3）讨论斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，计算求解，综合分析，即可得答案. (1) 小问详解： 因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. (2) 小问详解： 设圆心到的距离为，则， 所以. (3) 小问详解： 当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 30．【答案】（1），     （2），和      【分析】 （1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. (2) 小问详解： 结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 31．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. (1) 小问详解： 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. (3) 小问详解： 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 32．【答案】 【分析】 利用两角差的正弦公式以及同角关系联立解方程，再由两角和的正弦公式代入计算可得结果. 【详解】 由，可得，① 由，可得，即，② 联立① 和② 式，可得，， . 故答案为：. 33．【答案】（1），，     （2）     （3）      【分析】 （1）由斜率公式即可求解； （2）设圆的一般方程，代入点的坐标求解即可； （3）确定直线过定点，由时，最小即可求解. (1) 小问详解： 因为，，， 所以，； (2) 小问详解： 设圆的方程为， 由题意可得： ， 解得： ，满足, 所以圆的方程为； (3) 小问详解： 由， 可得， 由 得 ， 即直线过定点， 当时，最小， 由圆的方程为，可得,半径为， ， 所以， 即的最小值为. 34．【答案】（1） 证明：将直线的方程整理为， 当时，式子为与无关， 所以 ，解得 ， 因此直线恒过定点.     （2）或      【分析】 （1）证明直线过定点：将直线方程整理为含参数的线性组合形式，令参数的系数与常数项分别为0，解方程组即可得到定点坐标. （2）求直线方程：先确定定点的位置（圆内），由向量关系，设，结合弦长公式得到圆心到直线的距离，再通过点到直线的距离公式建立关于的方程，求解得到直线方程. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知. 圆，则圆心，半径， ， 设，则， 过作交于， ，， | CN| ^2=| CH| ^2+| HN| ^2 | CP| ^2=| CH| ^2+| HP| ^2 ，即 ， 解得 ， 即圆心到直线的距离， ，解得， 此时直线方程为或. 35．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得的值，则直线的倾斜角可求； （2）由是弦的中点，所以，得弦的中点的轨迹. (1) 小问详解： 圆的圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， ， ，解得． 所以直线的方程为或． ∴直线的斜率为，故直线的倾斜角为或． (2) 小问详解： 直线，即， 令 ，解得 ，所以直线过定点, 因为轴，当为的中点时，则轴， 所以的方程为，显然不符合题意， 故不为的中点， 因为与圆交于两点，是的中点，所以， 又因为过定点， 所以， 所以中点的轨迹是以为直径端点的圆（除点）. 所以，即. 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由圆心在轴上先设出圆心，再设出圆的方程，并由点和在圆上，将点的坐标代入圆的方程可得结果； （2）先由圆的切线的性质分析得到要使四边形的面积最小，则圆心到直线的距离最小，将过圆心的直线的垂线方程和直线的方程联立，得到点坐标，最后由为四点所在圆和圆的公共弦，联立两圆方程可得直线的方程. (1) 小问详解： 由已知可得圆心在轴上，设圆心，半径为，则圆的方程为． 由，，代入圆的方程得 ，解得 ． 故圆的方程为． (2) 小问详解： 四边形的面积． 要使四边形的面积最小，则圆心到直线的距离最小． 过圆心作直线的垂线，垂线的方程为．联立 ，解得 ． 则四边形的面积最小时，． 因为四点共圆，直径为，其方程为． 联立 ，得直线的方程为． 故所求的直线的方程为． 37．【答案】1或. 【分析】 首先将点代入圆方程中，再结合，对表达式进行化简，最终得到，转换成几何运算，结合绝对值三角不等式找到最小值和点的位置，最终联立方程求出点的坐标，计算出的值. 【详解】 解：已知点在圆上，所以，即， 所以 ， 其几何意义是点到点，的距离之和， 即， 根据绝对值三角不等式：，当点在线段上时取等号； 点即在圆上，也在线段上，所以此时点为线段与圆的交点； 已知点，，利用两点式方程可得：直线的方程为； 方程联立 得：，解得 或 ； 即 或 ； 两组解均满足题意，所以或； 故答案为：或. 38．【答案】 【分析】 根据题意分析过点的最短弦长的范围，然后可得的范围，进而确定点构成的区域，然后可求面积. 【详解】 圆的半径，点在圆内，直径是最长的弦，长度为8. 以下分析过点的最短的弦，    由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大，由图可知，，当时取等号， 所以当时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这7条长度为正整数的弦的长度分别是， 要使得有两条长度为5的弦，并且没有长度为4的弦，则最短弦长小于5，大于4， 因此，过点的最短的弦长， 又因为，， 所以， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 故答案为： 39．【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）若直线与直线平行，则的值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知直线过点（2，0），且与直线平行，则（     ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 7．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）“”是“直线与直线互相垂直的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知直线，，则“”的充要条件是（       ）． A.  B.  C. 或 D. 或4 9．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 10．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）（多选）已知直线与，则下列选项正确的是（     ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线恒过点 D. 若，则，之间的距离为 11．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知直线与直线平行，则实数的值为（     ） A. -2 B. 1 C. -2或1 D. 0 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）设直线的倾斜角为，则（     ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（       ） A.  B.  C. 直线过定点 D. 不等式的解集为 6．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）与直线垂直且过点的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（     ） A. 直线的倾斜角为 B. 过点且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 点到直线的距离为1 9．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）经过两点的直线的方向向量为，则的值为　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）过点，垂直于轴的直线方程为　　　　　　． 11．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）直线在轴上的截距为　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 13．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，. （1）若，求过点且与直线平行的直线方程； （2）求证：直线经过一个定点，并写出原点到直线距离最大时直线的方程． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知平行直线与之间的距离为，则实数（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（     ） A.  B.  C. 3 D. 6 3．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A. 2 B. 2 C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知直线与直线平行，则平行线间的距离为　　　　　　. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（       ） A. [4,10] B. [8,10] C. [4,16] D. [8,16] 2．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）（多选）已知曲线，则（　　） A. 曲线表示一个圆 B. 点在曲线上 C. 曲线被直线截得的弦长为 D. 曲线与所有平行于轴的直线都有交点 5．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）定义两曲线，之间的最短距离为.已知，，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  6．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知直线过两点，直线过点，且与垂直． （1）求的方程； （2）若圆过三点，求圆的方程． 7．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）设梯形的外接圆为，已知，且，，. （1）求的标准方程； （2）求梯形的面积. 8．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，求的值. 9．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为　　　　　　． 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知圆与圆外切，则的最大值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 2．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）圆：和圆：的公切线的条数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）如果实数 满足等，那么 的最大值是（       ） A.  B.  C.  D. 1 4．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）圆与圆的位置关系为（     ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 5．（25-26学年高二上·湖南邵阳第二中学·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（    ） A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交 7．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）若圆与圆外切，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知圆为直线上一动点，则点到圆上的点的最短距离为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）（多选）已知直线和圆，则（       ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆有四条公切线 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 定点到圆上的点的最大距离为 D. 过定点且与圆相切的直线方程为或 11．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（       ） A. 或0 B.  C. 或0 D. 0 12．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）已知圆，直线，则（       ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 14．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 15．（25-26学年高二上·湖南长沙·期中）若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）已知点集分别表示曲线，则的公共点的个数为（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 18．（25-26学年高二上·湖南衡阳·期中）（多选）已知对任意，不等式恒成立，则实数m的取值可能是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 19．（25-26学年高二上·湖南名校联考·期中）在平面直角坐标系中，已知三动点，，，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（       ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 21．（25-26学年高二上·湖南常德汉寿县第一中学·期中）已知圆C：（x+2）2+（y+2）2=3，直线l过原点O．若直线l与圆C相切，求直线l的斜率． 22．（25-26学年高二上·湖南长沙明德中学·期中）已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 23．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）若直线与圆只有一个公共点，则　　　　　　． 25．（25-26学年高二上·湖南张家界慈利县第一中学·期中）已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 26．（25-26学年高二上·湖南多所学校·期中）已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为　　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年高二上·湖南浏阳·期中）已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 28．（25-26学年高二上·湖南长沙第六中学·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 29．（25-26学年高二上·湖南宁远县第一中学·期中）已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 30．（25-26学年高二上·湖南部分学校·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 31．（25-26学年高二上·湖南平高教育·期中）已知点，，，圆是的外接圆． （1）分别求直线，的斜率； （2）求圆的方程； （3）若直线：与圆相交于，两点，求的最小值． 32．（25-26学年高二上·湖南湘潭县第一中学·期中）已知圆，直线，直线与圆交于点M，N. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； ， 设，则， 过作交于， ，， | CN| ^2=| CH| ^2+| HN| ^2 | CP| ^2=| CH| ^2+| HP| ^2 ，即 ， 解得 ， 即圆心到直线的距离， ，解得， 此时直线方程为或. 33．（25-26学年高二上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知圆，直线． （1）设与圆交于，两点，若，求的倾斜角； （2）设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程． 34．（25-26学年高二上·湖南佳教育联盟·期中）如图，在四边形中，，且与间的距离为6，O为的中点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．    （1）求等腰梯形的外接圆的方程； （2）已知直线：，过直线上的动点作圆的两条切线交圆于M，N，求当四边形的面积取得最小值时，直线的方程． 35．（25-26学年高二上·湖南湘一名校联考·期中）已知点在圆上，则当取最小值时，　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）已知是圆内一点，若过点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域（忽略边界）面积为　　　　　　　　　　. 37．（25-26学年高二上·湖南长沙长郡中学·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $