精品解析：湖南省岳阳教研联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

岳阳教研联盟2021级高二期中联考联评 数学 分值：150分时量：120分钟审题：肖亦实（华容县第一中学） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号填写在答题卡上.并在答题卡相应位置贴上条形码. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答（作图），答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则等于（ ） A. R B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集与并集的计算求解即可. 【详解】由于，所以. 故选：A 2. 函数在处切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解. 【详解】因为函数， 则， 所以，也即函数在处切线的斜率， 故选：. 3. 经过向圆作切线，切线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线； （2）当切线斜率存在时，设切线方程为， 由到切线距离为得， 此时切线方程为即. 故选：C 4. 平行六面体中，则它的对角线的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算法则，可知，两边同时平方根据向量数量积可得对角线的长度. 【详解】由于，而 所以，将等式两边同时平方得： ， ， 所以， 即对角线的长度为. 故选：D. 5. 已知函数，以下说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 在定义域上递增 C. 的值域为 D. 没有零点 【答案】B 【解析】 【分析】A项：观察定义域是否关于原点对称，然后再验证是否成立； B项：计算比较的值即可判定错误； C项：将函数的解析式分离常数得到，利用指数函数的性质和复合函数的单调性求得取值范围，进而根据奇函数的图象的对称性可得到函数值域； D项：分母不为零，分子大于零恒成立可得. 【详解】对于选项A：因为，即， 所以定义域为关于原点对称， 又由于， 所以是奇函数，故A正确； 对于选项B：由于， 所以不能说函数在定义域内单调递增，故B不正确； 对于选项C：， 当从0（不包括0）增大到时，的值从0（不包括0）递减到，值域为， 故的值从增大到，取值范围是， 由奇函数图象的对称性可知，当时，的取值范围是， 所以的值域是，故C正确； 对于选项D：恒成立，故没有零点，故正确. 综上，错误的选项为B. 故选：B 6. 等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可知，，仍为等比数列，公比为，代入可得；将代入中，可得，即可得到等比数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，再根据相邻项异号求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 又，解得， 所以，则，即是首项为，公差为的等差数列， 令，则，易知， 所以， 故当或6时，取最小值，最小值为， 故选： 7. 中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把用表示，把用表示，所以用表示， 也用表示，然后多项式展开即可. 【详解】由， 而，又由已知可得，所以 . 故选：D 8. 已知直线交抛物线于轴异侧两点，且，过O向作垂线，垂足为D，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设直线方程，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得，所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程. 【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：， 则， 设，则， 所以，故或， 当时，位于轴同侧，故舍去，所以， 所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上. 故选：B 二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和，以下说法正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且仅当时，取最小值 C. 若，则 D. 若，则n的最小值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据与之间的关系，求得数列的通项公式，可得答案；对于B，整理的解析式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意，建立方程，可得答案；对于D，由题意，建立不等式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】当时，；当时，； 则，，由，故A错误； ，所以当且仅当时取最小值，故B正确； 若，则，故，故C正确； 令，由，则， 即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 若在双曲线上，且，则或1 C. 若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为 D. 若在双曲线上，且，则的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】由焦点到渐近线的距离为4可得，，可得离心率；即A正确；根据双曲线定义即可求得判断B；根据焦点弦公式可知的最小值为双曲线的通径可判断C；根据双曲线定义即勾股定理分别计算出的长，即可的面积从而判断D. 【详解】由已知可得，到直线的距离为， 所以，即离心率为，所以A正确； 若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支， 故，所以B错误； 若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径， 即，故C选项正确； 若在双曲线上，且，设，不妨设， 由双曲线定理和勾股定理得： ， 所以， 则的面积为； 即D错误. 故选：AC. 11. 七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（ ） A. 当时，它有外接球，且其半径为 B. 当时，它有外接球，且其半径为 C. 当它有内切球时， D. 当它有内切球时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为底面作长方体，计算，时外接球半径，得到AB正确；设垂足为，根据相似得到，计算得到C假D真，得到答案. 【详解】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球， 当时，外接球半径为， 当时外接球半径为，故AB均为真命题； 设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为. 设垂足为，则由，可得，可得，故C假D真. 综上，本题答案为ABD. 故选：ABD 12. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 它是偶函数 B. 它是周期为的周期函数 C. 它的值域为 D. 它在这个区间有且只有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义可知，，即A正确；由周期函数得定义可知，与不一定相等，故B错误；将函数写成分段函数的形式并画出函数图像可得C正确；结合C以及偶函数的性质，可判断D正确. 【详解】由于，所以它是偶函数，故A正确； 由于，它们不相等，所以它不是周期为的周期函数，即B错误； 现在来考察这个函数在内的情况. 当时， 当时， 分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图： 由此可知函数值域为，即选项C正确； 又由于这个函数是偶函数，它在内没有零点，而在有2个零点，故正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C选项时，首先可讨论时的函数解析式，画出图形；当时图像重复的图像，而时，关于轴作出对称图像即可. 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 复数，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数相等，即可求解. 【详解】，则，解得：. 故答案为：3. 14. 已知的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】设， 任取， ， 其中， 所以， 所以在上递增，最小值为. 故答案为： 15. 已知是定义在上的奇函数，且恒成立.当时，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可知的图象关于对称，又是定义在上的奇函数，故是周期的周期函数，即可解决. 【详解】由可知的图象关于对称， 因为是定义在上的奇函数， 所以是周期的周期函数， 所以 故答案为： 16. 线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点关于直线的对称点，结合两点之间的距离公式即可求解. 【详解】显然关于直线的对称点，由反射光线性质知， 设关于直线的对称点，则，则， 故，由反射光线性质知 所以各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度， 且. 故答案为： 四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前项和为，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）-若数列的前项和为，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)由题意可得，利用累乘法即可得数列的通项公式； (2)利用裂项相消可得,即可证明. 【小问1详解】 解：由已知，时，， 与已知条件作差得： 所以， 所以,n=1成立 【小问2详解】 证明：因为， 所以. 得证. 18. 一块土地形状为四边形，其中， （1）求这块土地的面积； （2）若为中点，在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将四边形的面积转化为，结合余弦定理来求得正确答案. （2）设，结合正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式等知识求得，利用三角形的面积列方程，由此求得的长. 【小问1详解】 由已知得，， ，所以， 在三角形中，由余弦定理得，解得. 所以这个四边形的面积为： . 【小问2详解】 连接， 由于，又将四边形面积平分， 故， 设，则由正弦定理得， 所以，所以， ， 设，则， 解得，所以. 19. 已知直线交圆于两点. （1）当时，求直线的斜率； （2）当的面积最大时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离列方程，由此求得的值. （2）求得的表达式并利用基本不等式求得最大值，由点到直线的距离公式求得. 【小问1详解】 设圆心到直线的距离为（），圆的圆心为， 半径，直线， 当时，三角形是等边三角形，， 于是（负根舍去）. 【小问2详解】 ， 等号当且仅当时成立， 当时，（负根舍去）. 20. 某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人.为方便教学，将学生分为两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人.某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，估计A层次200名学生的平均成绩和方差； （2）若层次800名学生的平均成绩为分，方差为.试根据以上数据估计该校高二整个年级此次考试的平均分和方差 【答案】（1）84，59 （2）72， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数以及方差的计算方法，可得答案. （2）根据平均数的计算方法可求得该校高二整个年级此次考试的平均分；利用方差，展开计算，结合（1）的结果，可得答案. 【小问1详解】 估计A层次200名学生的平均分为， 估计方差为 . 【小问2详解】 由题意得， 设这1000名学生的成绩为，其中前200个数据为A层次学生成绩. 由于， ， 同理， 所以， . 21. 四棱锥中，底面是菱形，交于，且底面 （1）若分别为中点，求四面体的体积； （2）若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等体积法转化解决即可； （2）根据空间向量求二面角得到方法解决即可. 【小问1详解】 由底面是菱形，交于，且底面，分别为中点， 所以， 【小问2详解】 由题知，以为原点，以为非负轴建立空间直角坐标系. 因为底面是菱形，交于，且， 所以，设， 所以，， 设平面的法向量为， 所以得，取， 设平面的法向量为， 所以得，取， 所以，解得， 所以. 22. 已知点在椭圆上，且椭圆的焦距为 （1）求椭圆的方程； （2）过作倾斜角互补的两直线，这两直线与椭圆的另一个交点分别为，求的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列方程组解决即可；（2）设直线方程，联立方程组，运用韦达定理，找等量关系，代值化简即可解决. 【小问1详解】 由题知，椭圆焦点在轴上， 因为 ，解得 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设直线的方程为并与椭圆方程联立得： 设， 所以 由已知，， 所以，从而， 即 整理得 将上述韦达定理关系式代入并整理得 即， 若，则直线经过点，不符合题意， 所以， 所以直线的斜率为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳教研联盟2021级高二期中联考联评 数学 分值：150分时量：120分钟审题：肖亦实（华容县第一中学） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号填写在答题卡上.并在答题卡相应位置贴上条形码. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答（作图），答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则等于（ ） A. R B. C. D. 2. 函数在处切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 经过向圆作切线，切线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 平行六面体中，则它的对角线的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知函数，以下说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 在定义域上递增 C. 的值域为 D. 没有零点 6. 等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 中，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线交抛物线于轴异侧两点，且，过O向作垂线，垂足为D，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 或 二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和，以下说法正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且仅当时，取最小值 C. 若，则 D. 若，则n的最小值为12 10. 已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 若在双曲线上，且，则或1 C. 若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为 D. 若在双曲线上，且，则的面积为 11. 七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（ ） A. 当时，它有外接球，且其半径为 B. 当时，它有外接球，且其半径为 C. 当它有内切球时， D. 当它有内切球时， 12. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 它是偶函数 B. 它是周期为的周期函数 C. 它的值域为 D. 它在这个区间有且只有2个零点 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 复数，则__________. 14. 已知的最小值为__________. 15. 已知是定义在上的奇函数，且恒成立.当时，则的值为__________. 16. 线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为_________. 四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前项和为，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）-若数列的前项和为，求证： 18. 一块土地形状为四边形，其中， （1）求这块土地的面积； （2）若为中点，在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度. 19. 已知直线交圆于两点. （1）当时，求直线的斜率； （2）当的面积最大时，求直线的斜率. 20. 某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人.为方便教学，将学生分为两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人.某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，估计A层次200名学生的平均成绩和方差； （2）若层次800名学生的平均成绩为分，方差为.试根据以上数据估计该校高二整个年级此次考试的平均分和方差 21. 四棱锥中，底面是菱形，交于，且底面 （1）若分别为中点，求四面体的体积； （2）若二面角的余弦值为，求的长度. 22. 已知点在椭圆上，且椭圆的焦距为 （1）求椭圆的方程； （2）过作倾斜角互补的两直线，这两直线与椭圆的另一个交点分别为，求的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $