(专项讲义)第二单元整数运算定律推广到分数乘法-2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集(新人教版)

2026-09-22
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2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 (专项讲义)第二单元整数运算定律推广到分数乘法 一、核心知识点 1、整数乘法运算定律推广到分数的基础定义。 定义:之前在整数、小数乘法中掌握的所有乘法运算定律,完全可以直接迁移应用到分数乘法的计算中,通过定律简化复杂的分数乘法运算,大幅降低计算难度。 核心逻辑:运算定律的本质是乘法运算的通用性质,不会因为参与运算的数是整数、小数还是分数发生改变,所有定律的适用规则完全统一,是分数简便运算的核心底层依据。 2、三大核心乘法运算定律的分数适配规则。 乘法交换律:两个分数相乘,交换两个乘数的位置,乘积完全不变,字母公式为a×b = b×a。 乘法结合律:三个分数连乘时,先算前两个数的乘积,或者先算后两个数的乘积,最终结果完全相等,字母公式为(a×b)×c = a×(b×c)。 乘法分配律:两个数的和(或差)和一个分数相乘,可以把这两个数分别和这个分数相乘,再把两个乘积相加(或相减),最终结果完全相等,字母公式为(a±b)×c = a×c ± b×c。 速记口诀:交换位置积不变,结合凑整更简便,分配拆乘再加减,分数简算快又准。 示例:计算2/3 × 1/5 × 3,用乘法交换律交换后两个乘数的位置,先算2/3 ×3得到整数2,再乘1/5,快速得到结果2/5,比硬算约分效率高很多。 3、连乘类简算的通用技巧。 多个分数连乘的场景下,可以同时结合乘法交换律和乘法结合律,把能直接约分的分数优先组合到一起,同步完成多组分步约分,不用按从左到右的顺序硬算,直接快速得到最简结果。 示例:计算1/3 × 2/7 × 9 × 14,通过交换律和结合律分组为(1/3×9) × (2/7×14),两组分别算出整数3和4,最终乘积直接得到12,全程没有复杂的分数运算。 4、乘法分配律的两类核心应用场景。 顺向应用:遇到两个数的和(差)乘一个分数,且这两个数都能和分数的分母直接约分时,直接把括号拆开,让两个数分别乘这个分数,约分后再做加减,避免先通分算括号内的复杂运算。 示例:计算(5/6 + 1/4)×12,顺向拆分后得到5/6×12 + 1/4×12,分别算出10和3,相加直接得到13,完全不用通分计算括号内的异分母加法。 逆向应用:遇到多个乘法项相加(减),且所有乘法项里有完全相同的分数因数时,把这个相同的公因数提取出来,剩下的部分相加(减)后再乘公因数,大幅简化运算步骤。 示例:计算3/4 × 5/9 + 3/4 × 4/9,逆向提取公因数3/4,得到3/4 × (5/9+4/9),括号内相加直接得到1,最终结果就是3/4,完全不用分别计算两个复杂的分数乘法。 5、拆分凑整的高阶简算技巧。 遇到接近整数的分数或整数乘分数的场景时,把接近整十、整百的数拆成“整十/整百数±一个小数字”的形式,再套用乘法分配律展开计算,避免硬算大数乘法。 示例:计算87 × 3/86,把87拆成86+1,再用分配律展开得到86×3/86 +1×3/86,直接算出结果为3 + 3/86 = 3又3/86,完全不用硬算87乘3的大数乘积。 二、高频易错点 1、定律适用混淆错误:随意给除法套用乘法分配律,比如把24÷(1/3+1/4)错算成24÷1/3 +24÷1/4,完全违背乘法分配律的适用边界,算出完全错误的结果,这是本单元最高频的错题类型。 2、约分规则错误:整数乘分数时,错误用整数和分子约分,完全违背“整数只能和分母约分”的基础规则,导致最终结果完全错误。 3、分配律漏乘错误:顺向使用乘法分配律拆括号时,只把括号内的第一个数和外部的分数相乘,完全忘记给第二个数也乘这个分数,直接把第二个数照搬进后续的加减运算,得到错误结果。 4、简算逻辑错误:在不符合运算定律的场景下强行凑整简算,完全破坏原式的运算顺序,比如把1/2 × 2 ÷ 1/2 × 2错算成(1/2×2)÷(1/2×2)=1,得到完全错误的结果。 5、概念理解偏差:误以为整数的运算定律和分数乘法完全不兼容,不敢直接迁移使用,所有题目都硬算通分,不仅计算速度极慢,还很容易出现低级计算失误。 6、特殊场景失误:遇到带分数参与乘法运算时,不先把带分数转化为假分数,直接把整数部分和分数部分分开分别乘分数,完全违背带分数的运算规则,算出完全偏离正确值的结果。 三、高频易错题 一、选择题 1.×+×=×(+),这里运用了(    )。 A.乘法分配律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.乘法的意义 【答案】A 【分析】乘法分配律可反向应用:若两个乘法算式含有相同的因数,可先把两个不同的因数相加,再乘相同的因数,本题符合该特征。 【解答】 该计算过程运用了乘法分配律。 2.小明把错算成,这两种算法相差(    )。 A. B. C. D.无法确定 【答案】A 【分析】先利用乘法分配律展开正确的算式,再用正确结果减去错误结果,即可求出相差的数值。 【解答】展开正确算式: 两个算式的差: = = = = 因此,这两种算法相差。 3.,这里运用了(    )使计算简便。 A.乘法分配律 B.乘法交换律 C.乘法结合律 D.加法结合律 【答案】C 【分析】因为题目中是乘法算式,不存在加法,所以根据乘法结合律:,乘法分配律:,乘法交换律:;对照题干运算形式逐一排除不符合的选项即可。 【解答】A.乘法分配律适用于乘加、乘减的运算结构,本题不存在和或差的运算,排除; B.乘法交换律需要交换因数的位置,本题各因数位置没有变化,排除; C.三个数相乘,先计算后两个数的乘积再和第一个数相乘,积不变,符合乘法结合律的特征; D.题目中没有加法运算,加法结合律,排除。 4.,这是根据(    )计算的。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 D.加法结合律 【答案】C 【分析】第二步算式分别用去乘括号里面的数,符合乘法分配律 【解答】,这种一个数乘两个数的和,等于这个数分别乘两个加数,再把所得的积相加的运算规律是乘法分配律。 5.下列算式中,结果与相等的是(    )。 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】将85改写为86减1,利用乘法分配律展开原式,再分别对四个选项进行计算,将计算结果与原式对比,选出相等的算式。 【解答】85× =(86-1)× =86×-1× =3- A.3-1×=3-,与原式结果相等; B.85×-1=3-1=2,与原式结果不相等; C.86×+=3+,与原式结果不相等; D.85×+1×=3+,与原式结果不相等。 6.下列选项中,当(    )时,运用乘法分配律计算最简便。 A.2 B.3 C.6 D.9 【答案】C 【分析】用乘法分配律把算式拆成,如果是2和3的公倍数,两次乘法都能得到整数,计算最简便。 【解答】A.,,结果是分数,计算麻烦; B.,,结果是分数,计算麻烦; C.,,,,全部是整数计算,最简便; D.,,结果是分数,计算麻烦。 7.,这是运用了(    )。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 D.加法结合律 【答案】C 【分析】只要将题目中算式的结构和选项中的四个运算定律的形式进行比较即可。 【解答】A.乘法交换律的形式是a×b=b×a,而题目中的算式没有交换因数位置。 B.乘法结合律的形式是(a×b)×c=a×(b×c),而题目中的算式没有连乘。 C.乘法分配律的形式是(ab)×c=a×cb×c,题目中的算式把括号里的两个数分别与21相乘,再相减,符合乘法分配律的形式。 D.加法结合律的形式是(a+b)+c=a+(b+c),是加法的运算律,和乘法无关。 8.,这是根据(    )计算的。 A.乘法分配律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.以上都不对 【答案】A 【分析】算式中把24分别与括号里的和相乘,再把两个积相加,即=,这正是乘法分配律a×(b+c)=a×b+a×c的应用。 【解答】 = =8+3 =11 所以,这是根据乘法分配律计算的。 故答案为:A 9.小马虎把(x+)×3错当成x+×3进行计算,这样算出的结果与正确结果相差(    )。 A.5 B.6 C.2x D.3x 【答案】C 【分析】先利用乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c把(x+)×3转化为3x+2,再把x+×3转化为x+2,最后求出3x+2与x+2的差,据此解答。 【解答】(x+)×3 =3x+×3 =3x+2 x+×3 =x+2 (3x+2)-(x+2) =3x+2-x-2 =3x-x+2-2 =2x 所以,算出的结果与正确结果相差2x。 故答案为:C 10.下面选项中,当a=(    )时,运用乘法分配律计算比较简便。 A.2 B.3 C.6 D.9 【答案】C 【分析】两个数的和与一个数相乘,可以先把它们分别与这个数相乘,再相加,这叫作乘法分配律。当a既是2的倍数又是3的倍数时,运用乘法分配律可将分数的分母约分得到整数结果,计算比较简单。据此分析每个选项。 【解答】A.2是2的倍数,不是3的倍数,该选项不符合; B.3是3的倍数,不是2的倍数,该选项不符合; C.6既是2的倍数又是3的倍数,该选项符合; D.9是3的倍数,不是2的倍数,该选项不符合。 所以当a=6时,运用乘法分配律计算比较简便。 故答案为:C 二、填空题 11.运用的运算律是( )。 【答案】乘法分配律 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘,可以先把它们分别与这个数相乘,再相加,结果不变。 【解答】观察可知,右边算式是将左边算式括号外的因数15和17分别乘括号内的每一个加数和,再把所得的积相加。该运算过程符合乘法分配律的特征。 12.( )( ),这是运用了乘法( )律。 【答案】 分配 【分析】因为的分母是8,将7转化成8-1,利用(a-b)×c=a×c-b×c(乘法分配律)进行简算。 【解答】,这是运用了乘法分配律。 13.小红在计算时,错算成了。计算结果比正确得数( )。 【答案】大2 【分析】正确算式先算乘法再算加法,错误算式先算括号里的加法再算乘法,分别算出两个算式的结果作差即可。 【解答】 =2.1+0.8 =2.9 =3.5× =4.9 4.9-2.9=2 即计算结果比正确结果大2。 14.小明在计算9×(A+)时,错看成了9×A+,算的结果与正确结果相差( ),错误的原因是( )。 【答案】6 去掉括号时,没有正确运用乘法分配律 【分析】先根据乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c将9×(A+)改写成9×A+9×,与9×A+相比,都有9×A,只是9×与不相同,所以只需求出9×与的差值; 将9×(A+)错看成9×A+,是去掉括号时,没有将括号外的因数与括号里的每个数相乘,据此得出错误的原因。 【解答】9×(A+)=9×A+9× 9×A+9×与9×A+相差: 9×- =- =6 小明在计算时,错看成了,错误的原因是去掉括号时,没有正确运用乘法分配律。 15.冬冬在计算时,错误地算成,他算出的结果与正确结果相差( )。 【答案】3 【分析】要求他算出的结果与正确的结果相差多少,把两个算式相减即可。乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变。据此将算式变为,再进行计算。 【解答】- =- = =3+ =3+ =3+0 =3 冬冬在计算时,错误地算成,他算出的结果与正确结果相差3。 16.小马虎在计算时,算成了,正确结果与小马虎的结果之间相差( )。 【答案】 【分析】先根据乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c把改写成,再与相比,发现它们都有,只是与不相同,所以只需求出与的差即可。 【解答】 与相比,相差: 正确结果与小马虎的结果之间相差。 17.琳琳在计算(-□)×时,错算成了-□×。她的计算结果比正确结果( )(填“大”或“小”)。 【答案】大 【分析】(-□)×根据乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c,可以改写成×-□×。比较×-□×和-□×,这两道乘减算式的减数相同,比较被减数×与的大小即可。一个不等于0的数乘小于1的数,积小于这个数,一个不等于0的数乘大于1的数,积大于这个数。据此比较×与的大小。 【解答】(-□)× =×-□× <1,所以×<,因此×-□×<-□×。 琳琳在计算(-□)×时,错算成了-□×。她的计算结果比正确结果大。 18.航航在计算(□)×时,错算成□×,这样得数比原来多了( )。 【答案】 【分析】根据乘法分配律,先求出(+□)×的结果,再用+□×减去前面算式即可。 【解答】+□×-(+□)× =+□×-(×+□×) =+□×-(+□×) =+□×--□× =(-)+(□×-□×) =+0 = 所以这样得数比原来多了。 19.计算结果的整数部分是( )。 【答案】517 【分析】385是5、7、11的倍数,据此利用乘法分配律进行简算,进而求出整数部分。 【解答】 即计算结果的整数部分是517。 【点睛】本题考查了高斯取整的有关计算,解题关键是用乘法分配律计算时要准确。 20.假设的结果是x,那么与x最接近的整数是( )。 【答案】25 【分析】观察式子,有11个1相加;根据乘法的分配律将提出,再将剩下的数相加即就是1+2+3+……+11,根据收尾相加的方法将加法算式转化为(1+11)×11÷2,得出最后的算式是11+66×,其中66×的最接近的整数是13,再加上11即可得出最接近的整数。 【解答】 =1×11+(1+2+3+……+11)× =1×11+(1+11)×11÷2× =11+66× ≈11+13.63 ≈24.63 则与x最接近的整数是25。 三、计算题 21.计算下面各题。                 【答案】;;; 【分析】(1)(3)从左往右依次计算; (2)根据乘法交换律让先计算更简便; (4)根据乘法结合律让先计算更简便。 【解答】(1) (2) (3) (4) 22.能简算的要简算。                                                   【答案】10;;13; ;22; 【分析】利用乘法交换律和结合律进行简算。 利用乘法分配律进行简算。 利用乘法分配律进行简算。 可以改写成,再利用乘法分配律进行简算。 利用乘法分配律进行简算。 把72拆成71+1,再利用乘法分配律进行简算。 【解答】 = = =10×1 =10       = = = =            = = =13 = = = =           = =12+10 =22                 = = = = 四、解答题 23.玉田泥塑是国家级非物质文化遗产,其造型一般为椭形体,单纯简练,半塑半画,以画为主。李叔叔接到加工240个泥塑玩具的订单。第一周加工了总订单的,第二周加工了总订单的,两周一共加工了多少个泥塑玩具? 【答案】140个 【分析】把总订单数看作单位“1”,先求两周加工数量占总订单的分率和,再用总数量乘分率和,即可求出两周一共加工的个数。 【解答】 (个) 答:两周一共加工了140个泥塑玩具。 24.一桶油重14千克,第一次取出了这桶油的,第二次取出了这桶油的,两次一共取出多少千克油? 【答案】9千克 【分析】把这桶油的总重量看作单位“1”,先求出两次取出的重量占总重量的分率之和,再用总重量乘这个分率和,即可得到两次一共取出的油的重量。 【解答】 (千克) 答:两次一共取出9千克油。 25.公园的园丁新种植了480盆花,其中杜鹃花占,月季花占。新种植的这两种花共有多少盆? 【答案】400盆 【分析】把花的总数看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用花的总数乘即可求出杜鹃花的数量,用花的总数乘即可求出月季花的数量,再将两种花的数量相加即可。 【解答】480×+480× =480×() =480× =400(盆) 答:新种植的这两种花共有400盆。 26.强强正在参加航天知识竞赛,他把40+a×,错算成了(40+a)×,正确的结果与强强算出的错误结果相差多少? 【答案】5 【分析】计算40+a×时先算乘法再算加法,所得结果是正确的结果。计算(40+a)×时应用乘法分配律计算,所得结果是错误的结果。再把正确的结果与错误的结果相减即可解答。 【解答】40+a×-(40+a)× =40+a-(40×+a×) =40+a-(35+a) =40+a-35-a =(40-35)+(a-a) =5+0 =5 答:正确的结果与强强算出的错误结果相差5。 27.工程队要修一条56千米长的水渠,第一天修了全长的,第二天比第一天少修全长的,第二天修了多少千米? 【答案】19千米 【分析】水渠全长56千米,第一天修了全长的,则第一天修的长度为:56×=35(千米)。第二天比第一天少修全长的,则少修的长度为56×=16千米,所以第二天修的长度为:35-16=19(千米)。 【解答】56×-56× =35-16 =19(千米) 答:第二天修了19千米。 学科网(北京)股份有限公司 $2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 (专项讲义)第二单元整数运算定律推广到分数乘法 一、核心知识点 1、整数乘法运算定律推广到分数的基础定义。 定义:之前在整数、小数乘法中掌握的所有乘法运算定律,完全可以直接迁移应用到分数乘法的计算中,通过定律简化复杂的分数乘法运算,大幅降低计算难度。 核心逻辑:运算定律的本质是乘法运算的通用性质,不会因为参与运算的数是整数、小数还是分数发生改变,所有定律的适用规则完全统一,是分数简便运算的核心底层依据。 2、三大核心乘法运算定律的分数适配规则。 乘法交换律:两个分数相乘,交换两个乘数的位置,乘积完全不变,字母公式为a×b = b×a。 乘法结合律:三个分数连乘时,先算前两个数的乘积,或者先算后两个数的乘积,最终结果完全相等,字母公式为(a×b)×c = a×(b×c)。 乘法分配律:两个数的和(或差)和一个分数相乘,可以把这两个数分别和这个分数相乘,再把两个乘积相加(或相减),最终结果完全相等,字母公式为(a±b)×c = a×c ± b×c。 速记口诀:交换位置积不变,结合凑整更简便,分配拆乘再加减,分数简算快又准。 示例:计算2/3 × 1/5 × 3,用乘法交换律交换后两个乘数的位置,先算2/3 ×3得到整数2,再乘1/5,快速得到结果2/5,比硬算约分效率高很多。 3、连乘类简算的通用技巧。 多个分数连乘的场景下,可以同时结合乘法交换律和乘法结合律,把能直接约分的分数优先组合到一起,同步完成多组分步约分,不用按从左到右的顺序硬算,直接快速得到最简结果。 示例:计算1/3 × 2/7 × 9 × 14,通过交换律和结合律分组为(1/3×9) × (2/7×14),两组分别算出整数3和4,最终乘积直接得到12,全程没有复杂的分数运算。 4、乘法分配律的两类核心应用场景。 顺向应用:遇到两个数的和(差)乘一个分数,且这两个数都能和分数的分母直接约分时,直接把括号拆开,让两个数分别乘这个分数,约分后再做加减,避免先通分算括号内的复杂运算。 示例:计算(5/6 + 1/4)×12,顺向拆分后得到5/6×12 + 1/4×12,分别算出10和3,相加直接得到13,完全不用通分计算括号内的异分母加法。 逆向应用:遇到多个乘法项相加(减),且所有乘法项里有完全相同的分数因数时,把这个相同的公因数提取出来,剩下的部分相加(减)后再乘公因数,大幅简化运算步骤。 示例:计算3/4 × 5/9 + 3/4 × 4/9,逆向提取公因数3/4,得到3/4 × (5/9+4/9),括号内相加直接得到1,最终结果就是3/4,完全不用分别计算两个复杂的分数乘法。 5、拆分凑整的高阶简算技巧。 遇到接近整数的分数或整数乘分数的场景时,把接近整十、整百的数拆成“整十/整百数±一个小数字”的形式,再套用乘法分配律展开计算,避免硬算大数乘法。 示例:计算87 × 3/86,把87拆成86+1,再用分配律展开得到86×3/86 +1×3/86,直接算出结果为3 + 3/86 = 3又3/86,完全不用硬算87乘3的大数乘积。 二、高频易错点 1、定律适用混淆错误:随意给除法套用乘法分配律,比如把24÷(1/3+1/4)错算成24÷1/3 +24÷1/4,完全违背乘法分配律的适用边界,算出完全错误的结果,这是本单元最高频的错题类型。 2、约分规则错误:整数乘分数时,错误用整数和分子约分,完全违背“整数只能和分母约分”的基础规则,导致最终结果完全错误。 3、分配律漏乘错误:顺向使用乘法分配律拆括号时,只把括号内的第一个数和外部的分数相乘,完全忘记给第二个数也乘这个分数,直接把第二个数照搬进后续的加减运算,得到错误结果。 4、简算逻辑错误:在不符合运算定律的场景下强行凑整简算,完全破坏原式的运算顺序,比如把1/2 × 2 ÷ 1/2 × 2错算成(1/2×2)÷(1/2×2)=1,得到完全错误的结果。 5、概念理解偏差:误以为整数的运算定律和分数乘法完全不兼容,不敢直接迁移使用,所有题目都硬算通分,不仅计算速度极慢,还很容易出现低级计算失误。 6、特殊场景失误:遇到带分数参与乘法运算时,不先把带分数转化为假分数,直接把整数部分和分数部分分开分别乘分数,完全违背带分数的运算规则,算出完全偏离正确值的结果。 三、高频易错题 一、选择题 1.×+×=×(+),这里运用了(    )。 A.乘法分配律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.乘法的意义 2.小明把错算成,这两种算法相差(    )。 A. B. C. D.无法确定 3.,这里运用了(    )使计算简便。 A.乘法分配律 B.乘法交换律 C.乘法结合律 D.加法结合律 4.,这是根据(    )计算的。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 D.加法结合律 5.下列算式中,结果与相等的是(    )。 A. B. C. D. 6.下列选项中,当(    )时,运用乘法分配律计算最简便。 A.2 B.3 C.6 D.9 7.,这是运用了(    )。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 D.加法结合律 8.,这是根据(    )计算的。 A.乘法分配律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.以上都不对 9.小马虎把(x+)×3错当成x+×3进行计算,这样算出的结果与正确结果相差(    )。 A.5 B.6 C.2x D.3x 10.下面选项中,当a=(    )时,运用乘法分配律计算比较简便。 A.2 B.3 C.6 D.9 二、填空题 11.运用的运算律是( )。 12.( )( ),这是运用了乘法( )律。 13.小红在计算时,错算成了。计算结果比正确得数( )。 14.小明在计算9×(A+)时,错看成了9×A+,算的结果与正确结果相差( ),错误的原因是( )。 15.冬冬在计算时,错误地算成,他算出的结果与正确结果相差( )。 16.小马虎在计算时,算成了,正确结果与小马虎的结果之间相差( )。 17.琳琳在计算(-□)×时,错算成了-□×。她的计算结果比正确结果( )(填“大”或“小”)。 18.航航在计算(□)×时,错算成□×,这样得数比原来多了( )。 19.计算结果的整数部分是( )。 20.假设的结果是x,那么与x最接近的整数是( )。 三、计算题 21.计算下面各题。                 22.能简算的要简算。                                                   四、解答题 23.玉田泥塑是国家级非物质文化遗产,其造型一般为椭形体,单纯简练,半塑半画,以画为主。李叔叔接到加工240个泥塑玩具的订单。第一周加工了总订单的,第二周加工了总订单的,两周一共加工了多少个泥塑玩具? 24.一桶油重14千克,第一次取出了这桶油的,第二次取出了这桶油的,两次一共取出多少千克油? 25.公园的园丁新种植了480盆花,其中杜鹃花占,月季花占。新种植的这两种花共有多少盆? 26.强强正在参加航天知识竞赛,他把40+a×,错算成了(40+a)×,正确的结果与强强算出的错误结果相差多少? 27.工程队要修一条56千米长的水渠,第一天修了全长的,第二天比第一天少修全长的,第二天修了多少千米? 学科网(北京)股份有限公司 $

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