（专项讲义）第二单元 工程问题-2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集（新苏教版）

2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 （专项讲义）第二单元工程问题 一、核心知识点 1、工程问题的基础定义。 定义：把修路、搬货、注水排水等一系列涉及“工作总量、工作效率、工作时间”的应用题，统一归为工程问题，是小学分数应用题的经典核心题型。 核心三要素：工作总量指需要完成的全部任务总和，工作效率指单位时间内完成的工作量，工作时间指完成全部任务花费的总时长。 核心逻辑：工程问题的核心建模方法是把完整的工作总量抽象为单位“1”，把具体的工程量转化为分数形式的分率，用统一的数学规则处理各类复杂的合作场景。 2、工程问题的基础核心公式。 底层通用公式：‌工作效率×工作时间=工作总量‌，所有工程问题的推导都围绕这个基础等式展开。 两个变形推导公式：‌工作总量÷工作效率=工作时间‌，‌工作总量÷工作时间=工作效率‌，三个公式可以互相推导，覆盖所有基础工程场景。 单位“1”的简化规则：当题目没有给出具体的工作总量数值时，直接把全部任务的总量设为“1”，此时单独完成任务需要N天的主体，对应的工作效率就是1/N，也就是每天完成总任务的N分之一。 示例：甲单独完成一项工程需要10天，把总工程量设为1，甲的工作效率就是1/10，代表甲每天能完成全部工程的十分之一。 3、双人/多人合作类基础题型。 题型特征：已知两个或多个主体单独完成工程的时间，求多人合作完成全部工程需要的总时间。 解题通用套路：先分别算出每个主体的单人工作效率，再把所有效率相加得到合作总效率，最后用总工程量“1”除以合作总效率，直接得到合作完工时间。 速记口诀：总量设为1，效率先求齐，效率相加得总效，1除总效得时间。 示例：甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作的总效率为1/10 +1/15 =1/6，合作完工时间为1÷1/6=6天。 4、分段合作类进阶题型。 题型特征：某一个主体先单独工作若干天，剩下的部分再由多个主体合作完成，求后续合作的时长或者总时长。 解题通用套路：第一步先计算单人先做的部分对应的工作量，第二步用总工程量“1”减去已完成的工作量，得到剩余未完成的工作量，第三步用剩余工作量除以合作总效率，得到后续合作需要的时间。 示例：修一条路，甲队单独修20天完成，乙队单独修30天完成，甲队先单独修5天，剩下的两队合修。甲先完成的工作量为5×1/20=1/4，剩余工作量为1-1/4=3/4，合作总效率为1/20+1/30=1/12，后续合修时间为3/4 ÷1/12=9天。 5、中途休息类压轴题型。 题型特征：合作过程中部分主体中途休息，只有部分主体全程工作，最终给出总完工时间，求某个人的休息时长。 解题通用套路：第一步先算出全程没有休息的主体在总时长内完成的全部工作量，第二步用总工程量“1”减去这部分工作量，得到中途休息的主体实际需要完成的工作量，第三步用这部分工作量除以该主体的单人效率，算出它的实际工作天数，最后用总天数减去实际工作天数，就能得到休息的总时长。 示例：一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成，两人合作中途甲休息了几天，最终27天完工。乙全程工作27天完成的工作量为27×1/60=9/20，甲需要完成的工作量为1-9/20=11/20，甲的实际工作天数为11/20 ÷1/40=22天，甲休息的天数为27-22=5天。 二、高频易错点 1、概念逻辑颠倒错误：把工作效率和工作时间的关系搞反，误以为单独完成时间越长，工作效率越高，完全违背“耗时越久效率越低”的反比例逻辑，这是本单元最高频的错题类型。 2、合作规则错误：计算合作完工时间时，直接把多个主体的单独完成时间简单相加，当成合作总时间，完全违背工程问题的核心逻辑，算出完全离谱的结果。 3、单位“1”设定失误：忘记把总工程量设为抽象的单位“1”，强行用自己假设的具体数值硬算，中途切换总量基准，导致后续所有计算全部混乱出错。 4、分段计算遗漏错误：遇到中途休息、先后合作的分段题型时，没有拆分不同阶段的工作量，直接硬套基础合作公式，完全忽略部分主体没有全程参与工作的前提条件。 5、概念理解偏差：误以为工程问题只能用来解决修路盖房的实体工程场景，完全忽略注水排水、多人合作生产、文件下载这类衍生场景，不会迁移套用解题逻辑。 6、特殊场景失误：遇到水池注水排水的衍生题型时，忘记把排水管的效率当成负效率处理，直接把进水管和出水管的效率相加，算出完全错误的净注水效率。 三、高频易错题 一、选择题 1．一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，两队合作（    ）天能完成这项工程的一半。 A．6 B．12 C．25 D．50 【答案】A 【分析】把这项工程的总工作量看作单位“”，先分别求出甲、乙两队的工作效率：，再求出两队合作的工作效率，最后用需要完成的工作量（工程的一半）除以合作效率，即可得到所需时间。 【解答】甲队工作效率： 乙队工作效率： 两队合作效率： 工程一半的工作量： 所需时间： （天） 2．一项工程，甲、乙合做需要10天完成，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要（    ）天完成。 A．20 B．40 C．35 D．30 【答案】D 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲乙合作的工作效率为，甲的工作效率为，先求出乙的工作效率，再根据工作总量除以工作效率等于工作时间计算乙单独做的天数。 【解答】 （天） 即乙单独做需要30天完成。 3．一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要30天，甲乙两队合作，（    ）天完成这项工程的。 A．5天 B．3天 C．4天 D．2天 【答案】C 【分析】把这项工程的总工作量看作单位“1”，用1分别除以甲单独完成的天数和乙单独完成的天数，求出甲和乙的工作效率，再用工作量除以甲乙两队的工作效率之和，即可得到所需工作时间。 【解答】 ＝ ＝ ＝×12 ＝4（天） 4．单独打一份稿件：甲要小时，乙小时。如果两人合作，一起打要（    ）小时。 A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】把这份稿件的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量工作时间”分别求出甲、乙的工作效率，再根据“合作时间＝工作总量工作效率和”列式计算即可。 【解答】甲的工作效率： 乙的工作效率： 两人合作的工作效率和： 两人合作需要的时间：（小时） 两人一起打要小时。 5．某小学一共要种400棵树，五年级组单独种需要5天完成；六年级组单独种需要4天完成。现在两个年级组合种，几天能种完？列式正确的是（    ）。 A．400÷（5＋4） B． C． D．1÷（5＋4） 【答案】C 【分析】方法一：如果选择用具体总量计算，那么先分别求出五年级、六年级每天的种树量，再求出两组合作每天的总种树量，最后用总棵数除以合作每天的种树量得到时间。 方法二：如果选择把工作总量看作单位“1”，那么先分别求出五年级、六年级的工作效率（即每天完成总量的几分之几），再求出效率和，最后用工作总量1除以效率和得到时间。 【解答】方法一： 五年级每天的种树量：400÷5，六年级每天的种树量：400÷4， 两个年级合作每天的总种树量（400÷5＋400÷4），求种树时间列式为：400÷（400÷5＋400÷4）。 方法二： 把种树的总任务量看作单位“1”。则，五年级组单独种需要5天完成，则五年级组的工作效率是；六年级组单独种需要4天完成，则六年级组的工作效率是；两个年级组合种的工作效率和是（）；求种树时间列式为：。 6．甲、乙两队合修一条铁路，如果甲队单独修需要4天完成，如果乙队单独修需要5天完成。现在甲队先修3天，剩下的再由乙队来修，一共需要（    ）天才能修完。 A．（1－）×3÷＋3 B．（1－×3）÷5＋3 C．（1－）×3÷ D．（1－×3）÷＋3 【答案】D 【分析】把修这条铁路的总工作量看作单位“1”，由甲单独4天完工可得甲的工作效率是1÷4＝，乙单独5天完工则乙的工作效率是1÷5＝，甲先修3天的工作量为×3，用总工作量1减去甲已完成工作量就能得到剩余工作量，再用剩余工作量除以乙的工作效率，求出乙完成余下工程所需天数，最后加上甲先工作的3天就是修完整条铁路的总天数。 【解答】对应的列式是（1－×3）÷＋3。 7．一项工程，甲工程队单独修需要8天完成，乙工程队单独修需要10天完成。甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要（    ）天。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】把工作总量看作单位“1”，利用工作总量÷工作时间＝工作效率，完成的工作总量÷合作的工作效率＝工作时间，据此解答。 【解答】甲队工作效率：1÷8 乙队工作效率：1 ） ＝ ＝4（天） 甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要4天。 8．一条道路，甲队12天能修完；乙队18天能修完。如果甲队先修3天，乙队接着再修4天，共修了这条路的几分之几？下列算式不符合题意的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把修这条道路的工作量看作单位“1”，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据，据此逐项分析。 【解答】A．，计算甲队修3天修了这条路的几分之几，计算乙队修4天修了这条路的几分之几，相加即可得共修了这条路的几分之几，正确。 B．，和正确式子一致。 C．展开得，是甲修4天、乙修3天的总工作量，错误。 D．展开得，和正确式子一致。 所以，不符合题意的是。 二、填空题 9．新春佳节，万象更新。为迎接春节的到来，乐乐和妹妹准备做一些中国结装扮他们的客厅，如果乐乐单独做需要6天完成，如果妹妹单独做需要10天完成。两人合作，3天可以完成这些中国结的（ ）。 【答案】 【分析】把这些中国结总量看作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出乐乐和妹妹的工作效率，相加求出两人的效率总和；工作总量＝工作效率×工作时间，用两人的效率总和乘合作时间即可。 【解答】乐乐的效率：1÷6＝ 妹妹的效率：1÷10＝ 效率总和：＋＝＋＝＝ 合作3天的工作总量：×3＝ 10．一项工程，甲队单独完成需要8天，乙队单独完成需要12天。若两队合作，一天能完成这项工程的（ ），（ ）天可以完成这项工程的。 【答案】 4 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，据此分别计算出甲乙两队的工作效率，甲队的工作效率＋乙队的工作效率＝两队效率和；这项工程的÷两队效率和＝合作时间。 【解答】1÷8＋1÷12 ＝＋ ＝ ÷ ＝× ＝4（天） 11．机器人班要进行教学成果展示，小蓝独自组装所有机器人模型需要6小时，小橙独自完成需要9小时。两人合作组装2小时后，剩下的由小蓝单独做，还需要（ ）小时完成。 【答案】/ 【分析】将工作总量看作单位“1”，小蓝独自组装所有机器人模型需要6小时，小橙独自完成需要9小时，小蓝的工作效率是，小橙的工作效率是；两人合作组装2小时后，工作总量＝工作效率和×工作时间，求出两人合作的工作总量；剩下的工作总量＝“1”－已经完成的工作总量，剩下的由小蓝单独做，还需要的时间＝剩下的工作总量÷小蓝的工作效率。 【解答】将工作总量看作单位“1”，小蓝的工作效率是，小橙的工作效率是， （小时） 12．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。两人合作，甲中途休息了5天，完成这项工程一共需要（ ）天。 【答案】15 【分析】根据甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，可知甲的工作效率是，乙的工作效率是。甲中途休息了5天，说明在这5天内只有乙在工作，其余时间是甲乙两人合作。先计算乙单独工作5天完成的工作量，再用工作总量减去这部分工作量得到剩余工作量，最后用剩余工作量除以甲乙工作效率之和求出合作时间，合作时间加上乙单独工作的5天即为完成这项工程一共需要的天数。 【解答】 （天） 13．一项任务，陈师傅单独做要10小时完成，张师傅单独做要15小时完成。如果两人合作，每小时能完成这项任务的（ ）。（填分数） 【答案】 【分析】陈师傅10小时完成，每小时完成任务的；张师傅15小时完成，每小时完成任务的，合作的效率就是两人效率相加。 【解答】 每小时能完成这项任务的。 14．一项工程，甲施工队单独完成需要6天，乙施工队3天可以完成该工程的。如果两队合作，（ ）天完成。 【答案】4 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间；分别求出甲、乙施工队的工作效率；再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用单位“1”除以两个施工队的工作效率和；据此解答即可。 【解答】甲施工队工作效率：1÷6＝ 乙施工队工作效率： 合作的工作时间：1÷（） ＝1÷（） ＝1÷ ＝4（天） 15．风筝是中国古人的一项重要发明，有着两千多年的历史。为了宣传风筝文化，某市举办风筝节活动，现在需要制作一批风筝，甲单独做需要20天可以完成，乙单独做15天可以完成，现在甲先做了6天，余下的工作由甲乙合作完成。还需要（ ）天，才能完成全部工作。 【答案】6 【分析】把一批风筝看作单位“1”，甲单独做需要20天完成，则甲的效率为；乙单独做需要15天完成，则乙的效率为。根据总量＝效率×时间，用甲的效率乘6求出甲完成的量，余下的量＝单位“1”－甲完成的量。再根据合作时间＝合作总量÷效率和，用余下的量除以甲乙两人的效率和求出合作时间。 【解答】甲的效率： 乙的效率： （天） 还需要6天，才能完成全部工作。 16．一批零件，甲单独完成需要3小时，乙单独完成需要4小时，丙单独完成需要5小时。只有两个工位，若想尽快完成这批零件，应该选（ ）和（ ）两位工人一起合作，需要（ ）小时。 【答案】甲 乙 【分析】要想尽快完成，应选择工作效率较高的两位工人一起合作，将工作总量看成单位“1”，分别求出三人的工作效率，比较大小。用单位“1”除以两人合作的工作效率和，即为需要的时间。 【解答】1÷3＝ 1÷4＝ 1÷5＝ 应该选择甲和乙合作。 1÷（） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 三、解答题 17．一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成。甲队工作一段时间后，乙队再加入一起做，这项工程一共用了15天完成，甲、乙两队合作了多少天？ 【答案】7.5天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲、乙两队的工作效率；甲从头到尾一共做了15天，用甲的工作效率乘15求出甲15天的工作量，再用工作总量1减去甲完成的工作量，求出乙要完成的工作量，再用乙的工作量除以乙的工作效率，求出乙工作的天数，也就是两队合作的天数。 【解答】甲队每天的工作效率：1÷20＝ 乙队每天的工作效率：1÷30＝ 甲队15天完成的工作量：×15＝ 乙队需要完成的工作量：1－＝ 两队合作的天数：÷ ＝×30 ＝7.5（天） 答：甲、乙两队合作了7.5天。 18．加工一批零件，甲、乙合作1小时完成了，乙丙再合作了1小时，又完成了这批零件的，甲和丙合作2小时，又完成了这批零件的，余下的由甲乙丙合作多少小时可以完成？ 【答案】小时 【分析】把这批零件总量看作单位“1”。工作效率＝工作总量÷工作时间，用甲丙合作完成的工作量除以2求出甲丙的效率总和；将甲乙、乙丙、甲丙的效率总和相加，再除以2求出甲乙丙的效率总和；用单位“1”减去甲乙、乙丙、甲丙合作完成的工作量求出余下量；工作时间＝工作总量÷工作效率，用余下的量除以甲乙丙的效率总和即可。 【解答】÷2＝×＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝（小时） 答：余下的由甲乙丙合作小时可以完成。 19．录一份稿件，甲单独录入需要12分钟，乙单独录入需要15分钟，现在由乙先录入3分钟，剩下的部分两人一起录入，还需要几分钟才能录完？ 【答案】 分钟 【分析】把这份稿件的总工作量看作单位“”，先求出甲、乙的工作效率，再根据工作总量工作效率工作时间计算乙先录入分钟完成的工作量，用单位“”减去乙先录入的得到剩余工作量后，用剩余工作量除以两人的工作效率和，就能求出还需要的录入时间。 【解答】甲的工作效率： 乙的工作效率： 乙分钟完成的工作量： 剩余工作量： 两人合作的效率和： 还需要的时间：（分钟） 答:还需要分钟才能录完。 20．某地为做好防汛准备，安排工程队开挖一条排水渠，工程队分为甲、乙两组。甲组单独挖需要20天，乙组每天能挖这条排水渠的，两组合作若干天后，挖了这条排水渠的。剩下的排水渠由两组继续合作，还需要多少天挖完？ 【答案】天 【分析】把排水渠的总工作量看作单位“1”，根据甲组工作的天数，用1除以天数就是甲组的工作效率，再计算甲、乙两组的工作效率之和，然后求出剩余的工作量，最后用剩余的工作量除以两组合作的工作效率之和，即可得到还需要的天数。 【解答】 （天） 答：还需要天挖完。 21．一块地，甲拖拉机单独耕，小时耕完，乙拖拉机单独耕，小时耕完。现两台拖拉机同时耕，多长时间可耕完？ 【答案】时 【分析】将这块地的总工作量看作单位“1”，先根据工作总量÷工作时间＝工作效率，求出两台拖拉机的工作效率，再用总工作量除以工作效率和，得到合作耕完的时间。 【解答】 ＝1÷（1×2＋1×3） ＝1÷（2＋3） ＝1÷5 ＝（小时） 22．电影《哪吒2》上映后好评不断，周边产品销售火爆。现要制作一批《哪吒2》中的同款哪吒手办，甲厂单独完成需要10天，乙厂单独完成需要15天。现在两厂合作，完成任务时甲厂比乙厂多制作了100个手办。这批手办一共有多少个？ 【答案】500个 【分析】把这批手办的总数量看作单位“1”，甲厂单独完成需要10天，则甲厂的工作效率是，乙厂单独完成需要15天，则乙厂的工作效率是，两厂合作工作效率为，用单位“1”除以合作的工作效率求出合作完成需要的天数，分别乘两厂的工作效率得出两厂完成总量的分率，相减得到甲比乙多完成总量的几分之几，用100个除以这个数即为总数量。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝（天） ＝ ＝ ＝ ＝（个） 答：这批手伴一共有500个。 23．现有A、B、C三位老师参加初中学校联考试卷阅卷，已知A老师单独阅卷需10小时，B老师单独阅卷需8小时，C老师单独阅卷需6小时。如果按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人阅卷1小时，则阅完全部试卷需要多少时间？ 【答案】7小时56分钟。 【分析】把总阅卷量看作单位“1”，先算出三位老师的每小时阅卷效率，再按A、B、C各1小时为一个循环周期，计算完整周期后剩余的工作量，接着按顺序计算剩余工作量需要的时间，最后求和得到总时间。 【解答】A老师每小时完成总工作量的：， B老师每小时完成总工作量的：， C老师每小时完成总工作量的：。 1个周期（3小时，A、B、C各阅卷1小时）完成的工作量： 2个完整周期（6小时）后剩余的工作量： A老师再阅卷1小时后，剩余工作量： ，，，剩余工作量由B老师完成 B老师所需时间：（小时） ，小时分钟 总时间：3小时＋3小时＋1小时＋56分钟＝7小时＋56分钟＝7小时56分钟 答：阅完全部试卷需要7小时56分钟。 24．某街道要修一段“美丽乡村”游步道。甲工程队单独修要30天，乙工程队单独修要20天。 （1）现在两队合修，几天能完成任务？ （2）完成任务时，甲队修了600米，这条游步道一共长多少米？ 【答案】（1）天 （2）米 【分析】把这段游步道的全长看作单位“1”。 （1）根据工作效率工作总量工作时间，分别求出甲队和乙队的工作效率，再根据合作工作时间＝工作总量工作效率和，求出两队合修完成任务需要的天数。 （2）根据工作总量工作效率工作时间，求出完成任务时甲队修的长度占全长的几分之几，再根据单位“”的量＝对应量对应分率，用甲队修的具体长度除以对应的分率，求出这条游步道的总长度。 【解答】（1）甲队的工作效率： 乙队的工作效率： 两队合修需要的天数： （天） 答：现在两队合修，天能完成任务。 （2）完成任务时甲队修的长度占全长的分率： 这条游步道的总长度： （米） 答：这条游步道一共长米。 25．数据谷中学有甲、乙两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷，学校举行期末考试，数学试卷如果用复印机甲、乙单独复印分别需要1小时和1.5小时，在考试时，为了保密，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前的一个小时才开始复印试卷。 （1）若甲乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？ （2）在印刷半个小时后甲机出了故障，停止复印，此时离发卷还有18分钟。请你算一下，如果乙机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷考试？ 【答案】（1）0.6小时 （2）不会影响按时发卷考试 【分析】（1）把印刷试卷的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两台复印机的工作效率，相加求出工作效率和，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”，求出两台复印机同时印刷所需的时间。 （2）先将18分钟换算成小时，根据“工作总量工作效率和×工作时间”，求出甲、乙两台复印机共同印刷半个小时完成的工作量，加上乙复印机单独印刷18分钟能完成的工作量，将总和与工作总量“1”进行比较。若总和大于或等于“1”，则不会影响按时发卷；反之则会影响。 【解答】（1）甲复印机的工作效率：1÷1＝1 乙复印机的工作效率：1÷1.5＝ 两台复印机同时印刷所需时间： ＝ ＝ ＝0.6（小时） 答：共需要0.6小时才能印完。 （2）18分钟＝＝0.3小时 半个小时＝0.5小时 ＝ ＝ ＝ ＝ ＞1，所以能完成任务。 答：不会影响按时发卷考试。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年六年级数学上册同步全系列精品资源讲练合集 （专项讲义）第二单元工程问题 一、核心知识点 1、工程问题的基础定义。 定义：把修路、搬货、注水排水等一系列涉及“工作总量、工作效率、工作时间”的应用题，统一归为工程问题，是小学分数应用题的经典核心题型。 核心三要素：工作总量指需要完成的全部任务总和，工作效率指单位时间内完成的工作量，工作时间指完成全部任务花费的总时长。 核心逻辑：工程问题的核心建模方法是把完整的工作总量抽象为单位“1”，把具体的工程量转化为分数形式的分率，用统一的数学规则处理各类复杂的合作场景。 2、工程问题的基础核心公式。 底层通用公式：‌工作效率×工作时间=工作总量‌，所有工程问题的推导都围绕这个基础等式展开。 两个变形推导公式：‌工作总量÷工作效率=工作时间‌，‌工作总量÷工作时间=工作效率‌，三个公式可以互相推导，覆盖所有基础工程场景。 单位“1”的简化规则：当题目没有给出具体的工作总量数值时，直接把全部任务的总量设为“1”，此时单独完成任务需要N天的主体，对应的工作效率就是1/N，也就是每天完成总任务的N分之一。 示例：甲单独完成一项工程需要10天，把总工程量设为1，甲的工作效率就是1/10，代表甲每天能完成全部工程的十分之一。 3、双人/多人合作类基础题型。 题型特征：已知两个或多个主体单独完成工程的时间，求多人合作完成全部工程需要的总时间。 解题通用套路：先分别算出每个主体的单人工作效率，再把所有效率相加得到合作总效率，最后用总工程量“1”除以合作总效率，直接得到合作完工时间。 速记口诀：总量设为1，效率先求齐，效率相加得总效，1除总效得时间。 示例：甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作的总效率为1/10 +1/15 =1/6，合作完工时间为1÷1/6=6天。 4、分段合作类进阶题型。 题型特征：某一个主体先单独工作若干天，剩下的部分再由多个主体合作完成，求后续合作的时长或者总时长。 解题通用套路：第一步先计算单人先做的部分对应的工作量，第二步用总工程量“1”减去已完成的工作量，得到剩余未完成的工作量，第三步用剩余工作量除以合作总效率，得到后续合作需要的时间。 示例：修一条路，甲队单独修20天完成，乙队单独修30天完成，甲队先单独修5天，剩下的两队合修。甲先完成的工作量为5×1/20=1/4，剩余工作量为1-1/4=3/4，合作总效率为1/20+1/30=1/12，后续合修时间为3/4 ÷1/12=9天。 5、中途休息类压轴题型。 题型特征：合作过程中部分主体中途休息，只有部分主体全程工作，最终给出总完工时间，求某个人的休息时长。 解题通用套路：第一步先算出全程没有休息的主体在总时长内完成的全部工作量，第二步用总工程量“1”减去这部分工作量，得到中途休息的主体实际需要完成的工作量，第三步用这部分工作量除以该主体的单人效率，算出它的实际工作天数，最后用总天数减去实际工作天数，就能得到休息的总时长。 示例：一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成，两人合作中途甲休息了几天，最终27天完工。乙全程工作27天完成的工作量为27×1/60=9/20，甲需要完成的工作量为1-9/20=11/20，甲的实际工作天数为11/20 ÷1/40=22天，甲休息的天数为27-22=5天。 二、高频易错点 1、概念逻辑颠倒错误：把工作效率和工作时间的关系搞反，误以为单独完成时间越长，工作效率越高，完全违背“耗时越久效率越低”的反比例逻辑，这是本单元最高频的错题类型。 2、合作规则错误：计算合作完工时间时，直接把多个主体的单独完成时间简单相加，当成合作总时间，完全违背工程问题的核心逻辑，算出完全离谱的结果。 3、单位“1”设定失误：忘记把总工程量设为抽象的单位“1”，强行用自己假设的具体数值硬算，中途切换总量基准，导致后续所有计算全部混乱出错。 4、分段计算遗漏错误：遇到中途休息、先后合作的分段题型时，没有拆分不同阶段的工作量，直接硬套基础合作公式，完全忽略部分主体没有全程参与工作的前提条件。 5、概念理解偏差：误以为工程问题只能用来解决修路盖房的实体工程场景，完全忽略注水排水、多人合作生产、文件下载这类衍生场景，不会迁移套用解题逻辑。 6、特殊场景失误：遇到水池注水排水的衍生题型时，忘记把排水管的效率当成负效率处理，直接把进水管和出水管的效率相加，算出完全错误的净注水效率。 三、高频易错题 一、选择题 1．一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，两队合作（    ）天能完成这项工程的一半。 A．6 B．12 C．25 D．50 2．一项工程，甲、乙合做需要10天完成，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要（    ）天完成。 A．20 B．40 C．35 D．30 3．一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要30天，甲乙两队合作，（    ）天完成这项工程的。 A．5天 B．3天 C．4天 D．2天 4．单独打一份稿件：甲要小时，乙小时。如果两人合作，一起打要（    ）小时。 A． B． C． D．12 5．某小学一共要种400棵树，五年级组单独种需要5天完成；六年级组单独种需要4天完成。现在两个年级组合种，几天能种完？列式正确的是（    ）。 A．400÷（5＋4） B． C． D．1÷（5＋4） 6．甲、乙两队合修一条铁路，如果甲队单独修需要4天完成，如果乙队单独修需要5天完成。现在甲队先修3天，剩下的再由乙队来修，一共需要（    ）天才能修完。 A．（1－）×3÷＋3 B．（1－×3）÷5＋3 C．（1－）×3÷ D．（1－×3）÷＋3 7．一项工程，甲工程队单独修需要8天完成，乙工程队单独修需要10天完成。甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要（    ）天。 A．2 B．4 C．5 D．6 8．一条道路，甲队12天能修完；乙队18天能修完。如果甲队先修3天，乙队接着再修4天，共修了这条路的几分之几？下列算式不符合题意的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 9．新春佳节，万象更新。为迎接春节的到来，乐乐和妹妹准备做一些中国结装扮他们的客厅，如果乐乐单独做需要6天完成，如果妹妹单独做需要10天完成。两人合作，3天可以完成这些中国结的（ ）。 10．一项工程，甲队单独完成需要8天，乙队单独完成需要12天。若两队合作，一天能完成这项工程的（ ），（ ）天可以完成这项工程的。 11．机器人班要进行教学成果展示，小蓝独自组装所有机器人模型需要6小时，小橙独自完成需要9小时。两人合作组装2小时后，剩下的由小蓝单独做，还需要（ ）小时完成。 12．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。两人合作，甲中途休息了5天，完成这项工程一共需要（ ）天。 13．一项任务，陈师傅单独做要10小时完成，张师傅单独做要15小时完成。如果两人合作，每小时能完成这项任务的（ ）。（填分数） 14．一项工程，甲施工队单独完成需要6天，乙施工队3天可以完成该工程的。如果两队合作，（ ）天完成。 15．风筝是中国古人的一项重要发明，有着两千多年的历史。为了宣传风筝文化，某市举办风筝节活动，现在需要制作一批风筝，甲单独做需要20天可以完成，乙单独做15天可以完成，现在甲先做了6天，余下的工作由甲乙合作完成。还需要（ ）天，才能完成全部工作。 16．一批零件，甲单独完成需要3小时，乙单独完成需要4小时，丙单独完成需要5小时。只有两个工位，若想尽快完成这批零件，应该选（ ）和（ ）两位工人一起合作，需要（ ）小时。 三、解答题 17．一项工程，甲队独做需要20天完成，乙队独做需要30天完成。甲队工作一段时间后，乙队再加入一起做，这项工程一共用了15天完成，甲、乙两队合作了多少天？ 18．加工一批零件，甲、乙合作1小时完成了，乙丙再合作了1小时，又完成了这批零件的，甲和丙合作2小时，又完成了这批零件的，余下的由甲乙丙合作多少小时可以完成？ 19．录一份稿件，甲单独录入需要12分钟，乙单独录入需要15分钟，现在由乙先录入3分钟，剩下的部分两人一起录入，还需要几分钟才能录完？ 20．某地为做好防汛准备，安排工程队开挖一条排水渠，工程队分为甲、乙两组。甲组单独挖需要20天，乙组每天能挖这条排水渠的，两组合作若干天后，挖了这条排水渠的。剩下的排水渠由两组继续合作，还需要多少天挖完？ 21．一块地，甲拖拉机单独耕，小时耕完，乙拖拉机单独耕，小时耕完。现两台拖拉机同时耕，多长时间可耕完？ 22．电影《哪吒2》上映后好评不断，周边产品销售火爆。现要制作一批《哪吒2》中的同款哪吒手办，甲厂单独完成需要10天，乙厂单独完成需要15天。现在两厂合作，完成任务时甲厂比乙厂多制作了100个手办。这批手办一共有多少个？ 23．现有A、B、C三位老师参加初中学校联考试卷阅卷，已知A老师单独阅卷需10小时，B老师单独阅卷需8小时，C老师单独阅卷需6小时。如果按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人阅卷1小时，则阅完全部试卷需要多少时间？ 24．某街道要修一段“美丽乡村”游步道。甲工程队单独修要30天，乙工程队单独修要20天。 （1）现在两队合修，几天能完成任务？ （2）完成任务时，甲队修了600米，这条游步道一共长多少米？ 25．数据谷中学有甲、乙两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷，学校举行期末考试，数学试卷如果用复印机甲、乙单独复印分别需要1小时和1.5小时，在考试时，为了保密，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前的一个小时才开始复印试卷。 （1）若甲乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？ （2）在印刷半个小时后甲机出了故障，停止复印，此时离发卷还有18分钟。请你算一下，如果乙机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷考试？ 学科网（北京）股份有限公司 $