第二单元 混合运算与数量关系（三）【从课本到奥数】（知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共48题）-2026-2027学年苏教版新教材六年级数学上册举一反三系列

该小学数学讲义通过知识梳理卡片系统构建混合运算与数量关系知识体系，以框架图呈现运算顺序、定律等基础要点，表格对比分数与小数运算异同，思维导图关联单位“1”分析、分率应用等核心概念，清晰展现从基础到拓展的递进脉络。 讲义亮点是分层练习设计，基础题如“浩浩家五月份用水量计算”结合生活情境培养应用意识，奥数题如“等式规律探究”引导发现数学模型发展推理意识。每类题型配解题步骤与易错提示，帮助基础学生掌握运算规则，优秀学生提升简算技巧，支持自主复习与教师精准分层教学。

null2026-2027学年苏教版数学六年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元混合运算与数量关系（三）【从课本到奥数】 (知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练共48题●原卷版) 目录 【知识检索内容梳理】… .2 【课本溯源基础夯实】。 【课本提升奥数思维】 5 【奥数拓展一】分数的四则混合运算...。 【奥数拓展二】整数乘法运算定律推广到分数乘法 【奥数拓展三】分数除法相关的简便计算…….8 【奥数拓展四】小数的四则运算及法则 …8 【奥数拓展五】整数乘法运算定律推广到小数乘法 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ........10 【奥数拓展六】分数乘小数..…… 【奥数拓展七】小数的估算及应用… 12 【奥数拓展八】利用小数四则混合运算解决问题... 12 【奥数拓展九】已知总量及一部分分率，求另一部分量...13 【奥数拓展十】求比一个数多少几分之几的数是多少……14 【奥数拓展十一】两人合作的工程问题 I 第1页共16页 知识检索内容杭理 苏教版数学六年级上册第二单元 女 混合运算与数量关系（三）知识点梳理卡片 一、分数四则混合运算● 目 二、分数与整数的混合运算 三、数量关系 ①运算顺序与整数相同 ①整数与分数相乘： ①求一个数的几分之几多少 适→处朗 →骨先 整数×分数=整数的分数 用乘法计算 a×点=aXb(e≠0) a的丹=a×丹 2运算律对分数同样适用 ②已知一个数的几分之几是多少，求这个数 ·加法交换律：a+b=b+4 2整数与分数相除： ·加法结合律：(a+b)+c=a+(b+e) 整数÷分数=整数×分数的倒数 用除法计算已知a的四是b,求a: ·乘法交换律：a×b=bXa ·乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c】 a+=a×0 能约分的先约分 。=6÷=b×(m0) ·乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 可以使计算更简便。 四、简单的分数应用题 五、解决实际问题的策略 六、易错点提醒 ①一般步骤： ①运算顺序易错 Q中☑中日中圆*目 深露替量的无算系除，后算加减：有搭号时。先 乔清题找出单位“1”找出数量关系列式计算检验什答 总量： 例：3+5×2=3+2=5 2常见数量关系 部分量：四个 其中一部分 2单位“1”易错 单位“1”可能是“总数”，也可能是“部分” 求部分量（已知整体量） 求整体量（已知部分量） ②转化思想 要根据题意判断。 用乘法 用除法 把复杂问题转化为“求一个数的几分之几是多少 是总数的几分之几？ 还是有几个 部分量=整体量×对应分率 整体量=部分量÷对应分率 或“已知一个数的几分之几是多少，求这个数 ⊙⊙。⊙这样的部分？ 了示例（工作效率问题） 3解题小提示 3倒数应用易错 工作量=工作效率×工作时间 除以一个分数，等于乘这个分数的倒数， 食找准单位“1”，是解题的关键 工作时间=工作量÷工作效率 食注意单位名称和数据的对应关系。 工作效率=工作量÷工作时间 ☆记一记 分数四则混合运算顺序： 解决分数应用题的关键： 同级运算（加、减）一两级运算（乘、除）一有括号先算括号内。 找准单位“1”，理清数量关系，选择合适的方法计算。 课本溯源基础夯实 一、选择题 1.(25-26六年级上·湖南永州·阶段检测)X品+×品-×（品+日，这里运用了( )。 A.乘法分配律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.乘法的意义 2.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)一根钢管长15米，截去全长的，算式15×(1-)可以解决的问 题是( )。 A.这根钢管剩下多少米 B.截去了多少米 C.剩下部分比截去部分多多少米 D.剩下部分比截去部分少多少米 第2页共16页 3.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)乐乐去年的身高是145cm,今年比去年长高了。，乐乐今年的身高 是多少厘米？列式为145×(1+)其中1+名表示( )。 A.乐乐去年的身高 B.乐乐今年的身高是去年的几分之几 C.乐乐今年的身高 D.乐乐今年的身高比去年多几分之几 二、填空题 4.(25-26六年级上·吉林长春·阶段检测)在计算(6+)×时，应先算( )法，得( );后 算( )法，得( )。 5。（26-27六年级上·江苏·课后作业）“小明体重比爸爸的体重轻名”这句话中把( )看作单位 “1”,数量关系式是：( )×( )=小明体重。 6.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)节约用水是保护水资源、维护生态平衡、保障人类生活的重要举 措。浩浩家四月份平均每天的用水量是0.6立方米，五月份安装了节水水龙头，平均每天的用水量比上个 月每天减少了。五月份浩浩家平均每天的用水量是( )立方米。 三、判断题 7.(25-26六年级上·河南周口·阶段检测)计算×1÷（任-时， 应先算减法，再算除法，最后算乘 法。( 8.(26-27六年级上·江苏·单元测试)妈妈买了2.3千克葡萄，每千克葡萄10.2元，估算花费时，把 2.3看成2，把10.2看成10，估算结果是20元，实际花费比20元多。（) 9.(25-26六年级上·吉林长春·阶段检测)×+×=（信+）×圣这是应用了乘法分配律。（） 四、计算题 10.(2026六年级上·辽宁·专题练习)计算下面各题，能简算的要简算。 3.6×号+64×号 (眉++)x24日÷9-xg 第3页共16页 ÷[9×(后-初 （97+)÷97 子×(-)÷14 五、解答题 11.（26-27六年级上·河北·课后作业)“宫、商、角、徵、羽”是中国古代音乐的基本音阶，其发音管 的管长可以通过“三分损益法”来计算(“三分损一”即减少子，“三分益一”即增加，其中“徵”经“三 分损一”得“商”，当“徵”的管长是108的时候，“商”的管长是多少？ 12.(26-27六年级上·河北·单元测试)小华为了练习书法，要去商店买笔，小华带100元，买了5支圆 珠笔，每支a元，买了3支铅笔，每支b元。 (1)用含字母的式子表示小华还剩多少元？ (2)当a=7.5,b=9时，小华还剩多少元？ 13.(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)一项工程，甲单独做需要8天，乙单独做需要12天，现在甲、 乙合作，多少天能完成这项工程的？ 第4页共16页 14.(26-27六年级上·辽宁·单元测试)为唤起公众的节水意识，加强水资源保护，解决日益严峻的缺水 问题，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”。今年“世界水日”的主题为“水与性别”，为响应节 水的号召，某小学将学校的30个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通水龙头每分钟流水量为9升， 节水龙头每分钟的流水量是普通水龙头的。该小学一分钟可以节约用水多少升？ 15.(25-26六年级上·河南周口·阶段检测)小学生原来每天在校时间是6小时。为落实“双减”政策， 学校实行了“课后延时服务”，小学生现在在校时间比原来延长了弓。小学生现在每天在校时间是多少小时？ 课本提升奥数思维 【奥数拓展一】分数的四则混合运算 (25-26六年级上·湖南永州·阶段检测)计算下面各题，能简算的要写出简算过程。 6日品)×32 +子÷x孕 0品5×2025+0a6 ÷+]× 第5页共16页 目四【举一反三练习1】(25-26六年级上·河北邯郸·阶段检测)计算下面各题，能简算的要简算。 23×(货-)×32 x+× 5x8-日 17×号×品×号 (6+-)×3.6 19×号 圓心（举一反三练习21K2526六年级上全国单元复习）观察下列等式：第一个等式：a1=高=×(1- ): 第二个等式：a2=女5=×（作-） 第三个等式：a:=7=×(信-引 第四个等式：a4=★g=×(传) 请回答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：5=一： (2)用含n的代数式表示第n个等式：a=(n为正整数)； (3)求a1+a2+a3+a4+…+a1oo的值。 第6页共16页 【奥数拓展二】整数乘法运算定律推广到分数乘法 1 1 (2025·湖南长沙·小升初真题)2006×2008× 2006x2007十2007X208=( )。 四【举一反三练习1】(2526六年级上四川成都阶段检测)计算下列各题（写出必要过程）。 (1)(得-号+0)×84÷2写 (2)4×[7-4÷(品+ (2)[13×19×(号-0.125)÷1÷(1--) (4)引*品+×4号+444÷4 （5)a5十5g十十+9720 3 圓卫【举一反三练习2】(25-23六年级上·贵州遵义·阶段检测)能简算的要用简算。 (居+)×35×28 ×(品-】 8.04×65-5.5×80.4 号×101-9÷25 第7页共16页 !奥数拓展三】分数除法相关的简便计算 (25-26六年级上·陕西西安·期中)计算题。 7.6×号+0.32×34-32% 尼-（传+别÷品 2016÷20162016 2017 2女4+6+68++i 圓卫【举一反三练习1】(24-25六年级下·全国·小升初复习)下面式子中错误的是( A.67×品=66×6+品 B.23÷3+1.2÷3=(23+1.2)÷日 c.吾23+27=：(23+27) D.48×日名=48×名48×号 圓卫【举一反三练习2】(25-26六年级上·广东深圳·阶段检测)用你喜欢的方法计算。 (保+号-)×12 8×6+89 [后+分÷司 奥数拓展四】小数的四则运算及法则 (25-26六年级上·福建龙岩·阶段检测)计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 (1)450÷18×32+395 (2)590÷0.8÷12.5 第8页共16页 (3)(50×0.28+16)÷0.4 (4)品÷号+品×品 (4)(6+)÷(任-) (6)(0.75-)×(6+) 圓卫【举一反三练习1】(26-27六年级上·江苏·单元测试)脱式计算。（能简算的要简算） 5.6÷(2.1-1.85)÷4 24.84÷[3.6×(12.1-10.6)] 10.93×3.5+9.07×3.5 7-言×是-日 号÷[0.5×(9-】 第9页共16页 圓卫【举一反三练习2】(26-2六年级上·江苏·单元测试)计算下面各题，能简算的要简算。 (传+)÷+品 4.5×[0.64÷(3.3-1.7)] (得-名+)品 3.65×0.25+8.35×0.25 器÷[G+)引 45÷(层引 【奥数拓展五】整数乘法运算定律推广到小数乘法 (2026六年级上·辽宁·专题练习)计算下面各题，能简算的要简算。 3.6×+6.4×号 (6++)×24 }÷9-2x对 ÷[9×(后- (97+)÷97 ×(昼-)÷14 圓卫【举一反三练习1】(25-23六年级下·河北沧州·期末)脱式计算，能简算的要简算。 (1)1.25×32×0.25 (2)3.6×+44×- 第10页共16页 (3)(6-4+)+4 (4)2024×20 圓四【举一反三练习2】(2526六年级下·山东德州·期末)在计算600×(1.5十2.4)时，李平忘记 写括号了，他计算的结果比正确结果少计算的部分是( )。 A.600×2.4 B.600×1.4 C.599×2.4 D.600+2.4 【奥数拓展六】分数乘小数 (2026六年级上·江苏·专题练习)“掐丝珐琅彩画”起源于广东，由俗称“景泰蓝”的铜胎掐丝珐琅发 展而来。五(1)班“掐丝珐琅彩画”体验组准备了12.4米长的金属丝，他们勾勒小鸟用去了2.52米，如 果勾勒1条鲸鱼需要的金属丝比勾勒小鸟用去的金属丝短，剩下的金属丝最多能勾勒几条鲸鱼？ 圓吧【举一反三练习1】(25-25六年级上·山东菏泽·阶段检测)小红在计算3.5×+甜，错算成了 3.5×(+)。计算结果比正确得数( ）。 圓四【举一反三练习2】计算。 。 2 3亏×25写+37.9×6号 第11页共16页 奥数拓展七】小数的估算及应用 (25-26六年级上·江苏淮安·阶段检测)规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整 数，[x)表示最接近x的整数。例如：[2.3]=2，（2.3)=3；[2.3)=2。按此规定：[20.8]十（21.1) +[22.7)=(）。 圓卫【举一反三练习1】(2425六年级下·浙江宁波·期末)小明带100元钱去新华书店买书，他买了 两本毛笔字帖，每本20.6元，又花了39.8元买了一本词典：之后，小明还想买一本剪纸书。有两本剪纸 书可供选择：简装的13.7元，精装的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 旧四【举一反三练习2】(26-7六年级上·江苏·课后作业)妈妈带60元去超市，买了两盒牙膏，每 盒12.8元，还买了一把9.5元的牙刷，剩下的钱够买一袋24元的洗衣粉吗？下面三种思路正确的是 ）。 ①把12.8元看作12元，把9.5元看作9元，12×2+9=33（元)，60-33=27（元），27>24，所以够。 ②把12.8元看作13元，把9.5元看作10元，13×2+10=36（元），60-36=24（元)，24=24，所以 够。 ③12.8×2+9.5=35.1（元)，剩下60-35.1=24.9（元），24.9>24，所以够。 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ !奥数拓展八】利用小数四则混合运算解决问题 (26-27五年级上·全国·周测)李叔叔家有一口井，为了测量井的深度，他找来了一根绳子。绳子太长， 他第一次把绳子折三折垂到井底，发现井口以外还多7.5米：第二次把绳子折四折垂到井底，发现井口以 外还多2.5米。井有多深？绳子有多长？ 第12页共16页 回卫【举一反三练习1】(25-23六年级下·广东潮州·期末)一本笔记本36元，一支钢笔价钱是它的 2.5倍，买一本笔记本和一支钢笔，付出20元，应找回多少元？ 圓四〔举一反三练习2】(2526五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)小轩搬新家了，他计划给自已房间 的一面墙刷乳胶漆，下面是他收集的一些信息，算一算刷这面墙大约需要多少千克涂料用到的信息是 )。 ①这面墙长2.8米，宽2.6米。②这面墙上的窗户面积是2.6平方米。③每桶乳胶漆大约1.5千克。④每 平方米大约需要乳胶漆0.9千克。⑤每桶乳胶漆240元。 !奥数拓展九】已知总量及一部分分率，求另一部分量 (26-27六年级上·辽宁·单元测试)为唤起公众的节水意识，加强水资源保护，解决日益严峻的缺水问题， 联合国将每年的3月22日定为“世界水日”。今年“世界水日”的主题为“水与性别”，为响应节水的号 召，某小学将学校的30个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通水龙头每分钟流水量为9升，节水龙 头每分钟的流水量是普通水龙头的。该小学一分钟可以节约用水多少升？ 第13页共16页 回卫【举一反三练习1】(26-27六年级上·辽宁·单元测试)为庆祝建校80周年，光明小学开展“童 眼看母校童心绘校园”的书画展。东西两个校区一共展出了315幅作品。展出的作品中东校区的数量占总 数的，西校区展示的作品数量是多少幅？ 圓心【举一反三练习2】我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关 四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总 货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的。收税，最后还剩( )斗米。 奥数拓展十】求比一个数多少几分之几的数是多少 (26-27六年级上·辽宁·单元测试)节约用水是保护水资源、维护生态平衡、保障人类生活的重要举措。 浩浩家四月份平均每天的用水量是0.6立方米，五月份安装了节水水龙头，平均每天的用水量比上个月每 天减少了。五月份浩浩家平均每天的用水量是( )立方米。 圓四【举一反三练习1】(2026六年级上·辽宁，专影练习)某小学科学组老师组织孩子们开展了“畅 想科技，创想未来”科技馆科普研学活动，让学生们近距离体验了人工智能、虚拟现实、智能制造等领域 的最新成果。有65位同学参加了无人机项目体验，参加机器人项目体验的人数比参加无人机项目体验的人 数多参加机器人项目体验的有多少位同学？ 第14页共16页 圓四【举一反三练习2】近日，我国很多地方出现了雾蚕天气。造成雾霾的原因众多：汽车尾气、城市建 设、地形构造等等。雾霾给空气带来很大的污染，严重影响着人们身心健康。雾霾笼罩期间，口罩成为了 热销品。下图是东关批发市场口罩批发信息。张老板从批发市场共批发口罩12捆，并在3天雾霾期间，前 2天以每只4元的价格卖出全部口罩的号，第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩。 口罩批发信息 1.10捆起批（每捆口罩50只） 2.每捆批发价：100元 3.超过10捆，超过部分每捆优惠 0 (1)张老板批发口罩一共花去多少元？ (2)除去运输、人员工资等支出320元，雾霾3天期间，张老板一共赚多少元？ 奥数拓展十一】两人合作的工程问题 (25-26六年级上·陕西延安·期中)宜川胸鼓刚劲矫捷、潇洒爽朗、节奏明快，深受人们喜爱。工厂接到 批制作胸鼓表演服装的订单，如果由甲组工人单独完成需要6天，如果由乙组工人单独完成需要8天， 为了加快进度，现在由甲、乙两组工人合作完成，( )天能完成。 A.7 B.等 c.9 D.号 回卫【举一反三练习1】(2525六年级上·河南南阳·期中)社区计划在河岸边修建一条环保步道。若 由甲工程队单独施工，需要50天完成；若由乙工程队单独施工，则需要75天完成。为加快进度，社区决 定让两队合作施工。施工过程中，乙工程队因设备维修休息了若干天，其余时间两队一起工作。最终，这 项工程从开工到完工甲工程队共工作了40天，乙工程队工作了多少天？ 第15页共16页 回四【举一反三练习2】(2425六年级上·全国·单元复习)一组割草人要把两片草地的草别掉，大片 草地面积是小片草地面积的2倍。上午大家在大片草地上割草，午后分成两组，一半人继续在大片草地上 割草，到傍晚收工时恰好割完；另一半人到小片草地上割草，到傍晚还剩一小块，这一小块第二天由一个 人去割，恰好需要一天时间。请你算一下，这组割草人共有多少人？ 第16页共16页 2026-2027学年苏教版数学六年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元 混合运算与数量关系（三）【从课本到奥数】 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共48题●解析版） 目录 【知识检索 内容梳理】 3 【课本溯源 基础夯实】 3 【课本提升 奥数思维】 11 【奥数拓展一】分数的四则混合运算 11 【奥数拓展二】整数乘法运算定律推广到分数乘法 15 【奥数拓展三】分数除法相关的简便计算 19 【奥数拓展四】小数的四则运算及法则 23 【奥数拓展五】整数乘法运算定律推广到小数乘法 28 【奥数拓展六】分数乘小数 32 【奥数拓展七】小数的估算及应用 33 【奥数拓展八】利用小数四则混合运算解决问题 35 【奥数拓展九】已知总量及一部分分率，求另一部分量 37 【奥数拓展十】求比一个数多/少几分之几的数是多少 38 【奥数拓展十一】两人合作的工程问题 40 一、选择题 1．（25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）×＋×＝×（＋），这里运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法的意义 【答案】A 【思路引导】乘法分配律可反向应用：若两个乘法算式含有相同的因数，可先把两个不同的因数相加，再乘相同的因数，本题符合该特征。 【规范解答】 该计算过程运用了乘法分配律。 2．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）一根钢管长15米，截去全长的，算式可以解决的问题是（    ）。 A．这根钢管剩下多少米 B．截去了多少米 C．剩下部分比截去部分多多少米 D．剩下部分比截去部分少多少米 【答案】A 【思路引导】把这根钢管的总长度看作单位“1”，截去全长的，剩下部分占全长的（1－），求剩下的长度用总长度乘剩下部分对应的分率，和给出的算式一致。 【规范解答】A．剩下部分占全长的（1－），求剩下长度列式为15×（1－），符合题意； B．截去的长度列式为15×，不符合题意； C．剩下部分比截去部分多的长度列式为15×（1－－），不符合题意； D．剩下部分占全长的1－＝，比截去的长，该说法本身错误，也不符合算式。 3．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）乐乐去年的身高是145cm，今年比去年长高了，乐乐今年的身高是多少厘米？列式为，其中表示（    ）。 A．乐乐去年的身高 B．乐乐今年的身高是去年的几分之几 C．乐乐今年的身高 D．乐乐今年的身高比去年多几分之几 【答案】B 【思路引导】把乐乐去年的身高看作单位“1”，结合今年比去年长高的条件，判断的含义。 【规范解答】单位“1”对应去年的身高，是今年比去年长高的分率，表示乐乐今年的身高是去年的几分之几。 二、填空题 4．（25-26六年级上·吉林长春·阶段检测）在计算时，应先算( )法，得( )；后算( )法，得( )。 【答案】 加 乘 【思路引导】有括号的分数四则运算，先算括号里面，再算括号外面。 【规范解答】 在计算时，应先算加法，得；后算乘法，得。 5．（26-27六年级上·江苏·课后作业）“小明体重比爸爸的体重轻”这句话中把( )看作单位“1”，数量关系式是：( )×( )＝小明体重。 【答案】 爸爸的体重 爸爸的体重 【思路引导】小明体重比爸爸的体重轻，是把爸爸的体重看作单位“1”，小明的体重是爸爸体重的（），爸爸的体重×（）＝小明体重。 【规范解答】根据分析可知，“小明体重比爸爸的体重轻”这句话中把爸爸的体重看作单位“1”，数量关系式是：爸爸的体重×（）＝小明体重。 6．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）节约用水是保护水资源、维护生态平衡、保障人类生活的重要举措。浩浩家四月份平均每天的用水量是0.6立方米，五月份安装了节水水龙头，平均每天的用水量比上个月每天减少了。五月份浩浩家平均每天的用水量是( )立方米。 【答案】0.5 【思路引导】把四月份平均每天的用水量看作单位“1”，先用单位“1”减去，求出五月每天用水量是四月的几分之几；再用四月每天用水量乘这个分率，得到五月平均每天的用水量。 【规范解答】0.6×（1－） ＝0.6× ＝0.5（立方米） 三、判断题 7．（25-26六年级上·河南周口·阶段检测）计算时，应先算减法，再算除法，最后算乘法。( ) 【答案】√ 【思路引导】四则混合运算中，有多层括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【规范解答】按照运算顺序计算该式： 第一步，先算小括号内的减法： 第二步，再算中括号内的除法： 第三步，最后算括号外的乘法： 与题干描述的运算顺序一致，故答案为√。 8．（26-27六年级上·江苏·单元测试）妈妈买了2.3千克葡萄，每千克葡萄10.2元，估算花费时，把2.3看成2，把10.2看成10，估算结果是20元，实际花费比20元多。( ) 【答案】√ 【思路引导】估算时把2.3看成2、10.2看成10，两个乘数都估小了，因此估算结果20元小于实际花费。 【规范解答】估算算式：2×10＝20（元） 实际算式：2.3×10.2 2.3＞2，10.2＞10，两个因数都比估算用的数大，所以2.3×10.2＞2×10，也就是实际花费比20元多。 故答案为：√ 9．（25-26六年级上·吉林长春·阶段检测），这是应用了乘法分配律。( ) 【答案】√ 【思路引导】乘法分配律既包含的正向形式，也包含的逆用形式，二者都属于乘法分配律的应用。 【规范解答】式子左侧为，是和分别乘再相加的形式，式子右侧为，符合乘法分配律的逆用规则，属于乘法分配律的应用。 故答案为：√ 四、计算题 10．（2026六年级上·辽宁·专题练习）计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】6；55；   2；； 【思路引导】利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成再计算； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成再计算； 将除法变成乘法，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成再计算； 先计算小括号内减法，再计算中括号内乘法，最后计算除法； 将除法变成乘法，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成再计算； 将除以14换成乘，根据乘法交换律先将括号外算式计算出，再计算小括号内减法，最后计算括号外乘法。 【规范解答】 五、解答题 11．（26-27六年级上·河北·课后作业）“宫、商、角、徵、羽”是中国古代音乐的基本音阶，其发音管的管长可以通过“三分损益法”来计算（“三分损一”即减少，“三分益一”即增加），其中“徵”经“三分损一”得“商”，当“徵”的管长是108的时候，“商”的管长是多少？ 【答案】72 【思路引导】将徵的管长看作单位“1”，三分损一即减少，商的管长对应分率是（），用徵的管长乘对应分率即可求出商的管长。 【规范解答】＝108×＝72 答：“商”的管长是72。 12．（26-27六年级上·河北·单元测试）小华为了练习书法，要去商店买笔，小华带100元，买了5支圆珠笔，每支a元，买了3支铅笔，每支b元。 (1)用含字母的式子表示小华还剩多少元？ (2)当，时，小华还剩多少元？ 【答案】(1)（100－5a－3b）元 (2)35.5元 【思路引导】（1）先计算买圆珠笔的总花费，因为圆珠笔单价为a元，数量是5支，所以总花费为5a元；再计算买铅笔的总花费，因为铅笔单价为b元，数量是3支，所以总花费为3b元。 因为总钱数是100元，剩余的钱等于总钱数减去两种笔的总花费，所以第一问用含a、b的式子表示剩余金额即可。 （2）将a＝7.5、b＝9代入第一问得到的式子中，按照先乘法后减法的运算顺序计算，就能得到具体的剩余金额。 【规范解答】（1）（100－5a－3b）元 答：小华还剩（100－5a－3b）元。 （2）当，时 （元） 答：小华还剩35.5元。 13．（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）一项工程，甲单独做需要8天，乙单独做需要12天，现在甲、乙合作，多少天能完成这项工程的？ 【答案】 天 【思路引导】把这项工程的工作总量看作单位，先分别求出甲、乙的工作效率，相加得到合作工效，再用需要完成的工作量除以合作工效，即可求出所需时间。 【规范解答】 （天） 答：现在甲、乙合作天能完成这项工程的。 14．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）为唤起公众的节水意识，加强水资源保护，解决日益严峻的缺水问题，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”。今年“世界水日”的主题为“水与性别”，为响应节水的号召，某小学将学校的30个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通水龙头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量是普通水龙头的。该小学一分钟可以节约用水多少升？ 【答案】45升 【思路引导】把普通水龙头每分钟的流量看作单位“1”，先用单位“1”减去，求出每个龙头每分钟节约的水量占普通龙头的几分之几；再用普通龙头每分钟流量乘这个分率，求出1个龙头每分钟节约多少升；最后乘30，求出30个龙头一共节约多少升。 【规范解答】9×（1－） ＝9× ＝1.5（升） 1.5×30＝45（升） 答：该小学一分钟可以节约用水45升。 15．（25-26六年级上·河南周口·阶段检测）小学生原来每天在校时间是6小时。为落实“双减”政策，学校实行了“课后延时服务”，小学生现在在校时间比原来延长了。小学生现在每天在校时间是多少小时？ 【答案】小时 【思路引导】把原来每天在校时间看作单位“1”，现在在校时间是原来的（1＋），用原来的时间乘对应分率即可求出现在的在校时间。 【规范解答】6×（1＋） ＝6× ＝ ＝（小时） 答：小学生现在每天在校时间是小时。 【奥数拓展一】分数的四则混合运算 （25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）计算下面各题，能简算的要写出简算过程。 （－－）×32                 （＋）÷（×） ×2025＋                   [÷（＋）]× 【答案】5；； 3； 【思路引导】（1）利用乘法分配律，将32分别与括号里的数相乘，再计算； （2）先分别算括号内的式子，再算括号外的除法； （3）把改写成，提取相同的因数，利用乘法分配律简算； （4）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【规范解答】（1）（－－）×32 ＝×32－×32－×32 ＝22－12－5 ＝10－5 ＝5 （2）（＋）÷（×） ＝（＋）÷ ＝÷ ＝× ＝ （3）×2025＋ ＝×2025＋×1 ＝×（2025＋1） ＝×2026 ＝3 （4）[÷（＋）]× ＝[÷]× ＝1× ＝ 【举一反三练习1】（25-26六年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】45；；； ；2.6； 【思路引导】第一题：因为23和32分别是括号内两个分数的分母，所以可利用乘法分配律，将23×32整体分别乘括号内的两个分数再相减，简化计算。 第二题：先通过分数乘法的交换律调整分子位置，构造出相同的公因数，再利用乘法分配律提取公因数计算。 第三题：先计算分数乘法，再按同分母分数减法的规则计算。 第四题：利用乘法交换律和结合律，将能约分的整数和分数优先组合相乘，再计算剩余部分。 第五题：因为3.6和括号内分数的分母存在整数倍关系，所以利用乘法分配律将3.6分别乘括号内的三个分数，再进行加减运算。 第六题：将19拆分为18＋1，再利用乘法分配律分别乘后相加，简化计算。 【规范解答】 、 【举一反三练习2】（25-26六年级上·全国·单元复习）观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：　 　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：　 （n为正整数）； （3）求的值。 【答案】（1）​​​​​​​ （2） （3） 【思路引导】（1）（2）通过观察可知，第一个等号后面的式子规律是分子不变，分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号2倍加1；第二个等号后面的式子则是乘以第一个奇数分数减第二个奇数分数，根据规律列式即可解得。 （3）将具体各项根据分数列项公式，括号外提取，将括号内依次相消进行计算即可解得。​​​​​​​ 【规范解答】（1）通过观察可知，第一个等号后面的分子为1， 分母为序号的2倍减1乘以序号2倍加1， 第二个等号后面为乘以第一个奇数分数减第二个奇数分数， 故。 （2）通过（1）的规律可知， （n为正整数）。 ​​​​（3）由题， 【考点剖析】本题的难点在于通过观察等式规律写出新的等式，再通过提取公因数将复杂的等式进行化简即可解得。 【奥数拓展二】整数乘法运算定律推广到分数乘法 （2025·湖南长沙·小升初真题）＝( )。 【答案】2 【思路引导】整数乘法运算定律在分数乘法中同样适用。乘法分配律：，先把2006×2008看作整体，再运用乘法分配律，计算即可。 【规范解答】 所以。 【考点剖析】运用乘法分配律是解题的关键。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·四川成都·阶段检测）计算下列各题（写出必要过程）。     （1）             （2）           （3）   （4） （5）＋＋＋……＋ 【答案】（1）9；（2）； （3）16；（4）9； （5） 【思路引导】（1）先运用乘法分配律，将括号内的分数分别与84相乘，再把带分数化为假分数，除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法计算。 （2）先算小括号里面的加法，然后算中括号里面的除法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法。 （3）先把小数0.125化为分数、带分数化为假分数，先运用乘法结合律和分配律简算部分，再分别计算两个括号内的运算，最后算除法。 （4）把带分数、小数统一为分数形式，将所有除法转化为乘法，再运用乘法分配律简算。 （5）把拆分为，把拆分为，把拆分为，……，把拆分为，全部相加后抵消简算。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝9 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝16 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝9 （5）＋＋＋…＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【举一反三练习2】（25-26六年级上·贵州遵义·阶段检测）能简算的要用简算。              8.04×65－5.5×80.4         【答案】371；；80.4；36 【思路引导】（1）利用乘法分配律进行简便运算； （2）先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的； （3）利用积不变性质，把8.04×65转化成80.4×6.5，然后再利用乘法分配律逆运算进行简便运算； （4）先计算除法，然后按照乘法分配律逆运算进行简便运算； 【规范解答】 ＝ ＝196＋175 ＝371 ＝÷[] ＝ ＝×10 ＝ 8.04×65－5.5×80.4 ＝80.46.5－5.5 ＝80.4×（6.5－5.5） ＝80.4×1 ＝80.4 ＝×101－ ＝×101－×1 ＝×（101－1） ＝×100 ＝36 【奥数拓展三】分数除法相关的简便计算 （25-26六年级上·陕西西安·期中）计算题。                                      【答案】3.2；3； ； 【思路引导】（1）将算式中分数和百分数都化成小数，再根据乘法分配律逆运算进行简便计算。；。 （2）根据减法的性质，先把小括号去掉，再根据带符号搬家将中括号里面的算式简便计算，最后再计算分数除法； （3）先将带分数化成假分数，其中假分数分子部分根据乘法分配律逆运算可以转化为，故，最后再计算分数除法； （4）；；……，据此将分数拆分，再根据乘法分配律逆运算进行简便计算。 【规范解答】 ＝3.2 ＝3 【举一反三练习1】（24-25六年级下·全国·小升初复习）下面式子中错误的是（    ）。 A． B． C．÷2.3＋÷2.7＝÷（2.3＋2.7） D．4.8×（－）＝4.8×－4.8× 【答案】C 【思路引导】根据乘法分配律解出第一个和第四个的算式，其中在A选项中67可转化为；利用分数除法的计算法则可知，除以一个分数等于乘它的倒数。据此进行解答。 【规范解答】A． 该选项式子正确。 B． 该选项式子正确。 C． 该选项是错误的。 D． 该选项式子正确。 故答案为：C 【举一反三练习2】（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）用你喜欢的方法计算。                      【答案】9；； 【思路引导】（1）通过乘法分配律简便计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再用乘法分配律简便计算即可； （3）通分算小括号内的和，再将中括号内的除法转乘法计算，最后算括号外的除法。 【规范解答】 ＝3＋10－4 ＝9 【奥数拓展四】小数的四则运算及法则 （25-26六年级上·福建龙岩·阶段检测）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 （1）450÷18×32＋395        （2）590÷0.8÷12.5 （3）（50×0.28＋16）÷0.4        （4） （5）        （6） 【答案】（1）1195；（2）59； （3）75；（4）； （5）；（6） 【思路引导】（1）按先乘除后加减从左向右的顺序进行计算即可。 （2）根据除法的性质连续除以两个数等于除以这两个数的积，由此计算。 （3）去括号用50×0.28和16分别除以0.4后再相加。 （4）先把分数除法改成乘法，再根据乘法分配律进行计算。 （5）通分计算小括号里的，再算除法。 （6）小数化分数，再通分计算小括号里的，最后算积即可。 【规范解答】（1）450÷18×32＋395 ＝25×32＋395 ＝800＋395 ＝1195 （2）590÷0.8÷12.5 ＝590÷（0.8×12.5） ＝590÷10 ＝59 （3）（50×0.28＋16）÷0.4 ＝50×0.28÷0.4＋16÷0.4 ＝50×（0.28÷0.4）＋16÷0.4 ＝50×0.7＋40 ＝35＋40 ＝75 （4） （5） （6） 【举一反三练习1】（26-27六年级上·江苏·单元测试）脱式计算。（能简算的要简算） 5.6÷（2.1－1.85）÷4                24.84÷[3.6×（12.1－10.6）] 10.93×3.5＋9.07×3.5                                          【答案】5.6；4.6； 70；； 6； 【思路引导】5.6÷（2.1－1.85）÷4，先算小括号减法，再利用除法的性质（连续除以两个数等于除以这两个数的积）简便计算。 24.84÷[3.6×（12.1－10.6）]，先小括号，再中括号里面乘法，最后算括号外除法。 10.93×3.5＋9.07×3.5，逆用乘法分配律计算。 ，除以分数等于乘它的倒数，转化后逆用乘法分配律简便计算。 ，先算乘法，再利用减法性质，连续减去两个数等于减去两个数的和。 ，先算小括号分数减法，再算中括号乘法，最后括号外除法；小数0.5化为分数方便计算。 乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c 【规范解答】5.6÷（2.1－1.85）÷4 ＝5.6÷0.25÷4 ＝5.6÷（0.25×4） ＝5.6÷1 ＝5.6 24.84÷[3.6×（12.1－10.6）] ＝24.84÷[3.6×1.5] ＝24.84÷5.4 ＝4.6 10.93×3.5＋9.07×3.5 ＝（10.93＋9.07）×3.5 ＝20×3.5 ＝70 ＝ 【举一反三练习2】（26-27六年级上·江苏·单元测试）计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】；1.8；29； 3；；75 【思路引导】先算括号里的加法，再算括号外的除法，最后算括号外的加法。 先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法。 转化成利用乘法分配律进行简便计算。 利用乘法分配律逆运算后得，转化为后运用乘法结合律进行简便计算 先算小括号中的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的除法。 小括号中运用减法的性质进行简便计算，最后算括号外的除法。 【规范解答】 【奥数拓展五】整数乘法运算定律推广到小数乘法 （2026六年级上·辽宁·专题练习）计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】6；55；   2；； 【思路引导】利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成再计算； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成再计算； 将除法变成乘法，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成再计算； 先计算小括号内减法，再计算中括号内乘法，最后计算除法； 将除法变成乘法，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式变成再计算； 将除以14换成乘，根据乘法交换律先将括号外算式计算出，再计算小括号内减法，最后计算括号外乘法。 【规范解答】 【举一反三练习1】（25-26六年级下·河北沧州·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）     （2） （3）  （4） 【答案】（1）10；（2）4； （3）；（4） 【思路引导】（1）把32写成8×4的形式，然后再按照乘法结合律进行简便计算。 （2）观察发现有共同的乘数，按照乘法分配律的逆运用进行计算。 （3）将所有分数通分后，再按顺序先算括号内的运算，再算括号外的加法。 （4）将2024拆分成2023＋1，再利用乘法分配律简便运算。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 【举一反三练习2】（25-26六年级下·山东德州·期末）在计算600×（1.5＋2.4）时，李平忘记写括号了，他计算的结果比正确结果少计算的部分是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，可得：600×（1.5＋2.4）＝600×1.5＋600×2.4，李平忘记写括号，那么他计算的式子就是600×1.5＋2.4。用正确结果减去错误结果，可得少计算的部分为：（600×1.5＋600×2.4）－（600×1.5＋2.4），据此解答。 【规范解答】（600×1.5＋600×2.4）－（600×1.5＋2.4） ＝600×1.5＋600×2.4－600×1.5－2.4 ＝（600×1.5－600×1.5）＋（600×2.4－2.4） ＝600×2.4－2.4 ＝（600－1）×2.4 ＝599×2.4 所以他计算的结果比正确结果少计算的部分是599×2.4。 【奥数拓展六】分数乘小数 （2026六年级上·江苏·专题练习）“掐丝珐琅彩画”起源于广东，由俗称“景泰蓝”的铜胎掐丝珐琅发展而来。五（1）班“掐丝珐琅彩画”体验组准备了12.4米长的金属丝，他们勾勒小鸟用去了2.52米，如果勾勒1条鲸鱼需要的金属丝比勾勒小鸟用去的金属丝短，剩下的金属丝最多能勾勒几条鲸鱼？ 【答案】11条 【思路引导】用金属丝总长度减去勾勒小鸟用去的长度，得到剩余金属丝长度；以勾勒小鸟用去的金属丝长度为单位“1”，计算出1条鲸鱼需要的金属丝长度；最后用剩余长度除以每条鲸鱼需要的长度，结果用去尾法保留整数。 【规范解答】12.4－2.52＝9.88（米） ＝（米） ＝0.84（米） 9.88÷0.84≈11（条） 答：剩下的金属丝最多能勾勒11条鲸鱼。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·山东菏泽·阶段检测）小红在计算时，错算成了。计算结果比正确得数( )。 【答案】大2 【思路引导】正确算式先算乘法再算加法，错误算式先算括号里的加法再算乘法，分别算出两个算式的结果作差即可。 【规范解答】 ＝2.1＋0.8 ＝2.9 ＝3.5× ＝4.9 4.9－2.9＝2 即计算结果比正确结果大2。 【举一反三练习2】计算。 【答案】334 【思路引导】根据四则运算法则，先算乘除法，后算加减法即可。 【规范解答】 ＝3.6×25.4＋37.9×6.4 ＝91.44＋242.56 ＝334 【奥数拓展七】小数的估算及应用 （25-26六年级上·江苏淮安·阶段检测）规定：表示不大于的最大整数，（x）表示不小于的最小整数，[x）表示最接近的整数。例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3；[2.3）＝2。按此规定：[20.8]＋（21.1）＋[22.7）＝( )。 【答案】 【思路引导】根据题意，[]中不大于的最大整数为，（）中不小于的最小整数为，[）最接近的整数为，则可解答。 【规范解答】 按此规定：[20.8]＋（21.1）＋[22.7）＝。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·浙江宁波·期末）小明带100元钱去新华书店买书，他买了两本毛笔字帖，每本20.6元，又花了39.8元买了一本词典；之后，小明还想买一本剪纸书。有两本剪纸书可供选择：简装的13.7元，精装的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 【答案】够买13.7元的简装剪纸书 【思路引导】先将毛笔字帖和词典的单价取近似整数值，估算出总花费的范围，再用100元减去估算的总花费得到剩余钱数的范围，并与两本剪纸书的价格进行比较，判断可购买哪一本。 【规范解答】， 往大估算总花费，最少剩余钱数： （元） 往小估算总花费，最多剩余钱数： （元） 实际剩余钱数在元到元之间。 答：这时他的钱够买元的简装剪纸书。 【举一反三练习2】（26-27六年级上·江苏·课后作业）妈妈带60元去超市，买了两盒牙膏，每盒12.8元，还买了一把9.5元的牙刷，剩下的钱够买一袋24元的洗衣粉吗？下面三种思路正确的是（    ）。 ①把12.8元看作12元，把9.5元看作9元，12×2＋9＝33（元），60－33＝27（元），27＞24，所以够。 ②把12.8元看作13元，把9.5元看作10元，13×2＋10＝36（元），60－36＝24（元），24＝24，所以够。 ③12.8×2＋9.5＝35.1（元），剩下60－35.1＝24.9（元），24.9＞24，所以够。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】判断钱够不够时，若用估算，需把商品价格往大估，估出的总花费若不超过带的钱，实际一定够；往小估无法保证结论正确，精确计算的结果准确。 【规范解答】①把商品价格都估小，算出的总花费比实际总花费少，得到的剩余钱数比实际剩余多，无法确定实际剩余的钱是否够买洗衣粉，思路错误。 ②把商品价格都估大，估大后剩余的钱刚好等于洗衣粉价格，实际总花费小于36元，剩余的钱大于24元，一定够买，思路正确。 ③直接精确计算总花费和剩余钱数，算出真实剩下24.9元，比24元多，完全可以判断钱够，思路正确。 故思路正确的有②③。 【奥数拓展八】利用小数四则混合运算解决问题 （26-27五年级上·全国·周测）李叔叔家有一口井，为了测量井的深度，他找来了一根绳子。绳子太长，他第一次把绳子折三折垂到井底，发现井口以外还多7.5米；第二次把绳子折四折垂到井底，发现井口以外还多2.5米。井有多深？绳子有多长？ 【答案】井深12.5米；绳长60米 【思路引导】绳子总长度与井深固定不变，多折1折就多用去1个井深的绳长。那么折三折时的井外余绳长度与折四折时的长度差恰好是（4－3）个井深的长度，据此先求出井深，再计算绳长。 【规范解答】井深： （7.5×3－2.5×4）÷（4－3） ＝（22.5－10）÷1 ＝12.5÷1 ＝12.5（米） 绳长： （12.5＋7.5）×3 ＝20×3 ＝60（米） 答：井有12.5米深，绳子有60米长。 【举一反三练习1】（25-26六年级下·广东潮州·期末）一本笔记本3.6元，一支钢笔价钱是它的2.5倍，买一本笔记本和一支钢笔，付出20元，应找回多少元？ 【答案】7.4元 【思路引导】根据“一支钢笔价钱是它的2.5倍”，用笔记本的价格乘2.5求出钢笔的价钱；然后将笔记本的价钱与钢笔的价钱相加，求出购买这两样物品的总价钱；最后用付出的钱数减去总价钱，即可求出应找回的钱数。 【规范解答】 （元） 答：应找回元。 【举一反三练习2】（25-26五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小轩搬新家了，他计划给自己房间的一面墙刷乳胶漆，下面是他收集的一些信息，算一算刷这面墙大约需要多少千克涂料用到的信息是( )。 ①这面墙长2.8米，宽2.6米。②这面墙上的窗户面积是2.6平方米。③每桶乳胶漆大约1.5千克。④每平方米大约需要乳胶漆0.9千克。⑤每桶乳胶漆240元。 【答案】①②④ 【思路引导】要想知道刷这面墙需要的涂料质量，需要根据长方形面积＝长×宽，求出这面墙的面积，这面墙的面积－窗户面积＝刷涂料的面积，刷涂料的面积×每平方米需要的乳胶漆质量＝刷这面墙需要的涂料质量，据此确定需要的信息。 【规范解答】（2.8×2.6－2.6）×0.9 ＝（7.28－2.6）×0.9 ＝4.68×0.9 ＝4.212（千克） 刷这面墙大约需要4.212千克涂料。 用到的信息是①②④。 【奥数拓展九】已知总量及一部分分率，求另一部分量 （26-27六年级上·辽宁·单元测试）为唤起公众的节水意识，加强水资源保护，解决日益严峻的缺水问题，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”。今年“世界水日”的主题为“水与性别”，为响应节水的号召，某小学将学校的30个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通水龙头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量是普通水龙头的。该小学一分钟可以节约用水多少升？ 【答案】45升 【思路引导】把普通水龙头每分钟的流量看作单位“1”，先用单位“1”减去，求出每个龙头每分钟节约的水量占普通龙头的几分之几；再用普通龙头每分钟流量乘这个分率，求出1个龙头每分钟节约多少升；最后乘30，求出30个龙头一共节约多少升。 【规范解答】9×（1－） ＝9× ＝1.5（升） 1.5×30＝45（升） 答：该小学一分钟可以节约用水45升。 【举一反三练习1】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）为庆祝建校80周年，光明小学开展“童眼看母校童心绘校园”的书画展。东西两个校区一共展出了315幅作品。展出的作品中东校区的数量占总数的，西校区展示的作品数量是多少幅？ 【答案】63幅 【思路引导】把作品总数量看作单位“1”，西校区作品数量占总数的（1－），用总数量乘西校区对应的分率，即可求出西校区的作品数量。 【规范解答】315×（1－） ＝315× ＝63（幅） 答：西校区展示的作品数量是63幅。 【举一反三练习2】我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 【答案】54 【思路引导】将出关前米的斗数看作单位“1”，内关按总货物的收税，还剩出关前的（1－）；再将过内关后余下的斗数看作单位“1”，中关按余下货物的收税，还剩过内关后余下的（1－）；再将过中关后余下的斗数看作单位“1”，外关按余下货物的收税，还剩过中关后余下的（1－），出关前的斗数×过内关后余下的对应分率×过中关后余下的对应分率×过外关后余下的对应分率＝最后剩下的斗数，据此列式计算。 【规范解答】100×（1－）×（1－）×（1－） ＝100××× ＝75×× ＝60× ＝54（斗） 最后还剩54斗米。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，确定对应分率，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，列式计算。 【奥数拓展十】求比一个数多/少几分之几的数是多少 （26-27六年级上·辽宁·单元测试）节约用水是保护水资源、维护生态平衡、保障人类生活的重要举措。浩浩家四月份平均每天的用水量是0.6立方米，五月份安装了节水水龙头，平均每天的用水量比上个月每天减少了。五月份浩浩家平均每天的用水量是( )立方米。 【答案】0.5 【思路引导】把四月份平均每天的用水量看作单位“1”，先用单位“1”减去，求出五月每天用水量是四月的几分之几；再用四月每天用水量乘这个分率，得到五月平均每天的用水量。 【规范解答】0.6×（1－） ＝0.6× ＝0.5（立方米） 【举一反三练习1】（2026六年级上·辽宁·专题练习）某小学科学组老师组织孩子们开展了“畅想科技，创想未来”科技馆科普研学活动，让学生们近距离体验了人工智能、虚拟现实、智能制造等领域的最新成果。有65位同学参加了无人机项目体验，参加机器人项目体验的人数比参加无人机项目体验的人数多，参加机器人项目体验的有多少位同学？ 【答案】78位 【思路引导】把参加无人机项目体验的人数看作单位“1”， 机器人项目人数比无人机多，说明机器人人数是无人机人数的，已知单位“1”的量，用乘法即可求出机器人项目的参加人数。 【规范解答】 ＝65× ＝78（位） 答：参加机器人项目体验的有78位同学。 【举一反三练习2】近日，我国很多地方出现了雾霾天气。造成雾霾的原因众多：汽车尾气、城市建设、地形构造等等。雾霾给空气带来很大的污染，严重影响着人们身心健康。雾霾笼罩期间，口罩成为了热销品。下图是东关批发市场口罩批发信息。张老板从批发市场共批发口罩12捆，并在3天雾霾期间，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的，第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩。 口罩批发信息 1.10捆起批（每捆口罩50只） 2.每捆批发价：100元 3.超过10捆，超过部分每捆优惠 （1）张老板批发口罩一共花去多少元？ （2）除去运输、人员工资等支出320元，雾霾3天期间，张老板一共赚多少元？ 【答案】（1）1180元；（2）700元 【思路引导】（1）批发的口罩超过了10捆，则超过的部分每捆优惠，由此可知前10捆，每捆100元，剩下的2捆，每捆100×（1－），数量×单价＝总价，据此求出一共花的钱数。 （2）前2天卖了12×捆，乘每捆的数量，求出卖了多少只口罩，再乘每只售价，就是卖出的价钱；12×（1－）求出第三天卖的捆数，同理求出第三天卖的钱数，进而求出一共卖的钱数，减去运输、工资支出钱数以及进价就是赚的钱数。 【规范解答】（1）100×10＋（12－10）×100×（1－） ＝1000＋180 ＝1180（元） 答：张老板批发口罩一共花去1180元。 （2）12××50×4＋12×（1－）×50×3－320－1180 ＝1600＋600－320－1180 ＝700（元） 答：张老板一共赚700元。 【考点剖析】此题主要考查了分数乘法的实际应用，明确求一个数的几分之几用乘法，找准数量关系，认真解答即可。 【奥数拓展十一】两人合作的工程问题 （25-26六年级上·陕西延安·期中）宜川胸鼓刚劲矫捷、潇洒爽朗、节奏明快，深受人们喜爱。工厂接到一批制作胸鼓表演服装的订单，如果由甲组工人单独完成需要6天，如果由乙组工人单独完成需要8天，为了加快进度，现在由甲、乙两组工人合作完成，（    ）天能完成。 A．7 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把工作量看作单位“1”，再根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，求出他们的工作效率，再根据“工作时间＝工作量÷工作效率和”，即可解答。 【规范解答】1÷8＝ 1÷6＝ 1÷（） ＝1÷（） ＝1 （天） 【举一反三练习1】（25-26六年级上·河南南阳·期中）社区计划在河岸边修建一条环保步道。若由甲工程队单独施工，需要50天完成；若由乙工程队单独施工，则需要75天完成。为加快进度，社区决定让两队合作施工。施工过程中，乙工程队因设备维修休息了若干天，其余时间两队一起工作。最终，这项工程从开工到完工甲工程队共工作了40天，乙工程队工作了多少天？ 【答案】15天 【思路引导】把这项工程的总工作量看作单位“1”，先根据甲的工作效率和工作时间算出甲完成的工作量，再用总工作量减去甲的工作量得到乙完成的工作量，最后用乙的工作量除以乙的工作效率，即可求出乙的工作时间。 【规范解答】 （天） 答：乙工程队工作了15天。 【举一反三练习2】（24-25六年级上·全国·单元复习）一组割草人要把两片草地的草割掉，大片草地面积是小片草地面积的2倍。上午大家在大片草地上割草，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割草，到傍晚收工时恰好割完；另一半人到小片草地上割草，到傍晚还剩一小块，这一小块第二天由一个人去割，恰好需要一天时间。请你算一下，这组割草人共有多少人？ 【答案】8人 【思路引导】上午所有人都在大草地割草，下午一半人继续在大草地割草到傍晚割完，所以大草地的割草量相当于半组人割了3个半天，把大片草地面积看作单位“1”， 那么一半割草人半天时间可割大片草地面积的；大片草地面积是小片草地面积的2倍，即小片草地面积是大片草地面积的，因此小片草地上留下的没割的一小块是大片草地的，这样，一个割草人每天能割大片草地的，而第一天割草一共是割了大片草地的，用除以，即可求出这组割草人共有多少人，据此解答。 【规范解答】1÷（2＋1） ＝1÷3 ＝ ＝ ＝ ＝8（人） 答：这组割草人共有8人。 【考点剖析】这道题关键是根据题意得出：大草地的割草量相当于半组人割了3个半天，求出一半割草人半天时间能割草的面积，再求出算出小草地割草的剩余量，从而得出单人割草的效率，最后再求出全组人数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏教版数学六年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第二单元 混合运算与数量关系（三）【从课本到奥数】 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共48题●原卷版） 目录 【知识检索 内容梳理】 2 【课本溯源 基础夯实】 2 【课本提升 奥数思维】 5 【奥数拓展一】分数的四则混合运算 5 【奥数拓展二】整数乘法运算定律推广到分数乘法 7 【奥数拓展三】分数除法相关的简便计算 8 【奥数拓展四】小数的四则运算及法则 8 【奥数拓展五】整数乘法运算定律推广到小数乘法 10 【奥数拓展六】分数乘小数 11 【奥数拓展七】小数的估算及应用 12 【奥数拓展八】利用小数四则混合运算解决问题 12 【奥数拓展九】已知总量及一部分分率，求另一部分量 13 【奥数拓展十】求比一个数多/少几分之几的数是多少 14 【奥数拓展十一】两人合作的工程问题 15 一、选择题 1．（25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）×＋×＝×（＋），这里运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法的意义 2．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）一根钢管长15米，截去全长的，算式可以解决的问题是（    ）。 A．这根钢管剩下多少米 B．截去了多少米 C．剩下部分比截去部分多多少米 D．剩下部分比截去部分少多少米 3．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）乐乐去年的身高是145cm，今年比去年长高了，乐乐今年的身高是多少厘米？列式为，其中表示（    ）。 A．乐乐去年的身高 B．乐乐今年的身高是去年的几分之几 C．乐乐今年的身高 D．乐乐今年的身高比去年多几分之几 二、填空题 4．（25-26六年级上·吉林长春·阶段检测）在计算时，应先算( )法，得( )；后算( )法，得( )。 5．（26-27六年级上·江苏·课后作业）“小明体重比爸爸的体重轻”这句话中把( )看作单位“1”，数量关系式是：( )×( )＝小明体重。 6．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）节约用水是保护水资源、维护生态平衡、保障人类生活的重要举措。浩浩家四月份平均每天的用水量是0.6立方米，五月份安装了节水水龙头，平均每天的用水量比上个月每天减少了。五月份浩浩家平均每天的用水量是( )立方米。 三、判断题 7．（25-26六年级上·河南周口·阶段检测）计算时，应先算减法，再算除法，最后算乘法。( ) 8．（26-27六年级上·江苏·单元测试）妈妈买了2.3千克葡萄，每千克葡萄10.2元，估算花费时，把2.3看成2，把10.2看成10，估算结果是20元，实际花费比20元多。( ) 9．（25-26六年级上·吉林长春·阶段检测），这是应用了乘法分配律。( ) 四、计算题 10．（2026六年级上·辽宁·专题练习）计算下面各题，能简算的要简算。                   五、解答题 11．（26-27六年级上·河北·课后作业）“宫、商、角、徵、羽”是中国古代音乐的基本音阶，其发音管的管长可以通过“三分损益法”来计算（“三分损一”即减少，“三分益一”即增加），其中“徵”经“三分损一”得“商”，当“徵”的管长是108的时候，“商”的管长是多少？ 12．（26-27六年级上·河北·单元测试）小华为了练习书法，要去商店买笔，小华带100元，买了5支圆珠笔，每支a元，买了3支铅笔，每支b元。 (1)用含字母的式子表示小华还剩多少元？ (2)当，时，小华还剩多少元？ 13．（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）一项工程，甲单独做需要8天，乙单独做需要12天，现在甲、乙合作，多少天能完成这项工程的？ 14．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）为唤起公众的节水意识，加强水资源保护，解决日益严峻的缺水问题，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”。今年“世界水日”的主题为“水与性别”，为响应节水的号召，某小学将学校的30个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通水龙头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量是普通水龙头的。该小学一分钟可以节约用水多少升？ 15．（25-26六年级上·河南周口·阶段检测）小学生原来每天在校时间是6小时。为落实“双减”政策，学校实行了“课后延时服务”，小学生现在在校时间比原来延长了。小学生现在每天在校时间是多少小时？ 【奥数拓展一】分数的四则混合运算 （25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）计算下面各题，能简算的要写出简算过程。 （－－）×32                 （＋）÷（×） ×2025＋                   [÷（＋）]× 【举一反三练习1】（25-26六年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下面各题，能简算的要简算。                   【举一反三练习2】（25-26六年级上·全国·单元复习）观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：　 　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：　 （n为正整数）； （3）求的值。 【奥数拓展二】整数乘法运算定律推广到分数乘法 （2025·湖南长沙·小升初真题）＝( )。 【举一反三练习1】（25-26六年级上·四川成都·阶段检测）计算下列各题（写出必要过程）。     （1）              （2）            （2）    （4） （5） ＋＋＋……＋ 【举一反三练习2】（25-26六年级上·贵州遵义·阶段检测）能简算的要用简算。              8.04×65－5.5×80.4         【奥数拓展三】分数除法相关的简便计算 （25-26六年级上·陕西西安·期中）计算题。                                      【举一反三练习1】（24-25六年级下·全国·小升初复习）下面式子中错误的是（    ）。 A． B． C．÷2.3＋÷2.7＝÷（2.3＋2.7） D．4.8×（－）＝4.8×－4.8× 【举一反三练习2】（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）用你喜欢的方法计算。                      【奥数拓展四】小数的四则运算及法则 （25-26六年级上·福建龙岩·阶段检测）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 （1）450÷18×32＋395        （2）590÷0.8÷12.5 （3） （50×0.28＋16）÷0.4        （4） （4）         （6） 【举一反三练习1】（26-27六年级上·江苏·单元测试）脱式计算。（能简算的要简算） 5.6÷（2.1－1.85）÷4                24.84÷[3.6×（12.1－10.6）] 10.93×3.5＋9.07×3.5                              【举一反三练习2】（26-27六年级上·江苏·单元测试）计算下面各题，能简算的要简算。                   【奥数拓展五】整数乘法运算定律推广到小数乘法 （2026六年级上·辽宁·专题练习）计算下面各题，能简算的要简算。                   【举一反三练习1】（25-26六年级下·河北沧州·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）     （2） （3）  （4） 【举一反三练习2】（25-26六年级下·山东德州·期末）在计算600×（1.5＋2.4）时，李平忘记写括号了，他计算的结果比正确结果少计算的部分是（    ）。 A． B． C． D． 【奥数拓展六】分数乘小数 （2026六年级上·江苏·专题练习）“掐丝珐琅彩画”起源于广东，由俗称“景泰蓝”的铜胎掐丝珐琅发展而来。五（1）班“掐丝珐琅彩画”体验组准备了12.4米长的金属丝，他们勾勒小鸟用去了2.52米，如果勾勒1条鲸鱼需要的金属丝比勾勒小鸟用去的金属丝短，剩下的金属丝最多能勾勒几条鲸鱼？ 【举一反三练习1】（25-26六年级上·山东菏泽·阶段检测）小红在计算时，错算成了。计算结果比正确得数( )。 【举一反三练习2】计算。 【奥数拓展七】小数的估算及应用 （25-26六年级上·江苏淮安·阶段检测）规定：表示不大于的最大整数，（x）表示不小于的最小整数，[x）表示最接近的整数。例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3；[2.3）＝2。按此规定：[20.8]＋（21.1）＋[22.7）＝( )。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·浙江宁波·期末）小明带100元钱去新华书店买书，他买了两本毛笔字帖，每本20.6元，又花了39.8元买了一本词典；之后，小明还想买一本剪纸书。有两本剪纸书可供选择：简装的13.7元，精装的23.8元。请帮小明估算一下，这时他的钱够买哪一本？ 【举一反三练习2】（26-27六年级上·江苏·课后作业）妈妈带60元去超市，买了两盒牙膏，每盒12.8元，还买了一把9.5元的牙刷，剩下的钱够买一袋24元的洗衣粉吗？下面三种思路正确的是（    ）。 ①把12.8元看作12元，把9.5元看作9元，12×2＋9＝33（元），60－33＝27（元），27＞24，所以够。 ②把12.8元看作13元，把9.5元看作10元，13×2＋10＝36（元），60－36＝24（元），24＝24，所以够。 ③12.8×2＋9.5＝35.1（元），剩下60－35.1＝24.9（元），24.9＞24，所以够。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【奥数拓展八】利用小数四则混合运算解决问题 （26-27五年级上·全国·周测）李叔叔家有一口井，为了测量井的深度，他找来了一根绳子。绳子太长，他第一次把绳子折三折垂到井底，发现井口以外还多7.5米；第二次把绳子折四折垂到井底，发现井口以外还多2.5米。井有多深？绳子有多长？ 【举一反三练习1】（25-26六年级下·广东潮州·期末）一本笔记本3.6元，一支钢笔价钱是它的2.5倍，买一本笔记本和一支钢笔，付出20元，应找回多少元？ 【举一反三练习2】（25-26五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小轩搬新家了，他计划给自己房间的一面墙刷乳胶漆，下面是他收集的一些信息，算一算刷这面墙大约需要多少千克涂料用到的信息是( )。 ①这面墙长2.8米，宽2.6米。②这面墙上的窗户面积是2.6平方米。③每桶乳胶漆大约1.5千克。④每平方米大约需要乳胶漆0.9千克。⑤每桶乳胶漆240元。 【奥数拓展九】已知总量及一部分分率，求另一部分量 （26-27六年级上·辽宁·单元测试）为唤起公众的节水意识，加强水资源保护，解决日益严峻的缺水问题，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”。今年“世界水日”的主题为“水与性别”，为响应节水的号召，某小学将学校的30个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通水龙头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量是普通水龙头的。该小学一分钟可以节约用水多少升？ 【举一反三练习1】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）为庆祝建校80周年，光明小学开展“童眼看母校童心绘校园”的书画展。东西两个校区一共展出了315幅作品。展出的作品中东校区的数量占总数的，西校区展示的作品数量是多少幅？ 【举一反三练习2】我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 【奥数拓展十】求比一个数多/少几分之几的数是多少 （26-27六年级上·辽宁·单元测试）节约用水是保护水资源、维护生态平衡、保障人类生活的重要举措。浩浩家四月份平均每天的用水量是0.6立方米，五月份安装了节水水龙头，平均每天的用水量比上个月每天减少了。五月份浩浩家平均每天的用水量是( )立方米。 【举一反三练习1】（2026六年级上·辽宁·专题练习）某小学科学组老师组织孩子们开展了“畅想科技，创想未来”科技馆科普研学活动，让学生们近距离体验了人工智能、虚拟现实、智能制造等领域的最新成果。有65位同学参加了无人机项目体验，参加机器人项目体验的人数比参加无人机项目体验的人数多，参加机器人项目体验的有多少位同学？ 【举一反三练习2】近日，我国很多地方出现了雾霾天气。造成雾霾的原因众多：汽车尾气、城市建设、地形构造等等。雾霾给空气带来很大的污染，严重影响着人们身心健康。雾霾笼罩期间，口罩成为了热销品。下图是东关批发市场口罩批发信息。张老板从批发市场共批发口罩12捆，并在3天雾霾期间，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的，第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩。 口罩批发信息 1.10捆起批（每捆口罩50只） 2.每捆批发价：100元 3.超过10捆，超过部分每捆优惠 （1）张老板批发口罩一共花去多少元？ （2）除去运输、人员工资等支出320元，雾霾3天期间，张老板一共赚多少元？ 【奥数拓展十一】两人合作的工程问题 （25-26六年级上·陕西延安·期中）宜川胸鼓刚劲矫捷、潇洒爽朗、节奏明快，深受人们喜爱。工厂接到一批制作胸鼓表演服装的订单，如果由甲组工人单独完成需要6天，如果由乙组工人单独完成需要8天，为了加快进度，现在由甲、乙两组工人合作完成，（    ）天能完成。 A．7 B． C． D． 【举一反三练习1】（25-26六年级上·河南南阳·期中）社区计划在河岸边修建一条环保步道。若由甲工程队单独施工，需要50天完成；若由乙工程队单独施工，则需要75天完成。为加快进度，社区决定让两队合作施工。施工过程中，乙工程队因设备维修休息了若干天，其余时间两队一起工作。最终，这项工程从开工到完工甲工程队共工作了40天，乙工程队工作了多少天？ 【举一反三练习2】（24-25六年级上·全国·单元复习）一组割草人要把两片草地的草割掉，大片草地面积是小片草地面积的2倍。上午大家在大片草地上割草，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割草，到傍晚收工时恰好割完；另一半人到小片草地上割草，到傍晚还剩一小块，这一小块第二天由一个人去割，恰好需要一天时间。请你算一下，这组割草人共有多少人？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $