精品解析：广东汕头市潮阳区泉塘初级中学2025-2026学年八年级上学期期终考试数学试卷

2025～2026学年度第一学期 八年级期终考试数学试卷（M） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 6. 下列说法不正确的是( ) A. 有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 7. 若m－n＝2，则代数式的值是（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 8. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 4 9. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，平分，且，若点分别在上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB=_____度． 13. 已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 14. 如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 15. 若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 解方程：． 18. 如图，B、F、C、E是直线l上的四点，，，． （1）求证：； （2）将沿直线l翻折得到，请你用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 观察下面的等式：，，，，…． （1）尝试：___________． （2）归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． （3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 20. 如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． （1）若，求，的度数． （2）写出与之间的关系，并说明理由． 21. 代数式： （1）化简代数式A； （2）若代数式A的值为整数，求整数a的值． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某学校为筹备初三同学们的毕业活动，学校准备为同学们购进A，B两款T恤，每件A款T恤比每件B款T恤多10元，用500元购进A款T恤和用400元购进B款T恤的数量相同． （1）求A款T恤和B款T恤每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买T恤，求有几种购买方案？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，求m值． 23. 如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． （1）求证：； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期 八年级期终考试数学试卷（M） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 2. 在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是， 只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误， ，B错误， ，C正确， ，D错误． 4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 5. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将等式两边化为底数为的幂，根据指数相等求解． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 6. 下列说法不正确的是( ) A. 有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案． 【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角， 因为：∠1+∠2+∠3=180°， 所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形， 故A选项不正确，符合题意； B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD． ∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠CDB=∠BEC=90°， 在Rt△BCD与Rt△CBE中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．， 故B选项正确，不符合题意； C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，， 故C选项正确，不符合题意； D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形， 故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力． 7. 若m－n＝2，则代数式的值是（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：原式• ＝2（m-n）， 当m-n＝2时，原式＝2×2＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 8. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，作，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：作， ∵是边上的高，平分，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 故选C． 9. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：， ， 即， ． 故选：B． 10. 如图，，平分，且，若点分别在上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可反推出△PMN是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论. 【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°． ∵OP平分∠AOB，， ∴∠EOP=∠POF=60°， ∵OE=OF=OP， ∴△OPE，△OPF是等边三角形， ∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°， ∴∠EPM=∠OPN， 在△PEM和△PON中， ∴△PEM≌△PON（ASA）． ∴PM=PN， ∵∠MPN=60°， ∴△PNM是等边三角形， ∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再连续利用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解． 【详解】解： ． 12. 如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB=_____度． 【答案】135 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得∠BAC+∠ABC=90°，角平分线的性质得到∠CAM+∠NBC=45°，再结合题意即可解得. 【详解】∵△ABC是直角三角形， ∴∠BAC+∠ABC=90°， 又∵AM，BN为∠BAC，∠ABC的角平分线， ∴∠CAM+∠NBC=45°， ∴∠AOB=180°−(∠CAM+∠NBC)=135°， ∴∠AOB=135°. 故答案为135 【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质和角平分线的性质. 13. 已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先展开多项式合并同类项，根据展开式不含和项，得两项系数为，求解后，根据关于轴对称的点的坐标规律计算结果． 【详解】解： ∵ 展开式中不含和项， ∴ 项系数为，即 ，解得 ， 项系数为，即 ，将代入得 ，解得 ， ∴ 原坐标为， ∵ 点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， ∴ 所求点的坐标为． 14. 如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：，， ； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ， ，； ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 15. 若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值． 【详解】解：﹣1＝， 方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m， 去括号，得2x﹣x＋1＝m， 移项、合并同类项，得x＝m﹣1， ∵方程无解， ∴x＝1， ∴m﹣1＝1， ∴m＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况. 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边都乘，得． ， ， 解得：． 经检验，是原方程的根． ∴原方程的解是． 18. 如图，B、F、C、E是直线l上的四点，，，． （1）求证：； （2）将沿直线l翻折得到，请你用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， 又， ． （2）如图所示即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）分别以点B和C为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别连接即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 观察下面的等式：，，，，…． （1）尝试：___________． （2）归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． （3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】（1）6 （2）n （3） 证明： ． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； 【小问2详解】 由题意得：， 故答案为：n； 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 20. 如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． （1）若，求，的度数． （2）写出与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；； （2）， 理由如下：设，． 在中，， ， ． ， 在中，， ． ． ． ． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，． （2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系． 【详解】（1），， ． 在中，， ， ， ， ． ． （2）略 【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角． 21. 代数式： （1）化简代数式A； （2）若代数式A的值为整数，求整数a的值． 【答案】（1） （2）符合条件的整数a为4，8 【解析】 【分析】（1）根据分式混合运算法则，化简代数式A即可； （2）先将代数式A变形为：，再根据代数式A的值为整数，且a为整数，得出是5的因数，求出对应a的值，然后根据分式有意义的条件得出，且，即且，最后得出a的值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵化简后，即， 又代数式A的值为整数，且a为整数， 必须为整数，即是5的因数． 又5的因数为，， ∴当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 同时，依题意可知：，且，即且， 综上，符合条件的整数a为4，8． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某学校为筹备初三同学们的毕业活动，学校准备为同学们购进A，B两款T恤，每件A款T恤比每件B款T恤多10元，用500元购进A款T恤和用400元购进B款T恤的数量相同． （1）求A款T恤和B款T恤每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买T恤，求有几种购买方案？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，求m值． 【答案】（1）A款T恤每件50元，则B款T恤每件40元； （2）一共有六种购买方案； （3） 【解析】 【分析】（1）设A款T恤每件x元，则B款T恤每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的T恤的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款T恤a件，则购买B款T恤件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买T恤列出不等式组求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款T恤a件，则购买B款T恤件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出． 【小问1详解】 解：设A款T恤每件x元，则B款T恤每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款T恤每件50元，则B款T恤每件40元， 答：A款T恤每件50元，则B款T恤每件40元； 【小问2详解】 设购买A款T恤a件，则购买B款T恤件， 由题意得，， 解得， ∵a是正整数， ∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280， ∴一共有六种购买方案； 【小问3详解】 设购买资金为W元，购买A款T恤a件，则购买B款T恤件， 由题意得， ， ∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． 23. 如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． （1）求证：； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是直角三角形？ 【答案】（1）证明：∵等边， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ∵ ∴． （2）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵等边， ∴， ， ， ， ， , 故是等边三角形． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合原理，证明全等即可； （2）根据周角，等边三角形的判定和性质，四边形内角和，解答即可； （3）根据是直角三角形，结合三角形全等的性质，分三种情况求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵等边， ∴， 是直角三角形， 当时，根据题意，得， ， ， 故； 当时， ， 故； 当时，根据题意，得， ， ， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ， ， 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当或时；是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $