第4讲 充分条件与必要条件期中专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第4讲 充分条件与必要条件 知识讲解 1、充分性和必要性： 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件（小范围⇒大范围） p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p； p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p； 2、充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件 3、子集与充分条件、必要条件的关系： 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 必过题型 【题型一】命题的判断 1.（25-26高一上·上海）下列语句是命题的有_________． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 2.（24-25高一上·上海）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 3.（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是_________命题．（填“真”或“假”） 4.（25-26高一上·上海）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 5.（25-26高一上·上海）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【题型二】充分条件与必要条件的综合 6.（25-26高一上·广东惠州·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 8.（2026·福建泉州·模拟）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高一上·河南）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 10.（2025·山东聊城）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 11.（24-25高一北京）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12.（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13.（25-26高一上·江苏镇江）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 14.（25-26高一上·河北）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 15.（25-26高一上·黑龙江）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·全国）已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【题型三】充分条件与必要条件的证明 17．（25-26高一上·山东）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 18．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 19．（25-26高一上·甘肃多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 20．（25-26高一上·福建福州·期中多选）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 21．（2025高一上·上海）已知，证明：“”是“”的充要条件. 22．（25-26高一上·重庆）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 充分条件与必要条件 知识讲解 1、充分性和必要性： 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件（小范围⇒大范围） p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p； p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p； 2、充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件 3、子集与充分条件、必要条件的关系： 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 必过题型 【题型一】命题的判断 1.（25-26高一上·上海）下列语句是命题的有_________． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【解答过程】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题.故答案为：①③④. 2.（24-25高一上·上海）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【解答过程】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；因为，故③正确；取，则是整数，故④正确.故选：A. 3.（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是_________命题．（填“真”或“假”） 【解答过程】取，满足，显然不成立，所以命题为假命题.故答案为：假. 4.（25-26高一上·上海）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【解答过程】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得，若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题，若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时.综上所述，实数的取值范围是. 5.（25-26高一上·上海）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【解答过程】（1）；若命题：“”为真命题，则， 得，故实数的取值范围为： （2），由，得，，解得且， 得，因为， 当时，，不满足，当时，，不满足，当时，，要使，则，则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得，则命题和命题至少有一个为假命题时，得或，故实数的取值范围为：. 【题型二】充分条件与必要条件的综合 6.（25-26高一上·广东惠州·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答过程】由“”解得，由“”解得， 若，则必然有，即 ，故充分性成立， 若，取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 7.（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则，由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则，由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选：A． 8.（2026·福建泉州·模拟）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集，故选：A. 9.（25-26高一上·河南）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】若一元二次方程有实数解，则，解得：； 对于A，，，是一元二次方程有实数解的充分不必要条件，A正确；对于B，是一元二次方程有实数解的充要条件，B错误； 对于C，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，C错误；对于D，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，D错误.故选：A. 10.（2025·山东聊城）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】由，得，故“”是“”的一个充分不必要条件.选：B. 11.（24-25高一北京）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】先看充分性：因为，当时，为偶数； 当时，；当时，； 当时，；则可表示所有奇数； 综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数. 因为，则，所以“”是“”的充分条件； 再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件， 即“”是“”的必要条件.所以“”是“”的充要条件.故选：C. 12.（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由得，即，记； 由得，解得. 因为是的充分不必要条件，所以，所以，解得.故选：A. 13.（25-26高一上·江苏镇江）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【解答过程】证明： ，， 因为，是正实数，所以 ，得证. 14.（25-26高一上·河北）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【解答过程】依题意，，由B是A的真子集，得或或，而， 当时，；当时，； 当时，，因此B是A的真子集的充要条件是， 而真包含，所以B是A的真子集的一个必要不充分条件是.故选：A. 15.（25-26高一上·黑龙江）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【解答过程】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， ，所以， 解得，故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得，故实数m的取值范围为. 16．（25-26高一上·全国）已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【解答过程】（1）由集合，因为，可得，解得， 若，可得，解得，则当，可得或， 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. （2）解：因为成立的充分不必要条件是成立，又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， ①当，即时，此时，则，满足题意； ②当时，则满足或，解得或综上，的取值范围为. 【题型三】充分条件与必要条件的证明 17．（25-26高一上·山东）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【解答过程】解：由已知有，，，，， 由此得且，故AC不正确；，，故B正确；且，故D不正确．故选：B． 18．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【解答过程】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误；对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件.故选：B． 19．（25-26高一上·甘肃多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 【解答过程】对于A，由，不能推出，所以不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，由两个三角形相似，能推出这两个三角形的三边对应成比例， 所以是的必要条件，故B符合题意；对于C，由，则，能推出， 所以是必要条件，故C符合题意；对于D，由，，能推出， 所以是的必要条件，故D符合题意.故选：BCD. 20．（25-26高一上·福建福州·期中多选）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 【解答过程】对于A，令，则，所以充分性不成立， 若，则一定有，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，令，则为无理数，但为有理数，故充分性不成立， 令，则，所以必要性不成立， 综上，“为无理数”是“都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，因为，所以，充分性成立， 当时，比如，但，故不一定推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，可得， 解得，故“”是“”的充要条件，故D正确.故选：CD. 21．（2025高一上·上海）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【解答过程】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性：由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 22．（25-26高一上·重庆）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且，解得且，取交集得，故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立，因此存在实数，其取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $