专题01 集合与常用逻辑用语（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语5大高频考点，汇编北京丰台、安徽芜湖等地期中及北京房山一模试题，含基础题与“倍差集”“好集合”等创新题型，实现分层考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择（含多选）|约30题|集合运算、充分条件等|结合多地期中真题，如山东济南并集运算题| |填空|约10题|子集个数、量词否定|基础与中档结合，如云南昆明子集个数题| |解答|约15题|集合关系应用、新定义|综合创新，如北京房山“倍差集”三问设计|

专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）集合用列举法可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将集合中的元素列举出来即可. 【详解】 故选：C. 2．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据确定出的可取值，然后根据判断出中的元素即可求解出. 【详解】 因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合； 所以， 故选：B. 3．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知集合，若，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】 因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 4．（2026·北京房山·一模）设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． （1）当时，写出集合的倍差集； （2）设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； （3）若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 【答案】（1）；     （2）1或8；     （3）4.      【分析】 （1）根据倍差集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与2、4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“倍差集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合倍差集的定义证明最少元素个数. (1) 小问详解： 根据倍差集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. (2) 小问详解： 已知，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为1或3. 当时，，，，， 此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，，，，， 此时，不满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，根据，得，，. 由于且，所以且，且， 因为倍差集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若 ，解得，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故， 综上，若其倍差集中恰好有两个元素，则的值为1或8. (3) 小问详解： 设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设，则，，，，，， 由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，， 这6个值分别记为：，，，，，. 从而有：，即，，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值， 如果倍差集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾； 若，则，即，显然矛盾. 因此，此时. 再看： 若，则，即，与矛盾； 若，则，即； 若，则，即，而，则，与矛盾； 因此，此时，即. 最后看， 将代入，可得， 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，而，则，与矛盾. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于的第四个数. 因此倍差集中元素个数的最小值为4. 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据是的子集求得的取值范围. 【详解】 依题意，，，且， 所以. 故选：C 2．（2026·辽宁丹东·调研）设集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据元素与集合的关系判定选项即可. 【详解】 易知，故A、B、D错误，C正确. 故选：C 3．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）下列表述中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空集、点集、数集的定义判断集合是否相等及元素与集合的关系. 【详解】 对于A，由表示没有元素的集合，则不相等，A错， 对于B，由是点集，是数集，则不相等，B错， 对于C，由表示仅含有空集的单元素集合，则不相等，C错， 对于D，由于是自然数，故，D对. 故选：D 4．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知集合，下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解出集合，根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系即可判断． 【详解】 由， 则，，故AD错误，B正确， 而，则错误，故C错误. 故选：B 5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）设集合，若，则实数可以是（       ） A. 0 B. 3 C.  D. 2 【答案】ACD 【分析】 先求得集合，分类讨论，确定集合，根据，确定实数的值，得到答案. 【详解】 由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 6．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题可先分别求出集合与集合，再根据确定实数的取值范围，进而分析各选项. 【详解】 集合，解得，集合，解得， 说明集合中的元素都属于集合，即. 故选：B 7．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）集合的子集个数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出集合，然后由集合中元素的个数求解子集的个数即可. 【详解】 由题意得，则的子集个数为． 故答案为： 8．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知集合. （1）若有且只有1个真子集，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或.     （2）      【分析】 （1）由判别式为0可得； （2）由，可得，然后对分类讨论可得. (1) 小问详解： 因为有且只有1个真子集，所以中有且只有1个元素， 则，解得或. (2) 小问详解： 由，可得， 由，解得，则. 当时，解得，则，符合； 当时，解得或， 当，则，符合；若，则，符合； 当时，解得或，则，. 若，则，不符合； 若，则，不符合. 综上所述，的取值范围为. 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据交集的定义求解即可. 【详解】 由，，则． 故选：A 2．（25-26学年高一上·山东济南·期中）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（       ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【分析】 根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】 本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）设集合，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【详解】 . 故选：B. 4．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知集合，，则（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据并集的定义，即可求解. 【详解】 因为集合，， 所以. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】 由，则， 集合， 故 故选：D. 6．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 两点集的交集，即这两条直线的交点. 【详解】 故选：D. 7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用并集的定义可得出集合. 【详解】 因为，，则. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 故选：B 9．（2026·北京房山·一模）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】 依题意，，而， 所以. 故选：A 10．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知全集，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解绝对值不等式求全集，并用列举法表示，再利用补集的定义求解. 【详解】 由题可知，则. 故选：C 11．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（       ） A. 10 B. 8 C. 9 D. 14 【答案】A 【分析】 利用容斥原理即可得到答案. 【详解】 该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 12．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 列举法表示集合，再根据集合的交运算求解. 【详解】 因为，， 所以. 故选：A 13．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知集合，，则的子集个数为（       ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【分析】 利用交集的定义求出，再结合集合子集个数的结论即可求解． 【详解】 因为，，所以，所以的子集个数为． 故选：B． 14．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用并集的概念计算即可. 【详解】 依得，即， 则. 故选：B 15．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由交集运算即可求解. 【详解】 ，， 则， 故选：A 16．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知集合，，，则下面结论正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 根据交集，并集，补集的定义即可求解. 【详解】 由题意，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 17．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】 由题可知，，又， 所以. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）设集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据交集的定义进行运算即可. 【详解】 因为， 所以. 故选：C. 19．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据集合补集运算的定义进行求解即可. 【详解】 全集，所以. 故选：B. 20．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）定义集合和的运算：，若集合，则的真子集个数为（       ） A. 31 B. 32 C. 62 D. 63 【答案】D 【分析】 先根据新定义求出集合的所有元素，确定其元素个数，再代入真子集个数公式计算即可. 【详解】 由新定义知，，一共6个元素，所以的真子集的个数为. 故选：D. 21．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件. 【详解】 命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得， 命题“，或”为真命题，则或， 所以或或，显然，B，D选项中的区间为的子集． 故选：BD． 22．（2026·北京房山·一模）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（     ） A. 15 B. 24 C. 27 D. 32 【答案】C 【分析】 根据给定的定义，分析并确定元素所属集合情况，即可列式计算得解. 【详解】 依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27. 故选：C 23．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知全集，集合，集合，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）根据补集运算计算出，再根据交集和并集运算分别计算出和； （2）当时，直接分析即可；当时，根据条件列出关于的不等式组，由此可求解出结果. (1) 小问详解： 因为，所以或， 所以， 所以或. (2) 小问详解： 当时，满足，此时，解得， 当时，若，则有 ，解得， 综上所述，的取值范围为. 24．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或     （2）.      【分析】 （1）根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到 ，解得即可. (1) 小问详解： 当时，又， 所以，或. (2) 小问详解： 因为，所以， 显然，即， 所以 ，解得，即实数的取值范围为. 25．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有　　　　　　　　　　名同学. 【答案】55 【分析】 画出维恩图可解. 【详解】    由图可得这个班共有学生人. 故答案为：55. 26．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）应用集合的交、补运算即可得解； （2）由题设知，讨论集合是否为空集，列不等式求解即得参数范围. (1) 小问详解： 由题设或，当时，， 则； (2) 小问详解： 由， 当，则，可得； 当，则 ，可得， 综上，，故的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知集合，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1），     （2），或.      【分析】 （1）根据集合的交集，并集运算求解； （2）根据集合的交并补运算求解. (1) 小问详解： 因为，， 所以，. (2) 小问详解： 由题，可得或，， ，或. 28．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知集合，，. （1）； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再进行集合的补集与交集运算即可； （2）由，得，再对集合分类讨论是否为，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由，得，所以，故集合. 因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 因为，所以. 当时，，即； 当时， ，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 29．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. (1) 小问详解： 因为， ∴，又 ∴. (2) 小问详解： ∵，∴， ∴ ， ∴， ∴实数的取值范围为. 30．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. (1) 小问详解： 由于或，， 故，， ， (2) 小问详解： ∵，∴ 31．（2026·辽宁丹东·调研）设全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）由集合的交并运算求集合； （2）由集合的补运算得，再由并集结果列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由题设，， 则，； (2) 小问详解： 由题设，若，则，解得， 故的取值范围是. 32．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知集合，． （1）当时，求，； （2）若有唯一子集，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由题意可得，进而求解即可； （3）根据包含关系求解即可. (1) 小问详解： 由， 当时，，则或， 所以，． (2) 小问详解： 若有唯一子集，则， 所以，解得，所以的取值范围为． (3) 小问详解： 根据题意可得 ，解得，即的取值范围为． 33．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. (1) 小问详解： 当时，，所以. 所以. (2) 小问详解： 因为，所以. 所以，解得， 所以m的取值范围是. 34．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知全集，集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），.     （2）      【分析】 （1）利用集合的运算法则计算可得答案； （2）由可得：集合在的左侧或在3的右侧，列不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，则或， 所以，. (2) 小问详解： 因为，所以， 由于，所以或， 解得或. 所以的取值范围是. 35．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）设集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用交集、并集、补集的定义计算； （2）分和讨论求解. (1) 小问详解： 当时，， ； (2) 小问详解： 因为， 所以当时，， 当时，，且或，∴， 所以实数的取值范围为. 36．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）设，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）解不等式求得，进而利用交集的意义求得，利用补集的意义求得，利用并集的意义求得； （2）令，由题意可得 ，求解即可. (1) 小问详解： 由，得，解得，所以， 又，所以， 或，或. (2) 小问详解： 由可得， 令，所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 37．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． （1）当a＝2时，求A\mathop{\cup }^{}B，\left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cap }^{}B； （2）若\left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cup }^{}B＝R，求a的取值范围． 【答案】（1）A\mathop{\cup }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-4\le x\le 7\text{ } \right\};\left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cap }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }3<x\le 7\text{ } \right\}.     （2）      【分析】 （1）将集合表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. (1) 小问详解： \therefore A\mathop{\cup }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-4\le x\le 7\text{ } \right\};，\therefore \left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cap }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }3<x\le 7\text{ } \right\}. (2) 小问详解： \left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cup }^{}B＝R， ，解之：. 38．（2026·北京房山·一模）已知集合．用列举法表示集合，则　　　　　　　　　　　；若，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 求出方程的根并用列举法表示集合，再利用给定交集的结果列式求解. 【详解】 解方程，得或，因此； 由，得或，即或， 解得或，因此，所以的取值范围是. 故答案为：； 39．（2026·北京房山·一模）已知全集为，集合，，． （1）求； （2）求； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）或.     （3）      【分析】 （1）解不等式得到集合，由集合的并集求得结果； （2）由补集的定义即可求得结果； （3）由交集结果得到集合之间的关系，即可得到的取值范围. (1) 小问详解： ∵，∴，即， ∴. (2) 小问详解： 或. (3) 小问详解： ∵，∴， ∴， 即. 40．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）设，，集合.若集合S的任意两个子集A，B满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称S是好集合. （1）判断集合是否为好集合； （2）若，S不是好集合，证明：； （3）若，S是好集合，证明：n的最小值为243. 【答案】（1）T是好集合；U不是好集合.     （2） 假设，，集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得，不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得，矛盾. 如果，则，进而， 此时矛盾，所以.     （3） 首先证明，当时，， 集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得， 不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得ab=c，矛盾. 如果，则，进而，此时矛盾. 所以，集合S一定是好集合. 当时，令， ， A与B都不包含整数a，b，c（不一定相异）使得，即此时S不是好集合. 所以满足S是好集合，n的最小值为243.      【分析】 （1）根据定义代入验证即可； （2）利用反证法假设,，通过论证得到矛盾点即可； （3）首先证明，集合S一定是好集合，再证明时，集合S不是好集合即可. (1) 小问详解： T是好集合；U不是好集合. 对，举例，，或，，或，， 均满足条件① ② ，T是好集合； 对集合U，举例显然满足条件①，不满足条件② ，则U不是好集合. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设x，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项. 【详解】 若可以得出，但得不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）“为奇数”是“与是同类项”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据同类项的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 若与是同类项，则，解得． 故“为奇数”是“与是同类项”的必要不充分条件． 故选：C 3．（25-26学年高一上·山东济南·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据幂函数的单调性即可判断得出结论. 【详解】 因为函数在上单调递增， 在定义域内任取两实数，令， 则，因此充分性成立； 若，则， 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 4．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充分条件和必要条件的含义进行辨析即可. 【详解】 因为，所以， 当时，无意义，所以“”时，“”不一定成立； 当时，，所以“”能推出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 分别求解出不等式解集，根据解集的互相推出关系可判断出结果. 【详解】 因为，即， 因为，即， 因为能推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】 若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，则或，不一定是， 比如：，满足，但， 所以“”不是“"的必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件 故选：A. 7．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）设是三条边的边长，则“”是“为直角三角形”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分、必要条件分析判断. 【详解】 因为，等价于为直角， 若为直角，则为直角三角形， 但为直角三角形，则或或为直角，不一定有为直角， 所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】 A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 9．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）下面命题正确的是（     ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的否定是“存在，” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】 根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】 对选项A，“”“”，充分性满足， 而当时，可得或，故必要性不满足， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对选项B，命题“若，则”的否定是“存在，使得，故B错误； 对选项C，当“且”成立，则“”成立，充分性满足， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，必要性不满足， 则“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对选项D，由且，故“”是“”的必要不充分条件，故 D正确． 故选：AD. 10．（2026·北京房山·一模）设，则是的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 ，所以是的充分条件； 令，则，但不成立， 所以是的充分而不必要条件. 故选：A. 11．（25-26学年高一上·福建南平·期中）在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据为锐角三角形求出的范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】 在中，， 若为锐角三角形，则 ，解得， 因为， 所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 12．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据集合的包含关系来判断充分必要条件可得. 【详解】 由，得，即，解得. 又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 得，再由集合的包含关系即可判断. 【详解】 由可得， 由于是的真子集， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 14．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的　　　　　条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】 举出反例得到充分性不成立，由菱形性质可得必要性成立，得到答案. 【详解】 四边形的对角线互相垂直，若对角线不互相平分，则四边形不是平行四边形， 此时无法得到四边形为菱形，充分性不成立， 若四边形为菱形，则对角线互相垂直，必要性成立， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 15．（25-26学年高一上·四川成都·期中）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先化简不等式，再根据充分条件的定义求解. 【详解】 解：由题意知： ， 由不等式得， 因为不等式的一个充分条件为， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 16．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知集合，． （1）若，求和； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）代入，再根据集合交、并、补运算即可； （2）根据题意知，得到 ，再解不等式组即可． (1) 小问详解： 由， 当时，，，        所以；； (2) 小问详解： 由（1）得，，        因为是的必要条件，所以， 所以 ，解得，        所以实数的取值范围是． 17．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知集合，非空集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解出集合A，由已知得出，根据包含关系解出参数范围； （2）原条件等价于集合B是集合A的真子集，根据包含关系解出参数范围. (1) 小问详解： 由题意可得， 因为，则， 可得 ，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若p是q的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 且，非空集合， 可得 且不同时取等号，解得． 实数k的取值范围是． 18．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由若“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. (1) 小问详解： 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，    则 ，解得，则实数的取值范围是. (2) 小问详解： 由于集合B为非空集合，所以，解得，      由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，        所以 ，解得，所以，        当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·福建南平·期中）“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 原命题是存在量词命题，将存在量词命题改成全称量词命题，并否定结论即可. 【详解】 “，”的否定为“，”. 故选：B 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）下列是全称量词命题且为真命题的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【分析】 根据全称量词命题的特征可判断. 【详解】 对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 3．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）命题“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【详解】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果. 【详解】 因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“，”的否定为“，”， 故选：D. 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】 命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知且，命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 根据根据含有一个量词的命题的否定规则进行否定即可. 【详解】 命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ，均有 B. ，有 C. ，均有 D. ，有 【答案】D 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题即可求解. 【详解】 由全称命题的否定是特称命题可知：        命题“，使得”的否定是，有. 故选：D 7．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断. 【详解】 命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 8．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）命题的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题这一知识点进行解答即可. 【详解】 因为全称命题的否定是特称命题， 所以“”的否定是将改成，否定结论， 即. 故选：D. 9．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）命题，的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】 命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：B 10．（2026·北京房山·一模）已知命题，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】 命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以为：. 故选：B 11．（2026·辽宁丹东·调研）已知命题，则是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接写出存在量词命题的否定即可. 【详解】 由命题，所以. 故选：B. 12．（25-26学年高一上·山东济南·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】 命题“”为全称量词命题，其否定为：. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据存在量词的命题的否定为全称量词命题即可得解； 【详解】 命题“，”的否定是，，， 故选：C 14．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由特称量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】 由特称量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为. 故选：C 15．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知命题，则是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据全称命题的否定判断求解. 【详解】 因为命题，则. 故选:A. 16．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】 命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 17．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）“，”的否定为　　　　　　． 【答案】，， 【分析】 根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】 根据存在量词命题的否定， “，”的否定为，，. 故答案为：，，. 18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）命题“”的否定是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解. 【详解】 命题“”的否定是：. 故答案为：. 19．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）命题：“，”的否定是　　　　　　　　. 【答案】， 【分析】 由存在量词命题的否定为全称量词命题直接得结果. 【详解】 “，”的否定是“，”. 故答案为：， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）集合用列举法可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知集合，若，则的值为　　　　　　　　　　. 4．（2026·北京房山·一模）设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． （1）当时，写出集合的倍差集； （2）设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； （3）若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·辽宁丹东·调研）设集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）下列表述中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知集合，下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）设集合，若，则实数可以是（       ） A. 0 B. 3 C.  D. 2 6．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）集合的子集个数为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知集合. （1）若有且只有1个真子集，求的值； （2）若，求的取值范围. 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·山东济南·期中）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（       ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 3．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）设集合，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知集合，，则（   ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·北京房山·一模）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知全集，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（       ） A. 10 B. 8 C. 9 D. 14 12．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）设集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知集合，，则的子集个数为（       ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 14．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知集合，，，则下面结论正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）设全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）设集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知全集，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）定义集合和的运算：，若集合，则的真子集个数为（       ） A. 31 B. 32 C. 62 D. 63 21．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（2026·北京房山·一模）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（     ） A. 15 B. 24 C. 27 D. 32 23．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知全集，集合，集合，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 24．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 25．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有　　　　　　　　　　名同学. 26．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 27．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知集合，. （1）求，； （2）求，. 28．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知集合，，. （1）； （2）若，求实数m的取值范围. 29．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 30．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 31．（2026·辽宁丹东·调研）设全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 32．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知集合，． （1）当时，求，； （2）若有唯一子集，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 33．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 34．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知全集，集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 35．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）设集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 36．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）设，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 37．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． （1）当a＝2时，求A\mathop{\cup }^{}B，\left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cap }^{}B； （2）若\left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cup }^{}B＝R，求a的取值范围． 38．（2026·北京房山·一模）已知集合．用列举法表示集合，则　　　　　　　　　　　；若，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 39．（2026·北京房山·一模）已知全集为，集合，，． （1）求； （2）求； （3）若，求的取值范围． 40．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）设，，集合.若集合S的任意两个子集A，B满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称S是好集合. （1）判断集合是否为好集合； （2）若，S不是好集合，证明：； （3）若，S是好集合，证明：n的最小值为243. 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设x，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）“为奇数”是“与是同类项”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·山东济南·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）设是三条边的边长，则“”是“为直角三角形”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）下面命题正确的是（     ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的否定是“存在，” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 10．（2026·北京房山·一模）设，则是的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高一上·福建南平·期中）在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的　　　　　条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”） 15．（25-26学年高一上·四川成都·期中）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　． 16．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知集合，． （1）若，求和； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 17．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知集合，非空集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·福建南平·期中）“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）下列是全称量词命题且为真命题的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）命题“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知且，命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ，均有 B. ，有 C. ，均有 D. ，有 7．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）命题的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）命题，的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（2026·北京房山·一模）已知命题，则为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·辽宁丹东·调研）已知命题，则是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·山东济南·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）命题“”的否定是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知命题，则是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 17．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）“，”的否定为　　　　　　． 18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）命题“”的否定是　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）命题：“，”的否定是　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．C 2．B 3．【答案】 【分析】 分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】 因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 4．【答案】（1）；     （2）1或8；     （3）4.      【分析】 （1）根据倍差集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与2、4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“倍差集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合倍差集的定义证明最少元素个数. (1) 小问详解： 根据倍差集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. (2) 小问详解： 已知，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为1或3. 当时，，，，， 此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，，，，， 此时，不满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，根据，得，，. 由于且，所以且，且， 因为倍差集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若 ，解得，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故， 综上，若其倍差集中恰好有两个元素，则的值为1或8. (3) 小问详解： 设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设，则，，，，，， 由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，， 这6个值分别记为：，，，，，. 从而有：，即，，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值， 如果倍差集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾； 若，则，即，显然矛盾. 因此，此时. 再看： 若，则，即，与矛盾； 若，则，即； 若，则，即，而，则，与矛盾； 因此，此时，即. 最后看， 将代入，可得， 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，而，则，与矛盾. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于的第四个数. 因此倍差集中元素个数的最小值为4. 考点02 集合间的基本关系 1．C 2．C 3．D 4．B 5．ACD 6．B 7．【答案】 【分析】 先求出集合，然后由集合中元素的个数求解子集的个数即可. 【详解】 由题意得，则的子集个数为． 故答案为： 8．【答案】（1）或.     （2）      【分析】 （1）由判别式为0可得； （2）由，可得，然后对分类讨论可得. (1) 小问详解： 因为有且只有1个真子集，所以中有且只有1个元素， 则，解得或. (2) 小问详解： 由，可得， 由，解得，则. 当时，解得，则，符合； 当时，解得或， 当，则，符合；若，则，符合； 当时，解得或，则，. 若，则，不符合； 若，则，不符合. 综上所述，的取值范围为. 考点03 集合的基本运算 1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．D 7．D 8．B 9．A 10．C 11．A 12．A 13．B 14．B 15．A 16．BD 17．B 18．C 19．B 20．D 21．BD 22．C 23．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）根据补集运算计算出，再根据交集和并集运算分别计算出和； （2）当时，直接分析即可；当时，根据条件列出关于的不等式组，由此可求解出结果. (1) 小问详解： 因为，所以或， 所以， 所以或. (2) 小问详解： 当时，满足，此时，解得， 当时，若，则有 ，解得， 综上所述，的取值范围为. 24．【答案】（1），或     （2）.      【分析】 （1）根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到 ，解得即可. (1) 小问详解： 当时，又， 所以，或. (2) 小问详解： 因为，所以， 显然，即， 所以 ，解得，即实数的取值范围为. 25．【答案】55 【分析】 画出维恩图可解. 【详解】    由图可得这个班共有学生人. 故答案为：55. 26．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）应用集合的交、补运算即可得解； （2）由题设知，讨论集合是否为空集，列不等式求解即得参数范围. (1) 小问详解： 由题设或，当时，， 则； (2) 小问详解： 由， 当，则，可得； 当，则 ，可得， 综上，，故的取值范围为. 27．【答案】（1），     （2），或.      【分析】 （1）根据集合的交集，并集运算求解； （2）根据集合的交并补运算求解. (1) 小问详解： 因为，， 所以，. (2) 小问详解： 由题，可得或，， ，或. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再进行集合的补集与交集运算即可； （2）由，得，再对集合分类讨论是否为，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由，得，所以，故集合. 因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 因为，所以. 当时，，即； 当时， ，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. (1) 小问详解： 因为， ∴，又 ∴. (2) 小问详解： ∵，∴， ∴ ， ∴， ∴实数的取值范围为. 30．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. (1) 小问详解： 由于或，， 故，， ， (2) 小问详解： ∵，∴ 31．【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）由集合的交并运算求集合； （2）由集合的补运算得，再由并集结果列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 由题设，， 则，； (2) 小问详解： 由题设，若，则，解得， 故的取值范围是. 32．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由题意可得，进而求解即可； （3）根据包含关系求解即可. (1) 小问详解： 由， 当时，，则或， 所以，． (2) 小问详解： 若有唯一子集，则， 所以，解得，所以的取值范围为． (3) 小问详解： 根据题意可得 ，解得，即的取值范围为． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. (1) 小问详解： 当时，，所以. 所以. (2) 小问详解： 因为，所以. 所以，解得， 所以m的取值范围是. 34．【答案】（1），.     （2）      【分析】 （1）利用集合的运算法则计算可得答案； （2）由可得：集合在的左侧或在3的右侧，列不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，则或， 所以，. (2) 小问详解： 因为，所以， 由于，所以或， 解得或. 所以的取值范围是. 35．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用交集、并集、补集的定义计算； （2）分和讨论求解. (1) 小问详解： 当时，， ； (2) 小问详解： 因为， 所以当时，， 当时，，且或，∴， 所以实数的取值范围为. 36．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）解不等式求得，进而利用交集的意义求得，利用补集的意义求得，利用并集的意义求得； （2）令，由题意可得 ，求解即可. (1) 小问详解： 由，得，解得，所以， 又，所以， 或，或. (2) 小问详解： 由可得， 令，所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 37．【答案】（1）A\mathop{\cup }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-4\le x\le 7\text{ } \right\};\left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cap }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }3<x\le 7\text{ } \right\}.     （2）      【分析】 （1）将集合表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. (1) 小问详解： \therefore A\mathop{\cup }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }-4\le x\le 7\text{ } \right\};，\therefore \left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cap }^{}B=\left\{ x\text{ }\!\!|\!\!\text{ }3<x\le 7\text{ } \right\}. (2) 小问详解： \left( {{\complement }_{\text{R}}}A \right)\mathop{\cup }^{}B＝R， ，解之：. 38．【答案】①     ② 【分析】 求出方程的根并用列举法表示集合，再利用给定交集的结果列式求解. 【详解】 解方程，得或，因此； 由，得或，即或， 解得或，因此，所以的取值范围是. 故答案为：； 39．【答案】（1）     （2）或.     （3）      【分析】 （1）解不等式得到集合，由集合的并集求得结果； （2）由补集的定义即可求得结果； （3）由交集结果得到集合之间的关系，即可得到的取值范围. (1) 小问详解： ∵，∴，即， ∴. (2) 小问详解： 或. (3) 小问详解： ∵，∴， ∴， 即. 40．【答案】（1）T是好集合；U不是好集合.     （2） 假设，，集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得，不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得，矛盾. 如果，则，进而， 此时矛盾，所以.     （3） 首先证明，当时，， 集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得， 不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得ab=c，矛盾. 如果，则，进而，此时矛盾. 所以，集合S一定是好集合. 当时，令， ， A与B都不包含整数a，b，c（不一定相异）使得，即此时S不是好集合. 所以满足S是好集合，n的最小值为243.      【分析】 （1）根据定义代入验证即可； （2）利用反证法假设,，通过论证得到矛盾点即可； （3）首先证明，集合S一定是好集合，再证明时，集合S不是好集合即可. (1) 小问详解： T是好集合；U不是好集合. 对，举例，，或，，或，， 均满足条件① ② ，T是好集合； 对集合U，举例显然满足条件①，不满足条件② ，则U不是好集合. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点04 充分条件与必要条件 1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．A 7．A 8．AC 9．AD 10．A 11．B 12．B 13．A 14．【答案】必要不充分 【分析】 举出反例得到充分性不成立，由菱形性质可得必要性成立，得到答案. 【详解】 四边形的对角线互相垂直，若对角线不互相平分，则四边形不是平行四边形， 此时无法得到四边形为菱形，充分性不成立， 若四边形为菱形，则对角线互相垂直，必要性成立， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 15．【答案】 【分析】 先化简不等式，再根据充分条件的定义求解. 【详解】 解：由题意知： ， 由不等式得， 因为不等式的一个充分条件为， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 16．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）代入，再根据集合交、并、补运算即可； （2）根据题意知，得到 ，再解不等式组即可． (1) 小问详解： 由， 当时，，，        所以；； (2) 小问详解： 由（1）得，，        因为是的必要条件，所以， 所以 ，解得，        所以实数的取值范围是． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解出集合A，由已知得出，根据包含关系解出参数范围； （2）原条件等价于集合B是集合A的真子集，根据包含关系解出参数范围. (1) 小问详解： 由题意可得， 因为，则， 可得 ，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若p是q的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 且，非空集合， 可得 且不同时取等号，解得． 实数k的取值范围是． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由若“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. (1) 小问详解： 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，    则 ，解得，则实数的取值范围是. (2) 小问详解： 由于集合B为非空集合，所以，解得，      由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，        所以 ，解得，所以，        当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 考点05 全称量词与存在量词 1．B 2．AC 3．D 4．D 5．D 6．D 7．A 8．D 9．B 10．B 11．B 12．B 13．C 14．C 15．A 16．A 17．【答案】，， 【分析】 根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】 根据存在量词命题的否定， “，”的否定为，，. 故答案为：，，. 18．【答案】 【分析】 根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解. 【详解】 命题“”的否定是：. 故答案为：. 19．【答案】， 【分析】 由存在量词命题的否定为全称量词命题直接得结果. 【详解】 “，”的否定是“，”. 故答案为：， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $