专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

**基本信息** 汇编多地区高一上期中真题，聚焦函数核心考点，基础与综合题梯度分布，适配期中复习与能力评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/多选|约80题|函数定义域（如山东济南期中题）、奇偶性（云南昆明期中题）、幂函数性质（浙江杭州地期中题）|跨地区真题整合，基础考点重复强化| |填空/解答|约45题|单调性证明（黑龙江齐齐哈尔期中题）、实际应用（江苏苏州利润问题）|综合题结合生活情境，培养建模能力|

专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数 ，则（       ） A. 5 B. 12 C. 7 D. 2 4．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·福建南平·期中）若函数，则（       ） A. 2 B. 0 C. 12 D. 20 8．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列各组函数中，表示的是同一函数的有（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 12．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 ，则（       ） A. 16 B. 8 C. 2 D. -2 13．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数 ，则（       ） A.  B. 3 C. 1 D. 19 15．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（          ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 17．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 7 18．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 函数表示的是同一函数 C. 若，则 D. 若奇函数在有最小值4，则在有最大值 20．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的定义域是，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 22．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）下列各选项给出的数学命题中，正确的有（       ） A. 集合，表示相等集合 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 23．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数 B. 若，则 C. 函数的图象与直线最多有1个交点 D. 若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 24．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）下列选项中，错误的是（       ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 集合真子集的个数是15 C. 在右图所示的Venn图中，阴影部分可表示为 D. 某超市一天的销售额与客流量之间的关系是函数关系 25．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·四川成都·期中）（多选）下列各组函数中，是同一函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 27．（25-26学年高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（       ）． A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数 ，则下列关于函数的结论正确的是（     ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 29．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，则　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）函数的定义域为　　　　　. 31．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知 ，若，则　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）函数的定义域是　　　　　　　　. 33．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数 ，则　　　　　　． 34．（2026·北京房山·一模）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 36．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数，且，则　　　　　　　　． 37．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　. 38．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知 ，求　　　　　　　　　　. 39．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知函数 则　　　　　　. 40．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的图象如图所示.        （1）求，； （2）求函数的定义域和值域. 41．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数 则　　　　　　　　　　. 42．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 43．（25-26学年高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　． 44．（2026·北京房山·一模）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　；若，则　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的最大值为　　　　　　. 46．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·四川成都·期中）如图所示，函数的单调递减区间为（       ） A.  B. 和 C.  D.  2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（     ） A.      B.      C.      D.      5．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）下列函数是偶函数，且在区间上是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）若函数 是上的单调函数，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 任意一个非零有理数T，对任意恒成立 12．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）给出下列四个命题是真命题的是（       ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； C. 函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到； D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； 13．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（       ） A.  B. 是奇函数 C. 是增函数 D.  14．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的图象可以由函数的图象（       ）而得到. A. 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 16．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）函数的单调递增区间为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      19．（2026·北京房山·一模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·福建南平·期中）函数的大致图象为（　　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（       ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D.  22．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数 是R上的增函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的一个函数为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=，函数g(x)=[f(x)]，以下结论正确的是（       ） A. f(x)在R上是增函数 B. g(x)是偶函数 C. f(x)是奇函数 D. g(x)的值域是{-1，0} 24．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. “”是“”的充要条件 B. 若，则且 C. 若函数为上的减函数，则也为上的减函数 D. 若函数为偶函数，则的图象关于直线对称 26．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，若正实数满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 7 27．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.若对所有x\in \left[-1,1\left\right],t\in \right[-1,1]恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. \left[-1,1\left\right]\cup \right[4,+\mathrm{\infty }) 28．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如\left[3.24\left\right]=3,\right[-1.5]=-2.那么不等式成立的必要不充分条件可能是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则满足（       ） A.  B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 31．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）函数的图象大致为（       ）． A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 函数与函数是同一函数 B. 若且，则的最小值为 C. 函数是奇函数也是单调递减函数 D. 函数，的最大值为，则 34．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（     ） A. 且函数是奇函数 B. 函数是上的单调递增函数 C. 当时， D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是 35．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数 是单调递增函数，则的取值集合是（     ）. A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）对任意两个实数，定义 ，若，则下列关于函数的说法错误的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个根 C. 不等式的解集为(1，2) D. 函数的值域为 37．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知四个函数①②③④中，既是偶函数又是在区间上单调递减的是（     ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ②③ 38．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）定义 ，若，则的最大值为（       ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 40．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）已知函数（其中表示不超过x的最大整数），则下列选项不正确的是（       ） A.  B. 函数的值域为 C. 函数是增函数 D. 方程无解 41．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      42．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）若函数 为上的单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（       ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 44．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则的大小顺序是（       ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高一上·四川成都·期中）（多选）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列选项中正确的是（       ）． A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的图象与直线 有无数个交点 D.  46．（25-26学年高一上·四川成都·期中）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      48．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知函数 ，若的最小值为，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  50．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（       ） A.  B.  C.  D.  51．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  52．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 的一个周期为 4 C.  D.  在区间上单调递增 53．（2026·北京房山·一模）如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（     ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 24 54．（2026·北京房山·一模）已知是奇函数，且在上单调递减，则（     ） A.  B.  C.  D.  55．（2026·北京房山·一模）已知函数 是上的单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  56．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（       ） A.  B.  C.  D.  57．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（　　） A.  B. ， C.  D.  58．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数的定义域为，为奇函数，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  59．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数 ，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  60．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，，.用表示，中的较大者，记为，设 则（     ） A.  B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为 D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 61．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）设是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的都有，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  62．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）对于任意的，若用函数表示中的较大者，则下列结论正确的是（     ） A. 的图象不可能是一条直线 B. 的图象可能是一条抛物线 C. 当时，的值域为 D. 若关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是 63．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数 满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  64．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（       ） A.  B. 是奇函数 C. 的图象关于点中心对称 D.  65．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的图象的对称中心为，则（       ） A.  B.  C.  D.  66．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 67．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）已知定义域为的函数满足对任意的，都有，且当时，，则（       ）. A.  B. 对任意，总有 C. 是偶函数 D. 的解集为 68．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（       ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 69．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数，则使成立的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  70．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数 在上单调，则的取值范围为　　　　　　． 71．（25-26学年高一上·山东济南·期中）老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：　　　　　　． 72．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 73．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数的单调减区间是　　　　　． 74．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是　　　　　　 75．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 76．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，的值； （2）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象； （3）写出一组m，n，a的值，使得不等式在区间上恒成立. 77．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　　． 78．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 79．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知 是上的单调增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 80．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数与x轴的两个交点为，. （1）求b，c的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数m的取值范围； （3）设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 81．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）用定义证明函数在区间上单调递增. 82．（2026·北京房山·一模）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数； （3）直接写出函数的值域． 83．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值. （2）用函数单调性的定义证明：是R上的减函数. （3）若，求的取值范围. 84．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知是偶函数． （1）求的值． （2）证明：． （3）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 85．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 86．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性并说明理由； （3）若正数，满足，且，求的取值范围. 87．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若，若，使得，则实数的取值范围是． 88．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）若函数是奇函数，则实数　　　　　　　　　　. 89．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）判断函数在上的单调性并证明. 90．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 ，若当时，，则的最大值是　　　　　. 91．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数（且）过点（0，1）. （1）求的值，并写出的解析式； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式（无需证明）. 92．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若函数，且恒成立，求的取值范围． 93．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，，且，. （1）求，的值；判断并证明该函数的奇偶性. （2）判断函数的单调性，并用定义法证明该函数单调性； （3）解关于（）的不等式. 94．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则　　　　　　. 95．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，为常数. （1）若，证明：； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 96．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）设函数 ，若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 97．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）根据第（1）问的结论，求 的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 98．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求，的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 99．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 100．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.（结果写成集合或区间的形式） 101．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数是奇函数，. （1）求a的值； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求不等式的解集. 102．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）当]时，求函数的最小值； （3）若，存在实数，使f，求b的取值范围. 103．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知函数满足，则的解集为　　　　　. 104．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，有. （1）求的值，并证明：当时，； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求在上的值域. 105．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．    （1）画出函数的图象； （2）求函数的解析式（写出求解过程）． （3）求，的值域． 106．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数 ，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　. 107．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 108．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求m、n的值； （2）证明在上单调递增； （3）求使成立的实数a的取值范围. 109．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知函数，. （1）若，试求函数在区间上的最小值； （2）若，对于任意的，存在，使得，求a的取值范围. 110．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数. （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）求在区间上的最小值的表达式. 111．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知且，函数 在上单调递增，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 112．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，不必说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 113．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数 是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 114．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 115．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数满足对一切x，有，且；当时，有． （1）求的值； （2）判断并证明在R上的单调性； （3）求不等式的解集． 116．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数，，对任意，不等式恒成立，则的最大值为　　　　　. 117．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 118．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数，若，且当时. （1）求，的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 119．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A． （1）判断的图象是否关于点成中心对称； （2）当时，求证：． （3）对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值． 120．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数为区间上的“关联函数”. （1）判断函数在区间上是否为“关联函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“关联函数”，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数为上的“关联函数”，求的值. 121．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知函数为偶函数. （1）求实数a的值； （2）判断的单调性，并证明你的判断； （3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由. 122．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数x都有，则称是与的“隔离直线函数”. 已知函数，. （1）证明：当，有； （2）对任意的时，恒成立，求的值； （3）当时，与是否存在“隔离直线函数”？若存在，请求出“隔离直线函数”解析式；若不存在，请说明理由. 123．（2026·北京房山·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①当时，在定义域上是增函数； ②当时，的单调递减区间为； ③存在实数，使得函数是偶函数； ④若方程有三个不等的实根，则． 其中正确结论的序号为　　　　　　　　　　　． 124．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数和的定义域均为，且满足，. （1）求，； （2）判断的奇偶性； （3）若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形. 125．（2026·辽宁丹东·调研）已知，函数 若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是　　　　　. 126．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知点在幂函数的图象上，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）下列函数是幂函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（       ） A. 2 B.  C. 1 D. 1或 4．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）以下四个命题结论正确的是（     ） A. 幂函数与幂函数的图象均过点，点 B. 当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C. 时的幂函数在其定义域内是减函数 D. 当，，时，幂函数在上为增函数 5．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A. -2 B. -1 C. 2 D. -1或2 6．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）幂函数在上单调递减，则m的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 8．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 16 9．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象经过点，则　　　　　. 11．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数是幂函数，则的取值为　　　　　　. 12．（25-26学年高一上·福建南平·期中）幂函数的图象不经过坐标原点，则　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知幂函数过点，则的解析式为　　　　　　　　　　　　　；若，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 15．（2026·辽宁丹东·调研）写出一个同时满足条件①②③的幂函数　　　　　. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 16．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数　　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求幂函数的解析式； （2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知是幂函数，且在上单调递增. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 19．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本） （1）求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式； （2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； （3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. 2．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数： ，总收入=利润+总成本. （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 3．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. （1）当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 5．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 6．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为： 由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　；2025年公司的最大利润为　　　　　　　　　　　　　万元.（利润=销售额－成本） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．C 10．A 11．BCD 12．C 13．A 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．CD 20．D 21．BCD 22．BCD 23．BC 24．AD 25．C 26．BD 27．A 28．AC 29．【答案】 【分析】 根据函数定义逐步计算求值即可. 【详解】 先计算，再代入. 故答案为： 30．【答案】 【分析】 令被开方数大于等于零和分母不为零列不等式组可得. 【详解】 若函数有意义，则 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 31．【答案】或 【分析】 根据分段函数解析式列式进行求解. 【详解】 依题意， 或 或 ， 解得或. 故答案为：或 32．【答案】且 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则 ， 解得，且； 故函数的定义域为：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 33．【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式，代入即可求值. 【详解】 因为 ，. 故答案为：. 34．【答案】且 【分析】 由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可． 【详解】 根据题意得， ，解得且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 35．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． (1) 小问详解： 令，则， 于是有，所以； (2) 小问详解： 设， 所以 ，解得 ，所以． 36．【答案】6 【分析】 根据代入解得，即可得，进而代入求. 【详解】 因为函数，且， 可知，且，解得， 所以， 由有意义可得， 所以． 故答案为：6. 37．【答案】5 【详解】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值. 【详解】 令，则，. 因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】 求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式. 38．【答案】9 【分析】 先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果. 【详解】 ， 又. 故答案为： 39．【答案】11 【分析】 由解析式即可直接求解. 【详解】 由题意可得，则. 故答案为：11 40．【答案】（1），；     （2）定义域为，值域为 ；      【分析】 （1）由函数图象观察即可得到结果； （2）直接分析函数图象即可得到结果； (1) 小问详解： 由图象知：，； (2) 小问详解： 由图可知，函数的定义域为，值域为； 41．【答案】 【分析】 先得到，从而得到. 【详解】 因为， 所以. 故答案为：. 42．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）已知的解析式，求，只需将替换为，然后按照代数运算规则展开、化简即可. （2）已知为二次函数，设其一般式为，将和分别代入该式，然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的对比对应项的系数，得到关于的方程组，解方程组即可求出的值，即可得的解析式. 【详解】 （1）由题意得. （2）设，则， 整理可得. 由题意得, 所以 ，解得 ， 所以. 43．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【详解】 由函数的定义域为，得，则， 即函数的定义域为，则由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 44．【答案】①     ② 【分析】 根据给定的分段函数，分段判断代入列式计算得解. 【详解】 函数 ，则； 当时，由，得，则， 当时，由，得，解得，不满足，舍去 所以. 故答案为：； 45．【答案】 【分析】 利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】 令，则，所以， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：. 46．【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】 （1）已知函数类型，设，，代入已知条件可求的值. （2）利用换元法求函数的解析式，注意自变量的取值范围. （3）用代替，构造函数方程，解方程组可得的解析式. 【详解】 （1）由题意，可设，. 由. 由， 所以 . 所以. （2）设，则且. 所以，. 所以，. （3）因为①. 用代替，可得②. ①②得：，. 考点02 函数的基本性质 1．B 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B 7．A 8．B 9．C 10．D 11．D 12．CD 13．ABD 14．D 15．B 16．B 17．A 18．B 19．D 20．B 21．ABC 22．A 23．ACD 24．B 25．ABD 26．B 27．A 28．C 29．D 30．ABD 31．D 32．C 33．ABD 34．AD 35．D 36．B 37．C 38．D 39．C 40．BC 41．A 42．D 43．BCD 44．C 45．BCD 46．C 47．D 48．A 49．D 50．A 51．D 52．ABC 53．B 54．D 55．C 56．A 57．BC 58．C 59．C 60．ACD 61．BCD 62．ABD 63．C 64．CD 65．D 66．ACD 67．ACD 68．ABD 69．C 70．【答案】 【分析】 作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】 作出函数的大致图象，如图， 由图可知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调，且，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 71．【答案】（答案不唯一） 【分析】 分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数. 【详解】 若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称， 则函数在上不单调，即丙的说法错误， 乙丁的说法正确，可取； 若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取 . 故答案为：（答案不唯一）. 72．【答案】（1）     （2） 设， ， ，，，， 在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. (1) 小问详解： 为奇函数， . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， . 73．【答案】 【分析】 首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】 由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 74．【答案】和 【分析】 作出的函数图象，根据图象可判断出单调递减区间. 【详解】 因为 ，作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递减区间是和， 故答案为：和. 75．【答案】 【分析】 求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】 函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 76．【答案】（1），0     （2）      （3）      【分析】 （1）根据偶函数得，代入运算得解； （2）先画出函数在上的图象，再根据对称性得上的图象； （3）取验证得解. (1) 小问详解： 由题，可得， . (2) 小问详解： 先画出函数在上的图象，再根据偶函数图象对称性得上的图象； (3) 小问详解： 当时，，即，即， 显然对恒成立. 77．【答案】 【分析】 作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】 因为 ，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 78．【答案】（1）是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数.     （2）证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. (1) 小问详解： 是奇函数，证明略； (2) 小问详解： 略. 79．【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性和在间断点处的连续性可解. 【详解】 是上的单调增函数， 所以 . 故答案为：. 80．【答案】（1），     （2）     （3） 【分析】 （1）2，3为方程的两根，由韦达定理求b，c的值； （2）问题等价于在上恒成立，转化为函数在上的最小值； （3）讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值. (1) 小问详解： 2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于，， 函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递减. 所以时，有最小值0， 所以，实数m的取值范围为. (3) 小问详解： ，函数的对称轴为，开口向上， 若，即，则在上单调递减，； 若，则在上单调递增，； 若，即， 则在上先减后增，， 所以， . 81．【答案】（1）     （2） 函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数.     （3） 任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增.      【分析】 （1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. (1) 小问详解： ∵函数的图象经过两点， ∴ ，解得 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 82．【答案】（1） 是偶函数，证明如下： 的定义域为，，得证.     （2） 任取，且， 则， 因为，则，则，即， 所以函数在上是减函数.     （3）      【分析】 （1）由偶函数的定义验证可得； （2）任取，且，作差验证可证； （3）直接由函数的单调性可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为的定义域为，且， 所以由函数的单调性可得函数的值域为. 83．【答案】（1）.     （2） 由（1）可知. 任取，令，则. 因为，所以. 又，所以，即， 则是上的减函数.     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质以及求解的值. （2）利用函数单调性的定义，设且，通过作差比较和的大小来证明函数的单调性. （3）利用奇函数的性质将不等式进行转化，再结合函数的单调性求解的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为是定义在上的奇函数，所以，得， 则. 由，可得， 则.经检验知，当时，是定义在上的奇函数，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由， 可得. 因为是上的减函数，所以，即恒成立. 当时，显然不可能恒成立. 当时，原不等式为，恒成立. 当时，由恒成立，可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 84．【答案】（1）     （2） 由（1）知，且， 因为，所以，故．     （3） 在上单调递增.证明如下： 取，，且， 则， 当，，时，，，，， 所以，即，所以在上单调递增．      【分析】 （1）根据求解即可； （2）结合函数解析式特征，利用分离常数法求证即可； （3）根据函数单调性的定义求证即可. (1) 小问详解： 因为是偶函数，所以， 则，化简得， 则对恒成立，因为不恒为0， 所以，此时的定义域为，符合题意． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 85．【答案】（1）     （2）是奇函数，证明：的定义域为 ，所以是奇函数.     （3）      【分析】 （1）通过代入求 （2）先计算定义域，定义域关于原点对称且判断是奇函数 （3）将不等式化简，凑出符合基本不等式的形式求最值，结合恒成立要求得范围 (1) 小问详解： 解得： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，即 整理得：， 两边同乘以，得 当时，， 所以上式等价于 因为 当且仅当，即时等号成立 所以的取值范围是. 86．【答案】（1）     （2） 由（1）知， 函数在区间上单调递减，理由如下： 任取，则，， ， 所以，因此函数在区间上单调递减；     （3）      【分析】 （1）借助奇函数性质计算即可得； （2）借助函数单调性定义，任取，计算正负即可得； （3）借助基本不等式计算可得范围，再结合函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 因为的定义域为且是奇函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以，整理得， 因为，，，所以，即，且，， 所以，当且仅当时，取等号， 由，，不能由，得到， 但，时，也有，所以， 由（2）知在区间上单调递减， 所以， 当时，， 又，所以， 所以的取值范围为. 87．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 由幂函数的定义与性质列式即可解; 利用偶函数的性质，结合单调性可解; 将恒成立问题和有解问题转化成最值问题，参变量分离以后即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 ，解得或. 当时，不是偶函数，不合题意; 当时，是偶函数，合题意，故. (2) 小问详解： 因为为偶函数，且在上单调递增， 由得，解得， 故不等式的解集为. (3) 小问详解： 若使得，即 只需存在使得，当时取得最小值5，即 ，即使得成立， 只要，或时取得最大值9， 所以. 88．【答案】1 【分析】 利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意可得函数的定义域为，且为奇函数， 则，即，解得. 故答案为：. 89．【答案】（1）     （2） 函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数.     （3） 在区间上单调递增，证明如下： 设任意，且， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数.      【分析】 （1）根据题意，将的坐标代入函数的解析式，即可得的值； （2）根据题意，先分析函数的定义域，进而判断与的关系即可； （3）根据题意，由作差法结合单调性的定义分析可得答案 (1) 小问详解： 根据题意，函数的图象过点， 则有，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 90．【答案】5 【分析】 根据分段函数解析式，分别确定函数的单调性以及确定和时的值，从而可得当时，时，得的取值范围，从而得的最大值. 【详解】 当时，为增函数，则，且， 当时，，则在上递减，上递增， 且，， 当时，，则，， 故的最大值是. 故答案为：5. 91．【答案】（1），     （2） 为奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为， ， 所以函数是奇函数；     （3）      【分析】 （1）由函数过点(0,1)求解即可； （2）由题意可得，根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； （3）由题意可得，且，求解即可. (1) 小问详解： 依题意，， 解得或， 而，， 故， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 即，① 所以， 又因为为奇函数，为偶函数， 所以，② 由① ② 可得，， 所以. 92．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. (1) 小问详解： 由是偶函数得， 即，解得． (2) 小问详解： 由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 93．【答案】（1） 由题意 ，所以. 因为函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数.     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以即. 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据已知条件求的值，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）利用函数单调性的概念证明函数在给定区间上的单调性. （3）根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以 . 故不等式的解集为. 94．【答案】 【分析】 根据条件先判断出的周期性，然后化简可得，由此可计算出结果. 【详解】 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 95．【答案】（1） 当时，， 所以， 所以成立；     （2）      【分析】 （1）代入，计算出的值即可完成证明； （2）将问题转化为“”，再结合对勾函数性质可求解出的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，即， 令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 96．【答案】 【分析】 利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】 画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 97．【答案】（1）     （2）     （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.      【分析】 （1）根据函数为奇函数，求出，的值； （2）根据（1）的结论，分组相加即可； （3）利用类比推理即可得出. (1) 小问详解： 设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得 ，即， 函数图象的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知， ， ， 且， ； (3) 小问详解： 推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 98．【答案】（1），     （2）因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. (1) 小问详解： 因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，； 当时，，则，所以. 综上， . 99．【答案】（1）     （2）证明： 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （2）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足 ，解得，所以不等式的解集为. 100．【答案】或 【分析】 由分段函数为单调递减函数得到不等式组，解不等式组可得. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故答案为：或. 101．【答案】（1）；     （2） 在上单调递减.证明过程如下： 证明：任取， 则 ， 因为单调递增，所以， 所以，所以， 即在上单调递减.     （3）.      【分析】 （1）根据得到方程，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数表达式可知，在上恒有，在上有，不等式转化为，从而得到不等式组，求出答案. (1) 小问详解： 因为函数是奇函数，所以， 则，解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，则， 因为函数是奇函数，在上单调递减，且在上恒有， 所以在上有. 由可知，不等式可化为. 由在上单调递减，可得：， 由得或，由得， 故或. 所以原不等式的解集为. 102．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域； （2）利用换元法，将求函数的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨论对称轴与给定区间的关系可得； （3）分离参数，利用换元法构造新函数，根据新函数的单调性，求的取值范围，从而求得b的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为；当时最大值为9，故函数的值域为. (2) 小问详解： 令，则，对称轴为. 当时，，则在上单增，所以函数的最小值为； 当时，，则在上单减，在上单增，所以函数的最小值为； 当时，有，则在上单减，所以函数的最小值为. 综上所述， . (3) 小问详解： 由有. 即，所以. 因为，所以. 令当且仅当，即时，等号成立； 因为所以. 令，则是增函数， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 103．【答案】 【分析】 根据已知及解析式确定函数图象的对称中心，可得，进而有，再应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】 由，则的图象关于点对称， 又，则的图象关于点对称， 所以，则，定义域为， 由，则，整理得， 所以或，故解集为. 故答案为： 104．【答案】（1）， 证明：令，则， 当时，，所以，可得，解得.     （2） 法一：由（1）知， ，且，令， 则，则， 因为，所以， 所以在上是增函数. 法二：，且， 所以， 由，得，则，又， 所以，即， 所以在上是增函数.     （3）      【分析】 （1）首先通过已知条件令即可求得的值；再令，可得，然后通过当时，，即可证明结论. （2）法一：应用作商法，结合函数单调性定义判断证明；法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. （3）首先根据已知，通过赋值法求解得：及，然后利用函数的单调性求解函数的值域即可. (1) 小问详解： 令，则， 又，故. 证明略. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，得， 由（1）可得， 因为在上是增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上可得：在上的值域为. 105．【答案】（1）         （2）     （3）      【分析】 （1）作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象，即可得结论； （2）根据奇函数的定义求解析式； （3）由函数图象得函数的单调性，从而可得最大值和最小值，即得值域． (1) 小问详解： 先作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象： (2) 小问详解： 是奇函数，时，，， 所以， 所以 ； (3) 小问详解： 由（1）可知在和上是增函数，在上是减函数， ，，，，因此最大值为1，最小值为， 所以的值域为． 106．【答案】② ③ ④ 【分析】 根据所给函数，结合函数的性质等，逐一分析① ② ③ ④ ，即可得答案. 【详解】 对于① ：由题意得取值为0或1，即值域为，故① 错误； 对于② ：因为，，为有理数，所以，故② 正确； 对于③ ：当x为有理数时，也都是有理数，所以， 则， 当x为无理数时，也都是无理数，所以， 则，所以，故③ 正确； 对于④ ：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数， 所以，，则， 当x为无理数时，则为无理数， 所以，则， 所以对任意恒成立，故④ 正确. 故答案为：② ③ ④ 107．【答案】（1），；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，，， ，，，故， 即，所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）由，求得，并检验； （2）利用函数的单调性定义判断； （3）求出集合，由题可得真包含于，列出不等式求解. (1) 小问详解： 由题，可得 ，即 ，解得 ， ，，满足题意. . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）在上单调递增，且，， ， 又函数在上单调递增，故， 若是的充分不必要条件，即真包含于， ，解得. 所以实数的取值范围为. 108．【答案】（1），     （2） 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，，即， 所以，即，即， 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，结合列式求得答案； （2）利用定义法可证明函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可. (1) 小问详解： 由题意，可得 ，解得. 此时，，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意. 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知，函数是奇函数且在上单调递增. 所以，即， ，解得， 所以实数a的取值范围为. 109．【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）将函数变形，利用基本不等式求最值； （2）求出函数和的值域，问题转化为在上的值域是在上的值域的子集求解. (1) 小问详解： 当时，， ， 因为，所以， ，当且仅当，即时，取等号， 所以函数在区间上的最小值为12. (2) 小问详解： 函数，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上的值域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数在上的值域为， 若对于任意的，存在，使得， 即在上的值域是在上的值域的子集， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 110．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由二次函数的对称轴，求出单调区间即可求出值域； （2）分类讨论区间上函数的最小值点，得最小值的表达式； (1) 小问详解： 当时，，其对称轴，开口向上， 则在上单调递减，在上单调递增； 所以，； 函数在区间上的值域为， (2) 小问详解： 由题意，函数，则二次函数的对称轴为， 若时，，在区间上单调递增， 当时，的最小值为； 若时，，在区间上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为； 若时，，在区间上单调递减， 当时，的最小值为； 所以 ； 111．【答案】 【分析】 先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半段函数在端点处的最小值即可求得. 【详解】 因为在上单调递增，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 112．【答案】（1）①     （2）①②或      【分析】 （1）结合定义逐项计算最大值与最小值的差即可得； （2）① 分与讨论函数在时的最大最小值即可得；② 结合定义，分、与讨论即可得. (1) 小问详解： ① 因为，所以，所以， 得，故是在上的“美好函数”； ② 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； ③ 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； (2) 小问详解： ① 由题得， 当时，可知， 所以，当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有； 当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故； ②时，函数，可知此时， 函数的图象的对称轴为直线且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增， 所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数”，所以有； 令，解得或， 所以此时（舍去），或（舍去）， 当时，此时函数在上单调递增， 此时，，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 综上所述：或. 113．【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数”     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. (1) 小问详解： 因为，解得， 所以区间内存在实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. (2) 小问详解： 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即① ， 当时，，则，即②. 所以① 或② 有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. (3) 小问详解： 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以. 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 114．【答案】（1），     （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则 因为，所以，，， 所以， 所以，即， 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据题目条件函数是定义在上的奇函数，，即可求出实数的值； （2）判断函数为增函数，再根据函数定义法取取任意，且，证明即可； （3）根据函数的单调性和奇偶性即可求出使成立的实数的取值范围. (1) 小问详解： 由题意可知，故， 又由可得，解得； 此时定义域为，关于原点对称， 且，故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足 ，解得 ， 即， 故实数a的取值范围为. 115．【答案】（1）3     （2） 为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，令，可得，令，可得， ，再令，求得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. (1) 小问详解： 由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即 ，解得，所以不等式的解集为. 116．【答案】1 【分析】 将不等式转化为，结合可得，换元令，则不等式转化为，设，结合函数单调性求最值即可得的取值范围结合，从而得的最大值. 【详解】 不等式即为， 整理得， 因为，两边同除以得， 令，不等式可转化为， 设，对恒成立， 因为，所以，则在上单调递减， 所以，解得，又， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 117．【答案】（1），     （2） ，偏差最小值为     （3） 法1：要证是在上在切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证，即证， 设，则，，， 所以，即， 当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有， 即（1），（2），（3）， 由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3：记直线，设， 因为，所以，要使取到最小值，则 ， 解得，，所以直线是函数在上的最佳逼近.      【分析】 （1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解． (1) 小问详解： 记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； (2) 小问详解： 设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. (3) 小问详解： 略 118．【答案】（1），，     （2）在上单调递减，证明： 在中任取， 则， 由，， 所以，， 则，故在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）根据函数解析式与已知条件建立等式关系求解，的值，即可得的解析式； （2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号证明单调性即可； （3）根据函数的奇偶性与，结合单调性将不等式转化为，根据不等式恒成立，从而可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由题知：，得，即， ， 则，， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）同理可知，在单调递增， 易知为奇函数，又由， 要使，即， 所以，则， 又，所以，当且仅当，即时，， 所以. 119．【答案】（1）的图象关于点成中心对称     （2） 设， 则， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数， 所以当时，，即．     （3）      【分析】 由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。 可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明 由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得 (1) 小问详解： 因为， 所以． 由定义可知，的图象关于点成中心对称． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为构造过程可以无限进行下去， 所以对任意恒成立， 即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解， 所以 或 ，解得． 【点睛】 本题侧重考查逻辑推理、数学运算素养．对逻辑推理的考查主要体现在利用定义推理得到结论，对数学运算的考查主要体现在推理过程中的计算． 120．【答案】（1）在区间上不是“关联函数”，理由如下： 由题知：对任意，都存在，使得， 设函数在区间上值域在区间上值域，则， 因为函数在区间上是增函数，所以值域， 函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不是“关联函数”.     （2）     （3）或.      【分析】 （1）通过“关联函数”的定义，分别求解函数及在区间上的值域，通过判断两个函数值域的子集关系即可判断是否为“关联函数” （2）通过“关联函数”的定义可得：对任意，都存在，使得，可得，然后由可以求得：，进而可得：，最后根据子集关系求解参数取值范围即可； （3）首先分、及三种情况，分别根据函数的单调性求解函数及函数的值域，然后根据“关联函数”的定义确定两个函数值域的子集关系，最后根据实数的唯一性求解参数的值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数为区间上的“关联函数”， 所以对任意，都存在，使得，可得， 因为，所以， 又，所以， 即 解得， 因此实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的值域为，即， 的对称轴为直线，且开口向下， ① 当时，在上单调递减，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ② 当时，在上单调递增，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ③ 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又， （i）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意. 综上所述，的值为或. 121．【答案】（1）； （2）当时，， 则函数在上为增函数，在上为减函数， 证明：设， 则， ， ，， ， 即， 故在上为增函数； 同理可证在上为减函数； （3）存在，. 【分析】 （1）由偶函数的定义即可求得a的值； （2）用函数单调性的定义即可判断并证明； （3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可. 【详解】 （1）函数为偶函数， ， 即， ； （2）略 （3）函数在上为增函数， 若存在实数，使得当时， 函数的值域为， 则满足 ，即 ， 即m，n是方程的两个不等的正根， 则满足 ， 解得， 故存在，使得结论成立. 【点睛】 易错点点睛： ，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意. 122．【答案】（1） 因为 ， 因为， 所以，当时，等号成立； 所以， 即， 所以     （2）；     （3） 假设存在“隔离直线函数”， 当时， ， 当时，等号成立， 所以在上恒成立，当时，等号成立， 又， 所以“隔离直线函数”必过点， 所以， 由题意可得 在上恒成立， 即 在上恒成立， 由在上恒成立， 可得在上恒成立， 令， 解得 ， 要使在上恒成立， 则，解得， 此时； 当在上恒成立， 即在上恒成立， 当，即时， 则有在上不恒成立，不满足题意； 当时， 令， 解得 ， 要使在上恒成立， 则有，且， 解得，满足， 此时； 综上，， 所以与存在“隔离直线函数”，为. 【分析】 （1）用作差法证明即可； （2）由题意可得在R上恒成立，由求解即可； （3）假设存在“隔离直线函数”，先用作差法判断出在上恒成立，当时，等号成立，从而可得“隔离直线函数”必过点，则有，最后根据定义得 在上恒成立，解出的值，即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在R上恒成立， 即在R上恒成立， 所以， 解得； (3) 小问详解： 略 123．【答案】① ② ④ 【分析】 对于① ，画出时的函数图象，得到① 正确；对于② ，画出函数图象，得到② 正确；对于③ ，由函数奇偶性的定义得不存在实数，使得函数是偶函数，③ 错误；对于④ ，分别考虑，和三种情况，数形结合得到答案. 【详解】 对于① ，当时， ， 的定义域为R，且画出的图象如下，    显然在定义域上是增函数，① 正确； 对于② ， ， 其中的开口向上，对称轴为， 开口向下，对称轴也为， 当时，画出的图象，如下：    则的单调递减区间为，② 正确； 对于③ ，定义域为R，其中， 无论取何值，均不能使恒成立，即不能恒成立， 不存在实数，使得函数是偶函数，③ 错误； 对于④ ，当时，由① 知，与只有1个交点， 方程只有1个实根，不合要求； 当时，由② 知，与只有1个交点， 方程只有1个实根，不合要求； 当时，画出的图象如下：    要想方程有三个不等的实根，则，又， 解得，④ 正确． 故答案为：① ② ④ 124．【答案】（1），     （2）奇函数     （3），证明见解析      【分析】 （1）赋值得，，联立两式即可求解； （2）根据已知结合奇函数定义证明即可； （3）根据对称性和已知求得，只需证明或即可. (1) 小问详解： 将代入，得. 将代入，得. 联立上述两式，解得，. (2) 小问详解： 由，得， 因为，所以， 因为的定义域为，所以为奇函数. (3) 小问详解： 思路1：由，且的图象关于直线对称， 则. 又，所以，从而. 由（2）得，故，从而. 由，得， 由，得， 所以， 因此的图象关于点成中心对称图形. 思路2：由，得， 因为，所以. 由的图象关于直线对称，得， 由（2）得，故. 由，得， 因为，所以 由，，得， 从而，可得，即. 由，得的图象关于点成中心对称图形. 由，得，所以. 125．【答案】 【分析】 先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可. 【详解】 . 因为，则，，所以， 要是的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集非空集， 故. 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 126．【答案】 【分析】 根据题目条件求出的最小值小于的最小值即可求出实数的取值范围. 【详解】 已知， 条件：使得，则条件等价于 求，是一个开口向上的二次函数， 对称轴介于区间内，故， 求，，对称轴 ：对称轴，在上递增，最小值在：， ：对称轴在内，最小值在：， ：对称轴，在上递减，最小值在：， 求， ： ，得， ：， 即， 恒成立，所以全成立， ：， 对恒成立，得， 综合可得： 故答案为： 考点03 幂函数 1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．A 9．A 10．【答案】2 【分析】 待定系数法求出的解析式即可. 【详解】 设幂函数 ，其中  为常数， 函数图象经过点 ， 因此，有：， 解得：. 所以，幂函数为 . 故. 故答案为：2 11．【答案】 【分析】 由幂函数定义可得结果. 【详解】 由幂函数定义可知，，解得， 故答案为：. 12．【答案】2 【分析】 利用幂函数的定义可求得的值，结合题意检验即可得结论. 【详解】 因为是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象不经过坐标原点； 当时，，图象经过坐标原点. 综上所述：. 故答案为：2. 13．【答案】①     ② 5 【分析】 利用待定系数法求幂函数解析式，由基本不等式求最值. 【详解】 设， 因为幂函数过点，则，解得， 所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：；5 14．【答案】 【分析】 设幂函数，代入已知点求出，确定函数解析式；然后分析该幂函数的单调性和奇偶性；最后将不等式利用奇偶性转化，再结合单调性得到关于的不等式，即可求解. 【详解】 由题意可设，由于函数的图象过点，故，所以， 即，所以函数在上单调递增，且为奇函数. 由可得，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 15．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】 令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 16．【答案】 【分析】 根据幂函数系数为并结合单调性即可求解. 【详解】 由题意得，解得或， 当时，在上递减，不符合题意； 当时，在上递增，符合题意； 故答案为：. 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由幂函数和偶函数的性质求解即可； （2）构造，问题转化为，结合二次函数的性质分析即可； (1) 小问详解： ∵幂函数为偶函数 ∴    即，解得或， 当时，为偶函数，符合条件；   当时，为奇函数，不符合条件； ∴函数的解析式是. (2) 小问详解： 由（1）知，，则 由，得，即， 令，依题意，对任意，恒成立， ∴      ∵函数在上单调递减， ∴，故， ∴实数的取值范围是. 18．【答案】（1）；     （2） 在上单调递增，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，所以， 因为，所以，故， 故，在上单调递增；     （3） ，理由如下： 由（2）知，在上单调递增， 故，即， 即      【分析】 （1）根据幂函数定义和单调性得到方程和不等式，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）在（2）基础上，得到，故. (1) 小问详解： 由题意得，解得或， 在上单调递增，故，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 19．【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 考点04 函数的应用（一） 1．【答案】（1）     （2）22元/件     （3）100万元      【分析】 （1）先求出总成本和总收入，进而求出利润的解析式即可. （2）先列出不等式，然后化简求解即可. （3）先求出第二年的总成本，然后列出第二年的利润表达式，根据二次函数的性质和售价的范围确定利润的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意可知，制造成本为万元，那么总成本为， 销售总收入为万元， 所以利润为. 即. (2) 小问详解： 由题意知，，所以， 化简得，即， 因为，所以. 因此该电子产品第一年的售价为22元/件. (3) 小问详解： 第二年制造成本为元/件，直接成本是第一年的利润万元， 所以总成本为万元，则第二年利润. 因为第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，所以. 对于二次函数，其对称轴为. 因为二次项系数，所以函数图象开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小， 所以当时，有最大值，万元， 因此，第二年利润的最大值为100万元. 2．【答案】（1）     （2）当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元.      【分析】 （1）分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果； （2）首先可根据得出 ，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. (1) 小问详解： 依题设知，总成本为元， 则 ； (2) 小问详解： 产品的单位利润 当时，， 当且仅当即时，； 当时，是减函数，所以. 所以当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 3．【答案】（1）第2年     （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备， 总利润为万元； 综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.      【分析】 （1）设为前n年的总盈利额，，根据，解不等式得到答案. （2）根据二次函数性质和均值不等式分别计算总利润，得到总利润相同，再比较时间得到答案. (1) 小问详解： 设为前n年的总盈利额， ， 由得，又，故该设备从第2年开始实现总盈利； (2) 小问详解： 略 4．【答案】（1）不盈利，5000元到20000元     （2）400吨      【分析】 （1）当时，该项目获利，说明不获利；当，时，取得最大值，要使该单位不亏损，从而得国家需要补偿资金的范围； （2）分段讨论，①当时，求出的最小值；②当时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低． (1) 小问详解： 当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. (2) 小问详解： 由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ① 当时，， 所以当时，取得最小值240； ② 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 5．【答案】（1）     （2）年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 6．【答案】①     ② 1680 【分析】 （1）分和两种情况，进行求解利润函数； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】 当时，； 当时，， ． 若，当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 故答案为： ；1680. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 解不等式组 即得解. 【详解】 解：由题得 且. 所以函数的定义域为. 故选：D 2．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】 由 ，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数 ，则（       ） A. 5 B. 12 C. 7 D. 2 【答案】A 【分析】 根据分段函数的概念代入求值. 【详解】 由题可知，， ，. 所以. 故选：A 4．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶次根式被开方数大于等于0及分母不为0，即可求得答案. 【详解】 由题意得 ，解得且， 所以定义域为. 故选：D 5．（25-26学年高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】 由题意得 ，解得， 故定义域为. 故选：B 6．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】 对于， 有 ，解得且， 则的定义域为. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·福建南平·期中）若函数，则（       ） A. 2 B. 0 C. 12 D. 20 【答案】A 【分析】 令，得，进而代值计算即可. 【详解】 令，得，则. 故选：A 8．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】 由，解得，所以函数的定义域为． 故选：C 9．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据具体函数的定义域求解. 【详解】 由题可得，为分母即：， 解得：，综合可得，且. 故选：C 10．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由有意义列不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】 由有意义可得 ， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：A. 11．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列各组函数中，表示的是同一函数的有（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【分析】 根据同一函数定义域相同，对应关系一致讨论各选项即可. 【详解】 解：对于A，的定义域为，的定义域为，故不满足，错误； 对于B，与的定义域为，且，满足同一函数定义，正确； 对于C，与 的定义域为，且 ，满足同一函数定义，正确； 对于D，与定义域为，对应关系相同，满足同一函数定义，正确； 故选：BCD 12．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 ，则（       ） A. 16 B. 8 C. 2 D. -2 【答案】C 【分析】 由分段函数解析式即可求解. 【详解】 由解析式可得：， 故选：C 13．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先计算出的取值范围，再根据的取值范围与的取值范围相同以及分母不为，即可求解出的定义域. 【详解】 因为的定义域为，所以， 所以中 ，解得， 所以的定义域为， 故选：A. 14．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数 ，则（       ） A.  B. 3 C. 1 D. 19 【答案】B 【分析】 根据已知函数解析式可先求，然后代入可求. 【详解】 由 ，则. 故选：B 15．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（          ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据相同函数的概念逐项判断即可. 【详解】 对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由 ，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误. 故选：C 16．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解. 【详解】 对于A，，，所以两函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故C错误； 对于D，可知两个函数的定义域均为，且 ， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选：D. 17．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 7 【答案】B 【分析】 利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可. 【详解】 由题意，得，则，故. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】 因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由 ，解得且， 故的定义域为. 故选：D 19．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 函数表示的是同一函数 C. 若，则 D. 若奇函数在有最小值4，则在有最大值 【答案】CD 【分析】 利用赋值法计算可判断A，根据同一函数定义判断B；利用方程组法求出函数解析式可判断C正确，根据奇函数的图象对称性特征可判断D. 【详解】 对于A，令，解得，代入得，A选项错误； 对于B，易知，定义域，定义域，函数定义域同，B选项错误； 对于C，因为，令可得， 可得， 整理得，C选项正确； 对于D，奇函数满足，图像关于原点对称， 设，则，因为在有最小值4，故， 即，，在有最大值，D选项正确. 故选：CD 20．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的定义域是，则的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据的定义域，求出的定义域，再据此确定的定义域. 【详解】 已知函数的定义域为，， 则的取值范围为，即的定义域为. 对于函数，由 ， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 21．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【分析】 分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【详解】 对于选项A：函数的定义域为，的定义域为， 所以两个函数不相等，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，的定义域为， 且，所以两个函数相等，故B正确； 对于选项C：函数的定义域为， 的定义域为， 且 ，所以两个函数相等，故C正确； 对于选项D：函数的定义域为，而的定义域为， 但是，所以两个函数相等，故D正确； 故选：BCD. 22．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）下列各选项给出的数学命题中，正确的有（       ） A. 集合，表示相等集合 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 根据集合描述法结合函数定义域与值域化简集合，即可判断集合是否相等，从而判断A；利用待定系数法求解一次函数解析式即可判断B；根据函数结构分离函数结合函数单调性求值域即可判断C；根据一元二次不等式的解集确定参数关系，从而解新的一元二次不等式即可判断D. 【详解】 对于A，集合，，故两个集合不相等，故A不正确； 对于B，若是一次函数，则， 所以， 则 ，解得 ，所以，故B正确； 对于C，函数，则函数在上单调递增， 当时，，又，故函数的值域为，故C正确； 对于D，若关于的不等式的解集为， 则 ，所以 ， 则不等式转化为， 即，解得， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 23．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数 B. 若，则 C. 函数的图象与直线最多有1个交点 D. 若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 【答案】BC 【分析】 根据函数的定义、定义域和值域的性质判断ACD，根据解析式求值判断B. 【详解】 对于A，要使有意义，则 ，即 ，无解， 所以式子不可表示自变量为x、因变量为y的函数，错误； 对于B，因为，所以，正确； 对于C，根据函数定义，在定义域内任意x只能对应唯一的函数值y， 所以函数的图象与直线最多有1个交点，正确； 对于D，对于函数，值域只含有一个元素1，但是定义域为全体实数，错误. 故选：BC 24．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）下列选项中，错误的是（       ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 集合真子集的个数是15 C. 在右图所示的Venn图中，阴影部分可表示为 D. 某超市一天的销售额与客流量之间的关系是函数关系 【答案】AD 【分析】 根据同一函数的定义域和对应法则相同判断A；由集合的真子集与元素个数的关系判断B；由韦恩图确定阴影部分的数学表达式判断C；根据相关关系与函数关系的区别判断D. 【详解】 A：的定义域为，的定义域为，不是同一函数，错； B：由共有4个元素，则其真子集有，对； C：由题图知，阴影部分在集合外部，则可表示为，对； D：由客流量相同的情况下，销售额不一定相同，反之亦然，但客流量越大，销售额相对较高， 所以超市一天的销售额与客流量之间的关系具有相关关系，不一定有函数关系，错. 故选：AD 25．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先根据抽象函数定义域的求法求得：，再根据分母不能为零得：，最后联立即可求解函数定义域. 【详解】 由的定义域为，可得：，解得：. 所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C. 26．（25-26学年高一上·四川成都·期中）（多选）下列各组函数中，是同一函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【分析】 通过函数定义域及对应关系逐个判断即可. 【详解】 对于A，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，错误； 对于B，的定义域为， 的定义域为，同一函数，正确； 对于C，和，对应关系不一样，不是同一函数，错误； 对于D，与的定义域都是，对应关系一样，同一函数，正确； 故选：BD 27．（25-26学年高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解. 【详解】 函数的定义域为R，可知的解集为R， 若，则不等式恒成立，满足题意； 若，则 ，解得． 综上可知，实数m的取值范围是． 故选：A． 28．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知函数 ，则下列关于函数的结论正确的是（     ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【分析】 对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】 对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 29．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数定义逐步计算求值即可. 【详解】 先计算，再代入. 故答案为： 30．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）函数的定义域为　　　　　. 【答案】 【分析】 令被开方数大于等于零和分母不为零列不等式组可得. 【详解】 若函数有意义，则 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 31．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知 ，若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据分段函数解析式列式进行求解. 【详解】 依题意， 或 或 ， 解得或. 故答案为：或 32．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）函数的定义域是　　　　　　　　. 【答案】且 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则 ， 解得，且； 故函数的定义域为：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 33．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数 ，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式，代入即可求值. 【详解】 因为 ，. 故答案为：. 34．（2026·北京房山·一模）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可． 【详解】 根据题意得， ，解得且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 35．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． (1) 小问详解： 令，则， 于是有，所以； (2) 小问详解： 设， 所以 ，解得 ，所以． 36．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数，且，则　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据代入解得，即可得，进而代入求. 【详解】 因为函数，且， 可知，且，解得， 所以， 由有意义可得， 所以． 故答案为：6. 37．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数，若，则　　　　　　　　. 【答案】5 【详解】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值. 【详解】 令，则，. 因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】 求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式. 38．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知 ，求　　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果. 【详解】 ， 又. 故答案为： 39．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知函数 则　　　　　　. 【答案】11 【分析】 由解析式即可直接求解. 【详解】 由题意可得，则. 故答案为：11 40．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的图象如图所示.        （1）求，； （2）求函数的定义域和值域. 【答案】（1），；     （2）定义域为，值域为 ；      【分析】 （1）由函数图象观察即可得到结果； （2）直接分析函数图象即可得到结果； (1) 小问详解： 由图象知：，； (2) 小问详解： 由图可知，函数的定义域为，值域为； 41．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数 则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先得到，从而得到. 【详解】 因为， 所以. 故答案为：. 42．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）已知的解析式，求，只需将替换为，然后按照代数运算规则展开、化简即可. （2）已知为二次函数，设其一般式为，将和分别代入该式，然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的对比对应项的系数，得到关于的方程组，解方程组即可求出的值，即可得的解析式. 【详解】 （1）由题意得. （2）设，则， 整理可得. 由题意得, 所以 ，解得 ， 所以. 43．（25-26学年高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【详解】 由函数的定义域为，得，则， 即函数的定义域为，则由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 44．（2026·北京房山·一模）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　；若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据给定的分段函数，分段判断代入列式计算得解. 【详解】 函数 ，则； 当时，由，得，则， 当时，由，得，解得，不满足，舍去 所以. 故答案为：； 45．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】 令，则，所以， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：. 46．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】 （1）已知函数类型，设，，代入已知条件可求的值. （2）利用换元法求函数的解析式，注意自变量的取值范围. （3）用代替，构造函数方程，解方程组可得的解析式. 【详解】 （1）由题意，可设，. 由. 由， 所以 . 所以. （2）设，则且. 所以，. 所以，. （3）因为①. 用代替，可得②. ①②得：，. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·四川成都·期中）如图所示，函数的单调递减区间为（       ） A.  B. 和 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】 由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 2．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据函数值的正负及定义域判断即可. 【详解】 由于，排除AD， 而的定义域为，排除C，故B满足题意. 故选：B 3．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 借助排除法，判断出函数奇偶性后利用对勾函数性质得到函数单调性即可得. 【详解】 由，又定义域为， 故为奇函数，故可排除B； 当时，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 故可排除C、D. 故选：A 4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据给定的扇形，结合该同学的速度一定，离家距离的变化情况判断即可得结论. 【详解】 由题意可知，该同学速度一定，从家出发时在一定时间内离家距离均匀增加， 到达扇形的弧上时，离家距离不变，最后一段沿扇形的半径往家的方向走时， 离家距离均匀减小，只有D选项符合题意，ABC均不符合题意. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）下列函数是偶函数，且在区间上是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据偶函数定义判断各选项是否为偶函数，再判断在区间的上的单调性. 【详解】 A.令，则，是偶函数且在区间单调递减，A选项正确； B.令，则，是偶函数但在区间单调递增，B选项错误； C.令，则，非奇非偶函数，C选项错误； D.令，则，非奇非偶函数，D选项错误； 故选：A 6．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的奇偶性进行判断. 【详解】 对A：因为函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故A不满足题意； 对B：因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故B满足题意； 对C：因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不关于原点对称，故C不满足题意； 对D：因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不关于原点对称，故D不满足题意. 故选：B 7．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】 由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 8．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）若函数 是上的单调函数，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据的开口方向，确定分段函数在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围. 【详解】 因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在上的单调递增，所以要满足： ，解得： 故选：B 9．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC. 【详解】 由图可知，函数为奇函数，且定义域不是. 对于B，的定义域为，故B错误； 对于D，，即该函数为偶函数，故D错误； 对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确； 故选：C 10．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出函数的对称轴，根据函数得单调性求出的范围即可. 【详解】 函数， 所以的单调递增区间是，依题意知，， 所以，即实数的取值范围是 故选：D． 11．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 任意一个非零有理数T，对任意恒成立 【答案】D 【分析】 根据函数解析式一一判断即可； 【详解】 解：因为 ，所以函数的定义域为，值域为，故A、B错误； 因为或且与均为有理数，所以或，故C错误； 对于任意一个非零有理数，若为有理数，则也为有理数，则； 若为无理数，则也为无理数，则； 综上可得任意一个非零有理数，对任意恒成立，即D正确； 故选：D 12．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）给出下列四个命题是真命题的是（       ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； C. 函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到； D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为； 【答案】CD 【分析】根据函数有关的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，定义域为，定义域为，所以两个函数不是同一函数，A选项是假命题. 对于B选项，奇函数在处不一定有定义，所以B选项是假命题. 对于C选项，根据函数图像变换的知识可知C选项是真命题. 对于D选项，函数的定义域为，则函数满足，即函数的定义域为，所以D选项是真命题. 故选：CD 【点睛】本小题主要考查函数相同的概念，考查奇函数的性质，考查函数图像变换，考查抽象函数定义域的求法，属于基础题. 13．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（       ） A.  B. 是奇函数 C. 是增函数 D.  【答案】ABD 【分析】 对于选项A和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有即可判断； 对于C：举反例即可判断；对于D：分别令和即可判断. 【详解】 对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 14．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 【详解】 由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 15．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的图象可以由函数的图象（       ）而得到. A. 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 【答案】B 【分析】 根据图象平移前后的解析式确定平移过程即可. 【详解】 由的图象向左平移2个单位得的图象， 再将的图象向上平移1个单位得的图象. 故选：B 16．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）函数的单调递增区间为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】 由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 17．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】 因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 18．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】 ，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 19．（2026·北京房山·一模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 A. 利用反比例函数的性质判断；B. 利用二次函数的奇偶性判断；C. 利用幂函数的性质判断；D. 利用奇函数定义及单调性判断. 【详解】 A. 由反比例函数的单调性得在上递减，故错误； B. 因为定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误； C. 由幂函数的定义域为不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故错误； D. 因为满足，所以函数是奇函数，且根据一次函数的单调性得函数在区间上单调递增，故正确； 故选：D 20．（25-26学年高一上·福建南平·期中）函数的大致图象为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分析函数的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，排除AD选项； 令可得或， 所以方程在上的零点有且只有三个，排除C选项. 故选：B. 21．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（       ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D.  【答案】ABC 【分析】 结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的性质，由此可判断每个选项的正误. 【详解】 根据图像可知，当时，，故A正确； 在，上单调递减，在上单调递增， 所以根据奇函数性质可，函数在上单调递减，在上单调递增，故BC正确； 由于在上递增，所以，故D错误. 故选：ABC. 22．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数 是R上的增函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，要使函数是R上的增函数，其每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可. 【详解】 由题意得 ，解得. 故选：A. 23．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的一个函数为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=，函数g(x)=[f(x)]，以下结论正确的是（       ） A. f(x)在R上是增函数 B. g(x)是偶函数 C. f(x)是奇函数 D. g(x)的值域是{-1，0} 【答案】ACD 【分析】 A选项，分离常数后，结合指数函数的单调性得到结论；B选项，举出反例；C选项，利用函数奇偶性的定义进行判断；D选项，利用指数函数的性质以及高斯函数的定义求出值域. 【详解】 A选项：因为， 又在R上单调递增且恒大于0，故在R上单调递增，A正确； B选项：因为，且， 所以，， 所以，故不是偶函数，B错误； C选项：定义域为R，且， 故是奇函数，C正确； D选项：因为，则， 所以， 当时，则， 当时，则， 所以， 故的值域是，D正确. 故选：ACD 24．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可得在上单调递增，再由函数为奇函数，可得在上单调递增，且，由此可求出和的解集，从而可求得结果． 【详解】 因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，；当或时，， 所以当或时，， 所以不等式的解集为． 故选：B． 25．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. “”是“”的充要条件 B. 若，则且 C. 若函数为上的减函数，则也为上的减函数 D. 若函数为偶函数，则的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】 利用集合的关系与交集的意义可判断A；利用交集的意义可判断B；利用复合函烽的单调性可判断C；利用函数图像的变换可判断D. 【详解】 对于A，由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B，因为，所以集合必有公共元素，故且，故B正确； 对于C，因为函数为上的减函数，则由复合函数的单调性可知为上的增函数，故C错误； 对于D，若函数为偶函数，则函数图像关于直线对称， 又函数是函数图像向左移动一个单位而得到的， 故的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 26．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，若正实数满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 7 【答案】B 【分析】 判断是奇函数，且在定义域上单调递增，结合基本不等式求值. 【详解】 由题可得是奇函数，且在定义域上单调递增， 又，则， 即 代入得： 仅且仅当 ，即时取等， 故选：B 27．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.若对所有x\in \left[-1,1\left\right],t\in \right[-1,1]恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. \left[-1,1\left\right]\cup \right[4,+\mathrm{\infty }) 【答案】A 【分析】 先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质求实数取值范围. 【详解】 已知在上是奇函数，且，对任意，有 因此在上严格递减， 由奇函数性质得，所以， 不等式等价于， 即，令， 当时，递减，最小值在处： ， 得或，结合得或， 当时，递增，最小值在处： ， 得或，结合得或， 当时，成立，取并集得：. 故选：A 28．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如\left[3.24\left\right]=3,\right[-1.5]=-2.那么不等式成立的必要不充分条件可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，由高斯函数的定义，即可得到结果. 【详解】 先令可得：， 所以，解得， 因为是整数，所以， 即时，，时，， 整理得：， 题目要求满足不等式成立的必要不充分条件，只有符合必要不充分条件. 故选：C 29．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】 函数在上单调递增，依题意， ，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 30．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则满足（       ） A.  B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【分析】 利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即，所以， 所以，函数为上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对. 故选：ABD. 31．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）函数的图象大致为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由特殊点函数值即可判断. 【详解】 因为， 结合图象只有D符合， 故选：D 32．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据奇函数的图象特征补全图象，再应用符号法列不等式组，进而应用数形结合求解不等式即可. 【详解】 根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示， 由，得， 等价于 或 解得或，或． 故不等式解集为． 故选：C. 33．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 函数与函数是同一函数 B. 若且，则的最小值为 C. 函数是奇函数也是单调递减函数 D. 函数，的最大值为，则 【答案】ABD 【分析】 A：根据两个函数的定义域和对应关系是否相同作出判断；B：将原式化为，利用基本不等式求解出最小值；C：根据的解析式直接作出判断即可；D：分类讨论时在上的最大值，由此求解出的取值范围并判断. 【详解】 对于A：因为，所以的定义域和对应关系都相同， 所以是同一函数，故正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，此时，所以的最小值为，故正确； 对于C：是奇函数但在定义域上不是单调递减函数，故错误； 对于D：的对称轴为， 当时，在上单调递增，所以，符合条件， 当时，在上单调递减，所以，不符合条件， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若使得最大值为，则，解得，即， 由上可知，满足条件的的取值范围是，故正确； 故选：ABD. 34．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（     ） A. 且函数是奇函数 B. 函数是上的单调递增函数 C. 当时， D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】 A：令可求，令可证明奇偶性；B：根据结合条件构造出，然后判断出正负即可知的单调性；C：根据条件将变形，结合可求；D：根据单调性和奇偶性先将问题转化为“”，构造新函数并求出，则的取值范围可求. 【详解】 对于A：令，则，所以， 令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：对任意且， 因为，所以， 因为当时，，且，所以， 所以，所以， 所以函数是上的单调递减函数，故B错误； 对于C：由条件可知，， 所以，故C错误； 对于D：因为，且函数是上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，所以，故D正确； 故选：AD. 35．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数 是单调递增函数，则的取值集合是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 考虑在所给区间上的单调性以及分段点处函数值的大小关系，由此可得结果. 【详解】 因为在上单调递增，所以对称轴，即， 因为，即在上单调递增，所以，即， 还需满足，解得， 由上可知，若是单调递增函数，则， 故选：D. 36．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）对任意两个实数，定义 ，若，则下列关于函数的说法错误的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个根 C. 不等式的解集为(1，2) D. 函数的值域为 【答案】B 【分析】 根据定义写出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项. 【详解】 由题意可得， ， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知，为偶函数，故A正确； 方程有三个解，故B错误； 由 ，当时，解得，可得交点坐标， 由 ，当时，解得，可得交点坐标 由图像可知：的解集为(1，2)，故C正确； 由图可知，的最大值为，值域为，故D正确. 故选：B 37．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知四个函数①②③④中，既是偶函数又是在区间上单调递减的是（     ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【分析】 由函数解析式即可直接判断单调性，再由奇偶性的定义即可求解. 【详解】 当时，，单调递减， 函数定义域为，显然由，偶函数，符合， 当时，单调递增，不符合， 的定义域为， ，奇函数，不符合 当时，，单调递减， 函数定义域为R， ，偶函数，符合， 故选：C 38．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先可得在上单调递增，即可得到在上单调递增，再分类讨论求解不等式，即可得答案. 【详解】 不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， 当时，不等式等价于，等价于，解得； 当时，不等式等价于，等价于，解得； 当时，，显然不满足，故不符合题意； 综上可得，不等式的解集为. 故选：D 39．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）定义 ，若，则的最大值为（       ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【分析】 求的解析式，根据解析式求的最大值. 【详解】 由. 所以 . 所以：当时，； 当时，； 当时，. 综上可知：的最大值为9，当时取“”. 故选：C 40．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）已知函数（其中表示不超过x的最大整数），则下列选项不正确的是（       ） A.  B. 函数的值域为 C. 函数是增函数 D. 方程无解 【答案】BC 【分析】 易得函数是周期为1的函数，分析当时，函数的性质，画出其简图，逐项分析，可得正确答案. 【详解】 对于A，由已知可得：，所以选项A正确； 当时，函数， 因为表示不超过x的最大整数，所以,所以, 又因为，所以 所以对于，恒有, 所以函数是周期为的函数， 其简图如下： 对于B，函数的值域为，所以选项B错误； 对于C，函数在上单调递增，但在整个定义域上不单调，所以不是增函数，所以选项C错误； 对于D，函数图象与直线无交点，所以方程无解，所以选项D正确. 故选：BC. 41．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）函数的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 判断函数的奇偶性，根据时，，可得结论. 【详解】 函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，故BC不符合题意； 当，，所以，故D不符合题意，A符合题意. 故选：A. 42．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）若函数 为上的单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分段函数的解析式，先判断每一段函数的单调性，然后根据二次函数的性质，结合分段函数的单调性条件，即可求得结果. 【详解】 当时，单调递增， 当时，，因为在上是单调函数， 所以在上也单调递增. 若，则单调递减，不合题意，所以， 二次函数的对称轴为，要使其单调递增， 需满足且，解得. 为保证函数在上单调递增，需满足， 即，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：D. 43．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（       ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【分析】 利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用基本初等函数的单调性可判断CD选项. 【详解】 由题可知，的定义域为，的定义域为， 对于AC选项，，函数的定义域为， 因为，函数为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误，C正确； 对于BD选项，；定义域为， ， 函数为奇函数， 因为函数、在上也为增函数， 所以函数在上也为增函数，故B正确，D正确. 故选：BCD. 44．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则的大小顺序是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的单调区间结合偶函数性质化简比较求解. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减， ，得， 所以. 故选:C. 45．（25-26学年高一上·四川成都·期中）（多选）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列选项中正确的是（       ）． A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的图象与直线 有无数个交点 D.  【答案】BCD 【分析】 根据高斯函数定义可得的解析式和图象，由图象判断各个选项即可. 【详解】 由题意得： ， 由解析式可得函数图形如下图所示，    对于A，函数，A错误； 对于B，函数的最小值为，B正确； 对于C，函数的图象与直线有无数个交点，C正确； 对于D，函数满足，D正确； 故答案为：BCD. 46．（25-26学年高一上·四川成都·期中）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数是奇函数的定义计算判断即可. 【详解】 由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对A，成立，故正确； 对B，成立，故正确； 对C，令，则，不成立，故错误； 对D，， 由，所以成立，故正确； 故选：C 47．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 判断函数的奇偶性排除AC，利用单调性排除B，得解. 【详解】 由，定义域为， 又，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除AC； 又，均在上单调递增，故在上单调递增，故B错误. 故选：D. 48．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知函数 ，若的最小值为，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围. 【详解】 由，则，当且仅当时等号成立， 结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且， 由在上递减，在上递增， 又的最小值为，故且， 综上，. 故选：A 49．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求证其奇偶性以及其在上的单调性即可比较大小. 【详解】 因，则为偶函数， 因时，，在上单调递增， 又，故. 故选：D 50．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意设函数的对称中心为，再根据函数为奇函数，求出参数即可得解. 【详解】 设函数的对称中心为， 则函数为奇函数， 则， 得， 整理得， 所以 ，解得 ， 所以函数图象的对称中心是. 故选：A. 51．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶函数性质及区间单调性可得，两边平方求解集. 【详解】 依题意，得在上为增函数，且为偶函数， 所以，即， 所以，两边平方得，解得． 故选：D 52．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 的一个周期为 4 C.  D.  在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】 根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可. 【详解】 A：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确； B：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以有，而，所以有， 即有，则有， 所以函数的周期为，因此本选项说法正确； C：因为奇函数的周期为， 所以， 因此本选项说法正确； D：当时，，， 由，所以该函数的一条对称轴为， 又因为 在区间上单调递增， 所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 53．（2026·北京房山·一模）如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（     ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【分析】 根据图（2）可知，，，，进而求得，再计算面积即可. 【详解】 解：当点从点出发运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性增加， 所以，由图（2）可知，这段路程为，即， 同理，当从点运动到点的过程中，面积保持不变， 由图（2）知，这段路程为，即， 当从点运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性减少， 由图（2）知，这段路程为，即， 所以，在直角梯形中，过作于，则四边形是矩形， 所以， 所以，在中，易得，即 所以，的面积为 故选：B 54．（2026·北京房山·一模）已知是奇函数，且在上单调递减，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据是奇函数及在上的单调性，逐项判断，即可求解. 【详解】 因为是奇函数，且在上单调递减， 对于A，因为是奇函数，得，故A错误； 对于B，因为是奇函数，，不确定正负，故B错误； 对于C选项，因为是奇函数，故， 又在上单调递减，故，所以，故C错误，D正确； 故选：D 55．（2026·北京房山·一模）已知函数 是上的单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用分段函数的单调性，结合二次函数、反比例函数的单调性列式求出范围. 【详解】 由函数 是上的单调函数， 得函数在上单调递减，则在上单调递减， 因此 ，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 56．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 化简得，令，结合的奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】 ， 令，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而， 则， 故选：A. 57．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（　　） A.  B. ， C.  D.  【答案】BC 【分析】 在等式中令可求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质可得出，结合题干等式可判断C选项；推导出函数是周期为的函数，求出函数在上的值域，可判断B选项；利用函数的周期性求出的值，可判断D选项. 【详解】 对于A选项，对任意的，，当时，， 所以， 在等式中，令，可得，故，A错； 对于C选项，因为函数是定义在上的偶函数，则， 所以，即， 所以，C对； 对于B选项，对任意的，， 所以，即函数是周期为的函数， 要求函数的值域，只需求函数在上的值域即可， 当时，， 则， 当时，， 故当时，， 则当时，，， 故当时，函数的值域为，故，，B对； 对于D选项，因为，则， 故，D错. 故选：BC. 58．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数的定义域为，为奇函数，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由为奇函数，和，通过赋值法逐个判断即可. 【详解】 因为为奇函数， 所以当时，， 所以， 所以， 又令，由可得， 令，由可得， 综上可知：ABD错误，C正确， 故选：C 59．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数 ，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 要解决这个问题，我们需要先分析函数的性质，再根据与的关系，求解时实数的取值范围. 【详解】 当时，，则, 当时，，则, 当时，，因此，是奇函数， 当时，，是一个开口向上， 对称轴为的二次函数，在上单调递增，因为是奇函数， 所以在也单调递增，因此在上单调递增， 已知，则可转化为即 因此或，又， 即或，又在上单调递增， 所以或，解得或， 综上，实数的取值范围为， 故选:C 60．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，，.用表示，中的较大者，记为，设 则（     ） A.  B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为 D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 【答案】ACD 【分析】 根据题意作出的函数图像，根据图像即可判断AB，分别求出方程的实数根，即可判断C，根据图像先求的根，再求的根，即可判断D. 【详解】 根据题意作出的函数图像：        由图可知，，故A正确； 由函数在区间上单调递减，所以，故B错误； 若方程，所以当时，，解得， 当时，， 当时，， 所以，故C正确； 由，所以， 由，所以， 所以当时，的取值范围为，所以， 所以，则的最大值为，故D正确； 故选：ACD. 61．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）设是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的都有，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用赋值法逐项分析，判断选项ABC，利用周期性求解选项D. 【详解】 对于A：，因为，所以，A错误； 对于B：因为，所以， 所以，所以，B正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，C正确； 对于D：若，则，所以; 若，则，所以， 所以，D正确； 故选：BCD. 62．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）对于任意的，若用函数表示中的较大者，则下列结论正确的是（     ） A. 的图象不可能是一条直线 B. 的图象可能是一条抛物线 C. 当时，的值域为 D. 若关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】 对A，由，故总存在使得，不可能始终等于，由此判断A；对B，当，即时，得，即，由此判断B；对C，令，即，解得，求出的值域，判断C；对D，由题得关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为，得 ，解不等式求的范围判断D. 【详解】 对于A，由，故总存在使得， 又，所以不可能始终等于， 即的图象不可能是一条直线，故A正确； 对于B，由，当，即时， 得，即，所以，所以的图象可能是一条抛物线，故B正确； 对于C，当时，，令，即，解得， 当或时，，此时，有， 当时，，此时，有， 综上，的值域为，故C错误； 对于D，由，当时，， 当或时，，， 当时，，， 又当时 ，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：ABD. 63．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知函数 满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由可得函数在上单调递减，进而得 ，解出即可求解. 【详解】 由有函数在上单调递减， 所以 ， 所以， 故选：C. 64．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（       ） A.  B. 是奇函数 C. 的图象关于点中心对称 D.  【答案】CD 【分析】 对A，令，得或，令，得，结合，求得；对B，令，结合，利用偶函数定义判断；对C，令，得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的一个周期为4，从而计算可判断D. 【详解】 对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A错误； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，所以， 即，所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：CD. 65．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的图象的对称中心为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意求得函数的图象的对称中心，根据对称性求得的值. 【详解】 由题可知，若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数. 所以 所以且，解得. 所以的图象的对称中心为，即有， 所以 所以 ， . 故选：D. 66．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 【答案】ACD 【分析】 对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断与之间的充分性和必要性. 【详解】 对于A，对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立，又，所以是倒函数．故A正确． 对于B，定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数，故B错误． 对于C，令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以 ，要使有正整数解， 则，当时，； 当时，；所以没有正整数解，故C正确． 对于D，充分性：当时，且，因为是增函数， 所以，，即，， 所以． 必要性：当时， 有， 因为恒大于0，所以，即， 所以，因为是增函数，所以，即； 综上可得是的充要条件，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】 关键点点睛：本题关键是理解倒函数定义. 67．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）已知定义域为的函数满足对任意的，都有，且当时，，则（       ）. A.  B. 对任意，总有 C. 是偶函数 D. 的解集为 【答案】ACD 【分析】 对于A，赋值法代入等式即可验证；对于B，将等式转化为，然后根据条件判断，即可判断；对于C，利用偶函数的定义可判断；对于D，根据偶函数和单调递减的性质求出不等式的解集. 【详解】 对于A：因为，令， 则，得到. 令，则，所以，所以A正确； 对于B： 因为，所以，即. 因为，所以，所以，所以B错误； 对于C：令，则，所以是偶函数，所以C正确； 对于D：因为，结合是偶函数，可得. 由B知时，，所以在上单调递减， 所以且. 不等式两边平方得，即，解得. 结合，可得不等式的解集为，所以D正确. 故选：ACD. 68．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（       ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 【答案】ABD 【分析】 先分析函数性质，根据函数性质及零点存在性定理可判断A；根据函数性质可判断B，根据函数单调性求解可判断C，由化简可得，计算可判断D. 【详解】 函数的定义域为， 当时，单调递减，单调递减， 所以函数在区间上单调递减； 当时，设， 则， 当时，，则，， 所以函数在区间上单调递减； 当，，则，， 所以函数在区间单调递增； 综上，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间单调递增； 对于A，当时，因为，， 所以函数在区间上有唯一零点， 当时，，所以函数在区间没有零点， 综上，方程有唯一根，故A正确； 对于B，由函数性质可知函数在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 所以函数在区间的值域为，故C错误； 对于D，方程，即，有， 即，， 化简得，即方程有两个不同的根，故D正确. 故选：ABD 69．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数，则使成立的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用奇偶性的定义判断的奇偶性，再由奇偶性和单调性将不等式化为，两边平方并整理求解即可. 【详解】 由的定义域为且， 所以是偶函数，则等价于， 由指对数函数的性质及复合函数的单调性知在上在单调递增， 所以，两边平方并整理得，解得. 故选：C 70．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数 在上单调，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】 作出函数的大致图象，如图， 由图可知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调，且，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 71．（25-26学年高一上·山东济南·期中）老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数. 【详解】 若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称， 则函数在上不单调，即丙的说法错误， 乙丁的说法正确，可取； 若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取 . 故答案为：（答案不唯一）. 72．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1）     （2） 设， ， ，，，， 在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. (1) 小问详解： 为奇函数， . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， . 73．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数的单调减区间是　　　　　． 【答案】 【分析】 首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】 由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 74．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是　　　　　　 【答案】和 【分析】 作出的函数图象，根据图象可判断出单调递减区间. 【详解】 因为 ，作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递减区间是和， 故答案为：和. 75．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】 函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 76．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，的值； （2）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象； （3）写出一组m，n，a的值，使得不等式在区间上恒成立. 【答案】（1），0     （2）      （3）      【分析】 （1）根据偶函数得，代入运算得解； （2）先画出函数在上的图象，再根据对称性得上的图象； （3）取验证得解. (1) 小问详解： 由题，可得， . (2) 小问详解： 先画出函数在上的图象，再根据偶函数图象对称性得上的图象； (3) 小问详解： 当时，，即，即， 显然对恒成立. 77．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】 因为 ，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 78．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 【答案】（1）是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数.     （2）证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. (1) 小问详解： 是奇函数，证明略； (2) 小问详解： 略. 79．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知 是上的单调增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数的单调性和在间断点处的连续性可解. 【详解】 是上的单调增函数， 所以 . 故答案为：. 80．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数与x轴的两个交点为，. （1）求b，c的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数m的取值范围； （3）设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1），     （2）     （3） 【分析】 （1）2，3为方程的两根，由韦达定理求b，c的值； （2）问题等价于在上恒成立，转化为函数在上的最小值； （3）讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值. (1) 小问详解： 2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于，， 函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递减. 所以时，有最小值0， 所以，实数m的取值范围为. (3) 小问详解： ，函数的对称轴为，开口向上， 若，即，则在上单调递减，； 若，则在上单调递增，； 若，即， 则在上先减后增，， 所以， . 81．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）用定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】（1）     （2） 函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数.     （3） 任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增.      【分析】 （1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. (1) 小问详解： ∵函数的图象经过两点， ∴ ，解得 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 82．（2026·北京房山·一模）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数； （3）直接写出函数的值域． 【答案】（1） 是偶函数，证明如下： 的定义域为，，得证.     （2） 任取，且， 则， 因为，则，则，即， 所以函数在上是减函数.     （3）      【分析】 （1）由偶函数的定义验证可得； （2）任取，且，作差验证可证； （3）直接由函数的单调性可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为的定义域为，且， 所以由函数的单调性可得函数的值域为. 83．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值. （2）用函数单调性的定义证明：是R上的减函数. （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）.     （2） 由（1）可知. 任取，令，则. 因为，所以. 又，所以，即， 则是上的减函数.     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质以及求解的值. （2）利用函数单调性的定义，设且，通过作差比较和的大小来证明函数的单调性. （3）利用奇函数的性质将不等式进行转化，再结合函数的单调性求解的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为是定义在上的奇函数，所以，得， 则. 由，可得， 则.经检验知，当时，是定义在上的奇函数，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由， 可得. 因为是上的减函数，所以，即恒成立. 当时，显然不可能恒成立. 当时，原不等式为，恒成立. 当时，由恒成立，可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 84．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知是偶函数． （1）求的值． （2）证明：． （3）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【答案】（1）     （2） 由（1）知，且， 因为，所以，故．     （3） 在上单调递增.证明如下： 取，，且， 则， 当，，时，，，，， 所以，即，所以在上单调递增．      【分析】 （1）根据求解即可； （2）结合函数解析式特征，利用分离常数法求证即可； （3）根据函数单调性的定义求证即可. (1) 小问详解： 因为是偶函数，所以， 则，化简得， 则对恒成立，因为不恒为0， 所以，此时的定义域为，符合题意． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 85．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）是奇函数，证明：的定义域为 ，所以是奇函数.     （3）      【分析】 （1）通过代入求 （2）先计算定义域，定义域关于原点对称且判断是奇函数 （3）将不等式化简，凑出符合基本不等式的形式求最值，结合恒成立要求得范围 (1) 小问详解： 解得： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，即 整理得：， 两边同乘以，得 当时，， 所以上式等价于 因为 当且仅当，即时等号成立 所以的取值范围是. 86．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性并说明理由； （3）若正数，满足，且，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） 由（1）知， 函数在区间上单调递减，理由如下： 任取，则，， ， 所以，因此函数在区间上单调递减；     （3）      【分析】 （1）借助奇函数性质计算即可得； （2）借助函数单调性定义，任取，计算正负即可得； （3）借助基本不等式计算可得范围，再结合函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 因为的定义域为且是奇函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以，整理得， 因为，，，所以，即，且，， 所以，当且仅当时，取等号， 由，，不能由，得到， 但，时，也有，所以， 由（2）知在区间上单调递减， 所以， 当时，， 又，所以， 所以的取值范围为. 87．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若，若，使得，则实数的取值范围是． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 由幂函数的定义与性质列式即可解; 利用偶函数的性质，结合单调性可解; 将恒成立问题和有解问题转化成最值问题，参变量分离以后即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 ，解得或. 当时，不是偶函数，不合题意; 当时，是偶函数，合题意，故. (2) 小问详解： 因为为偶函数，且在上单调递增， 由得，解得， 故不等式的解集为. (3) 小问详解： 若使得，即 只需存在使得，当时取得最小值5，即 ，即使得成立， 只要，或时取得最大值9， 所以. 88．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）若函数是奇函数，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意可得函数的定义域为，且为奇函数， 则，即，解得. 故答案为：. 89．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数的图象过点. （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）判断函数在上的单调性并证明. 【答案】（1）     （2） 函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数.     （3） 在区间上单调递增，证明如下： 设任意，且， 则， 因为，则，， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数.      【分析】 （1）根据题意，将的坐标代入函数的解析式，即可得的值； （2）根据题意，先分析函数的定义域，进而判断与的关系即可； （3）根据题意，由作差法结合单调性的定义分析可得答案 (1) 小问详解： 根据题意，函数的图象过点， 则有，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 90．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 ，若当时，，则的最大值是　　　　　. 【答案】5 【分析】 根据分段函数解析式，分别确定函数的单调性以及确定和时的值，从而可得当时，时，得的取值范围，从而得的最大值. 【详解】 当时，为增函数，则，且， 当时，，则在上递减，上递增， 且，， 当时，，则，， 故的最大值是. 故答案为：5. 91．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数（且）过点（0，1）. （1）求的值，并写出的解析式； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式（无需证明）. 【答案】（1），     （2） 为奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为， ， 所以函数是奇函数；     （3）      【分析】 （1）由函数过点(0,1)求解即可； （2）由题意可得，根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； （3）由题意可得，且，求解即可. (1) 小问详解： 依题意，， 解得或， 而，， 故， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 即，① 所以， 又因为为奇函数，为偶函数， 所以，② 由① ② 可得，， 所以. 92．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. (1) 小问详解： 由是偶函数得， 即，解得． (2) 小问详解： 由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 93．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，，且，. （1）求，的值；判断并证明该函数的奇偶性. （2）判断函数的单调性，并用定义法证明该函数单调性； （3）解关于（）的不等式. 【答案】（1） 由题意 ，所以. 因为函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数.     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以即. 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据已知条件求的值，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）利用函数单调性的概念证明函数在给定区间上的单调性. （3）根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以 . 故不等式的解集为. 94．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件先判断出的周期性，然后化简可得，由此可计算出结果. 【详解】 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 95．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，为常数. （1）若，证明：； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，， 所以， 所以成立；     （2）      【分析】 （1）代入，计算出的值即可完成证明； （2）将问题转化为“”，再结合对勾函数性质可求解出的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，即， 令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 96．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）设函数 ，若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】 画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 97．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）根据第（1）问的结论，求 的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】（1）     （2）     （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.      【分析】 （1）根据函数为奇函数，求出，的值； （2）根据（1）的结论，分组相加即可； （3）利用类比推理即可得出. (1) 小问详解： 设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得 ，即， 函数图象的对称中心为； (2) 小问详解： 由（1）知， ， ， 且， ； (3) 小问详解： 推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 98．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求，的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1），     （2）因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. (1) 小问详解： 因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，； 当时，，则，所以. 综上， . 99．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 【答案】（1）     （2）证明： 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （2）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足 ，解得，所以不等式的解集为. 100．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.（结果写成集合或区间的形式） 【答案】或 【分析】 由分段函数为单调递减函数得到不等式组，解不等式组可得. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故答案为：或. 101．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数是奇函数，. （1）求a的值； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）；     （2） 在上单调递减.证明过程如下： 证明：任取， 则 ， 因为单调递增，所以， 所以，所以， 即在上单调递减.     （3）.      【分析】 （1）根据得到方程，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数表达式可知，在上恒有，在上有，不等式转化为，从而得到不等式组，求出答案. (1) 小问详解： 因为函数是奇函数，所以， 则，解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，则， 因为函数是奇函数，在上单调递减，且在上恒有， 所以在上有. 由可知，不等式可化为. 由在上单调递减，可得：， 由得或，由得， 故或. 所以原不等式的解集为. 102．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）当时，求函数的值域； （2）当]时，求函数的最小值； （3）若，存在实数，使f，求b的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域； （2）利用换元法，将求函数的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨论对称轴与给定区间的关系可得； （3）分离参数，利用换元法构造新函数，根据新函数的单调性，求的取值范围，从而求得b的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为；当时最大值为9，故函数的值域为. (2) 小问详解： 令，则，对称轴为. 当时，，则在上单增，所以函数的最小值为； 当时，，则在上单减，在上单增，所以函数的最小值为； 当时，有，则在上单减，所以函数的最小值为. 综上所述， . (3) 小问详解： 由有. 即，所以. 因为，所以. 令当且仅当，即时，等号成立； 因为所以. 令，则是增函数， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 103．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知函数满足，则的解集为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据已知及解析式确定函数图象的对称中心，可得，进而有，再应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】 由，则的图象关于点对称， 又，则的图象关于点对称， 所以，则，定义域为， 由，则，整理得， 所以或，故解集为. 故答案为： 104．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，有. （1）求的值，并证明：当时，； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求在上的值域. 【答案】（1）， 证明：令，则， 当时，，所以，可得，解得.     （2） 法一：由（1）知， ，且，令， 则，则， 因为，所以， 所以在上是增函数. 法二：，且， 所以， 由，得，则，又， 所以，即， 所以在上是增函数.     （3）      【分析】 （1）首先通过已知条件令即可求得的值；再令，可得，然后通过当时，，即可证明结论. （2）法一：应用作商法，结合函数单调性定义判断证明；法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. （3）首先根据已知，通过赋值法求解得：及，然后利用函数的单调性求解函数的值域即可. (1) 小问详解： 令，则， 又，故. 证明略. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，得， 由（1）可得， 因为在上是增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上可得：在上的值域为. 105．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．    （1）画出函数的图象； （2）求函数的解析式（写出求解过程）． （3）求，的值域． 【答案】（1）         （2）     （3）      【分析】 （1）作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象，即可得结论； （2）根据奇函数的定义求解析式； （3）由函数图象得函数的单调性，从而可得最大值和最小值，即得值域． (1) 小问详解： 先作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象： (2) 小问详解： 是奇函数，时，，， 所以， 所以 ； (3) 小问详解： 由（1）可知在和上是增函数，在上是减函数， ，，，，因此最大值为1，最小值为， 所以的值域为． 106．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数 ，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　. 【答案】② ③ ④ 【分析】 根据所给函数，结合函数的性质等，逐一分析① ② ③ ④ ，即可得答案. 【详解】 对于① ：由题意得取值为0或1，即值域为，故① 错误； 对于② ：因为，，为有理数，所以，故② 正确； 对于③ ：当x为有理数时，也都是有理数，所以， 则， 当x为无理数时，也都是无理数，所以， 则，所以，故③ 正确； 对于④ ：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数， 所以，，则， 当x为无理数时，则为无理数， 所以，则， 所以对任意恒成立，故④ 正确. 故答案为：② ③ ④ 107．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，，， ，，，故， 即，所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）由，求得，并检验； （2）利用函数的单调性定义判断； （3）求出集合，由题可得真包含于，列出不等式求解. (1) 小问详解： 由题，可得 ，即 ，解得 ， ，，满足题意. . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）在上单调递增，且，， ， 又函数在上单调递增，故， 若是的充分不必要条件，即真包含于， ，解得. 所以实数的取值范围为. 108．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求m、n的值； （2）证明在上单调递增； （3）求使成立的实数a的取值范围. 【答案】（1），     （2） 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，，即， 所以，即，即， 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，结合列式求得答案； （2）利用定义法可证明函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可. (1) 小问详解： 由题意，可得 ，解得. 此时，，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意. 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知，函数是奇函数且在上单调递增. 所以，即， ，解得， 所以实数a的取值范围为. 109．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知函数，. （1）若，试求函数在区间上的最小值； （2）若，对于任意的，存在，使得，求a的取值范围. 【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）将函数变形，利用基本不等式求最值； （2）求出函数和的值域，问题转化为在上的值域是在上的值域的子集求解. (1) 小问详解： 当时，， ， 因为，所以， ，当且仅当，即时，取等号， 所以函数在区间上的最小值为12. (2) 小问详解： 函数，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上的值域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数在上的值域为， 若对于任意的，存在，使得， 即在上的值域是在上的值域的子集， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 110．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数. （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）求在区间上的最小值的表达式. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由二次函数的对称轴，求出单调区间即可求出值域； （2）分类讨论区间上函数的最小值点，得最小值的表达式； (1) 小问详解： 当时，，其对称轴，开口向上， 则在上单调递减，在上单调递增； 所以，； 函数在区间上的值域为， (2) 小问详解： 由题意，函数，则二次函数的对称轴为， 若时，，在区间上单调递增， 当时，的最小值为； 若时，，在区间上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为； 若时，，在区间上单调递减， 当时，的最小值为； 所以 ； 111．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知且，函数 在上单调递增，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半段函数在端点处的最小值即可求得. 【详解】 因为在上单调递增，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 112．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，不必说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）①     （2）①②或      【分析】 （1）结合定义逐项计算最大值与最小值的差即可得； （2）① 分与讨论函数在时的最大最小值即可得；② 结合定义，分、与讨论即可得. (1) 小问详解： ① 因为，所以，所以， 得，故是在上的“美好函数”； ② 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； ③ 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； (2) 小问详解： ① 由题得， 当时，可知， 所以，当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有； 当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故； ②时，函数，可知此时， 函数的图象的对称轴为直线且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增， 所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数”，所以有； 令，解得或， 所以此时（舍去），或（舍去）， 当时，此时函数在上单调递增， 此时，，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 综上所述：或. 113．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数 是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数”     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. (1) 小问详解： 因为，解得， 所以区间内存在实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. (2) 小问详解： 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即① ， 当时，，则，即②. 所以① 或② 有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. (3) 小问详解： 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以. 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 114．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1），     （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则 因为，所以，，， 所以， 所以，即， 因此在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据题目条件函数是定义在上的奇函数，，即可求出实数的值； （2）判断函数为增函数，再根据函数定义法取取任意，且，证明即可； （3）根据函数的单调性和奇偶性即可求出使成立的实数的取值范围. (1) 小问详解： 由题意可知，故， 又由可得，解得； 此时定义域为，关于原点对称， 且，故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足 ，解得 ， 即， 故实数a的取值范围为. 115．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）函数满足对一切x，有，且；当时，有． （1）求的值； （2）判断并证明在R上的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）3     （2） 为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，令，可得，令，可得， ，再令，求得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. (1) 小问详解： 由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即 ，解得，所以不等式的解集为. 116．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数，，对任意，不等式恒成立，则的最大值为　　　　　. 【答案】1 【分析】 将不等式转化为，结合可得，换元令，则不等式转化为，设，结合函数单调性求最值即可得的取值范围结合，从而得的最大值. 【详解】 不等式即为， 整理得， 因为，两边同除以得， 令，不等式可转化为， 设，对恒成立， 因为，所以，则在上单调递减， 所以，解得，又， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 117．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 【答案】（1），     （2） ，偏差最小值为     （3） 法1：要证是在上在切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证，即证， 设，则，，， 所以，即， 当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有， 即（1），（2），（3）， 由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3：记直线，设， 因为，所以，要使取到最小值，则 ， 解得，，所以直线是函数在上的最佳逼近.      【分析】 （1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解． (1) 小问详解： 记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； (2) 小问详解： 设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. (3) 小问详解： 略 118．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数，若，且当时. （1）求，的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），，     （2）在上单调递减，证明： 在中任取， 则， 由，， 所以，， 则，故在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）根据函数解析式与已知条件建立等式关系求解，的值，即可得的解析式； （2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号证明单调性即可； （3）根据函数的奇偶性与，结合单调性将不等式转化为，根据不等式恒成立，从而可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 由题知：，得，即， ， 则，， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）同理可知，在单调递增， 易知为奇函数，又由， 要使，即， 所以，则， 又，所以，当且仅当，即时，， 所以. 119．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A． （1）判断的图象是否关于点成中心对称； （2）当时，求证：． （3）对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值． 【答案】（1）的图象关于点成中心对称     （2） 设， 则， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数， 所以当时，，即．     （3）      【分析】 由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。 可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明 由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得 (1) 小问详解： 因为， 所以． 由定义可知，的图象关于点成中心对称． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为构造过程可以无限进行下去， 所以对任意恒成立， 即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解， 所以 或 ，解得． 【点睛】 本题侧重考查逻辑推理、数学运算素养．对逻辑推理的考查主要体现在利用定义推理得到结论，对数学运算的考查主要体现在推理过程中的计算． 120．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数为区间上的“关联函数”. （1）判断函数在区间上是否为“关联函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“关联函数”，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数为上的“关联函数”，求的值. 【答案】（1）在区间上不是“关联函数”，理由如下： 由题知：对任意，都存在，使得， 设函数在区间上值域在区间上值域，则， 因为函数在区间上是增函数，所以值域， 函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不是“关联函数”.     （2）     （3）或.      【分析】 （1）通过“关联函数”的定义，分别求解函数及在区间上的值域，通过判断两个函数值域的子集关系即可判断是否为“关联函数” （2）通过“关联函数”的定义可得：对任意，都存在，使得，可得，然后由可以求得：，进而可得：，最后根据子集关系求解参数取值范围即可； （3）首先分、及三种情况，分别根据函数的单调性求解函数及函数的值域，然后根据“关联函数”的定义确定两个函数值域的子集关系，最后根据实数的唯一性求解参数的值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数为区间上的“关联函数”， 所以对任意，都存在，使得，可得， 因为，所以， 又，所以， 即 解得， 因此实数的取值范围为. (3) 小问详解： 的值域为，即， 的对称轴为直线，且开口向下， ① 当时，在上单调递减，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ② 当时，在上单调递增，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ③ 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又， （i）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得 解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意. 综上所述，的值为或. 121．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知函数为偶函数. （1）求实数a的值； （2）判断的单调性，并证明你的判断； （3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由. 【答案】（1）； （2）当时，， 则函数在上为增函数，在上为减函数， 证明：设， 则， ， ，， ， 即， 故在上为增函数； 同理可证在上为减函数； （3）存在，. 【分析】 （1）由偶函数的定义即可求得a的值； （2）用函数单调性的定义即可判断并证明； （3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可. 【详解】 （1）函数为偶函数， ， 即， ； （2）略 （3）函数在上为增函数， 若存在实数，使得当时， 函数的值域为， 则满足 ，即 ， 即m，n是方程的两个不等的正根， 则满足 ， 解得， 故存在，使得结论成立. 【点睛】 易错点点睛： ，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意. 122．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数x都有，则称是与的“隔离直线函数”. 已知函数，. （1）证明：当，有； （2）对任意的时，恒成立，求的值； （3）当时，与是否存在“隔离直线函数”？若存在，请求出“隔离直线函数”解析式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为 ， 因为， 所以，当时，等号成立； 所以， 即， 所以     （2）；     （3） 假设存在“隔离直线函数”， 当时， ， 当时，等号成立， 所以在上恒成立，当时，等号成立， 又， 所以“隔离直线函数”必过点， 所以， 由题意可得 在上恒成立， 即 在上恒成立， 由在上恒成立， 可得在上恒成立， 令， 解得 ， 要使在上恒成立， 则，解得， 此时； 当在上恒成立， 即在上恒成立， 当，即时， 则有在上不恒成立，不满足题意； 当时， 令， 解得 ， 要使在上恒成立， 则有，且， 解得，满足， 此时； 综上，， 所以与存在“隔离直线函数”，为. 【分析】 （1）用作差法证明即可； （2）由题意可得在R上恒成立，由求解即可； （3）假设存在“隔离直线函数”，先用作差法判断出在上恒成立，当时，等号成立，从而可得“隔离直线函数”必过点，则有，最后根据定义得 在上恒成立，解出的值，即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在R上恒成立， 即在R上恒成立， 所以， 解得； (3) 小问详解： 略 123．（2026·北京房山·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①当时，在定义域上是增函数； ②当时，的单调递减区间为； ③存在实数，使得函数是偶函数； ④若方程有三个不等的实根，则． 其中正确结论的序号为　　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 对于① ，画出时的函数图象，得到① 正确；对于② ，画出函数图象，得到② 正确；对于③ ，由函数奇偶性的定义得不存在实数，使得函数是偶函数，③ 错误；对于④ ，分别考虑，和三种情况，数形结合得到答案. 【详解】 对于① ，当时， ， 的定义域为R，且画出的图象如下，    显然在定义域上是增函数，① 正确； 对于② ， ， 其中的开口向上，对称轴为， 开口向下，对称轴也为， 当时，画出的图象，如下：    则的单调递减区间为，② 正确； 对于③ ，定义域为R，其中， 无论取何值，均不能使恒成立，即不能恒成立， 不存在实数，使得函数是偶函数，③ 错误； 对于④ ，当时，由① 知，与只有1个交点， 方程只有1个实根，不合要求； 当时，由② 知，与只有1个交点， 方程只有1个实根，不合要求； 当时，画出的图象如下：    要想方程有三个不等的实根，则，又， 解得，④ 正确． 故答案为：① ② ④ 124．（2026·辽宁丹东·调研）已知函数和的定义域均为，且满足，. （1）求，； （2）判断的奇偶性； （3）若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形. 【答案】（1），     （2）奇函数     （3），证明见解析      【分析】 （1）赋值得，，联立两式即可求解； （2）根据已知结合奇函数定义证明即可； （3）根据对称性和已知求得，只需证明或即可. (1) 小问详解： 将代入，得. 将代入，得. 联立上述两式，解得，. (2) 小问详解： 由，得， 因为，所以， 因为的定义域为，所以为奇函数. (3) 小问详解： 思路1：由，且的图象关于直线对称， 则. 又，所以，从而. 由（2）得，故，从而. 由，得， 由，得， 所以， 因此的图象关于点成中心对称图形. 思路2：由，得， 因为，所以. 由的图象关于直线对称，得， 由（2）得，故. 由，得， 因为，所以 由，，得， 从而，可得，即. 由，得的图象关于点成中心对称图形. 由，得，所以. 125．（2026·辽宁丹东·调研）已知，函数 若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可. 【详解】 . 因为，则，，所以， 要是的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集非空集， 故. 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 126．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题目条件求出的最小值小于的最小值即可求出实数的取值范围. 【详解】 已知， 条件：使得，则条件等价于 求，是一个开口向上的二次函数， 对称轴介于区间内，故， 求，，对称轴 ：对称轴，在上递增，最小值在：， ：对称轴在内，最小值在：， ：对称轴，在上递减，最小值在：， 求， ： ，得， ：， 即， 恒成立，所以全成立， ：， 对恒成立，得， 综合可得： 故答案为： 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知点在幂函数的图象上，则（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】根据幂函数定义可得的值，再将点代入即可得出结果. 【详解】点在幂函数的图象上， ，且， 解得， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查的是幂函数定义，是基础题. 2．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）下列函数是幂函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据幂函数的定义逐项分析即可求解. 【详解】 幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合， 故选：A. 3．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（       ） A. 2 B.  C. 1 D. 1或 【答案】B 【分析】 根据幂函数的定义与单调性求解实数的值. 【详解】 知函数是幂函数， 则，解得或， 当时，，其在上单调递减，不符合题意， 当时，，其在上单调递增，符合题意， 故. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）以下四个命题结论正确的是（     ） A. 幂函数与幂函数的图象均过点，点 B. 当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C. 时的幂函数在其定义域内是减函数 D. 当，，时，幂函数在上为增函数 【答案】D 【分析】 利用幂函数的图象、性质逐项分析判断. 【详解】 对于A，幂函数的图象不过点，A错误； 对于B，幂函数的图象不经过第三象限，B错误； 对于C，幂函数在定义域内不单调，C错误； 对于D，幂函数在上单调递增，D正确. 故选：D 5．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A. -2 B. -1 C. 2 D. -1或2 【答案】B 【分析】 由函数是幂函数解出，再由单调性判断即可. 【详解】 因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一般幂函数的奇偶性、单调性，即可得. 【详解】 由、、为奇函数，为偶函数， 由在定义域上不单调，在R上单调递减，在R上单调递增. 综上，是在R上单调递减的奇函数. 故选：B 7．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）幂函数在上单调递减，则m的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【分析】 根据函数为幂函数可列式求出m的值，验证是否符合题意，即得答案. 【详解】 由函数为幂函数，得， 解得或， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 故， 故选：B 8．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 16 【答案】A 【分析】 由点求得函数解析式即可求解； 【详解】 设， 则，解得：， 所以， 故选：A 9．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】 对于A，结合函数的图象得，结合的图象得 ，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得 ，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得 ，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得 ，无解，故D错误； 故选：A. 10．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象经过点，则　　　　　. 【答案】2 【分析】 待定系数法求出的解析式即可. 【详解】 设幂函数 ，其中  为常数， 函数图象经过点 ， 因此，有：， 解得：. 所以，幂函数为 . 故. 故答案为：2 11．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数是幂函数，则的取值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由幂函数定义可得结果. 【详解】 由幂函数定义可知，，解得， 故答案为：. 12．（25-26学年高一上·福建南平·期中）幂函数的图象不经过坐标原点，则　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用幂函数的定义可求得的值，结合题意检验即可得结论. 【详解】 因为是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象不经过坐标原点； 当时，，图象经过坐标原点. 综上所述：. 故答案为：2. 13．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知幂函数过点，则的解析式为　　　　　　　　　　　　　；若，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 5 【分析】 利用待定系数法求幂函数解析式，由基本不等式求最值. 【详解】 设， 因为幂函数过点，则，解得， 所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：；5 14．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设幂函数，代入已知点求出，确定函数解析式；然后分析该幂函数的单调性和奇偶性；最后将不等式利用奇偶性转化，再结合单调性得到关于的不等式，即可求解. 【详解】 由题意可设，由于函数的图象过点，故，所以， 即，所以函数在上单调递增，且为奇函数. 由可得，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 15．（2026·辽宁丹东·调研）写出一个同时满足条件①②③的幂函数　　　　　. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】 令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 16．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数系数为并结合单调性即可求解. 【详解】 由题意得，解得或， 当时，在上递减，不符合题意； 当时，在上递增，符合题意； 故答案为：. 17．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求幂函数的解析式； （2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由幂函数和偶函数的性质求解即可； （2）构造，问题转化为，结合二次函数的性质分析即可； (1) 小问详解： ∵幂函数为偶函数 ∴    即，解得或， 当时，为偶函数，符合条件；   当时，为奇函数，不符合条件； ∴函数的解析式是. (2) 小问详解： 由（1）知，，则 由，得，即， 令，依题意，对任意，恒成立， ∴      ∵函数在上单调递减， ∴，故， ∴实数的取值范围是. 18．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知是幂函数，且在上单调递增. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 【答案】（1）；     （2） 在上单调递增，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，所以， 因为，所以，故， 故，在上单调递增；     （3） ，理由如下： 由（2）知，在上单调递增， 故，即， 即      【分析】 （1）根据幂函数定义和单调性得到方程和不等式，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）在（2）基础上，得到，故. (1) 小问详解： 由题意得，解得或， 在上单调递增，故，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 19．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本） （1）求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式； （2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； （3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. 【答案】（1）     （2）22元/件     （3）100万元      【分析】 （1）先求出总成本和总收入，进而求出利润的解析式即可. （2）先列出不等式，然后化简求解即可. （3）先求出第二年的总成本，然后列出第二年的利润表达式，根据二次函数的性质和售价的范围确定利润的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意可知，制造成本为万元，那么总成本为， 销售总收入为万元， 所以利润为. 即. (2) 小问详解： 由题意知，，所以， 化简得，即， 因为，所以. 因此该电子产品第一年的售价为22元/件. (3) 小问详解： 第二年制造成本为元/件，直接成本是第一年的利润万元， 所以总成本为万元，则第二年利润. 因为第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，所以. 对于二次函数，其对称轴为. 因为二次项系数，所以函数图象开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小， 所以当时，有最大值，万元， 因此，第二年利润的最大值为100万元. 2．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数： ，总收入=利润+总成本. （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 【答案】（1）     （2）当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元.      【分析】 （1）分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果； （2）首先可根据得出 ，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. (1) 小问详解： 依题设知，总成本为元， 则 ； (2) 小问详解： 产品的单位利润 当时，， 当且仅当即时，； 当时，是减函数，所以. 所以当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 3．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】（1）第2年     （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备， 总利润为万元； 综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.      【分析】 （1）设为前n年的总盈利额，，根据，解不等式得到答案. （2）根据二次函数性质和均值不等式分别计算总利润，得到总利润相同，再比较时间得到答案. (1) 小问详解： 设为前n年的总盈利额， ， 由得，又，故该设备从第2年开始实现总盈利； (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. （1）当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）不盈利，5000元到20000元     （2）400吨      【分析】 （1）当时，该项目获利，说明不获利；当，时，取得最大值，要使该单位不亏损，从而得国家需要补偿资金的范围； （2）分段讨论，①当时，求出的最小值；②当时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低． (1) 小问详解： 当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. (2) 小问详解： 由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ① 当时，， 所以当时，取得最小值240； ② 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 5．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 6．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为： 由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　；2025年公司的最大利润为　　　　　　　　　　　　　万元.（利润=销售额－成本） 【答案】①     ② 1680 【分析】 （1）分和两种情况，进行求解利润函数； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】 当时，； 当时，， ． 若，当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 故答案为： ；1680. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $