第1讲 集合的概念专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第1讲 集合的概念 一、知识讲解 1、常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*& N＋ Z Q R C 二、必过题型 1、集合的概念 1.（2026高一全国）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解答过程】由且，得解得，故选：A． 2.（25-26高一上·山西）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【解答过程】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，，此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意.综上所述，.故选：B. 3．若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【详解】集合，则，解得，知BD符合.故选：BD. 4.（25-26高一上·天津）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答过程】因为集合，所以，， 当时，，满足条件；当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件；当时，，满足条件； 综上：共有3个元素；故选：C. 5.（24-25高一上·上海）用列举法表示集合 . 【详解】，， ，故答案为：. 6.（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【解答过程】（1）由于中有两个元素，关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且.故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，，若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即.综上可知，实数的取值范围是. 7.（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值；(2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【解答过程】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解．结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得．综上可知当时，中至少有一个元素． 8.（22-23高一上·安徽六安·月考）已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【解析】集合A有两个元素，所以，解得且.故答案为：且. 9.（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（    ） A．-1 B．2 C． D．0 【解析】或，当时，，符合题意. 当时，，不符合题意.当时，要使集合有且仅有一个元素， 则需，解得或（舍去） 综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C 10.（23-24高一上·山东月考）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【解析】由已知方程得：，解得：且；由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；综上所述：或或.故选：ABD 11.（25-26高一上·山东）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【解答过程】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，.所以，元素个数为2.故选：B. 12.（23-24高一安徽安庆）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【解析】若不是孤立元，.设另一元素为，假设，此时，不合题意，故。据此分析满足条件的集合为，共有6个.故选：D 13.（23-24高一上·重庆）（多选）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【解析】具有“幸福关系”的元素组有：三组，含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个，含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误；其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD 14.（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）（多选）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【解析】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；对于C，设都是整数，则，故，同理， ,故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S，则S一定为无限集，D正确，故选：BCD 15．设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 【详解】（1）方程等价于或．记方程的解集为， 因为，所以中含有2个元素．又因为，所以中至少有2个元素． （2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素．所以，因此，． 当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为； 当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3． 16．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 【解析】由题意，,当时，则， 则，又，所以集合. 17．（24-25高一上·河南新乡·月考）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【解析】∵，∴，， ∴，∴.故选：A. 18．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知集合，，且，则集合 ． 【解析】因为，所以或，由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去，当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去，故答案为：. 19.设,集合,则　　　　.  【解析】由题意知,因为. 所以,则,所以,.故. 20．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）．所以，或 解得，或．经检验，满足题意．所以． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合的概念 一、知识讲解 1、常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*& N＋ Z Q R C 二、必过题型 1、集合的概念 1.（2026高一全国）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·山西）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 3．若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 4.（25-26高一上·天津）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.（24-25高一上·上海）用列举法表示集合 . 6.（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 7.（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值；(2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 8.（22-23高一上·安徽六安·月考）已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 9.（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（    ） A．-1 B．2 C． D．0 10.（23-24高一上·山东月考）（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 11.（25-26高一上·山东）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 12.（23-24高一安徽安庆）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 13.（23-24高一上·重庆）（多选）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 14.（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）（多选）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 15．设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 16．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 17．（24-25高一上·河南新乡·月考）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 18．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知集合，，且，则集合 ． 19.设,集合,则　　　　.  20．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $