第1讲 集合的概念及表示分层梯度练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念及表示的分层预习训练，以题构建从概念辨析到创新应用的逻辑链条，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2题|判断集合构成条件、元素关系|从集合定义出发，建立确定性等核心概念认知| |元素特性|多选9题|考查确定性、互异性、无序性|明确元素三特性，为集合表示与运算奠基| |集合表示|填空13题、解答16题|列举法应用、两种表示方法转换|连接概念与表示工具，体现数学语言精确性| |空集性质|单选4题|辨析空集元素及子集关系|深化对特殊集合的理解，完善集合体系| |元素个数|单选3/5/6题|计算有限集元素数量|结合方程、不等式等，强化概念应用| |集合关系|单选7题、多选10题|判断数集包含关系|构建集合间联系，培养逻辑推理| |创新应用|解答19题|定义“自差集”并求解|拓展概念应用场景，发展创新意识|

新课标高中数学暑假预习分层梯度练习 第1讲 集合的概念及表示暑假预习 【分层梯度课时练习】 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 班级内成绩优异的学生 B. 所有无限接近的实数 C. 方程的实数根 D. 平面内好看的图形 2. 下列关系正确的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 3. 集合的元素个数为（ ） A. 2　　 B. 3 C. 4　　 D. 5 4. 下列关于空集的说法正确的是（ ） A. B. 含有一个元素 C. D. 不是任何集合的子集 5. 集合元素个数为（ ） A. 1　　 B. 2 C. 3　　 D. 4 6. 已知，则集合A的元素个数为（ ） A. 3　　 B. 4 C. 5　　 D. 6 7. 数集包含关系正确的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 8.定义“正和集合”：任意两元素和为正数，下列是正和集合的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 集合元素特性正确的有（ ） A. 确定性　　 B. 互异性 C. 无序性　　 D. 重复性 10. 关系正确的有（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 11. 无限集有（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 三、填空题 12.____ 13.列举法：________ ； 14.，且元素不重复，则____ 。 四、解答题 15.（证明题） 证明：集合仅有一个元素。 16. 用两种方法表示下列集合： （1）小于的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合。 17. 已知，求实数的值。 18.已知集合，求集合的所有元素. 19. (创新)给定非空实数集合 ，定义集合 的“自差集”：。 (1) 已知集合 ，求 ； (2) 若集合（），求： . 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学暑假预习分层梯度练习 第1讲 集合的概念及表示暑假预习 【分层梯度课时练习】（含答案解析） 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 班级内成绩优异的学生 B. 所有无限接近的实数 C. 方程的实数根 D. 平面内好看的图形 【答案】C 【解析】集合元素必须具备确定性，模糊描述无法构成集合。 A、 B、D选项中“成绩优异”“无限接近”“好看”均为不确定描述，元素不唯一； C选项方程有唯一实数根，元素确定，可构成集合。 故选：C. 2. 下列关系正确的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 【答案】A 3. 集合的元素个数为（ ） A. 2　　 B. 3 C. 4　　 D. 5 [答案]C 4. 下列关于空集的说法正确的是（ ） A. B. 含有一个元素 C. D. 不是任何集合的子集 【答案】C 【解析】空集是不含任何元素的集合，含元素，故A、B错误； 空集是任何集合的子集，因此成立，C正确，D错误。 故选：C. 5. 集合元素个数为（ ） A. 1　　 B. 2 C. 3　　 D. 4 [答案]B 6. 已知，则集合A的元素个数为（ ） A. 3　　 B. 4 C. 5　　 D. 6 【答案】C 7. 数集包含关系正确的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 【答案】A 8.定义“正和集合”：任意两元素和为正数，下列是正和集合的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 【答案】B 二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 集合元素特性正确的有（ ） A. 确定性　　 B. 互异性 C. 无序性　　 D. 重复性 【答案】ABC 10. 关系正确的有（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 【答案】ABC 11. 无限集有（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 【答案】ABD 三、填空题 12.____ 【答案】： 13.列举法：________ ； 【答案】： 14.，且元素不重复，则____ 。 【答案】： 四、解答题 15.（证明题） 证明：集合仅有一个元素。 【证明】：对方程因式分解得，方程有且仅有一个实数根， 根据集合定义，集合， 故集合仅有一个元素，得证。 16. 用两种方法表示下列集合： （1）小于的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合。 【答案】（1）列举法；描述法： （2） 列举法；描述法： 【解析】（1）小于的自然数为，集合表示为； （2）解方程得，集合表示为。 列举法；描述法： 17. 已知，求实数的值。 【解析】：（1）当（舍） （2） 当、（舍）。 归纳可得实数的值为. 18.已知集合，求集合的所有元素. 【解析】：因式分解方程得，根为或。 1 时，； ②时，. 19.(创新) 给定非空实数集合 ，定义集合 的“自差集”：。 (1) 已知集合 ，求 ； (2) 若集合（），求： . 【解析】(1)根据“自差集”定义 ，将 中元素两两作差，枚举所有情况： ， ， . 由集合元素的互异性，剔除重复元素， 可得：。 (2) 由已知 ，，根据自差集定义枚举所有差值： 。 可得 . 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $