第2讲 集合间的基本关系题型训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2讲 集合的基本关系 一、知识讲解 1、集合间的基本关系 是的子集：； 是的真子集，记为 2、子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个 3、空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 二、必过题型 【一】子集与空集的含义 1.（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 2．（24-25高一上·全国）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 3．（25-26高一上·全国）已知集合，，则满足条件，且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 4.（25-26高一上·天津）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 5.（23-24高一上·江苏）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 6．（25-26高一上·浙江·多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 7.（25-26高三上·安徽）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 8.（24-25高一上·辽宁大连）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【二】相等集合、子集的判断 9.（23-24高一上·北京）设集合，则（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 11.（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 12．（2025高一上·全国）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 13.（25-26高一上·陕西·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·河南许昌）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【三】分类讨论与新定义 15．（23-24高一上·上海·期中）已知，，若，求m的值． 16.（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围． 17．（2025高一·江苏）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．（2025高一·全国）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（25-26高一上·河北·多选）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·广东）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 集合的基本关系 一、知识讲解 1、集合间的基本关系 是的子集：； 是的真子集，记为 2、子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个 3、空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 二、必过题型 【一】子集与空集的含义 1.（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【解答过程】集合的所有子集有：， ，1，3，5，7分别在子集中各出现8次，.故选：B． 2．（24-25高一上·全国）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【详解】因为集合满足，所以，，，又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个，故选：A. 3．（25-26高一上·全国）已知集合，，则满足条件，且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即．故选：D 4.（25-26高一上·天津）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【解答过程】集合为空集，故.故选：A. 5.（23-24高一上·江苏）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得；综上所述，或.故选：D 6．（25-26高一上·浙江·多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【解答过程】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解，则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解，故或时，方程有1个解.故选：ABC. 7.（25-26高三上·安徽）已知集合，，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【解答过程】因为集合，，若， 所以关于的方程只有一个实数根，则，故， 所以， 则，故，所以，故.故选：B. 8.（24-25高一上·辽宁大连）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答过程】方程整理得，则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即.选：D.【增根的介绍】 【二】相等集合、子集的判断 9.（23-24高一上·北京）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由可知，集合表示的是的奇数倍； 由可知，集合表示的是的整数倍； 即可知是的真子集，即.故选：B 10.（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以，故选：A. 11.（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【解答过程】，，， 因为，所以表示被6除余数为1的数；集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集.故选：A. 12．（2025高一上·全国）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【解答过程】集合， ，所以，， ，所以⫋.故选：A. 13.（25-26高一上·陕西·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，， 若，则有或或，当时，则； 当时，则，解得；当时，则，解得； 故实数的取值集合是.故选：A. 14．（2025·河南许昌）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以解得，即a的取值范围是.故选：D. 【三】分类讨论与新定义 15．（23-24高一上·上海·期中）已知，，若，求m的值． 【详解】，若则，满足， 若则，则或， 解得或，所以或或. 16.（24-25高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围． 【解答过程】（1）因为，， 所以，解得，故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为；综上，实数a的取值范围为. 17．（2025高一·江苏）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答过程】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数，而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确．故选：A． 18．（2025高一·全国）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答过程】由且可得：若，则，所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素；若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素；若，则，若，则，若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有.故选：B． 19．（25-26高一上·河北·多选）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或，若，则； 若，则；若，则；故选：ABD. 20．（25-26高一上·广东）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【解答过程】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或，则或或 （2）因为集合是“等差集”，所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以，经检验，当时，集合，满足，故. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $