1.2《集合间的基本关系经典题型》分类训练-2026-2027学年高一上学期数学人教版必修第一册

**基本信息** 以七大题型构建“概念理解-关系应用-参数综合”三阶训练，56题覆盖集合关系全考点，梯度递进培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|子集、集合相等、真子集定义|直接考查概念辨析（如第1题判断子集不成立含义）| |关系应用层|空集性质、集合关系判断、子集个数计算|结合集合性质与运算（如第17题由子集个数求参数）| |综合提升层|含参数集合关系、多条件子集问题|需分类讨论与逻辑推理（如第55题B⊆A的参数范围求解）|

《集合间的基本关系经典题型》分类训练 （七大题型，共56小题） 题型一：子集的概念 1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 2．集合{0，1，2，4}的一个子集为（　　） A．{0，2} B．{2，6} C．{2，4，6} D．{1，2，3} 3．已知集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，则（　　） A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P 4．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2﹣a+1}，若B⊆A，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣1或2 题型二：集合相等的概念 5．下列各组中两个集合相等的是（　　） （1）P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}； （2）； （3）P＝{x|x＝2m+1，m∈Z}，Q＝{x|x＝4m±1，m∈Z}； （4）P＝{y|y＝x2+1}，Q＝{x|y＝x2+1}． A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4） 6．下列各组中的两个集合相等的是（　　） ①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，②P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N+}，Q＝{x|x＝2n+1，x∈N+}，③P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 7．下列各组中，集合P与集合Q相等的一组是（　　） A．P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|y＝x2} B．P＝{（3，﹣5}），Q＝{（﹣5，3）} C．P＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，Q＝{x|x＝4k±1，k∈N*} D．P＝{m|m＝3k+1，k∈Z}，Q＝{m|m＝3k﹣2，k∈Z} 8．下列各组中，两个集合相等的是（　　） A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z} D．M＝{（x，y）|1}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2} 题型三：真子集的概念 9．在下列集合中，{1，2，3}是其真子集的是（　　） A．{1，2，3} B．{2，3，4，5} C．{x|x＞0} D．{x|x＞1} 10．已知集合A＝{1，2，3}，下列集合是集合A的真子集的是（　　） A．{1，2，3} B．{2，3} C．{﹣1，2，3} D．{1，2，3，4} 11．已知集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }，则下列集合是A的真子集的是（　　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{ 1，﹣1 } 题型四：空集及其性质 12．给出下列命题，其中正确的个数是（　　） ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③任何一个集合都有两个或两个以上的子集； ④若集合B⊆A，则若元素不属于A，则必不属于B． A．1 B．2 C．3 D．4 13．下列写法中正确的是（　　） A．{0}∈{0，1} B．0∈∅ C．∅⊆{0} D．∅∈{0，1} 14．下列集合中表示空集的是（　　） A．{∅} B．{0} C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0} 15．下列是关于∅的描述，其中错误的是（　　） A．∅⊆∅ B．∅∈∅ C．∅⊆{∅} D．∅∈{∅} 16．写出下列关系正确的序号 　 　 ． （1）{a}⊆{a}；（2）{1，2，3}＝{3，2，1}；（3）∅⊂{0}；（4）0∈{0}；（5）∅∈{0}；（6）∅＝{0}． 17．已知集合B＝{x|mx2+4x+1＝0，x∈R}的所有子集只有两个，则实数m的值为　 　 ． 18．设集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}，若集合A的子集有且仅有两个，则实数a的值为　 　 ． 19．已知集合A＝{x∈R|2x2﹣3x+1＝0}，写出集合A的所有子集． 20．已知集合A＝{a﹣3，2a2+5a，0}，且﹣3∈A． （1）求实数a的取值的集合M； （2）写出（1）中集合M的所有子集． 21．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}． （1）若a＝1，写出A的所有子集； （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值． 22．已知集合A＝{1﹣a，a2﹣2a﹣1}，且2∈A； （1）求实数a； （2）写出A的所有真子集． 题型五：集合与集合间关系的判断 23．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{菱形}，则下列结论正确的是（　　） A．A⫋B⫋C⫋D B．A⫋B⫋D⫋C C．A⫋D⫋B⫋C D．A⫋D⫋C⫋B 24．设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M与N关系不确定 25．已知集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　　） A．M∩N＝∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M与N的关系不确定 26．设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M⫋N C．M⊆N D．M⫌N 27．设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则M、N之间的关系为（　　） A．M⫋N B．M⫌N C．M＝N D．M∩N＝∅ 28．集合M＝{x|x（2k+1），k∈Z}，N＝{x|x±，k∈Z}，则集合M与N的关系为（　　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫌M D．M与N关系不确定 29．（多选）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，Q为有理数集，则下列式子表示正确的是（　　） A．2∉A B．{﹣1}∈A C．A⊆Q D．{1，﹣1}⊆A 题型六：有限集合子集或真子集个数的确定 30．已知集合A＝{x∈N|0＜x＜3}，则集合A的子集个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 31．已知集合A＝{1，3}，则集合A的真子集有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 32．已知集合A＝{2，3，4}，B＝{0，1}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}的子集个数为（　　） A．1 B．8 C．10 D．16 33．满足{2}⫋A⫋{2，4，6}的集合A的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 34．满足{0}⊆M⫋{0，1，2，3}的集合M的个数为（　　） A．3 B．6 C．7 D．8 35．已知集合M满足{0，1}⫋M⊆{0，1，2，3，4}，则满足条件的M的个数是（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 36．已知集合M满足{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e，f}，则不同的M有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 37．已知集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，{1，3}⊆A⊆{1，2，3，5，6}，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 38．（多选）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，则下列说法正确的有（　　） A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有5个元素 D．集合A有16个子集 题型七：集合关系中的参数取值问题 39．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，3}，B＝{x|a＜x＜4}，若A⊆B，则a的取值范围是（　　） A．{a|-2≤a＜4} B．{a|-2＜a＜4} C．{a|a<﹣2} D．{a|a≤﹣2} 40．已知集合A＝{﹣1，5}，B＝{﹣1，m+1，m2+1}，若A⊆B，则实数m的取值集合为（　　） A．{4} B．{﹣2，2} C．{2，4} D．{﹣2，2，4} 41．已知集合A＝{1，2，a2+2}，B＝{1，3a}，若B⊆A，则a＝（　　） A．1或2 B．2 C．3 D．1或2或 42．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　　） A．a≥1 B． C． D．a≤1 43．已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，且A⊆B，则a的取值范围为（　　） A．2≤a≤7 B．6≤a≤7 C．a≤7 D．a＜6 44．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　　） A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3} 45．（多选）设集合A＝{x|﹣x2+x+2＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B⊆A，则实数m的值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 46．（多选）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣2ax+1＝0}，且B⊆A，则实数a可能的取值是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．2 47．（多选）已知集合A＝{x|ax＝x﹣1，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}，若A⊆B，则实数a的值可以是（　　） A． B． C．0 D．1 48．（多选）已知集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，且A＝{1，a2﹣2a+2，a2+1}，则a的可能取值为（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．1 49．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则A＝　 　 ． 50．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥m}，且A⊆B，则实数m的取值范围是　 　 ． 51．若A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}，A⊆B，则a的取值范围是 　 　 ． 52．已知集合A＝{2，3}，B＝{x|ax+1＝0}，且B⊆A，则a的值所构成的集合为　 　 ． 53．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是 　 　 ． 54．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 55．设集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R}， （1）求A的子集； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 56．设集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}． （1）若，试判定集合A与B的关系； （2）若B⊆A，求实数a的取值集合． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《集合间的基本关系经典题型》分类训练 （七大题型，共56小题） 题型一：子集的概念 1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　C　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【解析】 ∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B。 2．集合{0，1，2，4}的一个子集为（　A　） A．{0，2} B．{2，6} C．{2，4，6} D．{1，2，3} 【解析】 因为0∈{0，1，2，4}，2∈{0，1，2，4}，所以{0，2}⊆{0，1，2，4}，故A正确；因为6∉{0，1，2，4}，故BC错误；因为3∉{0，1，2，4}，故D错误． 3．已知集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，则（　C　） A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P 【解析】 集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{﹣1，0，1}，可知集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P． 4．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2﹣a+1}，若B⊆A，则实数a＝（　C　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣1或2 【解析】 因为B⊆A，所以必有a2﹣a+1＝3或a2﹣a+1＝a．①若a2﹣a+1＝3，即a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或a＝2．当a＝﹣1时，A＝{1，3，﹣1}，B＝{1，3}，满足条件．当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件．②若a2﹣a+1＝a，则a2﹣2a+1＝0，解得a＝1．此时A＝{1，3，1}不满足集合元素的互异性，所以a＝1，不成立．综上a＝﹣1或a＝2． 题型二：集合相等的概念 5．下列各组中两个集合相等的是（　B　） （1）P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}； （2）； （3）P＝{x|x＝2m+1，m∈Z}，Q＝{x|x＝4m±1，m∈Z}； （4）P＝{y|y＝x2+1}，Q＝{x|y＝x2+1}． A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4） 【解析】 （1）P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}都为偶数集，故P＝Q；（2），则P＝{1，﹣1}，Q＝{1，0}，P≠Q；（3）P＝{x|x＝2m+1，m∈Z}，Q＝{x|x＝4m±1，m∈Z}都为奇数集，P＝Q；（4）P＝{y|y＝x2+1}＝[1，+∞），Q＝{x|y＝x2+1}＝R，P≠Q． 6．下列各组中的两个集合相等的是（　B　） ①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，②P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N+}，Q＝{x|x＝2n+1，x∈N+}，③P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【解析】 对于①：P，Q都表示偶数，是相等集合；对于②：P＝{1，3，5，7，••}，Q＝{3，5，7，…}，集合Q是集合P的子集，不相等；对于③：P＝{0，1}，Q＝{0，1}，相等。 7．下列各组中，集合P与集合Q相等的一组是（　D　） A．P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|y＝x2} B．P＝{（3，﹣5}），Q＝{（﹣5，3）} C．P＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，Q＝{x|x＝4k±1，k∈N*} D．P＝{m|m＝3k+1，k∈Z}，Q＝{m|m＝3k﹣2，k∈Z} 【解析】 由于A中P＝{y|y＝x2}＝[0，+∞），Q＝{x|y＝x2}＝R，所以P与Q不表示同一个集合，而B中P，Q中的元素不表示同一个点，所以P与Q不表示同一个集合，C中P＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}＝{1，3，5，7，…}，Q＝{x|x＝4k±1，k∈N*}＝{3，5，7，9…}，元素不全相同，所以P与Q不能表示同一个集合．D中P＝{m|m＝3k+1，k∈Z}，Q＝{m|m＝3k﹣2，k∈Z}＝{m|m＝3（k﹣1）+1，k∈Z}元素相同，元素相同，表示同一集合． 8．下列各组中，两个集合相等的是（　C　） A．M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z} D．M＝{（x，y）|1}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2} 【解析】 A中，M＝{（1，2）}，N＝{（2，1）}，M≠N；B中，M＝{1，2}，N＝{（1，2）}，M≠N； C中，M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}表示全体奇数集合，N＝{x|2k﹣1，k∈Z}也表示全体奇数集合，故M＝N，D中，M＝{（x，y）|1}＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2，x≠2}，N＝{（x，y）|y﹣1＝x﹣2}，M≠N 题型三：真子集的概念 9．在下列集合中，{1，2，3}是其真子集的是（　C　） A．{1，2，3} B．{2，3，4，5} C．{x|x＞0} D．{x|x＞1} 【解析】 {1，2，3}是{1，2，3}的子集，故A错误；{2，3，4，5}不包含元素1，故B错误；{1，2，3}是其真子集的是{x|x＞0}，故C正确；{x|x＞1}不包含元素1，故D错误． 10．已知集合A＝{1，2，3}，下列集合是集合A的真子集的是（　B　） A．{1，2，3} B．{2，3} C．{﹣1，2，3} D．{1，2，3，4} 【解析】 根据真子集的定义可知，{2，3}是A的真子集． 11．已知集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }，则下列集合是A的真子集的是（　C　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{ 1，﹣1 } 【解析】 集合A＝{ x|x2﹣1＝0 }＝{﹣1，1}，∴集合A的真子集有∅，{﹣1}，{1}． 题型四：空集及其性质 12．给出下列命题，其中正确的个数是（　A　） ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③任何一个集合都有两个或两个以上的子集； ④若集合B⊆A，则若元素不属于A，则必不属于B． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ①空集是它本身的子集，因此不正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，因此不正确；③任何一个集合都有两个或两个以上的子集，空集只有一个子集，是它本身，因此不正确；④若集合B⊆A，则若元素不属于A，则一定不属于B，因此正确．综上只有④正确． 13．下列写法中正确的是（　C　） A．{0}∈{0，1} B．0∈∅ C．∅⊆{0} D．∅∈{0，1} 【解析】 对于A：由集合间的关系知，{0}⊆{0，1}，A错误；对于B：∅是没有元素的，所以0∉∅，B错误；对于C：空集是任何集合的子集，所以C正确；对于D：∅⊆{0，1}，是集合与集合之间的关系，选项D错误． 14．下列集合中表示空集的是（　D　） A．{∅} B．{0} C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0} 【解析】 对于A和B，集合{∅}和集合{0}都存在一个元素，不为∅，故AB都不符合题意；对于C，由x2+x﹣1＝0，则Δ＝1+4＝5＞0，即该方程存在两个不相等的实数根，所以集合{x∈R|x2+x﹣1＝0}≠∅，故C不符合题意；对于D，由x2+x+1＝0，则Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，即该方程不存在实数根，所以集合{x∈R|x2+x+1＝0}＝∅，故D符合题意． 15．下列是关于∅的描述，其中错误的是（　B　） A．∅⊆∅ B．∅∈∅ C．∅⊆{∅} D．∅∈{∅} 【解析】 空集不含任何元素，∴∅∈∅错误． 16．写出下列关系正确的序号 　　 ．（1）（2）（3）（4） （1）{a}⊆{a}； （2）{1，2，3}＝{3，2，1}； （3）∅⊂{0}； （4）0∈{0}； （5）∅∈{0}； （6）∅＝{0}． 【解析】 （1）{a}⊆{a}正确；（2）由集合的元素的无序性可知，{1，2，3}＝{3，2，1}，故正确； （3）由空集是任何非空集合的真子集，∅⊂{0}故正确；（4）由元素与集合的关系有0∈{0}，）∅⊂{0}正确；（5）∅与{0}是集合，不能用∈关系，∅∈{0}不正确；（6）∅没有任何元素，{0}是以0为元素的集合，∅＝{0}不正确． 17．已知集合B＝{x|mx2+4x+1＝0，x∈R}的所有子集只有两个，则实数m的值为　　 ．0或4 【解析】 因为集合B＝{x|mx2+4x+1＝0，x∈R}的所有子集只有两个，所以集合B中只有一个元素，当m＝0时，集合B＝{x|4x+1＝0}＝{}，符合题意，当m≠0时，则Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4，综上所述，实数m的值为0或4． 18．设集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}，若集合A的子集有且仅有两个，则实数a的值为　　 ．0或1 【解析】 因为集合A的子集有且仅有两个，所以集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}为单元素集，①当a≠0时，要使方程ax2﹣2x+1＝0只有一解，则Δ＝（﹣2）2﹣4a＝0⇒a＝1，此时集合A＝{1}，符合题意；②当a＝0时，﹣2x+1＝0，解得，此时集合，符合题意；综上，实数a的值为0或1． 19．已知集合A＝{x∈R|2x2﹣3x+1＝0}，写出集合A的所有子集． 【解析】 由2x2﹣3x+1＝0，解得，所以，所以集合A的所有子集分别为：∅，{1}，，． 20．已知集合A＝{a﹣3，2a2+5a，0}，且﹣3∈A． （1）求实数a的取值的集合M； （2）写出（1）中集合M的所有子集． 【解析】 （1）∵﹣3∈A，则﹣3＝a﹣3或﹣3＝2a2+5a，∴a＝0，或a＝﹣1，或a，当a＝0时，2a2+5a＝0，集合A不满足互异性，∴a＝0（舍去），当a＝﹣1时，A＝{﹣4，﹣3，0}；当a时，A＝{，﹣3，0}，故a的取值集合M＝{﹣1，}， （2）由（1）知M＝{，﹣1}，∴M的子集为∅，{，{﹣1}，{，﹣1}． 21．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}． （1）若a＝1，写出A的所有子集； （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值． 【解析】 （1）当a＝1时，集合A＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，其子集有∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）当a＝0时，集合A＝{x∈R|﹣3x+2＝0}＝{}，满足要求；当a≠0时，要满足题意只需方程ax2﹣3x+2＝0有两个相同的解，即Δ＝（﹣3）2﹣4a•2＝0，解得，代入方程，解得，此时集合，满足要求，综上，a的值为0或． 22．已知集合A＝{1﹣a，a2﹣2a﹣1}，且2∈A； （1）求实数a； （2）写出A的所有真子集． 【解析】 （1）因为2∈A，所以1﹣a＝2或a2﹣2a﹣1＝2，当1﹣a＝2，即a＝﹣1时，a2﹣2a﹣1＝2，不满足集合元素的互异性，当a2﹣2a﹣1＝2时，解得a＝﹣1（不满足集合元素互异性，舍去）或3，故当a＝3时，1﹣a＝﹣2，A＝{﹣2，2}，符合题意，综上所述，实数a＝3； （2） 由（1）得A＝{﹣2，2}，故A的所有真子集为∅，{﹣2}，{2}． 题型五：集合与集合间关系的判断 23．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{菱形}，则下列结论正确的是（　C　） A．A⫋B⫋C⫋D B．A⫋B⫋D⫋C C．A⫋D⫋B⫋C D．A⫋D⫋C⫋B 【解析】 根据正方形，平行四边形，四边形，菱形的定义可知，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的四边形，故A⫋D⫋B⫋C． 24．设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　B　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M与N关系不确定 【解析】 对于集合M：，k∈Z，对于集合N：，k∈Z，∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，∴M⫋N 25．已知集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　B　） A．M∩N＝∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M与N的关系不确定 【解析】 集合M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}表示奇数集，，表示有整数也有分数，则M⊆N． 26．设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　B　） A．M＝N B．M⫋N C．M⊆N D．M⫌N 【解析】 M＝{x|x，k∈Z}，对于集合N，当k＝2m（m∈Z）时，x，m∈Z；当k＝2m﹣1（m∈Z）时，x，m∈Z．∴M⫋N 27．设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则M、N之间的关系为（　A　） A．M⫋N B．M⫌N C．M＝N D．M∩N＝∅ 【解析】 ∵M＝{x|x，k∈Z}＝{x|x＝（2k±1），k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}＝{x|x（k+2），k∈Z}；∴M⫋N 28．集合M＝{x|x（2k+1），k∈Z}，N＝{x|x±，k∈Z}，则集合M与N的关系为（　A　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫌M D．M与N关系不确定 【解析】 集合M＝{x|x（2k+1），k∈Z}，N＝{x|x±，k∈Z}＝{x|x（4k±1），k∈Z}，对于集合M，当k＝2m（m∈Z）时，x（4m+1），m∈Z；当k＝2m﹣1（m∈Z）时，x（4m﹣1），m∈Z．∴M＝N． 29．（多选）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，Q为有理数集，则下列式子表示正确的是（　ACD　） A．2∉A B．{﹣1}∈A C．A⊆Q D．{1，﹣1}⊆A 【解析】 A＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，因为2不在集合A中，所以2∉A，故A正确；因为{﹣1}是一个集合，所以{﹣1}⊆A，故B错误；因为集合A中的元素﹣1和1都是有理数，所以A⊆Q，故C正确；因为集合{1，﹣1}中的元素都在集合A中，所以{1，﹣1}⊆A，故D正确． 题型六：有限集合子集或真子集个数的确定 30．已知集合A＝{x∈N|0＜x＜3}，则集合A的子集个数为（　C　） A．2 B．3 C．4 D．8 【解析】 因为A＝{x∈N|0＜x＜3}＝{1，2}，集合元素个数为2，所以集合A的子集个数为22＝4． 31．已知集合A＝{1，3}，则集合A的真子集有（　A　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解析】 由已知可得集合A有2个元素，故真子集个数为22﹣1＝3． 32．已知集合A＝{2，3，4}，B＝{0，1}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}的子集个数为（　D　） A．1 B．8 C．10 D．16 【解析】 集合A＝{2，3，4}，B＝{0，1} 则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}＝{2，3，4，5}，所以集合C的子集有24＝16个． 33．满足{2}⫋A⫋{2，4，6}的集合A的个数为（　A　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 因为{2}为A的真子集，所以2∈A，又因为A为{2，4，6}的真子集，所以A＝{2，4}或{2，6}，即集合A的个数为2． 34．满足{0}⊆M⫋{0，1，2，3}的集合M的个数为（　C　） A．3 B．6 C．7 D．8 【解析】 因为{0}⊆M⫋{0，1，2，3}，所以满足条件的集合M为{0}，{0，1}，{0，2}，{0，3}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，共7个． 35．已知集合M满足{0，1}⫋M⊆{0，1，2，3，4}，则满足条件的M的个数是（　A　） A．7 B．8 C．15 D．16 【解析】 由集合M满足{0，1}⫋M，可知集合M中至少含有三个元素（必须包含1和0），且是集合{0，1，2，3，4}的子集；因此若M中含有三个元素，则M可以是{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}；若M中含有四个元素，则M可以是{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，2，4}；若M中含有五个元素，则M可以是{0，1，2，3，4}，所以满足条件的M的个数是7个． 36．已知集合M满足{a，b，c}⊆M⊆{a，b，c，d，e，f}，则不同的M有（　D　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解析】 已知集合M满足{a，b，c}⊆M∈{a，b，c，d，e，f}，若M中有三个元素，则M＝{a，b，c}；若M中有四个元素，则M＝{a，b，c，d}或{a，b，c，e}或{a，b，c，f}；若M中有五个元素，则M＝{a，b，c，d，e}或{a，b，c，d，f}或{a，b，c，e，f}；若M中有六个元素，则M＝{a，b，c，d，e，f}，共有8个． 37．已知集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，{1，3}⊆A⊆{1，2，3，5，6}，则满足条件的集合A的个数为（　B　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【解析】 由题意可知，集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，一定不包含4和6，所以A＝{1，2，3}或{1，2，3，5}，即满足条件的集合A的个数为2个． 38．（多选）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}，则下列说法正确的有（　AD　） A．1∈A B．{2，3}⊆A C．A中有5个元素 D．集合A有16个子集 【解析】 由题意可知，A＝{x∈Z|﹣2≤x﹣1≤1}＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}＝{﹣1，0，1，2}，所以1∈A，故A正确；因为3∉A，所以{2，3}⊄A，故B错误；集合A中有4个元素，故C错误；因为A中有4个元素，所以A有24＝16个子集，故D正确． 题型七：集合关系中的参数取值问题 39．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，3}，B＝{x|a＜x＜4}，若A⊆B，则a的取值范围是（　C　） A．{a|-2≤a＜4} B．{a|-2＜a＜4} C．{a|a<﹣2} D．{a|a≤﹣2} 【解析】 根据A⊆B，则需要满足集合A中元素都在B中，可得a＜﹣2． 40．已知集合A＝{﹣1，5}，B＝{﹣1，m+1，m2+1}，若A⊆B，则实数m的取值集合为（　C　） A．{4} B．{﹣2，2} C．{2，4} D．{﹣2，2，4} 【解析】 集合A＝{﹣1，5}，B＝{﹣1，m+1，m2+1}，由A⊆B，得m+1＝5或m2+1＝5，得m＝4或m＝±2，经检验，m＝﹣2不合题意，故实数m的取值集合为{2，4} 41．已知集合A＝{1，2，a2+2}，B＝{1，3a}，若B⊆A，则a＝（　D　） A．1或2 B．2 C．3 D．1或2或 【解析】 ∵B＝{1，3a}，由B⊆A，可得2∈A或3a∈A，∵集合A＝{1，2，a2+2}，∴当3a＝2时，a， 当3a＝a2+2时，则a＝1或2，经检验均符合要求，故a＝1或2或 42．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　C　） A．a≥1 B． C． D．a≤1 【解析】 由已知可得集合A非空，且A⊆B，所以B必为非空集，则需满足，解得，综上，实数a的取值范围为[，1]． 43．已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，且A⊆B，则a的取值范围为（　C　） A．2≤a≤7 B．6≤a≤7 C．a≤7 D．a＜6 【解析】 如图所示，若A⊆B，需要分2种情况讨论：当A为空集，即3a﹣5＜2a+1时，解不等式3a﹣5＜2a+1，可得a＜6，因为空集是任何集合的子集，所以当a＜6时，A＝∅⊆B， 当A不为空集时，3a﹣5≥2a+1时，解不等式3a﹣5≥2a+1，可得a≥6，已知A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，若A⊆B，则有，解可得：2≤a≤7，又因为前提是a≥6，所以6≤a≤7，综合可得：a≤7． 44．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　C　） A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3} 【解析】 由题意可知，集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B⫋A，当B＝∅时，则m+1＞2m﹣1，解得m＜2，当B≠∅时，则，或，解得2≤m≤3，综上所述，m的取值范围是{m|m≤3}． 45．（多选）设集合A＝{x|﹣x2+x+2＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B⊆A，则实数m的值可以是（　ABD　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 【解析】由题意可知，A＝{x|﹣x2+x+2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{x|mx＝1}，当m＝0时，B＝∅，满足B⊆A，符合题意，当m≠0时，B＝{}，由B⊆A可得，1或2，解得m＝﹣1或m，综上所述，实数m的值为0或﹣1或． 46．（多选）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣2ax+1＝0}，且B⊆A，则实数a可能的取值是（　AB　） A． B．0 C．﹣1 D．2 【解析】 因为集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|x2﹣2ax+1＝0}，且B⊆A，所以B＝∅或{1}或{2}或{1，2}，当B＝∅时，则Δ＝（﹣2a）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜1，当B＝{1}时，则，解得a＝1，当B＝{2}时，则，无解，当B＝{1，2}时，则，无解，综上所述，实数a的取值范围为（﹣1，1]． 47．（多选）已知集合A＝{x|ax＝x﹣1，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}，若A⊆B，则实数a的值可以是（　ABD　） A． B． C．0 D．1 【解析】 A＝{x|ax＝x﹣1，a∈R}＝{x|（a﹣1）x＝﹣1，a∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣56＝0}＝{﹣7，8}，当a＝1时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠1时，，则或，解得或．综上所述，a＝1或或． 48．（多选）已知集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，且A＝{1，a2﹣2a+2，a2+1}，则a的可能取值为（　AC　） A．2 B．0 C．﹣1 D．1 【解析】 因为集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A中一定有元素2，又A＝{1，a2﹣2a+2，a2+1}，所以当a2﹣2a+2＝2时，解得a＝0或2，当a＝0时，集合A＝{1，2，1}与集合元素的互异性矛盾，所以a≠0；当a＝2时，集合A＝{1，2，5}满足题意；当a2+1＝2时，解得a＝1或﹣1，当a＝1时，集合A＝{1，1，2}与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝﹣1时，集合A＝{1，5，2}满足题意，综上，实数a的值为﹣1或2． 49．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则A＝　　 ．{1，3，4} 【解析】 由题意可知，集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，且B⊆A，所以a+2＝3或a+2＝a2，解得a＝1或a＝﹣1或a＝2，当a＝1时，集合A中的元素不满足互异性，舍去，当a＝﹣1时，集合A中的元素不满足互异性，舍去，当a＝2时，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意，综上所述，A＝{1，3，4}． 50．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥m}，且A⊆B，则实数m的取值范围是　　 ．{m|m≤1} 【解析】 因为集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥m}，且A⊆B，所以m≤1，故实数m的取值范围为{m|m≤1} 故答案为：（﹣∞，1]． 51．若A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}，A⊆B，则a的取值范围是 　　 ．{a|a≤3} 【解析】 由题意可知，A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}，且A⊆B，当A＝∅时，则a+1＞2a﹣1，解得a＜2，当A≠∅，则，解得2≤a≤3，综上所述，a的取值范围是{a|a≤3}． 52．已知集合A＝{2，3}，B＝{x|ax+1＝0}，且B⊆A，则a的值所构成的集合为　　 ．{0，，} 【解析】 由题意可知，集合A＝{2，3}，B＝{x|ax+1＝0}，且B⊆A，当a＝0时，B＝∅，符合题意， 当a≠0时，B＝{}，则2或3，解得a或，所以a的值所构成的集合为{0，，}． 53．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是____　 ．{a|a≤-2} 【解析】 因为集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，所以a≤﹣2，所以实数a的取值范围是{a|a≤-2} 54．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】 由B⊆A，①当m＞2m﹣1即m＜1时，B＝∅，满足B⊆A，②当B≠∅时，由B⊆A，得：， 解得：1，综合①②得：实数m的取值范围为：{m|m≤} 55．设集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R}， （1）求A的子集； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，∵x2+4x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣4，∴集合A＝{﹣4，0}．那么集合A的子集为：{﹣4}，{0}，{﹣4，0}和∅． （2）集合B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R} 由方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0 ∵Δ＝4（a+1）2﹣4a2+4，当Δ＜0时，即a＜﹣1．∴方程无解，此时B⊆A成立．当Δ＝0时，即a＝﹣1，方程有一个解，①x1＝0，即a2﹣1＝0，解得a＝±1，故得a＝﹣1．②x2＝﹣4，即a2﹣8a+7＝0，解得a＝1或a＝7，故a无解．当Δ＞0时，即a＞﹣1，方程有两解，x1＝0，x2＝﹣4，解得a＝1，综上所得：B⊆A，实数a的取值范围是{a|a≤﹣1或a＝1}． 56．设集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}． （1）若，试判定集合A与B的关系； （2）若B⊆A，求实数a的取值集合． 【解析】 （1）由x2﹣8x+15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当由ax﹣1＝0得x＝5．∴B＝{5}，∴B⫋A． （2）当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B，由B⊆A得，∴．综上所述，实数a的取值集合为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $