专题一 集合中的参数问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以有限集与无限集为逻辑主线，通过分类讨论、元素互异性检验等方法系统解决集合含参问题，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有限集的参数问题|例1-2（元素性质）、例3（集合相等）、例4-5（方程根数量）|元素互异性分类讨论；集合相等元素对应；方程根数量分类（空集/单元素/多元素）|从元素性质到集合相等，再到方程根数量，构建“元素-集合-方程”概念链条| |无限集的参数问题|例6-7（子集）、例8（交集为空）、例9（交集非空）、例10（并集为R）、例11（给定交并集）|子集分类讨论（空集/非空集）；交集空集边界分析；交集非空补集思想；并集为R端点覆盖；交并集结果方程求解|从子集关系到交并集运算，深化集合间关系的逻辑推理应用|

专题一 集合含参问题 一、有限集的参数问题 1.与元素性质有关的含参问题 【例1】若，则实数 . 【例2】已知集合中的所有元素之和为2，则实数的取值集合为 . 2.与集合相等有关的含参问题 【例3】已知集合，，若，则 . 3.与方程根的数量有关的含参问题 【例4】已知集合，，若，求. 【例5】已知集合有2个子集，求. 二、无限集的参数问题 1.与子集有关的含参问题 【例6】已知集合，，，则 . 【例7】(1)已知集合，，，求的取值范围. (2)已知集合，，，求的取值范围. (3)已知集合，，，求的取值范围. 2.与交集为空集有关的的含参问题 【例8】已知集合，，，求的取值范围. 3.与交集不为空集的含参问题 【例9】集合，，，求的取值范围. 4.与并集为实数集有关的含参问题 【例10】已知集合，，，求的取值范围. 5.与给定交并集结果有关的含参问题 【例11】已知集合，，，求的取值范围. 专题一 集合含参问题参考答案 一、有限集的参数问题 1.与元素性质有关的含参问题 【例1】若，则实数 . 解：设集合， ①当，即时，，符合元素互异性，成立； ②当，即时，此时，不符合元素互异性，不成立； ③当时，即或. 若，则，符合元素互异性，成立； 若，则，符合元素互异性，成立. 综上所述，实数或或. 【例2】已知集合中的所有元素之和为2，则实数的取值集合为 . 解：∵， ∴①当有两个不相等的实数根，，即时，有 ，解得：，且. 若，则集合中的所有元素之和为，不符合题意； 若或，则集合， 此时集合中的所有元素之和为，符合题意； ②当有两个相等的实数根，即时，有 ，解得：，且. 此时集合， 集合中的所有元素之和为，不符合题意； ③当有没有实数根，即时，有 ，解得：. 此时集合， 集合中的所有元素之和为，符合题意. 综上所述，实数的取值集合为. 2.与集合相等有关的含参问题 【例3】已知集合，，若，则 . 解：由元素互异性可知：，即，故 . 因此，，即. 故，. ∵， ∴ 解得：（舍）或或. ①当时，，不符合元素互异性，不成立； ②当时，，，符合，成立. 故. 3.与方程根的数量有关的含参问题 【例4】已知集合，，若，求. 解：∵， ∴①当时，，解得：. ②当时， 若，则，解得：，此时； 若，则，解得：，此时. 综上，. 【例5】已知集合有2个子集，求. 解：∵集合有2个子集， ∴集合只有一个元素. ①当时，，成立； ②当时，，即，此时，成立. 综上，或. 二、无限集的参数问题 1.与子集有关的含参问题 【例6】已知集合，，，则 . 解：∵， ∴. ①当时，； ②当时，，， ∴ 解得：. 综上，或. 【例7】(1)已知集合，，，求的取值范围. 解：∵， ∴①当时，，解得：； ②当时，，解得：. 综上，的取值范围为. (2)已知集合，，，求的取值范围. 解：∵， ∴. ①当时，，解得：； ②当时，，解得：. 综上，的取值范围为. (3)已知集合，，，求的取值范围. 解：∵， ∴①当时，，解得：； ②当时，或，解得：. 综上，的取值范围为. 2.与交集为空集有关的的含参问题 【例8】已知集合，，，求的取值范围. 解：∵， ∴①当时，，解得：； ②当时，，解得：. 综上，的取值范围为. 3.与交集不为空集的含参问题 【例9】集合，，，求的取值范围. 解：当时，有 ①若时，则，解得：； ②当时，或，解得：. 综上，此时的取值范围为. ∵， ∴的取值范围为. 4.与并集为实数集有关的含参问题 【例10】已知集合，，，求的取值范围. 解：∵， ∴，无解. ∴的取值范围为. 5.与给定交并集结果有关的含参问题 【例11】已知集合，，，求的取值范围. 解：由题意可知： ，解得： 综上，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $