第3讲 集合的基本运算专项训练（培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3讲 集合的基本运算 一、知识讲解 1、集合的基本运算 （1）交集：即． （2）并集：即． （3）补集：即． 2、子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个 3、空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 4、集合之间的基本关系 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 （2）对于集合A，B，C，如果，且，那么 （3）； （4）； 二、必过题型 【题型一】交集 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖南娄底·阶段检测）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 3．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·云南·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建莆田·期中）设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 7．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型二】并集 1．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 7．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（25-26高一上·上海·单元测试）设、是非空集合，定义且.已知，，则________. 9．（25-26高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【题型三】交并补集的综合 1．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 8．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【题型四】韦恩图 1．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高一·上海·课堂例题）若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（25-26高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东烟台·一模）已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北秦皇岛·阶段检测）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    9．（25-26高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为______． 10．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 除草 15 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为__________. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 集合的基本运算 一、知识讲解 1、集合的基本运算 （1）交集：即． （2）并集：即． （3）补集：即． 2、子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个 3、空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 4、集合之间的基本关系 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 （2）对于集合A，B，C，如果，且，那么 （3）； （4）； 二、必过题型 【题型一】交集 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是．故选：A 2．（25-26高三下·湖南娄底·阶段检测）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【详解】解：因为，所以，故选：B 3．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 【详解】由得.当时，，满足； 当时，因为，所以或，解得或.故选：C. 4．（25-26高三上·云南·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由题意知，集合是点集，元素是点，集合是数集，元素是实数，故． 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意：且，解得，即， 由，解得，故.故选：A. 6．（25-26高一上·福建莆田·期中）设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 【详解】由，可得，因为、，必有，且， 所以，或，解得或， 因此，.故选：C. 7．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】集合，集合， 所以.故选：A. 【题型二】并集 1．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【详解】因为， 又，，所以，又， 所以，故选：D. 2．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误.故选：B. 3．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】集合，，则.故选：C. 4．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】集合， 又，所以，则.故选：A 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误；故选：B.   6．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，，则或， 且，所以.故选：B. 7．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【详解】若,则，违反集合的互异性，因为，所以.选：D. 8．（25-26高一上·上海·单元测试）设、是非空集合，定义且.已知，，则________. 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，，故或. 故答案为：或. 9．（25-26高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为，所以元素之和为5或10． 【题型三】交并补集的综合 1．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【详解】因为， 又，，所以， 又，所以，故选：D. 2．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，, 其中组成了所有整数，则,选：A. 3．（25-26高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误.故选：A. 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 5．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以.故选：B. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，三个集合之间的关系如图所示， 所以⫋，，，．故选：C． 7．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意；当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或，故选：D． 8．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以.因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或.即实数的取值范围为或. 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【详解】因为集合，，若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为.故答案为：. 【题型四】韦恩图 1．（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【详解】由题意得，阴影部分可表示为，因为或，， 则或，且，所以.故选：B. 2．（25-26高一·上海·课堂例题）若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【详解】根据可以看出 对A，； 对B，；            对C，  ； 对D，.故选：D 3．（25-26高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以．故选：B. 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误；故选：B.   6．（2024·山东烟台·一模）已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题得，，则或， 所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A 7．（25-26高一上·河北秦皇岛·阶段检测）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即，解得，三项都参加的有4人，故选：C. 8．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或，， 或，故答案为：． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为______． 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则，则由题意可得， 即，解得． 10．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下： 优秀 合格 合计 除草 15 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为__________. 【详解】设集合表示除草优秀的学生，集合表示植树优秀的学生，全班学生用集合表示， 则表示除草合格的学生，表示植树合格的学生，作出图，如图， 设两项劳动都优秀的人数为，两项劳动都合格的人数为， 由图可得，即，因为，所以， 即两个项目中都优秀的同学最多为15.故答案为：15.    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $