第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结（12类热点题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以集合与常用逻辑用语章末总结为核心，通过12类题型系统覆盖概念、运算、逻辑及数学思想，典例与变式结合提升抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合概念与关系|4题型|单选/多选/填空，考查元素三特性与集合关系|从元素定义到集合间关系，构建概念体系| |集合运算|2题型|含参数范围问题，结合数轴分析|运算规则与集合关系综合应用，培养数形结合| |常用逻辑用语|3题型|条件判断与参数求解，强化逻辑推理|从命题真假到条件关系，形成逻辑思维链| |数学思想与新定义|3题型|实际应用与创新题型，提升应用意识|数学思想与新情境融合，体现数学语言表达|

第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01元素（集合）与集合 【典例1】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 【变式1】已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明和，来判断与的相等关系． 【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以； 对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以． 综上所述，有． 故选：C． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 【变式3】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 题型02集合中元素的三个特性 【典例1】（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 【典例2】（多选）（24-25高一上·云南·阶段检测）已知集合，，若，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．12 【答案】ABD 【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值. 【详解】因为，所以或. ①当时，，， 所以或，得或4. 当时，不合题设，舍去. 当时，，，此时. ②当时，，， 所以或，解得：或或 当时，不合题设，舍去. 当时，，此时. 当时，，此时. 故选：ABD 【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________． 【答案】/ 【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得； 【详解】因为集合，且 所以或 （1）当时，此时，符合题意. （2）当时，解得或 当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去； 当时，符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 故答案为： 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为，求这五个数. 【答案】10，11，11，12，13. 【解析】由题意知五个元素中有相同的，且其和为4的倍数推出相等和数为46，从而求出和总和为57，总数减去四个整数的和即为第5个数的值. 【详解】五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相等.而这五个和值之和为，是4的倍数.又，所以这个相等的和值只可能是46，从而，则这五个数分别为，即10，11，11，12，13. 【点睛】本题考查对正整数求和的特征掌握及数学转化的思想应用，属于中档题. 题型03集合的表示方法综合 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【详解】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 【典例2】（24-25高一上·上海黄浦·阶段检测）用列举法表示集合__________． 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 故答案为： 【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题. 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，试问集合与有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合． 【答案】有个相同的元素，. 【分析】根据集合、中描述列举出这两个集合中的元素，可得出两集合相同元素的个数，并得出由这两个集合中相同元素组成的集合. 【详解】对于集合，因为，，所以当时，；当时，；当时，．所以，． 所以集合与有个相同的元素，集合、的相同元素组成的集合为． 【点睛】本题考查列举法表示集合，正确理解集合元素所满足的特征是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 【变式2】（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1）______； （2）______； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【分析】（1）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （2）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （3）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该数集集合； （4）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该点集集合. 【详解】（1）因为，，所以均符合题意， 所以原集合可以表示为. （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合可以表示为. （3）设，则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为 . （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 故答案为：；；；. 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【分析】当，，必然不是自然数，依次代入，验证是否是自然数，从而得到结果. 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 题型04子集（真子集）及其应用 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【分析】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【详解】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 【变式1】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【分析】根据，可得A中，解出的值即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【分析】（1）化简，再结合逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【详解】（1）当时， ， ． 又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 题型05交集、并集、补集运算 【典例1】（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 【典例2】（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 【变式1】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集定义计算即可. 【详解】已知集合的元素是， 集合的元素是，则. 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 【变式3】（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 题型06交集、并集、补集应用 【典例1】（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3 (2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先将代入集合中，再根据集合的并集运算求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用并集的概念和运算法则计算求出，先求出，再利用交集的运算法则计算； （2）利用已知条件得出，，进而列不等式求解． 【详解】（1）当时，集合， 已知集合， ， 或， ． （2）已知且，故，， ，解得， ，故，解得， ，即的取值范围为． 【变式2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合或. (1)当时，求： (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用交集定义计算求解； （2）根据已知转化为，再分，两种情况列式计算求解参数. 【详解】（1）由题知或， 所以； （2）由题知， 若对任意的恒成立，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，即实数的取值范围是 【变式3】（专题01集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，分和两种情况讨论即可求解； （2）先求，由中只有一个整数得，解出即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 又因为，所以， 若，此时，解得； 若，此时，且，解得； 则实数的取值范围是. （2）由（1）有或，由中只有一个整数， 那么这个整数只能是，则，解得， 则实数的取值范围是. 题型07充分性与必要性的判断 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 【典例2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 【变式1】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）设，则“”是“”的____________（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 【答案】充分不必要条件 【分析】解不等式，再利用充分条件和必要条件的概念进行判断. 【详解】因，当时；当时，，得或； 又或 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 【变式3】（24-25高二下·吉林长春·期末）设，，则是的________条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】先化简，根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为或，， 所以由不能推出，而由可以推出， 故是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 题型08根据充分性与必要性求参数 【典例1】（25-26高三上·广东梅州·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 【答案】． 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题可得：，， 因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集； 所以，解得：， 检验：时，，满足条件； 时，，满足条件； 所以综上，实数的取值范围为：； 故答案为： 【典例2】（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）把代入集合，然后求出，； （2）转化条件间的关系为集合间的关系，从而求出的取值范围. 【详解】（1）把代入集合，得 ，， 或. （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 【变式2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 【变式3】（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 题型09根据全称量词命题与存在量词命题真假求参数 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】. 【分析】根据题意，转化为对于任意恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题，使得为假命题， 可得命题，使得为真命题， 即对于任意恒成立，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 【变式2】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知“，”为真命题，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由参变量分离法可得出，求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】因为“，”为真命题， 当时，由可得， 因为函数在上单调递减，则. 综上所述，，即实数的最小值为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高三上·北京·阶段检测）请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 【答案】6（答案不唯一） 【分析】将原题转换为，得即可. 【详解】命题“，使”为假命题，则命题“，使”为真命题， 所以， 而在单调递减，在单调递增， 而离比离远， 所以当时，， 所以. 故答案为：6（答案不唯一）. 题型10数形结合的思想 【典例1】（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【答案】5 【分析】利用Venn图即可求解． 【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5.    【典例2】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解. （2）求出，，分，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以或，； （2）全集 ，， 或， ， 分，两种情况讨论. （1）当时，如图可得，或， 或； （2）当时，应有：，解得； 综上可知，或， 故得实数 的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 【答案】7 【分析】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）已知集合,或，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】由已知，根据条件给的集合A和集合B，结合，通过对集合A进行分类讨论，讨论集合是不是空集，然后借助数轴从而确定参数的取值范围. 【详解】解析  由，得，从而． ①若，则，解得； ②若，在数轴上标出集合A，B，如图所示， 则，解得． 综上，实数a的取值范围是． 【变式3】（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)254 (2){m|m≤3} (3){m|m<2或m>4} 【分析】（1）直接求出集合A，即可得到非空真子集的个数； （2）判断出B⊆A，分B＝∅或B≠∅列不等式组，即可求出实数m的范围； （3）分B＝∅或B≠∅列不等式组，即可求出实数m的范围； 【详解】（1）当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， 共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254. （2）（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合； 当B≠∅时，根据题意，可得，解得2≤m≤3. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}. （3）（3）当B＝∅时，由（1）知m<2； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得m>4. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}. 题型11分类与整合思想 【典例1】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得，再分、两种情况讨论即可. 【详解】因集合中的元素恰有2个整数， 则其区间长度应满足，得， 当时，此时，则，得； 当时，此时，符合题意； 则的取值范围为. 【典例2】（25-26高一上·四川广元·期末）设集合，，． (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解方程后，列举法可得到集合，分类讨论的取值即可； （2）解不等式可得到集合，由可得，分，讨论即可. 【详解】（1）因为方程的解为或，所以. 因为，所以，或. 当时，； 当时，. 所以或. （2）因为不等式，即的解集为，所以. 因为，所以， 当时，； 当时，，又，所以， 由可知，解得. 综上，实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·广西钦州·开学考试）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】已知集合，根据，讨论得出，从而得出集合中的元素个数. 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对于任意，都有，则称集合为“和谐集”．已知，则集合的非空子集中“和谐集”的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】先确定集合中能构成“和谐集”的元素组，再根据元素组的组合情况确定“和谐集”的个数． 【详解】当时，,当时，，当时，， 可作为“和谐集”中一组元素； 当时，，当时，，当时，，可作为“和谐集”中一组元素； 当时，，当时，无意义，不是“和谐集”中的元素． 若集合的非空子集为“和谐集”，则其元素只能从元素组：和两组数中任意选择一组或两组， 集合的非空“和谐集”为：，，，共3个． 故选：B． 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 题型12新定义题 【典例1】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【典例2】（多选）（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.例如，取，则就是一个戴德金分割.已知有理数集与无理数集都具有“稠密性”，即任意两个不同的实数之间都有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数.则下列说法中，正确的有（   ） A．若有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割 B．若没有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割 C．若有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若没有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A：若有最大元素，不妨设为，则， 要使，所以，此时中没有最小元素， 同理，若有最小元素，则中没有最大元素， 所以若有最大元素，有最小元素，则不可能是一个戴德金分割，故A错误； 对于B：设， 此时没有最大元素，有最小元素，满足是一个戴德金分割，故B正确； 对于C：设， 此时有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D：设，， 此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确； 故选：BCD 【变式1】（多选）（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 【答案】ACD 【分析】依题意可知整数除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2；对选项逐一验证即可得出结论. 【详解】根据题意可知，代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数； 对于A，可知，即A正确； 对于B，可得，不合题意，即B错误； 对于C，可得，即C正确； 对于D，易知.可知D正确. 故选：ACD 【变式2】（多选）（24-25高一上·山西运城·期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M没有最大元素，N没有最小元素 D．M有一个最大元素，N有一个最小元素 【答案】ABC 【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例判断B;结合A中例子可判断C; 假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义判断D. 【详解】对于A，满足戴德金分割的定义，A正确； 对于B,取，符合戴德金分割， M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确； 对于C，取满足戴德金分割的定义， M没有最大元素，N没有最小元素，C正确； 对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义， 必有，则无法满足，D错误， 故选： . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01元素（集合）与集合 【典例1】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【变式1】已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 题型02集合中元素的三个特性 【典例1】（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（多选）（24-25高一上·云南·阶段检测）已知集合，，若，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．12 【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________． 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为，求这五个数. 题型03集合的表示方法综合 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【典例2】（24-25高一上·上海黄浦·阶段检测）用列举法表示集合__________． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，试问集合与有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合． 【变式2】（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1）______； （2）______； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 题型04子集（真子集）及其应用 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型05交集、并集、补集运算 【典例1】（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式3】（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06交集、并集、补集应用 【典例1】（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合或. (1)当时，求： (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式3】（专题01集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 题型07充分性与必要性的判断 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【变式1】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）设，则“”是“”的____________（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 【变式3】（24-25高二下·吉林长春·期末）设，，则是的________条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 题型08根据充分性与必要性求参数 【典例1】（25-26高三上·广东梅州·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 【典例2】（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【变式2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【变式3】（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 题型09根据全称量词命题与存在量词命题真假求参数 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是________． 【变式1】（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知“，”为真命题，则的最小值为__________. 【变式3】（25-26高三上·北京·阶段检测）请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 题型10数形结合的思想 【典例1】（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【典例2】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）已知集合,或，若，求实数a的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 题型11分类与整合思想 【典例1】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·四川广元·期末）设集合，，． (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·广西钦州·开学考试）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对于任意，都有，则称集合为“和谐集”．已知，则集合的非空子集中“和谐集”的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 题型12新定义题 【典例1】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【典例2】（多选）（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.例如，取，则就是一个戴德金分割.已知有理数集与无理数集都具有“稠密性”，即任意两个不同的实数之间都有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数.则下列说法中，正确的有（   ） A．若有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割 B．若没有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割 C．若有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若没有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【变式1】（多选）（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 【变式2】（多选）（24-25高一上·山西运城·期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M没有最大元素，N没有最小元素 D．M有一个最大元素，N有一个最小元素 学科网（北京）股份有限公司 $