第二十三讲 直线方程 导学案-2027届高三数学一轮复习

高三一轮复习第二十三讲 直线方程 高考题分类解析 题型一：直线的倾斜角与斜率 1．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型二：直线的五种方程形式 4．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 6．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 题型三：两条直线的位置关系（平行、垂直、相交） 7．已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型四：直线夹角与到角公式 10．已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A．B．C． D． 11．设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 12．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 题型五：斜率几何意义（线性最值、范围问题） 13．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 15．已知，则的取值范围是________． 题型六 距离公式（点到直线、平行线间距） 16．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当、变化时，的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 17.（2020·全国III卷·高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 18.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A． B． C． D． 题型七：动直线过定点、直线垂直关系 19．设，过定点的动直线和过定点的直线交于点，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 20．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是　　． 题型八：直线平移、两条平行线间距离公式 21．斜率为的直线沿轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则　　 A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，若直线为参数）和直线为参数）平行，则常数的值为　　． 23已知直线，，若，则与的距离为　　． 题型九：光的反射（对称思想）+ 重心公式 24．在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则等于　　 A．2 B．1 C． D． 25.直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型十：直线与三角形综合（中线、高线、截距、面积最值） 26．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 27．已知在中，，，，P是上的点，则点P到、的距离乘积的最大值是_______． 28．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 巩固提升： 1.求直线与直线的夹角为________. 2.直线的倾斜角______． 3.（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 4.已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是　　． 6．点关于直线的对称点为　　． 7．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） 9．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对   11．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 12．已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 13．已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 14．以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 15．如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 16．第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 17．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 18．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 19．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 20．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 21．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 22（多选）．下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 23（多选）．下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 24（多选）．已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 25（多选）．设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 26．已知的重心为，外心为，，则______. 27．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 28．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________. 29．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为____________． 30．设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 31．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 32．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 33．已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 34．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 35．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 36．已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 37．直线经过点，且倾斜角为，则实数为_______． 38．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 39．已知直线，若，则___________ 40．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 41．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 42．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________．    43．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 44．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 45．在直线上找一点，使得点对的视角最大. 46．设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 47．已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 48．已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 49．若直线与平行，求的值. 50．直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 51．已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习第二十三讲 直线方程 高考题分类解析 教学目标 1.系统梳理直线倾斜角、斜率的定义、取值范围、斜率公式，突破斜率不存在、倾斜角钝角等易混场景。 2.熟练辨析直线五种方程形式的适用范围、局限、互化关系，摒弃机械记忆，实现按需选式。 3.掌握高考高频模型：直线平行、垂直、过定点、截距问题、含参直线分类讨论。 教学重点 1.斜率与倾斜角的动态关系（含钝角、直角、零角的完整取值体系）。 2.直线方程五种形式的灵活选用与规避陷阱（重点突破各类方程的局限性）。 3.两直线位置关系（平行、垂直、相交）的快速判定（含斜率不存在的讨论）。 教学难点 1.倾斜角与斜率的非线性变化关系 2.直线方程的漏解问题（高三最大失分点） 用点斜式、截距式默认斜率存在，漏掉垂直x轴直线，是高三最常见丢分点。 3.几何条件精准代数转化 距离、平行、垂直、夹角、截距等条件，翻译方程出错、符号出错、公式混用。 必握知识点 一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 三、易错点汇总 1.倾斜角范围记错：倾斜角范围是，不是，零度直线（水平直线）倾斜角为0，极易遗漏。 2.斜率单调性混淆：钝角倾斜角越大，斜率越大（负数趋近于0），很多同学误以为倾斜角越大斜率越小，导致范围求解错误。 3.两直线垂直特殊情况遗漏：仅适用于斜率均存在的情况；一条水平、一条竖直直线垂直，无法用斜率公式判定，必须用一般式垂直公式。 4.直线平行忽略重合情况：斜率相等仅为平行必要不充分条件，必须验证截距不等，否则两直线重合，不属于平行。 5.距离公式使用条件忽视：平行线间距公式必须保证两直线x、y系数完全一致，未统一系数直接代入常数计算，结果必然错误。 6.截距概念理解错误：截距是数值（可正可负可零），不是长度，截距为负不要加绝对值，截距式方程不能表示过原点、垂直坐标轴的直线。 7.动直线定点求解运算失误：合并参数项不彻底，令系数为0解方程出错，定点坐标求解错误。 8.对称问题条件缺失：求对称点只满足垂直，忘记中点在对称轴上，两个条件缺一不可。 9.光线反射不会转化：不会利用对称点化折线为直线，硬算交点，计算量大且易出错。 10.斜率几何意义范围判断错误：动点在线段上运动时，不会结合图像判断斜率的开闭区间，容易多取、漏取临界值。 11.面积最值取等不验证：利用基本不等式求三角形面积最值时，未验证取等条件是否满足直线与坐标轴正半轴相交，导致无效最值。 12.充分必要条件判断混乱：直线平行、垂直、三点共线的条件范围区分不清，混淆充分性与必要性。 13.直线夹角范围混淆：两直线夹角恒为，无钝角，计算出负斜率需取绝对值。 14.忽略斜率不存在情况：解题默认斜率存在，遗漏竖直直线（斜率不存在）的特殊情况，导致答案不完整。 15.三点共线判定出错：仅用斜率相等判定共线，未验证三点不重合，容易误判。 必考题型全归纳 题型一：直线的倾斜角与斜率 1.直线倾斜角：直线与x轴正方向夹角，取值范围 。 斜率公式： 已知两点 ： 已知倾斜角： 2. 斜率与倾斜角单调性规律 ，，倾斜角越大，斜率越大； ，，倾斜角越大，斜率越大； ，斜率不存在（直线垂直x轴）。 1．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 2．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 3．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 题型二：直线的五种方程形式 点斜式：（不适用于斜率不存在直线） 斜截式：（不适用于斜率不存在直线） 两点式：（不适用于水平、竖直直线） 截距式：（不适用于过原点、垂直坐标轴直线） 一般式：（通用所有直线） 4．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即故选：A 5．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 6．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点，当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 题型三：两条直线的位置关系（平行、垂直、相交） 1. 斜率存在前提下 平行：且截距不等 垂直： 2. 一般式通用判定（无斜率遗漏） 已知 平行：且 垂直：（万能公式，无遗漏） 重合： 7．已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件．故选：C. 8．“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 9．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 题型四：直线夹角与到角公式 两直线夹角，正切公式： 核心：夹角恒为锐角或直角，无钝角。 10．已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】由的倾斜角为知倾斜角范围为，结合直线方程求m的范围. 【详解】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为， 所以且，即.故选：C 11．设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为，所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 12．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    题型五：斜率几何意义（线性最值、范围问题） 式子 的几何意义：动点与定点连线的斜率。常用于线段动点斜率范围、最值求解。 13．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 14．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又，所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 15．已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0，所以的取值范围是． 故答案为：. 题型六 距离公式（点到直线、平行线间距） 点到直线距离： 两平行线 间距： 注意：直线必须写成一般式才可以直接套用公式。 16．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当、变化时，的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解析】由题意， ，当时，．的最大值为3． 17.（2020·全国III卷·高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果. 【详解】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为.故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 18.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为. 【详解】为单位圆上一点，而直线过点， 所以的最大值为，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 题型七：动直线过定点、直线垂直关系 1.动直线找定点：把含参数项合并，令参数的系数等于 0，解出即为定点坐标。 2.两直线垂直判定 ①斜率都存在：； ②一条斜率为 0，另一条斜率不存在，两直线也垂直； 3.直角三角形的几何性质：若，则交点的轨迹是以为直径的圆。 19．设，过定点的动直线和过定点的直线交于点，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直， 又是两条直线的交点，，． 设，则，， 由且，可得， ， ，，，，，，， 20．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是　　． 【答案】5 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点， 则有，． 故（当且仅当时取“” 故答案为：5 题型八：直线平移、两条平行线间距离公式 1.直线沿 x 轴正方向平移规则：向右平移个单位：。 2.两平行直线距离公式， 前提：两条直线的系数必须完全相同。系数不一样要先同乘常数化为一致。 21．斜率为的直线沿轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设斜率为的直线为，把它沿轴的正方向平移5个单位，得到直线， 根据平移后的直线与原直线之间的距离为4，可得，求得 22．在平面直角坐标系中，若直线为参数）和直线为参数）平行，则常数的值为　　． 【答案】4 【解析】直线的参数方程为为参数），消去得普通方程为， 直线的参数方程为为参数），消去得普通方程为， ，的斜率为，的斜率，解得：． 23．已知直线，，若，则与的距离为　　． 【答案】 【解析】直线，，当时，，解得； 当时与重合，不满足题意； 当时，此时，； 则与的距离为． 题型九：光的反射（对称思想）+ 重心公式 三角形重心坐标公式：三点，重心 光线反射模型解题思路：利用点关于直线对称，把折线路径转化为两点之间线段。光线经直线反射，入射点、反射点问题，常作对称点求解 24．在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则等于　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示的坐标系：可得，，故直线的方程为， 的重心为，，设，其中， 则点关于直线的对称点，满足， 解得，即，易得关于轴的对称点， 由光的反射原理可知，，，四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过的重心，，代入化简可得， 解得，或（舍去），故，，故 25.直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即.故选：D. 题型十：直线与三角形综合（中线、高线、截距、面积最值） 中点坐标公式、中线直线方程求解； 高线：与对边垂直，利用垂直斜率关系求方程； 截距式求三角形面积、面积最值（基本不等式）。 26．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20.故选：B 27．已知在中，，，，P是上的点，则点P到、的距离乘积的最大值是_______． 【答案】3 【分析】以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设点，则有，再利用基本不等式可得到即可. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系. 则直线方程为.设点，则. 因为，所以，得，当且仅当即时等号成立. 所以点P到、的距离乘积为，即点P到、的距离乘积的最大值为. 28．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 巩固提升： 1.求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为，故答案为：． 2.直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ，所以，所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）.答案为：（或 ）. 3.（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得.故答案为：. 4.已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D. 5．在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是　　． 【答案】 【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点， 到点，，，的距离之和为： ， 故四边形对角线的交点即为所求距离之和最小的点． ，，，， ，的方程分别为：，， 即，．解方程组得．故答案为：． 6．点关于直线的对称点为　　． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，， 点关于直线的对称点为． 7．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线约束 ；对配方，消去，转化为关于的二次函数；利用二次函数求出最大值，代回算出最大值. 【详解】过的直线的斜率是 直线方程是，整理得 点在直线上，故 ，又 ，所以，，所以, 因为, 所以, 由，得 ，因此 , 令 ，则 ，这是开口向上的二次函数，且在上单调递增， 因此只需求的最大值， 二次函数 ，开口向下，对称轴 最大值，即 ，，所以=. 8．在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，，又，，即． 又，， 化简得，解得（负值舍去）．故选：D. 9．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先充分性验证：通过举反例直接否定充分性; 必要性验证：设()，由推出，进而得. 【详解】直线的斜率(，且). 充分性，已知，设，，则，，，，则充分性不成立. 必要性，由可知，异号，设：，则； ，令()，则. 已知，代入得， 即.因为正切函数在上单调递增， 所以，所以，又因为，所以，代入得化简得，所以，必要性成立.故选：B 10．若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对 【答案】D 【分析】由题意可画出曲线的图象，然后对点在图象上的运动情况分情况讨论，求出相应的的斜率，从而可求得相应的倾斜角范围，即可求解. 【详解】由题意可得对于曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 可画出下图，，，，，， 当点位于点处时，此时，则倾斜角为； 当点在正方形（不包含点）上运动时，此时， 则倾斜角；当点在上运动时，此时，倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角取值范围为，故A、B、C错误，D正确.故选：D.    11．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ，，解得，因为，故； 结合得，即可得. 12．已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果. 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以．故选： D． 13．已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 【答案】C 【分析】利用 “对称轴是对称点连线的垂直平分线” 这一性质，通过两个关键条件建立方程组求解即可. 【详解】因为点在轴上，故设（为实数）， 因为直线的斜率为−1，直线与直线垂直，故两直线的斜率乘积为. 则直线的斜率为，即. 因为点与点的中点为，该点在直线上，所以代入可得：. 所以，化简可得，解得.故选：C 14．以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 15．如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段. 【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ，，①， ，②， 把①代入②，可得， 整理,可得，，， ，， ，∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段.故选:A. 16．第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】，得， ， ，等号当且仅当时成立，此时，满足定义域条件，所以的最大值为3. 17．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为，故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 18．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以；故选：A. 19．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为．故选：A． 20．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 21．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以.故选：C. 22（多选）．下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【分析】A选项，利用斜率相等求解即可；B选项，结合图像求出临界情况分析即可；C选项根据方向向量与平行来判断即可；D选项，根据倾斜角与斜率的关系举反例即可. 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，，则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误；故选：AC. 23（多选）．下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.    故选：AD. 24（多选）．已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意；故选：ACD． 25（多选）．设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线，即， 令，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B：因为直线：，：满足， 所以，故B正确； 对于C：联立两直线方程，解得， 所以，则 ， 令，则，所以， 且在上单调递增，当时，，所以，故C错误； 对于D：由A可知，直线恒过定点， 则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离， 即，故D正确；故选：ABD 26．已知的重心为，外心为，，则______. 【答案】3 【分析】画出的图象和三角形的重心、外心，建立平面直角坐标系，根据三角形重心、外心的性质求出相应点的坐标，用直线斜率表示角的正切值，从而进行解答. 【详解】设中点为，连接，的重心为，外心为，如下图所示 以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，，重心， 因为，外心在的垂直平分线上，即轴上，所以， ，即，化简可得， 在中，，， 所以. 27．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程：， 将 代入直线方程：， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ，故答案为：. 28．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________. 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【详解】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以，由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以.故答案为： 29．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为____________． 【答案】 【分析】设点分别为，，求得斜率，进而得出的取值范围，由题意可知，只需即可. 【详解】设点分别为， ，， 为使区间与最多只有一个点重合，应有，即．故答案为： 30．设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【答案】 【详解】已知，，当时，单调递增； 则； 当时，单调递增；故； 综上可得，斜率k的取值范围是． 31．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 32．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又，所以结合图象可得，. 33．已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 34．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 35．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 36．已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得，即，解得. 故答案为：. 37．直线经过点，且倾斜角为，则实数为_______． 【答案】 【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解. 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得，解得：.故答案为：. 38．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 39．已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合，故.故答案为： 40．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以，因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为，所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 41．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【分析】根据两直线平行的条件得到边角等式，结合正弦定理边化角与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】直线与直线平行， 则有，由正弦定理得，即， 中，，当时，有2种情况， 情况1：，即，此时为等腰三角形； 情况2：，即，则，此时为直角三角形，综上， 是等腰三角形或直角三角形. 42．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，．故答案为：    43．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】找到点关于直线的对称点，即可得到即为的最小值. 【详解】    如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ，则即为的最小值， ， 所以为的最小值为． 44．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 45．在直线上找一点，使得点对的视角最大. 【答案】 【详解】 如图所示，点在直线上，所以点， 由图可知，当时， ， 所以， 令，则， 可知，当且仅当，即时取等号，所以， 当时，，当时，可得， 所以， 令，则， 可知，当且仅当，即时取等号，因为，所以， 当时，即时，， 此时，即，因为，所以，即， 所以视角最大时点. 46．设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系即可建立不等式求解； （2）分别讨论、，由斜率与倾斜角的关系即可求得 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 47．已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 【答案】(1) (2)，此时直线的一个方向向量为 【分析】（1）根据两点求斜率的公式列方程，从而求得. （2）根据倾斜角为列方程求得，再根据方向向量的知识求得直线的一个方向向量. 【详解】（1）由，解得， 所以当时，直线的斜率是. （2）若直线的倾斜角为，则，此时直线的方程为，与轴平行， 所以直线的一个方向向量为. 48．已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1)(2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，，所以，即与不平行， 又，所以，所以四边形为直角梯形. 49．若直线与平行，求的值. 【答案】3或5 【分析】根据直线平行的性质求参数即可. 【详解】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意.综上，的值为3或5. 50．直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 【答案】8， 【详解】已知， 令，解得，则， 令，解得，则，则： ,由于，令，则， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立， 即，. ， 其中，， 则， 当且仅当时等号成立，即，. 51．已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）将代入得坐标，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系，即可求解； （2）设直线，代入坐标可得，利用均值不等式可得，进而求得面积的最小值； （3）直线的倾斜角为，设，设直线的方程为，将代入直线方程中，可用表示，，进而利用三角换元求解. 【详解】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则，所以. （2）由题，，设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为. （3）由（1），直线的倾斜角为，设， 则直线的方程为， 将代入可得，， 所以斜边长 ，则设 ， 令 ，则，所以， 由 ，所以， 当且仅当 ，即 时取等，此时 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $