6.2向量数量积坐标运算导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量数量积与坐标运算核心考点，涵盖定义、性质、坐标表达式及模、夹角、垂直平行的判定，以平面向量基本定理为统领构建知识网络。通过课前挖空默写、课堂易错辨析等问题导向设计，引导学生自主梳理教材基础，形成结构化认知。 亮点在于自主诊断与分层训练结合，如课前挖空默写夯实基础，课堂探究中5道易错辨析题培养数学思维的严谨性，典例精讲融入教材变式与真题溯源，助力学生用数学语言精准表达坐标运算规律。随堂练习分层设计，教师可通过学情反馈实施个性化指导，提升备考实效。

第六章 平面向量及其应用 6.2 向量数量积、坐标运算 （人教A版必修第二册 （6.2.4、6.3）） 【学习目标】 1．教材目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，掌握数量积的性质和运算律；掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算；理解平面向量基本定理，会求夹角、模并判断垂直平行。 2．高考考向：数量积与坐标运算是高考向量命题的核心，新高考以选择题、填空题为主，常考求模、求夹角、由垂直或共线求参数，分值5分，命题角度为数量积坐标运算、夹角余弦、投影向量。 【重点难点】 重点：数量积定义：，其中；数量积的坐标运算：，，则；模与夹角：，；垂直与共线的坐标充要条件：；；平面向量基本定理：，不共线，则任一向量 难点：数量积中夹角范围的理解，以及符号与三角形形状的关系；投影向量与投影数量的区别，投影向量为；平面向量基本定理中基底不共线条件的运用，及用基底表示未知向量 【课前预习】 【教材基础回扣挖空默写】 1. 数量积定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做与的数量积（内积），记作。规定：零向量与任一向量的数量积为。 2. 夹角范围：两向量夹角的范围是；当时两向量同向，当时两向量反向，当时两向量垂直。 3. 投影向量：在方向上的投影向量为（为方向上的单位向量）。 4. 数量积性质：；；。 5. 坐标运算：设，，则，，。 6. 坐标求模与夹角：；两向量夹角余弦。 7. 垂直与平行坐标条件：；。 8. 平面向量基本定理：如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。 【教材例9】（课本例9）已知，，与的夹角，求。 解：。 【教材例11】（课本例11）设，，求及夹角（精确到）。 解：。，，，得。 【课堂探究】 探究1　教材易错辨析（判断正误，错误写出课本依据） 1. 若，则或。（ ） 解析： 。课本依据：两非零向量垂直时数量积也为0，即。（课本） 2. 若，且，则。（ ） 解析： 。课本依据：数量积运算中不能约去，数量积不满足消去律。（课本） 3. 对任意向量，有，故。（ ） 解析： 。课本依据：数量积性质成立。（课本） 4. 两个向量的数量积是一个向量。（ ） 解析： 。课本依据：数量积是一个数量，不是向量。（课本） 5. 若，则与的夹角为钝角。（ ） 解析： 。课本依据：当夹角为平角时，，此时两向量反向共线，不是钝角。（课本） 【典例精讲】 教材变式小练1（改编课本练习第1题） 已知，，和的夹角是，求。 解：。 教材变式小练2（改编课本练习第12题） 已知，，求，，。 解：，，。 教材变式小练3（改编课本例13） 已知，，且与不共线。当为何值时，向量与互相垂直？ 解：两向量垂直的充要条件是它们的数量积为0：。代入得，解得。 【真题溯源】新高考Ⅰ卷第3题｜人教A版必修第二册数量积坐标运算与夹角 已知，，。若，则（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：教材对接：本题考查“向量加法的坐标表示”“数量积坐标运算”及“夹角相等的转化”。 先求。 由夹角相等，得。 计算：，；，。 故，解得，。故选D。 阅卷得分点：①正确求出（2分）；②把夹角相等转化为（2分）；③解出（1分）。 命题反思：高考把“夹角相等”这一几何条件转化为数量积等式，正是课本数量积定义的直接应用，运算量小但概念要清晰。 【真题溯源】年新高考I卷｜第2题 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A．，B．，C．，D．， 解：整理得，, ，不共线，所以，解得. 答案：A 【随堂练习】 1.（教材变式）已知，，与夹角为，求。 解：。 2.（教材变式）已知，，求与。 解：。，。 3.（高考同类变式）已知，，求与的夹角。 解：。，。，故。 4.（高考同类变式）已知，求与垂直的单位向量的坐标。 解：设所求单位向量为，则，解得，。故所求单位向量为或。 5.（综合提升）已知，，且与互相垂直，求证：。 证明：由与互相垂直，得。展开得。代入，，得，故，即。 【课堂小结】 本节课我们学习了： 1．本节课教材核心知识：数量积定义（）；坐标运算；求模、求夹角；垂直、共线；平面向量基本定理。 2．高考答题模板——数量积与坐标运算：①凡求模，用，坐标下；②凡求夹角，用，坐标下代入；③凡垂直，等价于数量积为0；④凡夹角相等，转化为“两边数量积除以对应模相等”；⑤含参数先写坐标再列方程，注意夹角范围判断钝角锐角。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 6.2 向量数量积、坐标运算 （人教A版2019必修第二册 P27-P43（6.2.4、6.3）） 【学习目标】 1．教材目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，掌握数量积的性质和运算律；掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算；理解平面向量基本定理，会求夹角、模并判断垂直平行。 2．高考考向：数量积与坐标运算是高考向量命题的核心，新高考以选择题、填空题为主，常考求模、求夹角、由垂直或共线求参数，分值5分，命题角度为数量积坐标运算、夹角余弦、投影向量。 【重点难点】 重点：数量积定义：，其中；数量积的坐标运算：，，则；模与夹角：，；垂直与共线的坐标充要条件：；；平面向量基本定理：，不共线，则任一向量 难点：数量积中夹角范围的理解，以及符号与三角形形状的关系；投影向量与投影数量的区别，投影向量为；平面向量基本定理中基底不共线条件的运用，及用基底表示未知向量 【课前预习】 【教材基础回扣挖空默写】 1. 数量积定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量______叫做与的数量积（内积），记作。规定：零向量与任一向量的数量积为______。 2. 夹角范围：两向量夹角的范围是______；当时两向量______，当时两向量______，当时两向量______。 3. 投影向量：在方向上的投影向量为______（为方向上的单位向量）。 4. 数量积性质：______；；______。 5. 坐标运算：设，，则______，______，______。 6. 坐标求模与夹角：______；两向量夹角余弦______。 7. 垂直与平行坐标条件：______；______。 8. 平面向量基本定理：如果，是同一平面内两个______的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使______。 【教材例9】（课本例9）已知，，与的夹角，求。 【教材例11】（课本例11）设，，求及夹角（精确到）。 【课堂探究】 探究1　教材易错辨析（判断正误，错误写出课本依据） 1. 若，则或。（ ） 2. 若，且，则。（ ） 3. 对任意向量，有，故。（ ） 4. 两个向量的数量积是一个向量。（ ） 5. 若，则与的夹角为钝角。（ ） 【典例精讲】 教材变式小练1（改编课本P29练习第1题） 已知，，和的夹角是，求。 教材变式小练2（改编课本P39练习第12题） 已知，，求，，。 教材变式小练3（改编课本P31例13） 已知，，且与不共线。当为何值时，向量与互相垂直？ 【真题溯源】2023新高考Ⅰ卷第3题｜人教A版必修第二册P38数量积坐标运算与夹角 已知，，。若，则（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【真题溯源】2026年新高考I卷｜第2题 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A．，B．，C．，D．， 【随堂练习】 1.（教材变式）已知，，与夹角为，求。 2.（教材变式）已知，，求与。 3.（高考同类变式）已知，，求与的夹角。 4.（高考同类变式）已知，求与垂直的单位向量的坐标。 5.（综合提升）已知，，且与互相垂直，求证：。 【课堂小结】 本节课我们学习了： 1．本节课教材核心知识：数量积定义（）；坐标运算；求模、求夹角；垂直、共线；平面向量基本定理。 2．高考答题模板——数量积与坐标运算：①凡求模，用，坐标下；②凡求夹角，用，坐标下代入；③凡垂直，等价于数量积为0；④凡夹角相等，转化为“两边数量积除以对应模相等”；⑤含参数先写坐标再列方程，注意夹角范围判断钝角锐角。 2 学科网（北京）股份有限公司 $