3.章末卷 函数的概念与性质 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数的概念与性质模块，涵盖函数三要素、表示法、单调性与最值、奇偶性、幂函数五大核心考点，按逻辑关联构建完整知识网络。通过课前预习自主填空、课堂探究问题链设计，引导学生从概念本质出发自主梳理知识联系，形成层次分明的认知体系。 亮点在于诊断性辨析与真题导向的能力提升，如课堂探究设置5道易错判断并要求写出依据，典例精讲改编教材题与高考真题结合，培养学生的数学思维与推理能力。随堂练习分层设计教材变式与高考同类题，配合课堂小结的答题模板，帮助学生自主诊断薄弱点并针对性提升，教师可通过学情精准指导，实现高效备考。

第三章 函数的概念与性质 章末卷 函数的概念与性质 教材与真题小练 （人教A版必修第一册 第三章综合） 【学习目标】 1．模块目标：系统梳理函数的概念（三要素）、表示法（含分段函数）、单调性与最值、奇偶性、幂函数五大板块，形成完整知识网络，能在综合题中灵活选用定义域、单调性、奇偶性解题。 2．高考考向：本模块是整个高中函数的基础，高考常以小题综合考查定义域、分段函数求值、奇偶性与单调性的结合，以及幂函数图象与性质，为后续指数、对数、三角函数及导数打下基础。 【重点难点】 重点：函数三要素与定义域求法、同一函数判断；单调性的定义与证明、最值求法；奇偶性判断（定义域对称定号）；五种基本幂函数的图象与性质 难点：分段函数的求值与图象；奇偶性与单调性的综合（知一区间推另一区间）；含参数函数的单调性、奇偶性讨论 【课前预习】 【教材知识网络梳理】（章末自主填空，构建本章知识体系） 一、函数的概念 1. 函数三要素：定义域、对应关系、值域。 2. 求定义域的依据：偶次根式被开方数非负；分式分母不为零；零次幂底数不为零。 3. 同一函数判定：定义域与对应关系都相同。 二、函数的表示法 4. 三种表示法：解析法、图象法、列表法。 5. 分段函数：是一个函数，定义域为各段定义域的并集。 三、函数的基本性质 6. 单调性：增函数时；定义法五步：取值作差变形定号结论。 7. 最值：最大值即且能取到。 8. 奇偶性：先看定义域是否关于原点对称；偶：，图象关于y轴对称；奇：，图象关于原点对称。 四、幂函数 9. 定义：（为常数）。五种基本型：，，，，。图象都过点(1,1)；在(0,上时单调递增，在(0,上时单调递减。 【课堂探究】 探究1　本章易错辨析综合（判断正误，错误写出依据） 1. 与是同一函数。（ ） 依据：定义域为，与的定义域不同，不是同一函数。 2. 函数在整个定义域上单调递减。（ ） 依据：它在与上分别递减，两区间不能合并。 3. 若是奇函数且在处有定义，则。（ ） 依据：由得，故。 4. 定义域不关于原点对称的函数，可能是偶函数。（ ） 依据：奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称，不对称则既非奇也非偶。 5. 幂函数的图象经过点。（ ） 依据：不在定义域内，图象不过，所有幂函数都过。 1. （错误）。理由：定义域为，与的定义域R不同，不是同一函数。 2. （错误）。理由：它在与(0,上分别递减，两区间不能合并。 3. （正确）。理由：由得，故。 4. （错误）。理由：奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称，不对称则既非奇也非偶。 5. （错误）。理由：不在定义域内，图象不过(0,0)，所有幂函数都过(1,1)。 【典例精讲】 综合题组1（改编复习参考题3第1题）求定义域 求下列函数的定义域： （1）； （2）。 解：（1）需，即，定义域为。 （2）需，即，故且，定义域为。 综合题组2（改编复习参考题3第4题）含参单调性 已知函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围。 解：是开口向上的二次函数，对称轴为。 要使在上具有单调性，区间必须完全落在对称轴的一侧，即或。 解得或。 的取值范围是。 综合题组3（改编复习参考题3第7题）分段函数求值 已知函数，求，，的值。 解：；。 求需分段讨论： 当即时，； 当即时，。 。 【真题溯源】新课标全国Ⅰ卷｜人教A版必修第一册奇偶性与单调性综合 已知函数的定义域为，且，当时。 （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断的单调性并证明。 解：教材对接：本题把课本奇偶性定义与单调性定义迁移到抽象函数。 （1）令，得，。 再令，得，。又定义域为关于原点对称，是奇函数。 （2），则，由题设。 ，即。 在上单调递减。 阅卷得分点：①令求（2分）；②令证（2分）；③作差并用条件定号（3分）。 命题反思：高考把课本奇偶性、单调性定义迁移到抽象函数，核心仍是"赋值法"取特殊值与"作差法"证明单调性，是本章知识的综合提升。 【随堂练习】 1.（教材变式）已知函数，求（）的值。 解：。 2.（教材变式）已知幂函数的图象过点，求的解析式，并判断它的奇偶性与单调性。 解：设，把点(2,代入得，即，。。定义域为(0,，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数；在(0,上单调递减。 3.（高考同类变式）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. 　　B. C. 　　D. 解：是偶函数，。又在[0,上单调递增，且，，即。故选B。 4.（高考同类变式）已知奇函数在上单调递减，判断它在上的单调性并证明。 解：在,上单调递减。证明：，,，且，则。在[a,b]上单调递减，。又是奇函数，，即。在,上单调递减。 5.（综合提升）讨论函数的定义域、奇偶性，并指出它的单调区间。（提示：先判断奇偶性，再分析在上的单调性） 解：定义域：，即。奇偶性：，是奇函数。单调性：在(0,上，，，在(0,上单调递增。由奇函数性质，在上也单调递增。单调递增区间为和(0,。 【课堂小结】 本节课我们学习了： 1．本章核心知识网络：函数概念（三要素：定义域、对应关系、值域）表示法（解析法、列表法、图象法、分段函数）性质（单调性与最值、奇偶性）幂函数（，五种基本型）。 2．模块综合答题模板：①求定义域——列偶次根式、分式、零次幂条件，解不等式组取交集；②证单调性——取值作差变形定号结论五步；③判奇偶性——先查定义域是否关于原点对称，再算定号；④奇偶性与单调性综合——偶函数"对称区间单调性相反"，奇函数"对称区间单调性相同"；⑤幂函数——记五种基本型的图象（都过），比较幂值时构造幂函数用单调性。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 章末卷 函数的概念与性质 教材与真题小练 （人教A版2019必修第一册 第三章综合） 【学习目标】 1．模块目标：系统梳理函数的概念（三要素）、表示法（含分段函数）、单调性与最值、奇偶性、幂函数五大板块，形成完整知识网络，能在综合题中灵活选用定义域、单调性、奇偶性解题。 2．高考考向：本模块是整个高中函数的基础，高考常以小题综合考查定义域、分段函数求值、奇偶性与单调性的结合，以及幂函数图象与性质，为后续指数、对数、三角函数及导数打下基础。 【重点难点】 重点：函数三要素与定义域求法、同一函数判断；单调性的定义与证明、最值求法；奇偶性判断（定义域对称定号）；五种基本幂函数的图象与性质 难点：分段函数的求值与图象；奇偶性与单调性的综合（知一区间推另一区间）；含参数函数的单调性、奇偶性讨论 【课前预习】 【教材知识网络梳理】（章末自主填空，构建本章知识体系） 一、函数的概念 1. 函数三要素：______、______、______。 2. 求定义域的依据：偶次根式被开方数______；分式分母______；零次幂底数______。 3. 同一函数判定：______与______都相同。 二、函数的表示法 4. 三种表示法：______、______、______。 5. 分段函数：是一个函数，定义域为各段定义域的______。 三、函数的基本性质 6. 单调性：增函数时______；定义法五步：取值______变形______结论。 7. 最值：最大值即且能取到。 8. 奇偶性：先看______是否关于原点对称；偶：，图象关于______对称；奇：，图象关于______对称。 四、幂函数 9. 定义：______。五种基本型：，，______，，______。图象都过点______；在______，在______。 【课堂探究】 探究1　本章易错辨析综合（判断正误，错误写出依据） 1. 与是同一函数。（ ） 2. 函数在整个定义域上单调递减。（ ） 3. 若是奇函数且在处有定义，则。（ ） 4. 定义域不关于原点对称的函数，可能是偶函数。（ ） 5. 幂函数的图象经过点。（ ） 【典例精讲】 综合题组1（改编复习参考题3第1题）求定义域 求下列函数的定义域： （1）； （2）。 综合题组2（改编复习参考题3第4题）含参单调性 已知函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围。 综合题组3（改编复习参考题3第7题）分段函数求值 已知函数，求，，的值。 【真题溯源】2024新课标全国Ⅰ卷｜人教A版必修第一册P85-P86奇偶性与单调性综合 已知函数的定义域为，且，当时。 （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断的单调性并证明。 【随堂练习】 1.（教材变式）已知函数，求（）的值。 2.（教材变式）已知幂函数的图象过点，求的解析式，并判断它的奇偶性与单调性。 3.（高考同类变式）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. 　　B. C. 　　D. 4.（高考同类变式）已知奇函数在上单调递减，判断它在上的单调性并证明。 5.（综合提升）讨论函数的定义域、奇偶性，并指出它的单调区间。（提示：先判断奇偶性，再分析在上的单调性） 【课堂小结】 本节课我们学习了： 1．本章核心知识网络：函数概念（三要素：定义域、对应关系、值域）表示法（解析法、列表法、图象法、分段函数）性质（单调性与最值、奇偶性）幂函数（，五种基本型）。 2．模块综合答题模板：①求定义域——列偶次根式、分式、零次幂条件，解不等式组取交集；②证单调性——取值作差变形定号结论五步；③判奇偶性——先查定义域是否关于原点对称，再算定号；④奇偶性与单调性综合——偶函数"对称区间单调性相反"，奇函数"对称区间单调性相同"；⑤幂函数——记五种基本型的图象（都过），比较幂值时构造幂函数用单调性。 2 学科网（北京）股份有限公司 $