借助摩擦角巧解一类题-《中学生数理化》高考理化2026年9月刊

强基溯源 借助摩到擦角 巧解一类题 ■江西省瑞金第一中学 刘鑫 当物体受到摩擦力的作用时，若它 条件来反推才能得到。 受到力的个数超过三个，则常通过建立 全反力的大小R=√N十f,全 平面直角坐标系，运用正交分解法进行 反力与接触面法线方向间的夹角叫做 分析与求解。当物体受到的力中的变 全反角，用a表示，则全反角a的正切 量较多时，为确定某未知力的大小范围 或极值，有时需要进行复杂的数学运 值1ana={。当物体处于临界打滑状 算，比如运用求导或辅助角公式等研究 态或者已经发生打滑现象时，有f= 函数的单调性。实际上，处理涉及摩擦 fmax=N,全反角a达到最大值。全 力的动力学问题，若能巧妙地运用摩擦 反角α能够达到的最大值叫做摩擦角， 角相关知识，则可简化受力分析，避开 用9表示，则摩擦角9的正切值 复杂的数学运算，达到化繁为简的 tanp=。 目的。 二、摩擦角有什么用 一、什么是摩擦角 用处1：作为判定物体与接触面之 众所周知，摩擦力是接触力，仅存 间是否打滑的依据。 在于接触面之间。同时，摩擦力还是被 先假定物体与接触面之间不打滑， 动力，不会主动产生，而只是接触面对 求出全反角α，再与摩擦角p比较大 外力作用做出的被动反应。这两个特 小。若tana>tanp-,则不论全反 点弹力也同样具有。因此，可将接触面 力的大小如何，物体与接触面之间必打 对物体的弹力N(沿法线方向)和摩擦 滑；反之，若tana≤tanp=,则不论 力f(沿切线方向)的合力称为全约束 全反力的大小如何，物体与接触面之间 反力，简称全反力，用R表示。除全反 必不打滑。自锁现象就属于后者。 力外，物体所受其他力的合力叫做约束 例1如图1所示，两个半圆柱体 力。显然，约束力是全反力产生的原 A、B相接触并静置于水平地面上，其 因；全反力是接触面对约束力做出的被 上有一光滑圆柱体C,三者的半径均为 动反应。尤其是在平衡问题中，弹力和 R。已知圆柱体C的质量为2m,半圆 静摩擦力均体现出“按需提供”的特点， 柱体A、B的质量均为m,与地面间的 只有通过其与约束力等大反向的平衡 动摩擦因数均为。现用水平向右的 40 强基溯源 力拉半圆柱体A,使半圆柱体A缓慢 打滑状态时全反角等于摩擦角的特点 移动，直至圆柱体C恰好降到地面上。 解决本题，逻辑清晰，过程简洁。 整个过程中，半圆柱体B保持静止。 用处2：简化力系，确定未知力的 假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重 大小范围或极值。 力加速度为g。求半圆柱体A、B与地 当物体与接触面之间出现打滑现 面间动摩擦因数的最小值hmin。 象时，全反角等于摩擦角，全反力的大 小可以变化，但方向已确定。认识到这 一点就把握了这类问题的特征，尤其是 处理四力问题时，可实现“四力化三力” 图1 的转化，这样就可以采用我们所熟悉的 解析：选由半圆柱体A、B和圆柱 动态三角形等图解法，成功避开复杂数 学运算带来的麻烦。 体C组成的整体为研究对象，在圆柱 例2质量为m的物体放置在水 体C下降的过程中，根据平衡条件可 平地面上，已知物体与水平地面间的动 知，半圆柱体B所受地面支持力N= 2mg(保持不变)，半圆柱体A与圆柱 摩擦因数为，重力加速度为g,为了 使物体在水平地面上做匀速直线运动， 体C之间、半圆柱体B与圆柱体C之 施加在物体上拉力的最小值是多少？ 间的弹力越来越大，且两弹力的方向越 解析：选物体为研 来越趋于水平。因此，地面对半圆柱体 究对象，其受力情况如 B的摩擦力越来越大，全反角也越来越 图2所示。设物体所受 大。当圆柱体C恰好降到地面上时， 拉力F与水平面间的 全反角恰好等于摩擦角。隔离圆柱体 夹角为0，将物体受到 图2 C进行受力分析，根据平衡条件和几何 的支持力V与摩擦力 条件可知，半圆柱体B与圆柱体C之 f合成为一个全反力F',则全反力F 间的弹力FB=2mg,此时半圆柱体B 与竖直方向间夹角a的正切值tana 所受圆柱体C弹力的水平分力最大， 且半圆柱体B所受地面摩擦力f= {=,因为物体做匀速直线运动，处 F=Fgcos30°=√3mg。使半圆柱体 于平衡状态，所以物体受到的三个力 B保持静止的临界条件为全反角等于 (重力mg、拉力F、全反力F')构成一 摩擦角，则半圆柱体B与地面间动摩 个闭合的矢量三角形。根据点到直线 擦四数的最小位m一{一。 垂线段最短可得，物体所受拉力的最小 值Fmn=mg sin a mg,方向与水 ,点评：利用半圆柱体B处于临界 1+μ2 41 强基溯源 平面间的夹角0=a。 点评：求未知力的极值问题通常采 用正交分解法，先写出未知力F与夹 角日的函数关系，再借助辅助角公式或 者求导等数学手段确定未知力F的最 值。本题利用摩擦角和全反力的概念， 简化力系，利用力的矢量三角形进行分 析与求解，尽显平面几何的魅力。 启示：运用摩擦角相关知识处理涉 图4 及摩擦力的问题，可以简化力系，将多 参考答案：B提示：利用摩擦角 变量问题转化为比较角度大小和平面 和全反力相关知识进行分析。物块受 矢量图等几何问题。这种解题方法巧 到重力G、支持力N、推力F和摩擦力 妙地利用摩擦力的特点和本质，避开了 f四个力作用，将支持力N和摩擦力f 烦琐的数学运算，使得解答过程简洁， 合成为一个全反力F'。因为摩擦角的 解得结果准确。在复习备考的过程中， 正切值tanp==0.75,所以p=37°。 学有余力的同学若能拓展学习摩擦角 相关知识，并加强训川练，则能显著提高 因为tan0=3>μ，所以当水平推力F 处理涉及摩擦力问题的效率。 很小时，物块必将沿斜面向下做加速运 动，全反力偏离竖直方向指向左上方， 银踪训练 如图5甲中F1、F2、F3所示。当水平 (2026·河南省适应性考试)如图 推力F增大至可以使物块维持静止状 3所示，一物块位于倾 态时，根据平衡条件可知，需要的全反 角0=53°的足够长固定 力F4如图5乙所示，易知F4与斜面 斜面上。t=0时刻由 法线间的夹角α小于摩擦角9。当水 77777777777777777777777 静止释放物块，同时对 平推力F持续增大至无穷大时，如图5 图3 物块施加一个水平向右 丙所示，依然满足全反力F；与斜面法 的推力F,其大小与时间t的关系为 F=kt(常数>0)。已知物块与斜面 间的动摩擦因数μ=0.75，sin53°= 0.8,c0s53°=0.6。取沿斜面向上为正 方向，则如图4所示的关于物块的加速 图5 度a随时间t变化的图像中可能正确 线间的夹角α小于摩擦角p,说明物块 的是( )。 可以保持静止状态。理 42