模块一综合检测题-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

学以致用 模块一综合检测题 ■河南省南乐县第一高级中学 吉晓波 一、单选题 5.已知m>0,n>0,若曲线y=e 1.已知集合A=(yy=e},B= 一m在x=0处的切线也是曲线y= -3<0,则A∩B=( zELz+1 )。 1n(x十)的切线，则十二的最小值 m A.(0,2) B.(0,3) 是()。 C.{0,1,2} D.{1,2} A.1 B.2C.3 D.4 2.已知条件p:log2(x十2)<2，条 6.已知函数f(x)=ex-alnx一1 件q:(x+2)·（x+a)<0,若q是p 在[1,4]上存在减区间，则实数a的取 的必要不充分条件，则a的取值范围为 值范围为( ）。 ()。 A.[4e4,+∞) B.(e,+) A.[-2,+∞) B.(-∞，-2) C.(4e,+∞) D.[e,+oo) C.(-∞，-2] D.(2,十∞) 7.已知函数f(x)=emx十(m 3.下列求导运算结果正确的是 1)x,若对任意x∈(0，十∞)，f(x)≥ )。 lnx恒成立，则实数m的最小值为 A.[1n(3x-1)]'=3x- ( ）。 1 B.(sin 2x)'=-2sin x cos x A.e B C.e D.e2 e c. 8.在平面直角坐标系xOy中，将 函数y=f(x)的图像绕坐标原点逆时 D.-/=1- 针方向旋转a0<e≤)后，所得到的 4.下列函数中，在(0，+∞)上单调 曲线仍然是某个函数的图像，则称y= 递增的偶函数为( )。 f(x)为“a旋转函数”。若h(x)= A.f(x)=2 x,x≥0 B.f(x) 为“下旋转函数”，则6的最小值是 e √/-x,x<0 ( )。 C.f(x)=tan x A.-e3 B.-e2 D.f(x)=lg(√1十x2-x) C.-e D.-2e 40 学以致用 二、多选题 三、填空题 9.已知a,b,c为实数，则下列结 论正确的是( )。 12.已知a>b>0,则a+8 a+b 人若a心6，则站分 2 。二6的最小值为 。 B.若aa>bb,则a>b 13.若0<a<1,e为自然对数的底 C.若a>b>c>0,则 b+cb 数，则sina、e“-l、ln(a+l)的大小关 +c-a 系是。（用“<”连接三个式子) D.Vx∈(o,2）,sinx<tanx 14.若存在常数A,使得函数 F(x)对任意实数x>0都有F(x)≥ 10.已知不等式a.x2+bx+c<0 的解集是(-∞，-2)U(3,+∞)，则下 A成立，且等号能取到，则称y=为 列结论正确的是(）。 F(x)的“下托函数”。以下说法正确的 A.a>0 有 B.不等式cx2十bx+a<0的解集 ①函数f(x)=x+上没有“下托 是< 函数”； C.当c=2时，f(x)=3ax2+ ②函数g(x)=9有“下托函数”； 6bx,x∈[n1,n2]的值域是[-3,1]，则 n2一n1的取值范围是[2,4] ③函数h(x)=lnx有“下托函数” D.若关于m的不等式m2一m> 1 y=- b+5有解，则实数m的取值范围是 √b+4 ④函数H(x)-lnx+2-」 的 {mm>2或m<1} 11.已知函数f(x)=2lnx|-x2 图像与x轴有交点。 +号则下列结论正确的是( 四、解答题 )。 15.已知集合A={x|x2<x+6}, A.f(x)在区间（一∞，0）上单调 B={x|x2+2x-8>0},C={x|3a- 递减 2<x<a+1}。 B.f(x)的值域为R (1)求AU(CRB): C.若不等式f(m.x)≥f(x2+1) (2)若“p:x∈CR(AUB)”是“q: 恒成立，则m∈[一2,2 x∈C”的充分不必要条件，求实数a的 D.若f(a)+f(b)=0,则(a+ 取值范围。 1)(|b|+1)的最小值为4 16.已知函数f(x)=a2x-2a+ 41 学以致用 m,a>0且a≠1，m∈R。 ln(e“x2)有四个不同零点x,(i=1,2, (1)当m=一3时，求关于x的不 3,4),且x1>x2>x3>x4。 等式f(x)>0的解集； (1)求a的取值范围； (2)当a>1时，不等式log。f(x) (2)证明：x3一x1<-2; >x在x∈[0,1]上恒成立，求m的取 e2一1+ 值范围。 (3)证明：x1一x2< 2e 17.已知函数f(x)=e-bx一 (a-1)e e2(b∈R)。 e2-19 (1)讨论函数f(x)的单调性； 参考答案与提示： (2)若x+e2-alnx≥0(a>0)恒 一、单选题 成立，求a的取值范围； 1.D2.B3.C4.B5.B6.B (3)若a>2e2,求证：函数g(x)= 7.B e一alnx有两个大于1的零点。 8.B提示：根据函数的定义可 18.三个互不相同的函数y= 得，h(x)逆时针旋转买后，不存在与x f(x)y=g(x)与y=h(x)在区间D 上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)或恒有 轴垂直的直线，使得该直线与旋转后的 f(x)≤h(x)≤g(x),则称y=h(x) 函数图像有1个以上的交点，故不存在 为y=f(x)与y=g(x)在区间D上 倾斜角为无的直线与h(x)的图像有两 的“分割函数”。 个交点，即直线y=x十t（t∈R)与 (1)设h1(x)=4x,h2(x)=x+1, 试分别判断y=h1(x)、y=h2(x)是否 (z)二的图像至多有1个交点，亦 为y=2x2+2与y=-x2+4x在区间 (一c∞，十∞)上的“分割函数”，请说明 即对任意的1∈R,1 bx 一x至多1个 理由； (2)求所有的二次函数y=ax2十 解。令g(x)= -x,由以上知g(x) bx cx+d(a≠0)（用a表示c,d),使得该 函数是y=2x2+2与y=4x在区间 为单调函数。而g'(x)=b(1-x) (一c∞，十∞)上的“分割函数”； 1,g′(1)=-1<0，故g'(x)= (3)若[m,n]三[-2,2]，且存在实 数k,b,使得y=x十b为y=x4-4x2 b(1-x）-1≤0恒成立，即e≥-b(x e 与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分 一1)恒成立，即y=e的图像恒在直线 割函数”，求n一m的最大值。 y=一b(x-1)的上方，故-b≥0，即b 19.已知函数f(x)=x2- ≤0。如图1，当y=e的图像与直线y 42 学以致用 =一b(x一1)相切时， (0,2],故C错误；对于D,设a2=p, 可设切点为(xo,e), 62=q,f(a)=g(p),f(b)=g(q), 对y=e求导有y'= 因为f(a)+f(b)=0,所以g(p)+ e,故e =e,解 y=-b(x-1) g(g)=0,因为g(t)在(0，十∞)上单调 0-1 01 得x。=2,此时b= 图1 -e=-e2,故-e2≤ n}+:-0,所以g-1,即a汤 b≤0，所以b的最小值是一e2。 =1,即|a11b|=1,所以(|a|+1)(1b 二、多选题 +1)=|a1|b|+1a|+|b1+1=2+ 9.BCD 10.BC |a|+|b|≥2+2√abT=4,故D正 11.BD提示：f(x)=1nx2-x2 确。 ,令x2-1(>0),则g1)=1n7 三、填空题 12.6 -4+,所以g()=}-1-是 13.ln(a+1)<sina<e“-1 14.①③提示：对于①，假设函数 t2-t+1 k-+8 <0恒成 12 f(x)=x十上有“下托函数，即存在实 立，所以g(t)在(0，十∞)上单调递减。 数A对于任意实数x>0都有工十1≥ 对于A,f(x)可看作由函数g(t)与t =x2复合而成，因为g(t)为减函数，t 成立，且等号能取到，即存在实数A 2 =x2在（一∞，0）上是减函数，所以 满足x2+1≥A对任意实数x>0恒成 f(x)在（一∞，0）上单调递增，故A错 立，且等号能取到，易知x>0时，x2十 误；对于B,g(t)在(0，十∞)上单调递 1>1,但是等号取不到，因此函数 减，当t→0+时，g(t)→+∞，当t→ +∞时，g(t)→-∞，所以f(x)的值 f(x)=x+没有“下托函数”，即①正 域为R,故B正确；对于C,由题可知 确。对于②，假设存在常数A,使得 f(x)为偶函数，且f(x)在（一∞，0）上 单调递增，f(m.x)≥f(x2+1)台mx g()=二>≥4对任意实数r>0恒成 立，且等号能取到，即e≥A对任意实 ≤x2+1且mx≠0，即|m≤订十 数x>0恒成立，且等号能取到，显然x 1x恒成立，而（女+lz)=2,故 >0时，er>1,等号取不到，函数g（x) m≤2，且m≠0，所以m∈[-2,0)U =没有“下托函数”，即②错误。对于 x 43 学以致用 ③，若函数h(x)=lnx有“下托函数” (1,+∞)上单调递增。因此w(x)≥ y=-上，则1nc≥-1在x>0时恒 w(1)=0,当x=1时等号成立，因此 ex H(x)≥0，但知1nx≥-1在x=1时 成立，且等号能取到，即存在A=一 1 ex e 等号成立，而w(x)=0在x=1时等号 满足题意，不等式等价于xlnx≥-1 成立，因此两个等号不会同时成立，因 e 此H(x)>0在(0，+∞)上恒成立，故 令函数g(x)=xlnx,则9(x)=lnx 函数H(x)的图像与x轴无交点，即④ +1。由(x)=0,可得x=1。当x 错误。 四、解答题 ∈0，)时，g(x)<0,因此9(x)在 15.(1)因为A={x|x2<x+6}= {x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3}, o,)上单调逆减；当x∈（日，+ 又B={x|x2+2x-8>0}={x|x< 时，9(x)>0,因此(x)在（日，+∞ -4或x>2},所以CRB={x|-4≤x ≤2}，AU(CRB)={x|-4≤x<3}。 (2)由(1)知AUB={x|x<-4 上单调递增。所以p(x)在x=二处取 或x>-2},所以CR(AUB)={x 得极小值，最小值为 当 -4≤x≤-2}. 由“p:x∈CR(AUB)”是“q:x∈ x=二时等号成立，故函数h(x)=lnx C”的充分不必要条件，知CR(AUB) 是C的真子集。又C={x|3a一2<x 有“下托函数”y=一 1,即③正确。对 3a-2<-4, <a+1},所以 解得一3 a+1>-2, 于④，由③可知lnx≥一一对任意实 er <a<- 数x>0恒成立，则函数H(x)=lnx ,即实数口的取值范同为 +2、1 ≥-1+2-1-1-1 ex ex ex er ex e*-ex 16.(1)当m=-3时，f(x)=a2 eri。令w(x)=e-ex,x∈(0 -2a-3,下面解不等式a2x-2ar-3 十∞)，则w'(x)=ex一e。由w'(x)= >0,即(a+1)(ax-3)>0。 0,可得x=1。因此当x∈(0,1)时， 因为ax+1>0,所以ax>3。 w'(x)<0,w(x)在(0,1)上单调递减； 当a>1时，解得x>log.3; 当x∈(1，+o∞)时，w'(x)>0,w(x)在 当0<a<1时，解得x<log.3。 44 学以致用 综上所述，当a>1时，不等式的解 在（一c∞，lnb)上单调递减。 集为(log.3,十∞)，当0<a<1时，不 (2)4h(x)=x+e2-aln x(x> 等式的解集为（一∞，log。3)。 0),则h'(x)=1-a=x-a (2)当a>1时，由logf(x)>x x 可变形为f(x)>ax,即a2x-2ax+m 当x∈(0，a)时，h'(x)<0,h(x) >ar,a2x-3a+m>0,所以问题转化 在(0，a)上单调递减；当x∈(a,十∞) 为m>-a2x+3ar在区间x∈[0,1] 时，h'(x)>0,h(x)在(a,+∞)上单调 上恒成立。 递增。所以h(x)min=h(a)=a十e2 令t=a",则t∈[1，a],所以m> alna≥0。 -t2+3t,故m>(-t2+3t)max。 H(a)=a+e2-aln a(a>0), 则H'(a)=-lna。 令g)=-+1=-1-) 当a∈(0,1)时，H'(a)>0,H(a) +是1∈1a,当1<a≤时，函数 在(0,1)上单调递增；当a∈(1，+c∞) 时，H'(a)<0,H(a)在(1，+o∞)上单 g(t)在t∈[1，a]上单调递增，g(t)mx 调递减。 =-a2十3a,则m>-a2十3a;当a> 又当a→0时，H(a)→e2,H(e2) 时，函数g()在1∈1，引上单调递 =0,所以a的取值范围是(0，e2]。 (3)由题意知，g'(x)=e-2,易 3 增，在t∈ 上单调递减，故 知g'(x)为增函数，又g'(2)=e2- 则m>9 9 2, g(t)max=- 4 。 且a>2e2,故g'(2)<0。又g'(a)=e 综上所述，当1a≤时m的取 -1>0,故3xo∈(2，a),使得g'(xo) =e-a=0,即a=xe。 围是（一a2+3a,十o∞）：当 当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x) 时m的取值范围是（号十 在(0，xo)上单调递减； 17.(1)由题意知，f'(x)=ex-b。 当x∈(x0,十∞)时，g'(x)>0, 当b≤0时，f'(x)>0,故f(x)在 g(x)在(xo,十∞)上单调递增。 R上单调递增。 g()min=g(xo)=e"-aln xo 当b>0时，由e-b>0,得x> =e(1-roln zo）。 lnb,则f(x)在(lnb,+∞)上单调递 令p(x)=1-xlnx,x∈(2，a), 增；由e-b<0,得x<lnb,则f(x) 则p'(x)=-1-lnx<0,故p(x)在 45 学以致用 (2,a)上单调递减，则p(x)<p(2)=1 成立，故y=h1(x)是y=2x2+2与y -2ln2<0,所以g(x)min=e(1- =-x2+4x在区间（一∞，十∞）上的 coln zo)<0。 “分割函数”。 又g(1)=e>0,故]x1∈(1，x), 又因为x+1-(-x2+4x)=x2 使得g(x1)=0。 -3x+1,当x=0与1时，其值分别为 对于y=e-x-1,x∈(0， 1与-1，所以h2(x)≥-x2+4x与 +o∞)，则y'=e一1>0，故y=ex一x h2(x)≤-x2+4x在(-o∞，+∞)上 一1在(0，十∞)上单调递增，则y=e 都不恒成立，故y=h2(x)不是y=2x -x-1>0,即e>x+1。 +2与y=-x2+4x在区间(-∞， 对于y=lnx-x十1，x∈(0， 十∞)上的“分割函数”。 +∞)，则y=1-1. (2)设y=a.x2+cx十d(a≠0)是 y=2x2十2与y=4x在区间(-∞， 当0<x<1时，y'=1 -1>0,则 十∞)上的“分割函数”，则2x2+2≥ a.x2+cx+d≥4x对一切实数x恒成 y=lnx-x+1在(0,1)上单调递增； 立。 当x>1时y--1<0则y=n 由(2x2+2)′=4x,当x=1时，4x 一x+1在(1，+∞)上单调递减。所以 =4,可知y=2x2+2的图像在x=1 y=lnx-x十1≤0，即lnx≤x-1,故 处的切线为直线y=4x,它也是y= -lnx≥-(x-1)。 ax2+cx十d的图像 令m(a)=e-alna(a>2e2),则 在x=1处的切线， m'(a)=e“-lna-1>(a+1)-(a 如图2所示，所以 y=2x2+2 =44 1)-1=1>0,所以m(a)在(2e2,+o∞) 2a+c=4, y=ax+cx+ 可得 上单调递增，所以m(a)>m(2e2)= a+c+d=4, 图2 e2-2e2In (2e2)>el4-2e2In es =el c=4-2a, -6e2>0,所以g(a)>0,故3x2∈ d=a。 (x0,a),使得g(x2)=0。 所以2x2+2≥ax2+(4-2a)x+ 综上，函数g（x)有x1,x2两个大 a≥4x对一切实数x恒成立，即(2一 于1的零点。 a)(x-1)2≥0且a(x-1)2≥0对一 18.(1)因为2x2+2-4x=2(x 切实数x恒成立，可得2一a≥0且a> 1)≥0恒成立，且4x-(-x2+4x)= 0,即0<a≤2。 x2≥0恒成立，所以当x∈（一∞， 又因为当a=2时，y=a.x2+(4 +c∞)时，2x2+2≥4x≥-x2+4x恒 2a)x十a与y=2x2十2为相同函数， 不合题意，所以所求的函数为y=ax2 46 学以致用 +(4-2a)x+a(0<a<2). 令k(s)=s3-7s2+8s+16(s∈ (3)关于函数y=x4-4x2,令y [2,4]),则'(s)=3s2-14s十8=(3 =4x3-8x=0,可得x=0或士√2。 -2)(x-4)≤0（仅当s=4时，k'(s)= 当x∈（一∞，一√2）与(0，√2)时， 0),所以k(s)严格单调递减，故k(s)的 y'<0;当x∈(-√2,0)与(2，十∞) 最大值为k(2)=12,可知x1一x2|的 最大值为√12=2√3。 时，y'>0。可知士√2是函数y=x4 4x2的极小值点，0是极大值点。 所以n一m的最大值为2√3。 该函数 19.(1)f(x)=x2-ln(e“x2)=x2 与y=4x2 -a-lnx2=x2-2ln|x-a,定义域 16的图像如 为(-∞，0)U(0,+∞)，且f(x)= =4x2-16 16 图3所示。 f(一x),所以函数f(x)是偶函数，只 因为y= 图3 需保证x>0时，f(x)有2个不同零点 kx十b为y=x4-4x2与y=4x2-16 即可满足函数总共4个不同零点。 在区间[m,n]上的“分割函数”，所以存 当x>0时，f(x)=x2-2lnx 在b。使得b≤b0,且直线y=kx十b0 a,f'(x)=2x- 2_2(x2-1) 与y=x4一4x2的图像相切，并且切点 所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0, 横坐标t∈[一2，一√2]U[2,2],此时 函数f(x)单调递减；当x∈(1，+∞) 切线方程为y=(4t3-8t)x+4t2- 时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增。 3t4,所以k=4t3-8t,b0=4t2-3t4。 又当x>0且x→0时，f(x)→ 设直线y=bx+b与y=4x2-16 十∞，当x→+∞时，f(x)→十∞，所 的图像交于点(x1,y1),(x2,y2),则由 以f(x)mm=f(1)=1一a,要使x>0 y=hx十b,可得4x2-kx-16-6 时，f(x)有2个不同零点，则有 y=4x2-16, f(x)mm<0,所以1-a<0→a>1。 =0,所以x1十x2= k x1x2=-4 所以a的取值范围为(1，+∞)。 (2)由(1)知f(x)是偶函数，所以 至。放1，-=+- 四个零点满足x1>x2>0>x3>x4,且 x3=一x20 k Wi6+16+6 k ≤ 6+16+。 要证x3一x1<一2，即证一x2一x1 <-2,只需证x1十x2>2,其中x1>1> √(t°-2t)+16+4t2-3t x2>0是x>0时f(x)=0的两个根。 √t5-7t4+8t2+16 令F(x)=f(x)-f(2-x),x∈ Ws3-7s2+8s+16(s=t2∈[2,4])。 (0,1),则F(x)='(x)+f'(2-x) 47 学以致用 4 -4(x-1)2 1<x<e时，h'(x)<0。于是h(x)在 =4 x(2-x)x(2-x) (1,e)上单调递减，在(e,十o∞)上单调 当x∈(0,1)时，F'(x)<0,所以 递增，故h(x)≥h(e)=0,当且仅当x F(x)在(0,1)上单调递减。 =e时等号成立，所以对任意x>1,都 又F(1)=0,故对任意x∈(0,1) 有F(x)>0,所以f(x2)>f(2-x2)。 有g(x)≥ (e2-1) x一e2,等号仅在x e 又f(x1)=f(x2)=0,故f(x1) =e处成立，代入a=g（x1),解得x1≤ >f(2-x2),且x1>1,2-x2>1。 e(a+e2) 因为f(x)在(1，十∞)上单调递 2(e2-1) 增，所以x1>2一x2,即x1十x2>2。 1 在x=二处对g(x)作切线放缩： 因为x3一x1=一（x1十x2),所以 x3-x1<-2。 ()=-2= (1-e2) ,切线方程 e (3)令g(x)=x2-2lnx,x>0, 2(1-e2) 则a=g(x1)=g(x2),其中x1>1, 为y +4 e2o 0<x2<1。 同理可证，对任意0<x<1,有 在x=e处对g(x)作切线放缩： g'(e)=2e-2-2(e2-1 g(x)≥2(1-e2) 十4-，等号仅在 ,切线方程 e e 2(e2-1) x=二处成立，代入a=g(x2),解得 为y= x-e2。 e 令h(r)=g(c)-2(e2-1 -x+e2 x2≥ 4+ e 2(1-e2) =x2-2In x- 2(e2-1) e(a+e2) 2x+e2,则 所以x1一x2≤ e 2(e2-1) h'(x)=2z- 22(e2-1) e,所以 2aete-4e+ e h'(e)=2e-2-2(e-1D-0 2(1-e2) 2(e2-1) e e (a-1)e (e2-1)2 (a-1)e 令9(x)=2x-22(e2-1) e2-1 2e(e2-1) e2-1 ,则 e 2 -1,当且仅当x1=6=上时等号 2e 9'(x)=2+2>0,所以h'(x)在(0， 成立，此时a=e2一2，函数零点唯一对 十∞)上严格单调递增，因此x=e是 应，等号成立条件为单点情况，严格小 h'(x)=0的唯一解。 于关系成立，结论得证。 当x>e时，h'(x)>h'(e)=0;当 (责任编辑王福华) 48