三角函数、解三角形、数列试题精选-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

管学梳心青室费售中学生表理化 “三角函数、解三角形、数列”试题精选 ■河南省新野县第一高级中学校 李 品 1.将函数f(x)的图像向下平移1个单 位长度，再将所得图像上每个点的横坐标变 (2)若函数f(x)在(，)上单调递增， 为原来的两倍（纵坐标不变），得到函数g(x) 求ω的取值范围。 =Asin(wx+p)(A>0,w>0,-x<p<π)的 3.将函数g(x)=2√3 sin xcos x一 图像，且函数g(x)的部 分图像如图1所示。 2sinx的图像向左平移9(0<p≤罗)个单位 (1)求A,w,9； 长度后得到函数f(x)的图像。 (2)求函数f(x)的 (1)若f(x)≤f(0)恒成立，求p; 解析式与值域； (3)求曲线y= (2)若f(x)在(，石）)上是单调函数，求 图1 f(.x)-2√3cos(4x+ 9的取值范围。 P)的对称轴方程。 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别 2.已知函数f(x)=an(ox+否)(w> 是a,6c:已知5imA-5c0sB士-0 0)。 △ABC的面积为6√5。 (1)若函数∫(x)的最小正周期为π，求 (1)求a的最小值。 f(x)的定义域及单调递增区间； (2)若c=3,D为线段BC上一点。 我们将其化整为零，就会发现它的每一部分 4+…+(n+1)]+(3十32+33+…+3”)= 都可以用我们学过的方法求出，此时就可以 n[2+(n+1)】+31-32_n+3m-3+3+ 对其进行分组求和。 2 1-3 2 例5在等差数列{am}中，a=4,a2十 方法突破：当一个数列的项是由几部分 a8=12,在等比数列{bn}中，b2=9,公比q=3。 组成，并且每一部分又是一个可求和的数列， 这时候我们就可以分而治之，将每一部分求 (1)求数列{a,}和{bn}的通项公式； 和后再合并运算即可。 (2)若cn=an十bn,求数列{cn}的前n项 通过对各类方法原理的剖析与典型例题 和Sm。 的演绎，我们不难发现，数列求和问题的精髓 解析：(1)在等差数列{an}中，a:= 并非是对孤立公式的死记硬背，而是在于能 a十a=6,则公差d=a；二-1，所以a,= 敏锐地观察数列通项的形式特点，从而选择 2 5-3 合适的求和方法。深刻理解每一种方法所蕴 aa+(n-3)d=n+1。 含的“化归”思想，无论是裂项相消的“合二为 在等比数列{bn}中，b2=9,公比g=3,所 一”，错位相减的“构造抵消”，还是分组求和 以bn=b29”-2=9×3m-2=3”。 的“分而治之”，其最终目标都是将未知的、复 所以数列{a,}和{b,}的通项公式分别为 杂的求和问题转化为已知的、简单的模型。 am=n+1,bn=3”。 这种“转化与化归”的能力是解决数学问题的 (2)由(1)得c,=n十1+3”。 核心能力。 所以数列{cn}的前n项和Sn=[2十3十 (责任编辑 王福华) 43 中学生款理化离整学杭紫鼻整折 ①当CD=2BD时，求tan∠BAD的值； n∈N",有am+1= a7+4 ②当AD=97 2时，求证：D为线段BC 2an (1)设cn=1og a,+2 的中点。 a,-2,证明：数列{c}是 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别 等比数列，并求{an}的通项公式； 为a,b,c,已知4 asin A=bsin Ccos A+ 2)设.一士1-，数列，)的前” 2 csin Acos B。 (I)求册的值。 项和为Tn,证明：对任意n∈N”,有Tm<1。 参考答案： (Ⅱ)角B的平分线BD交AC于D。 1.(1)由题图知，A=2,子T-系 (1)证明：BD2=BA·BC-DA·DC; 20 (2)若a=1,求BD·AC的最大值。 (-2）-则T== 2π 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别 因为w≥0，所以w=2,则2×6十g= 元 是a,bc,若oC+oA-nmnC,且 a 3sin A 十2kπ(k∈Z)。 am- 又因为一<<π，所以9=一至 。 (1)求C和c; (2)若AB边上的中线长为2，点D在 (2)由(1)知，g(x)=2sin(2x-号)。 AB上，且CD为∠ACB的平分线，求CD的 长。 由图像变换知，f(x)=2sin(4x一F)+ 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别 1。 为a,b,c,且满足a=2,a2一b2=c。 因为sim(x-)∈[-1,1]，所以 (1)证明：sinA=2sin(A一B); (2)若sin(A-B)≥2，求△ABC的面 fx)=2sin(4x-g)+1e[-1,3]. 积。 所以f(x)的值域为[一1,3]。 8.设数列{an}的前n项和为S,,且2S, (3)由(2)知，f(x)-2V3cos(4x+9)= =a(2a,-1),a>1。 2sim(4x-)-25cos(4x-晋)+1 (1)证明：{lnam}为等差数列； (2)数列{bn}满足anbn=2n一1，当a= 4sin(4x-吾-)+1=4sin(4x）+1. 2且6十6：十…十6，>一号时，求a的最小值。 ,十kπ(k∈Z),解得x= 9.设数列{an}的前n项和为Sn。已知 1 a1=1, 2 ,n∈N"。 +经(k∈z),即街线y=f(x）一 120 (1)求a2a3的值； 31十 25cos(4x十9)的对称轴方程为x=20 (2)求证：侣}为等差数列： EED. 1 2.(1)由题意知，函数f(x)的最小正周 3)证明：对一切正整数，有。十 +< 期T-无=元，则a=1,f(x)=an(x十) w 十 an 10.已知数列{an}满足a1=6,且对任意 由x十答≠k元十受，即x≠元十石，得函 44 学梳心旁年酒件中学生凝理化 数f(x)的定义域为女x≠k元十吾，k∈Z。 29∈(2x+吾+29,2x+受+2g） 令k元一受<x十吾<元十受，化简可得 3 令4=2x+吾 十2g,则f(x)在 k-否<<kx十吾，即函数f(x)的单调递 (,7否)上是单调函数可转化成h)=2sin1 增区间为(kx-否kx十君)k∈Z。 -1在(2x+否+24,2π+受+29）上是单调 (2)令=x+5,因为x∈（答，），所 函数。 因为h(t)=2sint一1的周期为T=2π， 以(+晋+) 所以h()=2sim1-1在（答+29，受+29） 又函数f(x)在(，)上单调递增，所 上是单调函数 以：∈（肾+晋+晋）=(x一登kx十 因为0<9≤受，所以看+29∈（后]， ）k∈Z。 受+29∈（受，] 由h(t)=2sin1-1在（答+29，受+ 3十三+怎 2 即 w≤3k+2'则 1 w≥6k-5, +29≥2' 6 29)上是单调函数，得 解得p∈ |3k+7≥6k- 0<≤受 有 1 解得一名<<吕 3k+2>0, [] 因为k∈7，所以k=0或1，则0<w≤号 4.1)因为sinA=5cosB十C,所以 2 7 或1≤ω≤2· 2sinos-5cos2A-5sin 所以。的取值范国为(o,]U[,] 因为0<<受，所以s A≠0，则 3.(1)已知g(x)=2√3 sin xcos x 0合-气，所以A=后 2sinx=√3sin2x-（1-cos2x）= 由Saw=csnA=6v5,得k=24。 2sin(2x+）-1,经过平移后可得f(x)= 由余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A≥ 2sin(2x+g+2g）-1. 2bc-bc=bc=24,则a≥2√6，当且仅当b= 又f(x)≤f(0)恒成立，所以∫(0)是函 c=2√6时，等号成立。 所以a的最小值为2√6。 数的最大值，放若十29=受十2k元(k∈刀，得 (2)由(1)知，bc=24,又c=3,则b=8。 9=否+kx,k∈Z. ①设∠BAD=日，则∠CAD=F-日，0< 3 因为0<≤受，所以9=若 3。 (2)因为x∈(x,),所以2红+吾+ AB 在△ABD中，由正弦定理 in∠ADB 45 中学生数理化高数学2026年2月 演练篇核心考点演练 BD sin0,得BDsin∠ADB=3sin0; 同理， CD AB十BC,所以CD= BC AC AC 在△ACD中，由正弦定理 BC·AC in∠ADC= AB+BC CD ,得CDsin∠ADC=8in(答-g）. 在△ABD中，由余弦定理得AB= sin(g-a AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB;③ 同理，在△BCD中，由余弦定理得BC 由CD -2BD,sin ∠ADB =CD2+BD-2CD·BDcos∠CDB。④ sin∠ADC,代人得4sin(行-0）=3sin9,即 又∠ADB+∠CDB=元，故sin∠ADB =sin∠CDB,cos∠ADB+cos∠CDB=0。 23cos0-2sin0-3sin0,解得tan9= 2w3 5, 由CD×③+AD×④得CD·AB+ AD·BC=CD·AD(AD+CD)+(CD+ 即tan∠BAD=2 5 AD)·BD2=CD·AD·AC+AC·BD。 ②因为D为线段BC上一点，所以可设 所以BD?= CD·AB+AD·BC AC BD=ABC(0<A<1),即AD=λAC+(1 入)AB,平方得AD2=2AC2+(1-入)2AB CD·AD=BC·AB+AB·BC AB+BC -CD· +2入(1-入)AB·AC。 AD=BA·BC-DA·DC。 由AD=97 c=3,b=8,解得入= 2 2由(1知需合-，放=2a,则 或入=一 品（合去） AD AB CD BC =2,所以AD=号AC,DC 所以D为线段BC的中点。 5.(I)已知4 asin A=bsin Ccos A+ 3AC。 csin Acos B,由正弦定理得4sinA= 由a=1及1)知BD=2-号AC sin Bsin Ccos A sin Csin Acos B sin C(sin Bcos A+cos Bsin A)=sin Csin (B 所以2=BD+号AC≥22BD·AC 3 +A)=sinC。 因为A,C∈(0，π)，所以sinA>0,sinC 当且仅当BD=号AC,即BD=1,AC >0,放sin41 sin C2 3巨时，等号成立。 (Ⅱ)(1)在△ABD中，由正弦定理得 AD AB sin∠ABD sin∠ADB: ① 所以BD·AC的最大值为2. 同理，在△BCD中，由正弦定理得 6.1)因为0<C<,所以S∈(0,5)。 CD BC sin∠CBD sin∠CDB ② 因为BD是∠ABC的平分线，∠ADB+ ∠CDB=元，所以sin∠ABD=sin∠CBD, 6,C-音 sin∠ADB=sin∠CDB。 因为cosC+cosA=sin Bsin C sin C 故①÷②得AD-AB a 3sin A CD BC AB 乞，所以由余弦定理及正弦定理得 由比例的性质得ACAB十BC,所以 AB·AC b2+c2-a2 AD- a2+b2-c2 AB+BC; 2abc 2abc 3a,解得c= 46 学梳心旁年肾中学生凝理化 25。 8.(1)由题知，2Sn=a(2am-1),a>1。 (2)由余弦定理得c2=a2十b2-2 abcos C 当n=1时，2S1=a(2a1-1),即2a1= =a2+b2-ab,即a2+b2-ab=12。① 设M为AB的中点，即CM=2,因为 a(2a1-1),可得a1=2a-2 当n≥2时，2Sm-1=a(2am-1一1)，所以 cMi-之(C+C),所以C7-子(C+ 2Sm-2Sm-1=a(2an-1)-a(2am-1-1)= C32+2CA.Ci),即a2+b2+ab=16。② 2a.,整理得(a-1)a,=aa,-1,即a=a 由①②得a2+b2=14,ab=2。 am-1a-19 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=18,则 所以数列{a.}是以a1=2a-2为首项， a+b=3√2。 因为CD为∠ACB的平分线，所以 。口为公比的等比数列，则a.=ag= San+San-Saac,即Zb·CDin30r+ a22(8)》-“）广 1 1 2a·CDsin30°=2 absin60,解得CD 所以1na,=1n号(2气)广=n言 √3ab_23_6 a+b3√2 3。 a-1 7.(1)因为a=2,a2-b2=c,所以a2 X In a=In 2(1):In d,-In a.- (a2十c2一2 aceos B)=c,化简整理得c= n(+(n) 1 4cosB-1。 由正孩定理c可得A =In-a a n。二，所以lna,}是以n2a-为首 sin(2sin(A+B)-sin A (4cos B 4cos B-1 一7为公差的等差数列。 项，lna -1),2sin Acos B+2cos Asin B= 4 sin Acos B-sinA,所以sinA=2 sin Acos B (2)当a=2时a.=2(2号)广=2 -2cos Asin B=2sin(A-B). 因为a,bn=2n一1，所以b,= 2n-1 (2)由(1)知sinA=2sin(A-B),又 simA-B)≥号，则sinA≥1，放simA=1 2n-1 2”-1。 因为A∈(0，)，所以A=受。 令T.-6十十中6-+2+员 所以sin(A-B)=cosB=2· 1 1,35 2m-2 又B∈0，)，所以B=S,所以C= 69 十十2公一+2两式相诚得T.-1 2m-1 由正弦定理A一品c可得c- C +2(哈++…+）-221-1+2× 2” 元 2sin 6 =1。 0-) 2n-1=3-2+3 ,以T。= sin 2 1司 2 2 所以Sar-2 aesin B= 日×2×1× 6-2n+3 2m1。 2 2 因为T+1-T,=6-2(n+1)+3 2 47 中学生教理化高数学026年2月 演练篇核心考点演练 6- 2n+3\ 2-1 2n十1>0，所以T+1>T。,则 am=n。 2 {Tn}是单调递增数列。 当m=1时，-1<子，原不等式成立： 因为T,=6-2生8-1<号，T,=6 当m=2时，十-1+冬<，原不等 17 20 2×2+3=5<, 式成立； 2 2 2,T=6- 2×3+3_15< 22 4 当n≥3时，由n2>(n-1)·,得1= 号T,=6-2x4+3=是<号T:=6 an 2 1 6<号，T.=6-2X6+8-1 a a2 2×5+3_8311 21 25 32 ++<1+++十 1 an 号，所以当m=1,28,4,5时，T<号：当 1 1 0m-2)(n-D十m-1)”=1++ w≥6时.2， (位-)+（信-）++（三之） 由6，+6，十…十么，≥吕，可得T.=6 +(品)=-日 警中号放所求的最小值为6 所以对一切正整数，有+是十…十 9.(1)已知 2 <2 an 。 n∈N"。 10.(1)由am+1= a?+4 可得cn+1= 当n=1时，2a,=a:-号-1-号-a: 2a, a+4 +2 (an+2)2 2,而a1=1,则a2=4。 2a 2a log, a+1十 -log. 当n=2时，S2=a3一4，所以a3=S2+ am+1-2 +4一2 1og:(a,-2 2an 2an 4=a1+a2+4=9。 (2)由2S an+2 =a一 -n一，可得 1 2 21og:a,-2 =2cn,故数列{cn}是等比数列， n 1 2 2S=na-3n-2-号n=ma1 且c1=1og 2号=le8号1. a1十2 a,+2 n(n+1)(n十2) 所以c.=2,即1og:2-22,解得 3 当n≥2时，2Sn-1=(n-1)a。- a= -2(2+1)_2(2+1) 1-224 2-1 (n-1)n(n+1D,所以2a.=2S。-2S。-1= 3 2)由(1)知c,=2,则b,=十1 2 na一(a-1Da,一nn+1D,整理得 1 2 +名-（广 =1 n 所以数列6，)是以宁为首项，为公比 又因为2一号=1，所以数列%}是首 的等比数列。 项为号 =1,公差为1的等差数列。 故Tn= <1 1- 2n (3)由(2)知2=1+1×(n-1)=n,则 n (责任编辑王福华) 48