“概率与统计”跟踪训练-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

“概率与统计 ■贵州省毕节市金沙县实验高级中 一、单选题 1.用0,2,4,5,7,8可组成数字不允许重 复的三位数的个数为()。 A.100 B.90 C.120 D.110 2.某校高一年级举行歌咏比赛，每个班 级限报两名参赛选手。现在高一(3)班有5 名同学想参加比赛，其中3名男生，2名女 生，若从这5名学生中随机选取两名参赛，则 这两名学生性别不同的概率为()。 D.号 3.表1是高三年级某位同学的一次模考 成绩，本次模考试题中，语文、数学、英语试卷 满分为150分，其他科目试卷满分为100分。 若将下列成绩按满分100分折算后，这组数据 的第一四分位数是( )学科的分数。 表1 科目语文 数学 英语 物理化学 生物 成绩 129 135 123 83 91 93 A.语文 B.英语 C.物理D.生物 4.某机构对2025年上半年全国500个 县集贸市场及采集点的 ◆价格（单位：元/公斤） 30 猪肉平均价格进行了统 计（单位：元/公斤），相 关数据如图1所示。针 3+56月 对这些数据，下列说法 图1 正确的是()。 A.极差为3 B.下四分位数为26 C.方差大于1D.上四分位数为28 5.已知10件产品中有4件次品，采用有 放回简单随机抽样的方法从中抽取5件产品， *****4****4***********4 时，要注重归纳总结解题模型，高中数学题目 类型繁多，但同一类型题目往往有相似的解 题思路。 (5)关注数学应用：同学们在日常生活中 可以通过数学知识来解决一些实际问题，使 学梳紫卓清籍中学生教理化 跟踪训练 济 汪祥锋王建锋杨智 发现恰有2件产品是次品的概率为()。 A器 ”c器 11 D.21 6.要安排6名大学生到4所乡村学校去 支教，其中每名大学生只能选择去一所学校， 且每所学校至少要有一名大学生支教，则不 同的方案共有()种。 A.1080B.400C.1560D.7200 7.已知A、B、C表示三个事件，若命题 s:P(ABC)=P(A)P(B)P(C),命题t:事 件A、B、C任意两个互相独立，则下列说法 正确的是()。 A.s是t的充要条件 B.s是t的充分不必要条件 C.s是t的必要不充分条件 D.s既不是t的充分条件，也不是t的必 要条件 8.某抽奖规则如下：10个完全相同的箱 子中只有3个箱子有奖（主持人知道每一个 箱子是否有奖)，首先抽奖人随机选择1个箱 子，然后主持人打开3个没有奖的箱子，最后 抽奖人随机更换1个箱子，则抽奖人中奖的 概率为( )。 1 A.10 B 7 C.20 D.20 9 二、多选题 9.在2025年9月3日北京天安门广场举 行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯 战争胜利80周年阅兵中，某方阵士兵的身高 服从正态分布N(175,25)(单位：cm)。根据正 态分布的性质，下列结论正确的是()。 A.身高在170cm到180cm之间的土 ***********4***** 自己能深刻理解数学的实用性。 (6)培养创新思维能力：同学们在解答开 放性、探究性题目时，要注重一题多解、多题 归一，提高思维的灵活性和创新性。 (责任编辑王福华) 43 中学生数理化清数学核2年1月 演练篇核心考点演练 兵约占68.27% B.身高超过185cm的土兵约占2.28% C.身高低于165cm的士兵约占15.87% D.身高在175cm以上的士兵约占50% 10.关于线性回归分析，下列结论正确的 是()。 A.在线性回归模型中，残差平方和越 小，表示模型的拟合效果越好 B.若两个变量之间的相关系数r=0,则 它们之间不存在任何相关关系 C.一组成对数据(x;,y:),i=1,2,3,…, n,若增加一对数据(x,y),则新的线性回归 方程不变 D.一组成对数据(x,y,),i=1,2,3,…, 10,样本中心为(5,7)，得到的回归直线方程 为y=2x一3，若去除一个异常点(14,7)后， 得到新的回归直线必过点(4,7) 11.如图2所示，若从A到B的最短路 径m与从C到D的最短路径n 没有公共点，则称m与n为一对 孤立路径；若从A到B的最短路 径m与从C到D的最短路径n 存在公共点，则称m与n为一对 图2 非孤立路径。下列结论正确的是( ）。 A.从A到B的最短路径有24条 B.从C到D的最短路径有35条 C.从A到B与从C到D的非孤立路径 共有595对 D.从A到B与从C到D的孤立路径共 有240对 三、填空题 12.已知某组数据的回归方程为)= bx+2,该组数据的样本中心为(25,102)，则 6= 13.在(x2十x十1)8的展开式中，x?的系 数是 14.甲、乙两人进行游戏，每局甲获胜的 概率为号，乙我胜的概率为日，游戏规则如 下：初始分数为0，甲获胜一局分数加1，乙获 胜一局分数减1。当分数达到2时甲获胜，游 戏结束；当分数达到一2时乙获胜，游戏结 44 束。则游戏进行到第6局，游戏结束的概率 为；游戏进行到第2n(n∈N”)局，游戏 结束的概率为 四、解答题 15.为响应“健康中国”号召，某社区卫生 服务中心随机抽取了该社区500名居民，调 查“居民每周运动时长（≥3小时/周、<3小 时/周)与是否定期体检（是、否）”的关联性， 整理得到如表2所示的2×2列联表： 表2 定期体检（是定期体检（否）合计 每周运动 ≥3小时 180 70 250 每周运动 3小时 120 130 250 合计 300 200 500 (1)根据表2中的数据，判断是否有99% 的把握认为“居民每周运动时长与是否定期 体检”有关联； (2)若采用分层抽样的方法从定期体检 的300名居民中抽取10名，再从这10名居 民中随机抽取4名参与社区“健康生活方式” 宣讲活动，求抽取的4名居民中恰好有2名 居民的每周运动≥3小时的概率。 附：X2= n(ad-bc)? (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 表3 P(X2≥k)0.10.050.010.0050.001 X。 2.7063.8416.6357.87910.828 16.为了比较甲、乙两种型号武器的命中 精度，各进行了20次试射，记录每次武器落 点与靶心的直线距离（单位：米）。数据整理 后，得到如表4所示的频数分布表。 表4 距离分组甲型武器频数乙型武器频数 [0,2] 2 (2,4] 4 不 (4,6 8 10 (6,8] 4 3 (8,10] 2 1 (10,12] 0 2 (1)分别计算甲、乙两种型号武器落点与 靶心的直线距离的平均数；（同一组中的数据 以这组数据所在区间的中点值为代表) (2)估计甲、乙两种型号武器落点距离的 第80百分位数，并解释其意义； (3)以频率估计概率，将“命中靶心附近” 理解为“落点与靶心的距离不超过某个数 值”，请你设计两个不同的“命中靶心附近”为 判定标准（记为标准一、标准二），满足标准一 时甲型武器命中率更高，满足标准二时乙型 武器命中率更高。 17.为合理规划超市补货时间，某连锁超 市统计了旗下5家门店的“日均客流量（单 位：百人)”与“日均补货时长（单位：小时）”的 数据，整理得到表5： 表5 日均客流量 15 20 35 45 x(百人) 日均补货时长 y(小时) 10 (1)根据数据判断y与x的线性相关程 度是否很高。（计算结果保留两位小数） 参考公式：相关系数r 3(x4-x)(y,-y) ;若r|≥0.95， √,-2 ；-y) =1 则认为线性相关程度很高。 (2)经分析发现，y与√元更适合线性回 归模型，试建立y关于√（的线性回归方程， 并预测当日均客流量为81百人时，该门店的 日均补货时长。（结果保留整数） 参考数据： 反)=12.3，（√-匠）(y,-y) 21.38。 18.已知袋中装有5个白球和3个红球， 现从袋中往外取球。 (1)每次任取一个记下颜色后放回，直到 红球出现3次时停止，设停止时共取了X次 球，求X=5时的概率。 (2)每次任取一个球后不放回，设Y为首 次抽到红球所需的抽取次数，求随机变量Y 湾整学梳特卓清籍中学生教理化 的分布列和数学期望。 (3)证明：对任意n,m∈N,且n≥m,有 1+n-m+n二m)n-m1+.+ n-1 (n-1)(n-2) (n-m)··2:1—=” (n-1)·…·(m十1)·mm 19.若离散型随机变量X的所有可能取 值为非负整数0,1,2，·，n,且对应概率P(X =k)=力：(k=0,1,2,,n),满足∑p4=1, 定义X的普通母函数为Gx(t)=p。十p1t十 pt2十…十pnt”。据此回答下列问题： (1)现有一枚质地均匀的骰子，掷一次 后，记向上的点数为随机变量X,求X的普 通母函数Gx(t)。 (2)设离散型随机变量Y的普通母函数 为Gy(t),其一阶导函数为Gx(t),二阶导函 数为GY(t)。 ①证明：Gr(1)=E(Y),E(Y)为Y的数 学期望； ②若Y的所有可能取值为0,1,2，且 G,(0)=子+：+，利用①的结论求 D(Y)。(D(Y)为Y的方差，且D(Y)= E(Y)-E(Y)) (3)某运动员进行投篮川练，每次投篮命 中的概率为p(0<p<1),且各次投篮相互独 立。记该运动员连续投篮次的命中次数为 随机变量乙。 ①D求Z的普通母函数Gz(t)。 ②某教练给出两种训练方案：方案一为 “投篮5次”，方案二为“投篮6次”，且方案一 的命中概率p1=0.6,方案二的命中概率 p2=0.5,利用(2)的结论分别计算两种方案 命中次数的期望与方差，并判断哪种方案更 适合“追求稳定命中次数”的训练目标。 参考答案与提示： 一、单选题 1.A2.B3.C4.B5.A 6.C提示：根据题意知，分组方法有两 类：第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组 3人，其余3组每组1人，不同的分法共有 CCCC=20(种)：第二类，采用“2,2.1,1” A好 45 中学生数理化清数学核2年1月 演练篇核心考点演练 的分法，即有2组每组2人，其余2组每组1 人，不同的分法共有A C×cC=45(种). A 所以不同的分法共有20十45=65（种）。然 后把分好的4组支教学生分给4所学校，所 以不同的方案共有65×A=1560(种)。 7.D提示：①充分性不成立：设样本空 间2={1,2,3,4,5,6,7,8}，事件A={1,2, 3,4},事件B={1,2,4,5},事件C={1,6,7, 8),则P(A)=P(B)=P(C)=1 2P (AB) =8≠P(A)·P(B)=,P(AC)=g≠ 1 P(A)P(C)=,P(BC)=日≠P(B)P(C) -。又因为P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =日所以：不是：的充分条件。@必要性 不成立：设样本空间2={a,b,c,d},事件A ={a,b},事件B={a,c},事件C={a,d}, P (A)=P(B)-P (C)-,P (AB)- 1 P(A)P(B)=P(AC)=P(A)P(C)- 1 1 ,P(BC)=P(B)P(C)=。又因为 P(ABC)三4≠P(A)P(B)·P(C)=8,所 以s不是t的必要条件。综上可知，s既不是 t的充分条件，也不是t的必要条件。 8.D提示：记抽奖人一开始抽到有奖 的箱子为事件A,更换箱子后的箱子是有奖 的箱子为事件B。抽奖人一开始抽到有奖的 箱子的概率为P(A)=品，则在抽到有奖的 箱子的条件下更换箱子后抽到有奖箱子的概 1 率为P(BA)=3。抽奖人一开始抽到无奖 7 箱子的概率为P(B)=0,则在抽到无奖箱 子的条件下更换箱子中奖的概率为P(BA) -子由全概率公式知，销奖人中奖的概率 9 为P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=2O· 46 二、多选题 9.ABD 10.ACD提示：选项A:残差平方和越 小，说明模型预测值与实际值偏差越小，拟合 效果越好，故A正确。选项B:r=0表示两 变量无线性相关关系，但可能存在非线性相 关（如二次相关），并非“无任何相关关系”，故 B错误。选项C:回归直线必过样本中心(x, y),添加数据(x,y)后，新样本中心仍为(x, y),且回归系数计算不变，所以新回归方程不 变，故C正确。选项D:原样本(10组)中心 为5,7).故22，=10i=50.2=10y 10 70,去除异常点(14,7)后，新样本量为9，新 样本中心为(0.14,70。)-4,70，回归 直线必过新样本中心，故D正确。 11.ABD提示：从A到B的最短路径 有24条，从C到D的最短路径有35条，从 A到D的最短路径有20条，从C到B的最 短路径有30条，则从A到B与从C到D的 孤立路径与非孤立路径共有24×35= 840(条)，其中从A到B与从C到D的非孤 立路径有20×30=600（条），从A到B与从 C到D的孤立路径有840一600=240（条）。 三、填空题 12.4 13.1016提示：(x2+x+1)的展开式 的通项为CC%-x2张+m,令2k十m=7,当k=0 时，m=7,CC4x张+m=8.x7;当k=1时，m =5,CC4x2张+m=168.x7;当k=2时，m=3, CC0x2张+m=560.x;当k=3时，m=1, CC4x2+m=280x。所以x'的系数为8+ 168+560+280=1016。 140:音×（信）》 提示：第6局结 束需满足前4局甲乙各胜2局（排除前2局 甲胜或乙胜这两种情况)，且第5、6局甲连胜 或乙连胜，故概率为(C-2)×(号)'×（兮）” ×[(号)+（侣）门-器游戏不可能在第 奇数局结束，且第2k一1,2k(k∈N”,k<n) 局的胜负只能是“甲胜，乙胜”或“乙胜，甲 胜”，且第2n一1,2n局只能是甲连胜或乙连 胜，故概率为21×（得）×（仔）× [()+()门-号×（告） 四、解答题 15.(1)由题表2中的数据及参考公式得 x:=500×(180×30-120×70) =30。 250×250×300×200 又X2=30>6.635,结合P(X≥6.635) =0.01,故有99%的把握认为“居民每周运 动时长与是否定期体检”有关联。 (2)在定期体检的300名居民中，“每周 运动≥3小时”的居民有180名，“每周运动 <3小时”的居民有120名，分层抽样比例为 101 300=30,因此从“每周运动≥3小时”的180 名中抽取6名，“每周运动3小时”的120名 中抽取4名，从这10名中抽取4名，共有 C。种，符合条件的抽法为从“每周运动≥3小 时”的6名中抽取2名，且从“每周运动3小 时”的4名中抽取2名，有CC种，故抽取的4 名居民中恰好有2名“每周运动≥3小时”的概 率为CC3 79 16.(1)设甲、乙两种武器落点距离的平 1 均数分别为x1、x2,则x1=20(1X2十3X4+ 1 5×8+7×4+9×2)=5,x:=20(1×1+3× 4+5×10+7×3+9×1+11×1)=5.2。 (2)因为第80百分位数的位置i=20× 80%=16,所以需找到累计频数首次大于或 等于16的组。 甲型武器的落点距离在[0,6]内共有14 个，在[0,8]内共有18个，所以第16个数据 在(6,8]内，故甲型武器的落点距离的第80 百分位数为6+1614×2=7（米）： 4 乙型武器的落点距离在[0,6]内共有15 个，在[0,8]内共有18个，所以第16个数据 在(6,8]内，故乙型武器的落点距离的第80 百分位数为6+1615 3 ×2≈6.67（米）。 做学做心普室酒籍中学生教理化 意义：约80%的武器落点与靶心的距离 不超过该值，仅20%的落点距离超过该值。 (3)记甲、乙两种武器的命中率分别为 P1、P2。 标准一：定义“命中靶心附近”为“落点与 6 靶心的距离不超过4米”，则P1= =0.3, 20 5 P=20=0.25,P>P 标准二：定义“命中靶心附近”为“落点与 =4=0.7 靶心的距离不超过6米”，则P,=20 15 P,-20=0.75,P<P, 故标准一为落点与靶心的距离不超过4 米，标准二为落点与靶心的距离不超过6米。 17.(1)由题表5中的数据知，日均客流 量的均值x三5(5+15十20+35+45) 24(百人)； 日均补货时长的均值少=号(3+7+9+ 10+11)=8(小时)； 离差乘积和为∑(x,一x)(y:一y)= =1 185; 5 离差平方和为∑(x,-x)2=1020, i=1 ∑y=y)=40 ∑(x:-x)(y,-y) 故r= = ∑(x,-)∑，-) i= i= 185 √1020×40 <器 =0.925。 因为|r|≈0.925<0.95，所以y与x的 线性相关程度不高。 (2)令t=√，则题干中“y与√适合线 性回归模型”可转化为“y与t适合线性回归 模型”，设线性回归方程为y=bt十a。 (t,-i)(y,-y) 由参考数据得石= 1-1 ,- 47 中学生款理化离整学杭紫鼻费折 21.38≈1.74 12.3 放g[1+”+“mm"2 (n-1)·(n-2) 又因为t的均值t=4.64,所以a=y 十…十 (n-m)·…·2·17 (n-1)·…·(m+1)·m 二1。 bt=8-1.74×4.64≈-0.07。 所以y=1.74t-0.07。 所以1+”二m+n一m)·(n-m-1) n-1 (n-1）·(n一2) 将t=√：代人，得y关于√的线性回归 (n-m)·…·2·1 n 方程为y=1.74√元-0.07。 十+(n-1)·…(m+1)·m m 当日均客流量为81百人，即x=81时， 19.(1)由题意知，X的所有可能取值为 t=√8T=9,所以y=1.74×9-0.07≈16 (小时)。 1,23,4.5,6.且P(X=e)=6P(X=0) 0,故随机变量X的普通母函数Gx(t)=0十 故预测当日均客流量为81百人时，该门 店的日均补货时长约为16小时。 名+名++名 18.(1)X=5表示“前4次取2次红球， (2)①由Gy(t)=p。十p1t十p2t+…+ 第5次取红球”，而每次取到红球的概率为 pnt”,求导得G(t)=p1十2pt十3pt2十 号，取到白球的概率为各，故P(X=5) 十npnt"-1。 c·(层)（层）·-器 所以G(1)=p1十2p2+3pg十…+npn =E(Y)。 (2)Y为“首次抽到红球的次数”，由题意 ②由G,()=子：+名：+子，求导得 知y的所有可能取值为1,2,3,4,5,6（前5 次白球，第6次必为红球)，日P(Y=1D=音， G5(t)=1 +2,则E()=G1=1. PY=2)-吾×号-品，P(Y=8)-8× 又G(x)=合放E(Y)=G1)十 G1)=2+1- 2。 所以方差D(Y)=E(Y)一E(Y)= 3 是-1= P(Y=6)=5×1×X×1×3=1 6X5X×3=56· (3)①因为随机变量Z服从二项分布 所以E(Y)=1×号+2×品+3×是+ 5 B(n,p),P(Z=k)=Cp(1一p)”-,所以其 母函数为Gz(t)=之Cp(1一p)"t= 4 28+5 3 .19 k=0 6+6×56=4· (1-p+pt)”。 (3)设从n个球(m个红球，n一m个白 ②方案一：n=5,p=0.6,E(Z1)= 球)中不放回取球，记Z为首次抽到红球所 G2(1)=5×0.6=3,E(Z)=G”z(1)+ 需的取球次数，则P(Z=k)= G'2(1)=10.2,D(Z1)=E(Z)-E2(Z1= (n-m)·…·(n-m-k+2)·m 1.2。 n·(n-1)·…·(n-k十1)。 方案二：n=6,p=0.5,E(Z2)=G2(1) 由 "P(z=k)=1,得2士 =5×0.6=3,E(Z)=G"z(1)+G'2(1)= k=1 10.5,D(Z2)=E(Z)-E2(Z2)=1.5。 (n-m)·m (n-m)·(n-m-1)·m n·(n-1) n·(n-1)·(n-2) 因为D(Z1)<D(Z2),所以方案一更适 (n-m)·…·2·1·m 合追求稳定命中次数。 十…十 =1。 n·(n-1)·…·(m+1)·m (责任编辑王福华) 48