考查基础知识，拓展综合应用-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

考查基础知识， 2026年新高考函数 ■郑州市第一O 2026年新高考数学全国卷持续 扎实推进高考综合改革，创新试题设 计，充分体现基础性、综合性、应用性 和创新性。一方面，持续深化基础性 考查，聚焦主线内容，强调学科知识体 系构建，夯实同学们的知识基础；另一 方面，进一步强化思维能力考查，注重 展现思维过程，检验思维的深度和广 度，突出考查探索性和创新性等思维 品质。 一、全面考查基础知识，支撑学科 素养提升 2026年新高考I、Ⅱ卷数学试题 更加注重知识覆盖，全面考查基础知 四、备考策略 结合新高考选拔人才的模式，给同 学的复习备考提一些建议： (一)一轮复习：基础保底。回归教 材，高度重视必修教材里的双基，比如 集合的描述法、分段函数分类讨论，吃 透函数单调性和奇偶性、充要条件的证 明等。 (二)二轮复习：中档突破。新定义 +逻辑证明，集中训练“等价条件双向 命题研究 拓展综合应用 与导数客观题的深度剖析 中学 冯连福 识、基本技能、基本方法。整套试卷覆 盖高中数学的重要知识内容，检验同学 们的知识掌握程度，引导同学们注重基 础知识学习，打牢知识基础，聚焦数学 的核心概念和通性通法。 例1(2026年新高考Ⅱ卷第8 题)已知f(x)为定义在R上的偶函 数，且f(x)+f(x-2)=0,当x∈ 3,3时，f(x)=x2十ax+方，则 ( )。 A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 推导、反证法证明函数性质”，要证单调 →任取两数→假设反面→构造反例→ 推出矛盾；跨模块整合训练，比如做 “集合十函数十不等式”的综合题，打破 章节壁垒，适应高考跨板块命题。 (三)长期素养提升。摒弃“题型 套路背诵”，提升数学核心素养：数学抽 象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数 学运算和数据分析。 (责任编辑王福华) 33 命题研究 D.a=-4,b=3 分析：由f(x)十f(x十a)=0,可 得函数f(x)的周期T=|2a|,推出函 数f(x)的周期T=4。由f(x)为偶 函数，可得f(1.5)=f(2.5),代入已 知得到a,再由f(-1)=0可得b。 解：由f(x)十f(x-2)=0,得 f(x+2)+f(x)=0,f(x+4)= 一f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期 为4。 因为f(x)为偶函数，所以f(1.5) =f(-2.5)=f(2.5),在[1.5,3]上满 足f(1.5)=f(2.5),说明f(x)=x2 十ax十6的对称轴为x=,则一号 2,解得a=-4。 由f(x)十f(x-2)=0,令x=1, 可得f(1)+f(-1)=0,而f(1)= f(-1),则f(-1)=0,于是f(3)= f(-1)=0,即f(3)=9+3a+b=9 12+b=0,解得b=3。 故选D。 例2(2026年新高考I卷第4 题)曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的 切线方程为( )。 A.y=3x+2 B.y=5.x C.y=8x-3 D.y=13x-8 分析：本题考查导数的几何意义， 按照求切线方程的步骤，即可求出切线 方程。 解：因为y=5x+8lnx,所以y 5士8当x1时，y13,所以曲 34 线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线 方程为y一5=13(x一1)，即y=13x -8。 故选D。 二、拓展综合应用，检测思维品质 试题反映同学们在中学的学习成 果，检测同学们的思维能力和思维品 质，更能预测同学们在大学的学习表现 和发展潜力。强调融会贯通，要求同学 们具备完整的知识结构体系，并能根据 问题情境的需要合理组织整合相关知 识、能力与方法，灵活运用到问题解决 的具体情境中。 例3(2026年新高考I卷第6 题)已知函数f(x)=十2的最大值 e*+a 为1，则a=( )。 A B.1 c D.2 分析：求函数的最值，优先选用导 数法，按照用导数求最值的步骤求解即 可。 解法1：分类讨论+主参分离法。 (1)若a<0,则由e+a≠0，解得 x≠ln(一a),故函数f(x)的定义域为 (-∞，ln(-a))U(ln(-a),+o∞). ①当a<-。专时，lh(-a)+2>0, 若x→ln(一a),则f(x)→十∞，故不 存在最大值，不符合题意； ②当a=-时，f(x)=x+2 e-e-2 2 f(0)= 1-e>2,故最大值不为1，不 符合题意； ③当-是<a<0时，la(-a)+2 <0,若x→ln(-a),则f(x)→十∞， 故不存在最大值，不符合题意。 (2)若a≥0，则e+a>0,函数 f(x)的定义域为R。由f(x)的最大 值为1，可知x+2≤ex十a,即a≥x+ 2一e对任意x∈R恒成立，且等号能 取到。 设g(x)=x十2-e,则g'(x)= 1-e。 所以当x<0时，g'(x)>0,g(x) 单调递增；当x>0时，g'（x)<0, g(x)单调递减。 故g（x)≤g(0)=1,当且仅当 x=0时，g(x)max=1。 由a≥x+2-ex对任意x∈R恒 成立，可知a≥1， 又当a>1时，恒有g(x)<1<a, 取不到等号，所以a=1。 故选B。 解法2：直接求导找极值点法。 已知f(x)= x+2 e"+a ,由选项知a> 0,则f(x)的定义域为R,故最大值必 在极值点处取到，不妨设此极值点为 xoo 由f'(x）=（e+a)-(x+2)e (e+a) --（x+1)e+a=0,可得a=(x,十 (e"+a)2 1)e。①。 命题研究 由f(xo)= x0+2 =1,可得a= e"+a xo+2-e②。 xo=0, 联立①②解得 a=1。 验证：当a=1时，f(x)=+2 er+1’ 则f'(x)=-（x+1)e+1 (ex+1)2 设g(x)=一(x十1)e”十1，则 g'(x)=-(x+2)e。 当x<-2时，g'(x)>0,则g(x) 在（一∞，一2）上单调递增。 当x>-2时，g(x)<0,则g(x) 在（一2，十∞）上单调递减。 所以g6u)m=g(-2》=吉+1. 又g(0)=0,且当x→一∞时， g(x)→0；当x→+∞时，g(x)→ 一∞。作出函数g(x)的大致图像，如 图1。 当x<0时， g(x)>0,f(x)>0, f(x)在(-∞，0)上 单调递增； 当x>0时， 图1 g(x)<0,f'(x)<0, f(x)在(0，十∞)上单调递减。 所以f(x)mx=f(0)=1,满足题 意，故a=1。 解法3：切线不等式法。 由f(x)=x+2 e+a ≤1，得e≥x+2 35 命题研究 -a。 由不等式e≥x+1,得2-a=1, 即a=1。 说明：3种方法中的切线不等式 法最高效简捷。虽然选填题用此法 解题速度最快，但此法用于解答题不 够严密。 例4(2026年新高考Ⅱ卷第13 题)若函数f(x)=2x十22-x一m有两 个零点，则m的取值范围是。 分析一：（换元法十+一元二次方程 根的分布)令t=2r,则2十22-x一m= 4 -m=0,即t2-mt+4=0(t> 0),转化为一元二次方程t2-mt+4= 0有两个正根的问题。 分析二：（换元法+对勾函数）把函 数f(x)=2x十22-x一m有两个零点转 化为方程2x十22x一m=0有两个实 数根，再转化为2十22-x=m,即函数 y=2x+22-x与函数y=m的交点问 题。 分析三：（均值不等式十对称性）利 用均值不等式求出函数的最小值，再利 用等号成立条件，求出x的具体值，从 而得出m的取值范围。 解法一：（换元法十一元二次方程 根的分布)令f(x)=2+22-x一m= 0,则2x十22-x=m。 令t=2,则1+1-m=0,即2- t十4=0(t>0),则一元二次方程t2 mt十4=0(t>0)有两个正根，那么 36 1△=m2-16>0,m>4或m<-4, 即 即 t1十t2=m>0, m>0, m>4。 所以m的取值范围是(4，+∞)。 解法二：（换元法十对勾函数）设 g(x)=2x+22-x=2r+ 2,令u=2 4 则g(u)=u+(u>0)。 因为g(u)在(0,2)上单调递减，在 (2,十∞)上单调递增，所以g(x)在 (一∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单 调递增，且g(1)=4。 根据函数图像（图2）可 知，若函数f(x)有两个零 y=g(x) 点，则m的取值范围是(4， 十∞)。 解法三：（均值不等式十 图2 对称性)由均值不等式得2 十22-x≥2√2x·22=x=2√22=4，当且 仅当2x=22-x,即x=1时取等号。 记g(x)=2x十22-x,则g(2-x)= g(x),图像关于直线x=1对称，且当 x→士∞时，g(x)→十∞，在x=1处 取唯一最小值4。 故g(x)=m有两个不同实根台m >4,即m∈(4，+∞)。 以m的取值范围是(4，十∞)。 总之，同学们在函数与导数学习中 应该注意对教材中概念、公式、定理等数 学知识的深刻理解，理解数学思想的本 质，掌握通性通法，提升自己的逻辑推理 和数学运算素养。（责任编辑王福华）