基于圆锥曲线场景，创新形式综合应用-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

中学生煮款理化智皱学创新鼻餐滑源 基于圆锥曲线场景， 22 ■山东省博兴第 基于“三新”的深人，高考命题对同学们 的数学基础知识的迁移能力、数学思维能力、 探究创新能力等的考查不断加强与提升，圆 锥曲线中的创新类及其综合应用问题也就成 为高考命题的热点之一。圆锥曲线中的创新 形式类问题一般是新定义曲线、新定义关系、 新定义交汇等。对于此类创新形式问题，要 充分研透“新定义”的实质，联系学过的圆锥 曲线的基础知识，与创新定义加以交汇，切实 契合“在知识交汇处命题”的高考精神，同学 们需多加关注。 一、新定义曲线类型 例1在平面内，若直线1将多边形分 为两部分，多边形在！两侧的顶点到直线( 的距离之和相等，则称1为多边形的一条“等 线”。已知O为坐标原点，双曲线E:二- =1(a>0,b>0)的左焦点和右焦点分别为 F1,F,,E的离心率为2，P为E右支上一动 易得直线AN的方程为y=: x2+2（x十 2x-2),所 2),直线BM的方程为y=1 以+=」 ,+2=y(ty+3》 x-2 12· y2 (ty1-1)y2 9 3 1v+3y=2y1十z -=3,解得x=4。 tyiy2-y2 31 2y1+2y: 故直线AN与直线BM的交点G在定 直线x=4上。 ,点评：破解圆锥曲线中的定线问题的常 见解法为：(1)设点法：主要用于处理动点在 定直线上，是圆锥曲线的常规题型之一，通过 已知，点的轨迹，消去参数，从而得到轨迹方 24 创新形式综合应用 中学王娜 点，直线m与E相切于点P,且与E的渐近 线交于点A,B,当PF,⊥x轴时，直线y=1 为△PF1F2的等线。 (1)求双曲线E的方程； (2)若y=√2x是四边形AF1BF,的等 线，求四边形AF1BF,的面积。 解析：(1)由题意知，F1(一c,0),F(c, 0,当PF:上x轴时，有P(合)，显然点P 在直线y=1的上方。因为直线y=1为 △PF,F:的等线，所以会-1=2，结合e=日 =2,c2=a2十b2,解得a=1,b=√3。 所以双曲线E的方程为x一 31。 (2)设P(x,y),直线m:y-y。=k(x 一x,代入x一苦-1整理得(3)x十 2k(k.x0-y0)x-(k2x8十y8-2kx0yo十3)= 0,故△=4k2(kx0-yo)2十4(3-k2)(k2x8+ ×XXX×XXX×XXX×XXX×KXXXXXXXK× 程；(2)待定系数法：设出含参数的直线方程， 利用待定系数法求解出系数；(3)先猜再证 法：面对复杂问题时，可从特殊情况入手，先 确定可能的定直线，再验证该直线对一般情 况是否符合。 其实，探究与解决圆锥曲线中的“三定” (定点、定值与定线)问题，能够巧妙联系起平 面解析几何中众多的基本要素，可以发现圆 锥曲线中的点、直线、曲线等几何元素间的内 在规律与联系，借助定量关系，实现几何与代 数之间的恒等转化与巧妙应用，全面实现“动 态”与“静态”的结合，“变量”与“常量”的对 应，构建和谐统一的整体。 (责任编辑王福华) y6-2 kxoyo+3)=0,化简得(x6-1)k2一 2xoyk十y8+3=0,所以k=oy0 x-1 Toyo (1+岁）-1 3工心，即直线m的方程为xx y。 _yoy=1. 3 当直线m的斜率不存在时，也成立。 渐近线方程为y=士√x,不妨设A在 B上方。联立得xA= TB= yo To- √3 1 1 故xA十xB= -=2x。,所以P 3 是线段AB的中点。 因为F,F,到过点O的直线的距离相 等，所以过点O的等线必定满足：点A,B到 该等线的距离相等，且分居两侧，所以该等线 必过点P,即OP的方程为y=√2x。 y=√2x, 由 2,得， 故P(√，W6)。 -3=1,y=6, 3 3 所以yA=3xA= 3x0一y0 3 3 -3 √6+3，yB=-√3xB=一 √3x。十yo √3 =√6一3，所以|yA-yB|=6。 放Saan=号1F,Ey-w=12。 ,点评：解答本题时，需正确识别新定义曲 线的内涵与本质，联系平面解析几何中的相 关知识，并在新定义曲线的基础上，回归问题 本质，结合逻辑推理与数学运算等来研究其 对应的性质与特征。 二、新定义曲线关系 例2已知椭圆E: +若-1和畅 圆E,文十1…若号6=m(m二0，则 a bi 称这两个椭圆相似，其中常数m称为这两个 解氧数瓶愿造是器膏中学生教理化 椭圆的相似比。 1)求与椭圆一+苦-1相似，且经过点 (2,√6)的椭圆方程； (2)设过原点的一条射线l分别与(1)中 两个椭圆交于点A,B(其中点A在线段OB 上)，求OA1·|OB|的取值范围。 解析：)设相似的椭圆方程为十岩 22 a b a2=16, =1(a>b>0),则 解得 46 b2=8。 a+6=1, 所以所求的箱圆方程为后十苦1. (2)当射线l与y轴重合时，易知|OA| =√2，|OB|=2√2，则|OA·|OB|=4。 当射线！不与y轴重合时，因为椭圆具 有对称性，所以只需考虑射线！与两个椭圆 在第一象限的情形。 设射线l的方程为y=kx(k≥0，x>0), 交点为A(x1,y1),B(x2y2)。 4 (y=kx, xi=1+2k2 联立昏+ 解得 则 =1, 4k2 yi=1+2k2’ 有1OA1= 2√k+1 √1+2k? 同理1OB1=4√+1 √1+2kT 所以OA·|OB|= 8(k+1)=4十 1+2k2 1+2k∈(4,8]。 4 综上可得，|OA|·|OB|∈[4,8]。 点评：本题是以创新定义的形式来新定 义一种关系，巧妙将同类曲线之间的关系加 以“串联”，构建曲线之间的某种新定义关系， 并结合新定义的本质分析与解决问题。 三、新定义知识交汇 例3平面解析几何与空间立体几何 之间经常通过空间解析几何知识来交汇与融 合，类比平面解析几何中曲线与方程的关系， 25 中学生表理化学创新辞餐膏 具体定义如下：在空间解析几何中，若曲面 (含平面)S和三元方程F(x,y,之)=0之间 的关系满足：①曲面S上任意一点的坐标均 为三元方程F(x,y,之)=0的解，此时称曲面 S的方程为F(x,y,之)=0；②以三元方程 F(x,y,之)=0的任意解(xo,y0,0)为坐标 的点均在曲面S上，此时称方程F(x,y,之) =0的曲面为S。已知空间中某单叶双曲面 C的方程为行+号号-1，双做面C可视为 平面xO:中某双曲线的一支绕x轴旋转一周 所得的旋转面，已知直线（过C上一点Q(1, 1,2),且以d=(一2,0，一4)为方向向量。 (1)指出平面xOy截曲面C所得交线是 什么曲线，并说明理由。 (2)证明：直线l在曲面C上。 (3)若过曲面C上任意一点，有且仅有 两条直线，使得它们均在曲面C上。设直线 '在曲面C上，且过点T(√2,0,2)，求异面直 线1与'所成角的余弦值。 解析：(1)由题意得，坐标平面xOy的方 程为x=0。 因为曲面C的方程为气+兰-若-1， 14 所以当之=0时，平面xOy截曲面C所得交 线上的点A(x,y,0)满足x2十y=1,即 √（x-0)+(y-0)+(之-0)F=1,也即点 A在平面xOy上到原点的距离为定值1。 所以平面xOy截曲面C所得交线是平 面xOy上以原点O为圆心，1为半径的圆。 (2)设P(xo,yo,之o)是直线l上任意一 点。 由d=(一2,0，一4)，QP均为直线1的 方向向量，知QP∥d,从而存在实数入，使得 Qp=d,即(x。-1,yo-1,x。-2)=1(-2, 0,-4),可得x。=1-2入，y0=1,0=2一4入， 所以P(1-2x,1,2-4以)。所以1-2A)十 2(2-4钱)=1-4以十4x2+1-(1-4入十 4 4入2)=1。 所以直线（在曲面C上，结论得证。 (3)设M(x1,y1,1)是直线'上任意一 26 点，直线'的方向向量为d'=(a,b,c)。 根据新定义，可知d',TM均为直线'的 方向向量，则有TM∥d'。 结合向量的基本定义，可知存在实数t, 使得TM=td',即(x1一√2，y1,1-2)= t(a,b,c),解得x1=√2十at,y1=bt,x1=2十 ct,所以M(√2+at,bt,2+ct)。 由题设条件知，点M(x1,y1,x1)在曲面 C上，则E+a)+b)”-2+)-1,整 理得(a2+6-)+(22a-c)t=0。 由题意知，对任意t,有(a+b2-) +2反a-c=0恒成立，所以a2+b-月 =0,且2√2a-c=0,解得c=2√2a,b=a, 或c=2√2a,b=-a。 不妨取a=一√2，则c=-4,b=-√2， 或c=一4，b=√2，所以d'=(一√2，一√2， -4),或d'=(-√2，W2,-4)。 又直线l的方向向量为d=(一2,0， 一4)，则异面直线1与'所成角的余弦值为 |d·d'|2√2+168+√2 d1d'T25×2510 点评：本题是以创新定义的形式来新定 义解析几何与相关知识的交汇，巧妙地将解 析几何与立体几何加以综合。解决此题时， 借助交汇的定义，联系不同的知识点，从而实 现对问题的深入探究与巧妙突破。 其实，涉及圆锥曲线中的创新形式及其 综合应用问题，是以创新定义的形式来实现 概念、知识、能力与应用等方面的交汇与综 合，切实契合“在知识交汇处命题”的高考命 题趋势。解决圆锥曲线中的创新定义及其综 合应用问题，需要充分理解并掌握创新定义 的本质与内涵，并联系相关的数学基础知识， 全面挖掘题设中的已知条件与隐含条件，合 理恒等变形与转化，巧妙地将陌生的问题熟 悉化，进而合理去分析、处理与解决问题。 (责任编辑王福华)