借助翻折变换，探究立体几何中的综合应用问题-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年4月 借助翻折变换，探究立体 ■江苏省姜堰中 基于平面几何图形翻折成空间几何图 形，是立体几何中常见的折叠问题，也是历年 高考命题的一大热点。折叠问题主要有两个 方向：(1)折叠后线面关系中的平行与垂直的 判定；(2)折叠后空间角、空间距离，以及几何 体的体积、表面积等数字特征的求解。折叠问 题还往往与范围、最值等探索性问题相结合。 一、位置关系的判定 借助平面几何图形翻折成空间几何图 形，进而判断空间几何中对应的点、线、面等 要素之间的平行或垂直关系。 例1如图1，在矩形 ABCD中，AB=2AD,E是 AB的中点，将△ADE沿直 线DE翻折成△A1DE(点A1 不落在底面BCDE内)，连接 图 A1B,A1C。若M为A1C的 中点，则在△ADE的翻折过程中。 (1)证明：BM∥平面A,DE。 (2)是否存在某个位置，使DE⊥A,C恒 成立？若存在，试确定该位置；若不存在，请 说明理由。 证明：(1)如图2，设CD 的中点为F,连接FM,FB。 因为M为A,C的中点，所以 FM∥A1D。因为FM丈平面 A1DE,A1D二平面A1DE, 图2 所以FM∥平面ADE。在矩 形ABCD中，因为AB=2AD,E是AB的中 点，所以FB∥DE。因为FB中平面ADE, DEC平面A1DE,所以FB∥平面ADE。 又FB∩FM=F,且FB,FMC平面BMF, 所以平面BMF∥平面A,DE。又BMC平面 BMF,所以BM∥平面A,DE。 (2)如图2，设A1在底面BCDE内的射影 为O,连接OE,OD,OC,CE。在矩形ABCD 14 几何中的综合应用问题 学 鲍涵 中，因为AB=2AD,E是AB的中点，所以 A1D=A1E,CE=√BE+BC=√2BC≠ CD。由△A1OD≌△A1OE,可得OD=OE, 所以OC与DE不垂直。 假设存在某个位置，使得DE⊥AC。因 为AO⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所 以AO⊥DE。又DE⊥A1C,AC∩AO= A1,A1C,A1O二平面A1CO,所以DE⊥平面 A1CO。因为OC二平面A,CO,所以DE⊥ OC,与OC,DE不垂直矛盾，所以不存在某 个位置，使得DE⊥AC。 点评：在平面图形翻折成空间几何图形的 过程中，解决空间几何中对应的点、线、面等要 素之间的位置关系的判定，需综合空间几何要 素间的概念、性质、判定等方面的定理加以分 析，综合逻辑推理或数学运算等进行判定。 二、数量关系的计算 借助平面几何图形翻折成空间几何图 形，构建满足一定条件的空间图形，由此来确 定与之相应的数值大小（表面积、体积、空间 距离、空间角等)。 例2如图3，已知一圆形 纸片的圆心为O,直径AB=2, 圆周上有C,D两点，OC⊥AB, ∠AOD= ,P是BD上的动 图3 点。如图4，沿AB将纸片折为 直二面角，并连接PO,PD, PC,CD。 (1)当AB∥平面PCD时， 图4 求PD的长： (2)当三棱锥P-COD的体积最大时，求 二面角O-PD-C的余弦值。 解析：(1)因为AB∥平面PCD,ABC平 面OPD,平面OPD∩平面PCD=PD,所以 AB∥PD。又∠AOD=吾，所以∠ODP= ∠OPD=若，∠POD-.又OD=Op 2π 1,所以PD=√3。 (2)由题意知，OC⊥平面POD,而S△DoP 1 =2·OD·OP·sin∠DOP,所以当ODL OP时，三棱锥P-COD的体积最大。 易知OC,OD,OP两两垂直，以O为坐 标原点，OC,OP,OD所在直 线分别为x轴，y轴，之轴，建 立如图5所示的空间直角坐 标系Oxy之，则C(1,0,0), D(0,0,1),P(0,1,0),故PC 图5 =(1,-1,0),DP=(0,1,-1)。 设平面CPD的一个法向量为n1=(x, PC·n1=x-y=0, y,之)，则 令x=1,得 lDp·n1=y-x=0, n1=(1,1,1)。 易知平面OPD的一个法向量为2=(1， 0,0),则cos〈n1,n2)= n1·n2_V3 n,n:7=3,故满足 、条件的二面角O-PD-C的余弦值为3。 点评：在平面几何图形翻折成空间几何图 形的过程中，利用图形翻折过程中所满足的条 件来确定具体的位置，由此来确定相关数值的 大小问题，进而加以系统分析与正确计算。 三、开放问题的探究 借助平面图形翻折成空间几何图形，依托 空间图形中相关要素之间的位置关系、数量关 系等来设置开放性、创新性与探究性问题。 例3如图6，在菱形 ABCD中，∠DAB=60°， M,N分别是BC,CD的中 点，AC∩BD=O1,AC∩ 图6 MN=G。沿MN将△CMN翻 折到△PMN的位置，连接PA, PB,PD,得到如图7所示的五 棱锥P-ABMND。 (1)证明：在翻折过程中， 图7 总有PD=PB。 (2)若平面PMN⊥平面MNDB,试问： 畅数碧垫骨中学生教理化 在线段PA上是否存在一点Q(可与点P重 合)，使得点B到平面QDN的距离是菱形 ABCD边长的，若存在，试确定点Q的 位置，并求此时平面QDN与平面PMN所成 锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由。 解析：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD, DO1=BO1。因为M,N分别是BC,CD的 中点，AC∩MN=G,所以MN∥BD。因为 AC⊥BD,所以MN⊥AC,CG⊥MN。 在五边形ABMND中，AG⊥BD,AG⊥ MN,DO1=BO1。在△PMN中，PG⊥MN。 在折叠过程中，MN⊥PG,又因为MN∥ BD,所以BD⊥PG。又AG⊥BD,AG∩PG =G,AG,PGC平面PAG,所以BD⊥平面 PAG。 连接PO1,因为PO1二平面PAG,所以 BD⊥PO1。又DO1=BO1,所以PO1是线 段BD的垂直平分线，故PD=PB。 (2)因为平面PMN⊥平面MNDB,平 面PMN∩平面MNDB=MN,PG二平面 PMN,PG⊥MN,所以PG⊥平面MNDB。 因为AG二平面MNDB,所以PG⊥AG。 又因为GM⊥AG,所以GA,GM,GP两 两垂直，故以G为坐标原 P(C) 点，建立如图8所示的空间 直角坐标系Gxyx。 不妨设菱形ABCD的 边长为4a,则P(0,0,√3a), 图8 D(3a,-2a,0),B(3a, 2a,0),N(0,-a,0),A(3√3a,0,0),所以 PB=(3a,2a,-3a)=a(3,2,-3), PA=(3√3a,0,-√3a)=a(33,0,-3)。 假设线段PA上存在符合题意的点Q, 设Pd=APA(0≤A<1),则Gd=GP+Pd =GP+λPA=a(0,0,√3)+a(3√3λ，0， -√3λ)=a(3√3λ，0，√3-3λ)。 设平面QDN的一个法向量为n1=(x, y,x),因为DQ=G反-GD=a(33λ一√3， 23-√3λ)，DN=a(-3,1,0),所以DQ· n1=(33λ-√3)x+2y+(√3-√3λ)x=0, 15 中学生表理化然题皱学创新摩枫清题 浅析立体几何中存在性问题的突破。 ■安微省无为第二中学 梅京 立体几何作为高中数学的核心知识模 用，旨在通过具体情境的构建，考查同学们对 块，同时也是高考的必考内容，其重要性不言 几何定理的深刻理解和灵活应用能力。 而喻。在立体几何的考查中，存在性问题因 例1如图1，在四棱锥 其独特的挑战性和综合性，成为考查的热点 P-ABCD中，四边形ABCD 与难点。本文对立体几何中的存在性问题进 是正方形，PD⊥平面ABCD, 行系统梳理与深入分析，通过从题型结构入 PD=DC=2,M为AB的中 手，将存在性问题划分为三类，并详细剖析每 点。试问：在线段PC上是否 类题型的结构特征，进而探究相应的答题策 存在一点E,使得BE∥平面 图1 略，旨在为突破立体几何中的存在性问题提 PDM?若存在，求出点E的位置；若不存 供有效的思路与方法。 在，请说明理由。 题型一、位置关系型存在性问题 解析：由题意知，DP,DA,DC两两垂 这类问题的核心结构特征为：是否存在 直，故可建立如图2所示的空间直角坐标系 一个动态点，使得该点与指定的线线、线面或 Dxy之，则B(2,2,0),D(0,0,0),P(0,0,2), 面面之间能够达成特定的位置关系。若存在 M(2,1,0),C(0,2,0),所以PC=(0,2, 这样的点，则需进一步明确其与相关几何元 -2),DP=(0,0,2),DM=(2,1,0)。 素之间的位置关系。此类问题主要聚焦于立 设E(0,a,b),则P它=(0，a,b一2)。因 体几何中的核心判定定理与性质定理的运 为点E在线段PC上，所以存在实数入，入∈ DN·n1=-√3x+y=0,令x=入-1，得 PA的中点处，此时平面QDN与平面PMV n1=(入-1，√3A-√3,3入+1)。 所成钱二面角的余弦值为 299 易知平面PMN的一个法向量为n。= 点评：在平面图形翻折成空间几何图形 (1,0,0),设平面QDN与平面PMN所成锐 的过程中，解决一些开放性、创新性或探究性 二面角为0，则cos0=|cos〈n1,n:)|= 的问题时，一般假设存在性、位置关系等开放 n1·ng λ-1 .C 性结论的成立，结合位置关系的判定、数量关 n n2 √4（入-1）+(3A+1) 系的求值与计算等，通过合理的逻辑推理与 因为DB=a(0,4,0),所以点B到平面 数学运算来说明，进而作出正确的判断。 QDN 的距离d= DB·nl 综上可知，解决折叠问题的关键是要抓 n 住折叠前后的不变量和变化量，准确确定折 4√3a|λ-1 叠后几何体的结构特征及平面图形折叠前后 √4(A-1)+(3A+1) 487a,所以cos0 29 的数量之间的对应关系。因此，同学们在日 |入-1 √29 ,化简得2λ2 常学习时要注重此类问题的训练与总结，做 √4（入-1）+(3入+1) 29 到举一反三，掌握解题技巧。 1 一7入十3=0，解得入=2或入=3（舍去）。 注：本文系江苏省教育科学规划专项课 题“学科育人视角下科学家精神融入高中理 综上可得，当点B到平面QDN的距离 科教学的实践研究”（课题编号：C/2024/ 是菱形ABCD边长的9时，点Q在线段 0379)的研究成果。（责任编辑王福华） 16