从一杯茶开始，用函数优化你的生活-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

智跨学科 从一杯茶开始，用函数优化你的生活 ■ ■四川省绵阳市教育科学研究所 李长江 ■四川省绵阳南山中学 刘盟 同学们，你是否也有过这样的时 的热茶和室温25℃的图书馆环境。 刻？午休时，想泡一杯茶放松一下，却 变量是什么？— 时间(min)。 发现水太烫，要等很久才能入口；晚上 在室温25℃情况下，小宇用85℃的 写作业，总感觉时间不够用，每一项任 水泡制绿茶，每一分钟收集一次数据，并 务都像在抢跑道。这些看似琐碎的烦 将数据填入表1。 恼，其实都指向同一个迷人的数学领 表1 域一优化。它并非遥不可及的理论， 时间/min 0 2 3 4 5 而是藏在生活缝隙里、等待我们去发现 水温/℃85.0079.1374.8071.2067.9965.07 的智慧。今天，就让我们跟随小宇同学 二、模型“选秀” 的脚步，从一杯茶开始，揭开“优化”的 如何描述茶水温度下降的过程呢？ 面纱，看看数学如何让我们的生活变得 茶水的温度随时间而变化，但这种变化 更清晰、更高效。 关系并非现成的数学函数所能直接描 一、把感觉“翻译”成问题 述。为了探究这一规律，小宇首先想到 小宇放学后来到图书馆自习，并为 的是绘制散点图，借助图形的直观性来 自己泡了一杯最爱的绿茶。他突然想 剖析这组数据的演变趋势。假设茶水 起数学老师的话：“一切数学都源于对 的初始温度为85℃，经过xmin后的温 现实的提问。”一个念头冒了出来：“我 度为y℃。根据表1中茶水温度随时 到底需要多少时间才能喝到温度最适 间变化的数据，画出散点图，如图1所 口的茶呢？”这可不是瞎想。茶水太烫 示。 伤舌头，等太久又怕凉了辜负茶香。这 “最佳时间”和“最适温度”之间，似乎存 80- 在一个需要权衡的最优解。小宇没有 停留在空想。他首先将模糊的念头转 65 化为清晰的问题： 00511.52253354455 目标是什么？ —让茶水温度尽 图1 快降至可以入口的60℃（假设）。 小宇观察并分析起来：设函数y 约束条件是什么？ 杯85℃ f(x),其中x为时间，y为x时刻的水 27 智跨学科 温。那么，函数y=f(x)的定义域为 ka十b来相对精确地刻画茶水随时间 [0,十∞)，值域为(25,85]（单位：℃）； 变化的规律。 函数y=f(x)在定义域上单调递减， 三、给模型“打补丁” 递减速度越来越慢；对于函数y= 小宇选择模型y=ka+b(k>0,0 f(x),当x→+o∞时，y25。 <a<1,x≥0)。因为值域为(24.3， 进一步地，小宇发出了疑问，能从 85],室温为25℃，茶水再凉也不会低 一次函数y=kx十b,二次函数y=ax 于25℃，所以b=25。 十bx十c,以及形如y=klog。x十b和 利用单调性，知0<a<1;利用特殊 y=ka十b的函数中选出一个更合理 点(0,85)，解得k=60。综上，可以得到 的函数模型吗？ y=60a"+25(0<a<1,x≥0)。其中， (l)应用Geogebra软件绘制散点 60就是起始温度与室温的差值，计算每 图，选择函数模型，显示拟合函数解析 分钟(y一25)的值与上一分钟(y一25)值 式及曲线； 的比值，即为a,具体数据如表3示： (2)应用Geogebra软件进行误差 表3 分析； 2 3 4 (3)对所选模型进行评价，结果如 y 85.00 79.13 74.80 71.20 67.99 65.07 表2所示。 表2 25 60.00 54.13 49.80 46.2 42.99 40.07 0.90220.92000.92770.93050.9321 拟合 函数模型 模型拟合 优度(R2) 构造误差函数f(a)=(a一a1)2+ 一次函数 y=-3.9x+83.63 0.9826 (a-a2)2+(a-a3)2+(a-a4)2+ 二次函数 y=0.34x2-5.62x+84.77 0.9989 (a-a5)2。 指数函数 y=83.9e0.0i 0.9908 对数函数 y=79.89-8.62lnx 0.9766 当u=5(a,+a+a+a+a) 尽管二次函数的拟合优度（统计学 时，误差f(a)最小，故用a的平均值a 中衡量函数模型对观测数据拟合程度 估计a较为合理。 的指标)优于指数型函数，但由于二次函 1 数中的二次项系数为正数，随着时间的 其中，a=5(0.9022+0.9200+ 推移，最终温度反而会不断上升。因此， 0.9277+0.9305+0.9321)= 上述两种结果都不符合实际情况，相比 0.9225. 较而言，指数型函数更符合实际情况，但 综合以上分析，可得y=60· 是茶水降至室温就不再下降，为此，小宇 0.9225x+25(x≥0)。 打算对指数型函数进行修正，选择y 小宇利用Geogebra软件绘制计算 28 智跨学科 出的函数图像并与实验数据的散点图 60e- 进行对比，如图2所示，可见预测与实 选项A,若f(3)=50,可得e= 际情况大致相符。利用模型计算出茶 2,则f(6)=20+60e=20+ 水温度降至60℃时所用的时间大致为 6.69min。 60(e3)2=20+60 =35,所以 100 A正确。 80 选项B,若k 10则20+60. 20+ 02 46810 c=50.则e0-2得 10=In 2 图2 =一ln2,所以t=10ln2≈7，所以红茶 四、牛顿的“冷却定律” 下降到50℃所需时间大约为7min, 牛顿曾提出了物体在常温环境下 所以B正确。 温度变化的冷却模型：若物体初始温度 选项C,f'(3)表示t=3处的函数值 是0。（单位：℃），环境温度是01（单 的变化情况，若f′(3)=一5<0，所以实际 位：℃)，其中0。>01，则经过t分钟后 意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以 物体的温度0将满足0=f(t)=01+ 每分钟5℃的速率下降，所以C正确。 (0。一01)·e-“(k∈R且k>0)。现有 选项D,0=f(t)=01+(0。一01)· 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间 e-",设红茶温度从80℃下降到60℃ 里，根据这一模型研究红茶冷却情况， 所需的时间为t1,则0=f(t)=20十 下列结论正确的是( )。(参考数值 60e1=60→e= →t1= ln2≈0.7) 1■ 2 A.若f(3)=50,则f(6)=35 n3。设红茶温度从80℃下降到 B若&=0，则红茶下降到50℃ 40℃所需的时间为t2,则0=f(t)= 所需时间大约为7min 20+60·e:=40>e,=1 →t2= C.若f'(3)=一5，则其实际意义 1.1 是在第3分钟附近，红茶温度大约以每 ln3。则红茶温度从60℃下降到 分钟5℃的速率下降 40℃所需的时间为(t2一t1)。因为k D.红茶温度从80℃下降到60℃ >0,所以(t2-t1)-t1=t2一2t1= 所需的时间比从60℃下降到40℃所 需的时间多 n-2h-名n>o,放 解析：由题知0=f(t)=20+ t2一t1>t1,可得红茶温度从80℃下降 29 智跨学科 到60℃所需的时间t1比从60℃下降 实践练习一：建立你的“学习时间 到40℃所需的时间(t2一t1)少，所以D 优化模型” 错误。故正确选项为ABC。 假设今晚你有4小时自习时间，需 五、从茶盏到星辰：优化思维就在 要分配给数学、物理、语文三科。根据 你身边 你的现状，每科投入时间与预期收益大 通过这杯茶，小宇真切地感受到了 致关系如表4（请你自己估算填充）。 优化的“灵魂”：在限制条件下，通过量化 表4 分析和策略比较，寻找最佳行动路径。 每增加1小时的 他忽然意识到，这种思维无处不在： 学科 最少需时间 预期收益（高/中/低） 时间管理不就是对“有限时间”这 数学 1小时 项资源，在“各科作业、复习、休息”等多 物理 0.5小时 个任务间的优化分配吗？你可以为自 语文 0.5小时 己建立一个简单的线性规划模型，设学 习时间为变量，以总复习效果最大化为 定义你的目标：是“总收益最大 目标，以各科最低时间要求和总时长为 化”，还是“确保短板学科达标”？ 约束。 列出约束条件：①总时间=4小 消费决策是在预算约束下，对效用 时：②各科最少需时间。 (或满足感)最大化的追求。 尝试分配几种不同的时间组合 手机地图为人们规划路线，也是基 (如：数学2小时，物理1小时，语文1小 于实时交通数据（即约束），对“时间最 时)，感受一下哪种组合让你感觉“最划 短”或“距离最短”目标（即目标函数）的 算”？这就是你内心目标函数的体现。 复杂优化计算。 实践练习二：能否“加水降温” 从一杯茶的物理降温，到物流公司 回到茶水问题。如果小宇决定加 规划全国配送路线，再到人工智能训练 水，那么加多少毫升的25℃凉水，到 模型、航天器设计…优化的思想，是 90℃的200mL热茶水中，能使混合后 连接数学理论与现实世界的坚实桥梁。 茶水温度刚好达到70℃？请运用物理 它教会我们的，不仅是一道题的解法，更 中的热平衡公式（忽略热量损失）进行 是一种理性、高效解决问题的思维方式。 计算： 六、动手实践：你的优化探索日记 m热XcX(T热一T混)=m冷XcX 读到这里，你是否也摩拳擦掌，想 (T混一T冷)。 在生活中发现自己的“优化问题”呢？ 其中c为比热容，在计算中可约 请尝试完成以下练习，将数学的眼光， 去。通过这个计算，你将更深刻地体会 真正融入你的世界。 到数学的力量。（责任编辑侯若晨） 30