导数与三角函数综合问题解法探究-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

解题信款经典题突方清中学生教理化 高三数学2026年5月 导数与三角函数综合问题解法探究 ■湖北省襄阳市第三中学 秦正辉张冬青 2025年新高考数学全国I卷第19题， (0,π)时，h(x)=g'(x)>0,g(x)单调递增。 是以三角函数为载体的导数问题，彰显高考 所以g(x)在x=0处取得唯一的极小 立足核心价值，是对知识交汇、能力整合、素 值，即为最小值，所以f'(x)m=g(x)mm= 养融通的立体化考查。但是对于三角函数， g(0)=一2。 无论求几阶导，导函数中仍然会含有三角函 因为当x∈（一π，x)时，f'(x)>a,所以 数，因此，这类导函数的表达式往往比较复 a<f'(x)im=一2，即a的取值范围为 杂，对后面判断函数的单调性、求函数极值和 (一∞，-2)。 讨论函数零点个数等问题造成极大困扰。然 (2)4 F(x)=1-2x-f(x)=3sin x- 而三角函数具有其他基本初等函数不具有的 x cos x一2x,x>0,则F'(x)=2cosx十 有界性、周期性等性质，也使解决此类问题多 xsin x-2=-2-f'(x)。 了几条路径。下面将从三角函数的有界性、 由(1)知，f'(x)在(0，π)上单调递增，所 三角不等式、泰勒展开式及分段讨论四个方 以当x∈(0，π)时，f'(x)>f'(0)=一2，此时 面入手，通过例题展示，探究该类问题的解题 F'(x)<0,即F(x)在(0，π)上单调递减，所 策略，以期抛砖引玉。 以F(x)<F(0)=0,即1-2x-f(x)<0,所 一、三角函数的有界性 以f(x)>1-2x。 在处理以三角函数为背景的导数题时， 当x∈[π，+o∞)时，由于sinx≤1，cosx 可以结合有界性，再运用分离参数、分类讨论 ≥-1，x>0,所以rcos r≥-x,则3sinx 等方法，快速找到讨论的分界点，从而顺利解 xc0sx-2x≤3十x一2x=3-x<0,即 决问题。 f(x)>1-2x。 例1已知函数f(x)=1+xcos x 综上所述，当x>0时，f(x)>1一2x。 3sinx,f'(x)为f(x)的导函数。 点评：本题第(1)问是恒成立问题，设 (1)当x∈(-π，π)时，f'(x)>a,求a g(x)=f'(x),对g(x)求导，分析g(x)的单 的取值范围； 调性，可以得到g(x)的最小值，进而求出a (2)求证：当x>0时，f(x)>1-2x。 的取值范围。第(2)问通过构造函数F(x)=一 解析：(1)设g(x)=f'(x)=-(2cosx 1一2x一∫(x),在对F(x)的单调性讨论时分 +xsin x),x∈(-π，π)，则g'(x)= 为x∈(0，π)和x∈[π，十∞)两种情况，在 -(-2sin x+sin x+xcos x)=sin x-xcos x. x∈[π，十o∞)的讨论中，利用|sinx|≤1， 令h(x)=g'(x)=sinx-rcos x,x∈ |cosx≤1的有界性，将3sinx一xcos x (一π，π)，则h'(x)=cosx一(cosx 2x放缩到3十x一2x,从而得证。 rsin x)=rsin x。 二、三角不等式 因为x∈（一π，π），所以h'(x)=rsin x 利用三角函数的有界性放缩，虽然可以 ≥0恒成立，故h(x)在（一π，π）上单调递增。 将变量转化为常量，但有时候会放缩过度，达 又因为h(0)=0,所以当x∈（一π，0） 不到目标。除了利用三角函数的有界性放 时，h(x)=g'(x)<0,g(x)单调递减：当x∈ 缩，我们还可以尝试运用三角不等式，从而达 35 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高三数学202年5月 到证明目标。 展开式放缩到多项式，可以简化问题，从而证 例2已知函数f(x)=e一m.x 明结论。例如，sinx,cosx在x=0处的泰 nsin x(m,n∈R)。若f(x)在(0，+o∞)上有 勒展开式如下：sinx= (-1)”x2+4 (2n+1)！,x∈ 零点求证m十>名c。 N=0 (一∞，十©∞)，c0sx= -1)”x2 解析：由题意设x。为f(x)的零点(x。> w=0 (2)！,x∈ 0),则e-mx。一nsin x。=0,即mx。十 (一∞，十∞)，所以当x>0时，有sinx<x, nsin x。一e=0,则点M(m,n)在直线xx。 sin r> 6,sin<x- 6十120·cOs2】 +y sin r0-e=0上。 因为OM|大于等于O到直线的距离， >1 所以由点到直线的距离公式可得√m+n 例3已知函数f(x)=sin'x e ，即m2十n2≥ axr'cos a(a∈R)。 √x+sin'ro x+sinco 当x∈(0,1]时，设g(x)=x一sinx,则 1)若a=0,求曲线y=f(x)在x=牙 g'(x)=1-cosx≥0，所以g(x)在(0,1]上 处的切线方程； 单调递增，所以g(x)>g(0)=0,即x> (2)当x∈(0，)时f(x)>0,求实数a sinx>0。 当x∈(1，+o∞)时，有sin”x≤1<x2。 的取值范围。 所以当x。>0时，sin'o<x6。 解析：(1)易得切线方程为x一y+ 1 2 所以m2十n2≥ x+sin'xo 牙-0。（过程略） ) (2)因为f(x)>0,且当x∈(0,2)时， 令k(x)= x∈(0，+∞)，则'(x)= e cosx>0,所以sin -ax2>0。 cos x e(x-1) c? 令g(x)= mg-ax,x∈(0,2）则 cos x 故当x∈(0,1)时，k'(x)<0,k(x)单调 g(0)=0。 递减；当x∈(1，十∞)时，k'(x)>0,k(x)单 2sin xcos'x++sin'r 调递增。所以k(x)≥ka)=c,即g≥c。 由g'(x)= 2ax= cos'x x sin x(2cos'x+sin'x) sin x 所以m2+n2≥ cos'r -2ax sin x+ cos'r 点评：本题将m,n看成变量，x。看成常 -2ax,得g'(0)=0。 数，从几何的角度出发，由点到直线的距离公 由g"(x)=cosx- 1 2 -2a, cos x cosx 式，建立不等式√m十n≥ e ，当 得g"(0)=2-2a。 √Jx6+sin'ro 根据端点效应得2一2a≥0，即a1是 x∈(0,1]时，运用三角不等式x>sinx>0 原不等式成立的一个必要条件。 放缩；当x∈(1，十©∞)时，运用三角函数的有 下面证明a≤1的充分性： 界性放缩，从而证明目标。 三、泰勒展开式 由泰勒展开式可知，当x∈(0，)时，有 泰勒展开式是利用高阶导数的局部性来 研究函数的重要工具，将三角函数通过泰勒 sin > 若=x1-若)>0和sx<1 36 高数学2方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 若+贫所以>x1-若)》广。 在(，-]上无零点。 所以f(x)≥sinx-r'cos x 当-<<元时，设s(x)=g'(x),则 (-号+)-(1-若+)= 6 '(x)=2 cos。所以当-受<x<受时 (1-)>0,满足题意。 s(x)>0:当<x<元时，s(x)<0,故 综上可得，实数a的取值范围为（一∞， 1]。 g'()在(-空，)上单调递增，在（受x)上 点评：本题第(2)问在证明充分性时，通 单调递减。 过泰勒展开式，对sinx和cosx分别进行三 阶和四阶放缩，将放缩后的结果作差后能直 又因为g()=e(1+0)-1>0, 接判断其正负，还能规避反复求导带来的烦 g'(π)=e"(0-1)-1<0,g′(0)=0， 琐计算。 四、分段讨论 g(-)<g(0)=0,所以存在x,∈(0，x) 在解决与三角函数有关的零点问题时， 使得g'(,)=0,且当-登<x<0时，g(x) 由于函数的零点在求导后大多数无法直接求 解，因此，我们常利用三角函数的有界性和单 <0,g(x)单调递减：当0<x<x。时，g(x) 调性来分段讨论，再结合函数的零点存在性 >0,g(x)单调递增；当x。<x<π时，g'(x) 定理判断零点个数。 <0,g(x)单调递减。 又因为g(0)=0,g(π)=esinπ一π= 例4已知函数f(x)=e'sin x。 一π<0，所以g(x。)>g(0)=0。 (1)求f(x)在[0，π]上的单调性： (2)令g(x)=f(x)一x,讨论g(x)在 故g()在(-0)上无零点，在(0x (一∞，π)上的零点个数。 上无零点，在(x。,π)上有一个零点。 解析：(1)对函数f(x)求导得f'(x)= 综上所述，g(x)在（一∞，π）上共有两个 e'sin x+e'cos x-e'sin(). 零点。 点评：本题第(2)问在讨论函数g(x)在 在x∈[0，π]上，令f'(x)=0,得x (一0，π)上的零点时，根据三角函数的有界 所以当x∈6，]时，f'(x)>0:当 性和单调区同，分为(-∞，-受）(-受0小 x∈(，元]时，fx)<0. (0,x),(x。,π)四段，再根据各段的单调性和 零，点存在性定理判断各段上的零，点个数。 所以丽数f()在[0，到]上单调递增。 总之，与三角函数有关的导数题的题型 在(T,]上单调递诚。 灵活多变，综合性强，虽有难度，但并非无规 律可循，解决这类问题需遵循“分析问题→明 (2)因为g(x)=f(x)-x=e'sin x 确目标·转化变形→构造函数→研究函数→ x,所以g'(x)=e(sinx+cosx)-1。 解决问题”的基本环节，核心是先脱掉三角函 因为当x=0时，g(0)=e°sin0=0,所以 数的“外壳”，将其转化为常规函数，然后借助 x=0是函数g(x)的一个零点。 求导研究性质。而具体处理方法需因题而 当x≤-受时，e'sin<1,-x>1,故 异，只要掌握这类问题的常用处理方法与函 数应用技巧，就能顺利解答题目。 g(x)=e'sin x一x>0恒成立，即函数g(x) (责任编辑王福华) 37