利用韦达定理研究导函数中的一类双变量问题-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

解微學典原突方清中学生教理化 利用韦达定理研究导函数中的一类双变量问题 ■云南省富源县第九中学 薛家兵 在高中数学导数的压轴题型中，双变量 因为函数f(x)有两个极值点，所以方程x 问题因涉及变量众多、关系复杂，成为高考考 一ax十1=0有两个不相等实根，则△=a2一 查的重点与难点。如何有效梳理多变量之间 4>0,解得a<-2或a>2。 的关系，将多变量问题合理转化为单变量问 由韦达定理得x1十x2=a,x1x2=1。 题，是解题的关键所在。其中，有一类问题可 f(x)-f(x2)=xi-x3-2a (x- 借助韦达定理，实现变量之间的等价转换。 这类问题通常表现为函数存在两个极值点或 r:)十21n,将a=x1+xg代入得f(x1)子 零点，并要求证明相关不等式或求解参数的 取值范围。通过韦达定理，将双变量问题转 f（x)=-xi+x+21n 3C9 化为二次方程根的问题，并利用根与系数的 又因为：=子所以f,)-fx) 关系进行消元，从而将原问题简化为单变量 函数问题，实现高效求解。本文系统梳理了 -x+x+21nm4= -xi+4lnx1。 r2 xi 韦达定理在双变量问题中的应用体系，按题 型划分为求取值范围和证明不等式两大类， 因为1<x<,所以x1<1<e 旨在为同学们提供清晰的复习思路与实用方 >2,解得 1 法，帮助其在高考中更好地应对此类问题。 由a>2,x1+ e<x1<1. 类型一、利用韦达定理消元求取值范围 令g(1)=1 -t+4lnt, <t<1,则 e 向题 g'(t)= -2 例1已知函数f(x)=x2-2ax+ -21+4=-2(t2-1) <0,所以 2lnx+1有两个极值点x1,x,且x1<x< e,求f(x1)一f(x)的取值范围。 g()在（仁1）上单调递减，故g()m 分析：若函数f(x)有两个极值点，则其 导函数有两个零点，求导后易知其导函数是 g(日）=c-是-4，g)=g1)=0 一元二次函数，利用韦达定理可得x1十x 所以f(x1)一f(x:)的取值范围为 a,x1x2=1,求f(x1)一f(x)的取值范围， oe--4. 我们需要把三个变量x1,x2,a建立关系，搭 建桥梁，把多变量问题转换为单变量问题，再 点评：利用韦达定理把复杂的双变量问 根据约束条件求出变量的取值范围，进而把 题转化为单变量问题，进而利用函数的单调 问题转化为函数在某区间上的最值问题。 性研究值域。具体步骤可概括为：首先，由极 解：由题意知，函数f(x)的定义域为 值点的存在性，转化为导函数零点所对应的 (0,+@∞)。 二次方程有实数解；其次，运用韦达定理进行 对f(x)求导得f'(r)=2(x-ax十1) 变量代换与消元；再次，构造单变量函数并分 析其单调性；最后，结合端，点值确定值域范 公瓷然燃馆我体公公含公高常然心瓷公高常公点然公高常瓷燃常公瓷常心常瓷然燃瓷常公燃含公蕊体馆点公篇 针对利用导数研究函数的极值与最值 文章深入剖析了各类题目的结构特征，基于 问题，本文系统梳理了相关题型，并将其划 结构特征进一步探讨了相应的解题策略与 分为三大类：函数极值求解、函数最值求解， 易错点，并给出了有效避开常见错误的方法 以及函数极值与最值的实际应用。针对这 与技巧。 些题型，为提升同学们对问题的识别能力， (责任编辑王福华) 33 中学生表理化餐皱学经鼻整方法 围。需特别注意的是：在整个过程中必须充 4),则g'(x)=上-lnx。 分考虑定义域的约束条件，以避免因条件遗 x 漏而导致解的不完整或错误。 令A(红)=子 -lnx(0<x<4),则 题型二、利用韦达定理消元证明双变量 不等式 'x)=-1-1<0. 例2已知函数f(x)= 2e+4e 1 所以g′(x)在(0,4)上单调递减。 -ax-5。 又因为g'1)=}-1n1=1g'(2)=君 (1)当a=3时，求f(x)的单调区间； 一ln2<0,所以存在x。∈(1,2)，使得g'(x。) (2)若f(x)有两个极值点x1,x,证明： f(x1)+f(x2)+x1+x<0。 -lnx,=0,即1=lnx。 分析：若函数有两个极值点，则其导函数 故当x∈(0，x。)时，g'(x)>0,g(x)单 有两个零点，求导易知其导函数是一元二次 调递增；当x∈(x。,4)时，g′(x)<0,g(x)单 复合函数，如何构建三个变量x1,x:,a的关 调递减。 系进行消元，是求解本题的关键。 所以g(x)≤g(xo)=x。-(x。一1)lnxo 解：0当a=3时f)=-3+4e -2=-(-10-2=+-8 -3x-5,求导得f'(x)=-er+4e'-3= -(e-1)(e-3)。 因为，∈0,2)，所以+∈，号） 所以当e2∈(0,1)U(3,+∞)，即x∈ 故g(x)=十23<0，即g(x)<0 (-o∞，0)U(ln3,+∞)时，f'(x)<0;当 e∈(1,3)，即x∈(0,1n3)时，f'(x)>0。 所以f(x1)+f(x:)+x1+x<0。 ,点评：利用韦达定理得到极值，点的和与 故f(x)的单调递减区间为（一∞，0）， (ln3,+∞)，单调递增区间为(0，ln3)。 积的基本关系，通过观察发现代数式结构具 (2)f'(x)=-er+4e-a。 有高度的对称性，可以全部转化为两根和与 积的关系，故直接利用韦达定理进行代换，从 令t=e,则f'(t)=-t2十4t一a。 而有效简化证明过程。 令t1=e,t2=e,则t1,t2是方程t2一4t 总之，高考导数压轴题中，双变量问题出 +a=0的两个正根，故△=16一4a>0,即a 4。又t1+t2=4,t1t2=a>0,所以0<a<4。 现频率较高，解题方法多样，但韦达定理消元 法无疑是最基础、最常用的方法。它构建了极 改f(x)+(x)+x+x:=-2e士 值点、函数零点与参数的关系。通过本文对例 题的分析，我们可以看到，韦达定理通过将双 4e-ax1-5-2e2+4e-ax:-5+x1+ 变量问题转化为单变量问题，不仅简化了计 x2= 2(ti+t)+4(t+t)-(a-1)(lnt 算，还突出了函数单调性、极值等核心概念的 应用。这种方法的优势在于其系统性和可操 +lnt2)-10= 2[(11+t:)2-2t1t2]+4(u 1 作性，适用于求取值范围、证明不等式等多种 1 题型。对于同学们而言，熟练掌握韦达定理消 +t)-(a-1)1n(tt)-10=-216-2a） 元法，不仅能提升解题效率，还能深化对导数 +16-(a-1)1na-10=a-(a-1)lna 与函数关系的理解。 2。 注：本文系2026年云南省教育厅科学研 要证f(x1)十f(x:)十x1十x2<0,即证 究基金项目立项课题“A1赋能高中数学大概 a-(a-1)lna-2<0(0<a<4)。 念教学的实践研究”（课题编号：2026J0615) 令g(x)=x-(x-1)lnx-2(0<x< 的研究成果。 (责任编辑王福华) 34