函数与导数问题的典题纠错-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

错解剖析 函数与导数问题的典题纠错 ■江苏省陶都中等专业学校 许朝晖 函数是高中数学课程中最核心的 f(0)=0,那么需要确保奇函数的定义 内容之一，而导数是研究函数性质的重 域内包含0，不可主观臆断：如果不分 要工具，因此函数与导数在历年的高考 析奇函数的概念和性质的内涵，直接建 试题中都是高频考点。鉴于这部分内 立方程f(一x)=一f(x),利用对数运 容的抽象性和逻辑性，许多同学在理解 算盲目求值，那么必将陷入烦琐冗长的 上都会出现认知偏差和思维误区，以至 计算之中。解这道题的关键在于回归 于犯下各种错误，因此本文通过对函数 奇函数的概念本质，关注其必要条件 与导数问题的典型易错题进行深入剖 “定义域关于原点对称”，通过分析发现 析，强化同学们的纠错意识，优化同学 “x=1不在定义域内，从而x=一1也 们的思维方式。 不在定义域内”，结合绝对值在对数真 一、对函数性质的内涵理解不透彻 数上这一结构特征，容易推理出x= 质1若)=hla+之 -1时真数a十 必须为0，进而 b是奇函数，则a的值为，b的值 问题迎刃而解。 为 正解与分析：设函数f(x)的定义 错解：因为f(x)是奇函数，所以 f(0)=ln|a+11+b=0。又因为 域为D.由f()-lna+己 +6 f-)=-fx,即nla+ 知1庄D,故由奇偶性可知一1庄D。由 b,整理得-2b Ina+1-z 可知a十，1 1-x ≠0，所以 n++已 当x=-1时，必有a十，1 由于绝对 -x=0,才能 值符号的存在，感觉后续运算非常复 满足“-1庄D”,解得a=一 此时 杂，不知如何化简求值。 f(x)=In + 1 错解剖析：如果要得到第一个关系 +b,易知0∈D, 20 错解剖析 1 所以f(0)=1n2+6=0,解得6= 至于混淆了函数f -2x、g(2+x） In 2 的自变量，得到表征偶函数的错误关 二、对抽象函数的形式转化片面化 系，可以通过换元思想进行修正，即令 例2（多选）已知函数f(x)及其 F(x)=f(侵-2x,G(x)=g(2+ 导函数f'(x)的定义域均为R,记 g)=f'u,若f(-2x小g2+ x)。对于复合函数的导数，特别容易 遗忘对内层函数单独求导，因而误判 x)均为偶函数，则( 了求导前后函数奇偶性、对称性的变 A.f(0)=0 化。该题的本质是基本初等函数的抽 Bg-2)-0 象化。 C.f(-1)=f(4) 正解与分折：由已知，有了（侣 D.g(-1)=g(2) 错解：因为f(侣-2x)为偶函数， 2x=f(+2x) ①，则当x=时. 有f(-1)=f(4),选项C正确。对式 所以f(-号+2x)=f(经-2x小，令。 ①求导可得-了（径-x)=f（十 ,则f(0)=f(0)恒成立，无法确定 3 x小，即-g(侵-x)=g(+x,所以 选项A:令-，则f(-1=f1 g)=0:g(8-x)=-(x)又 所以选项C错误。因为f(-号+2x) g(2+x)=g(2-x),所以g(4-x)= r(促-2x小，所以f(2+2x g(x)=-g(3-x),g f(日-2z小，即g(-+2x)=s(8- =0,g(-1)=-g(4)=-g(2), 选项B正确，选项D错误。若函数 2x令x=1,则g(分）=g-2无 f(x)满足题设条件，则函数f(x)十 法确定选项B;因为g(2十x)为偶函数， C(C为常数)也满足题设条件，所以无 所以g(-2-x)=g(2十x),令x=0, 法确定f(x)的函数值，选项A错误。 则g(-2)=g(2),所以选项D错误。 故答案选BC。 错解剖析：由于只给了抽象的函 三、对零点问题的逻辑推理草率化 数符号，而没有具体的函数解析式，以 例3已知函数f(x)=a2x2 21 错解剖析 3 axIn x(a>0),讨论f(x)的零点个数。 定f(x)有三个零点。 错解：f'(x)=2a2x-3alnx 正解与分析：因为a>0,x>0,令 3a,f)-2a-令f)-0,得 f(x)=0,得a.x-3lnx=0,解得a= 3n2,令g(x)=3h(x>0), a,因为a>0,所以x>0,所以当 2 f(x)的零点个数等价于y=g(x)与y x,2)时，fx)<0,fx)单调 =a的图像交点的个数。对于g'(x) 递减当x∈（品+∞时，f产）>0. 31-ln）,当0<x<e时，g'(x） = x2 >0,当x>e时，g'(x)<0,所以函数 f'(x)单调递增。因此f'(x)的极小 g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o∞) 值为f(倍)=-3alh云当a≥ 上单调递减，且g(x)在x=e时取得 时，f'(x)≥0恒成立，f(x)单调递增， 极大值g(e)=3. 当x→0时，g(x) 所以f(x)有且仅有一个零点。当0< →-∞；当x→十∞时，g(x)→0。又 a<时'(x)有两个隐零点，可设为 g(1)=0,作出y y=g(x) 0<x1<x2。当x∈(0，x1)时，f'(x) =g(x)与y=a >0,f(x)单调递增；当x∈(x1,x2) 的图像，如图1 时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈ 所示。 图1 (x2,十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递 由图1可 增，所以f(x)有三个零点。 知，当a>3时，函数y=g(x)与y=Q 错解剖析：若同学们做题时忽视函 数解析式中的公因式ax,一味盲目求 的图像无交点；当a三。时，函数y户 导，则容易陷入多次求导的困扰，造成 g(x)与y=a的图像有1个交点，当0 导函数和原函数零点之间的混淆，因此 有必要强化对函数结构的变形简化，可 <a<°时，函数y=g(x)与y=a的 以考虑先提取公因式ax,再令f(x)= 图像有2个交点。 0,这样就可以消去ax排除干扰。 综上，当a>3时，f(x)的零点个数 若不具备极限意识，或者对零点存 e 在性定理理解不够透彻，容易直观臆 3 为0；当a=二时，f(x)的零点个数为1； e 断，比如，当f'(x)的极小值小于0时， f'(x)便会有两个零点；当发现f(x) 当04<3时，fx)的零点个数为2， 的变化趋势为先增后减再增时，草率确 (责任编辑侯若晨) 22