事件情境下的概率问题易错点分析-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高三数学2026年6月 事件情境下的概率 ■安微省滁州市第 概率作为高中数学的核心内容之一，在 高考中占据重要地位。在当前“三新”教育背 景下，事件情境下的概率问题日益受到关注， 尤其是对于积事件的概率、条件概率、全概率 的考查频率和难度均有所提升。为了帮助同 学们更好地应对这些挑战，本文将对上述概 率问题进行全面的梳理和分析，总结有效的 答题策略，并深入探讨易错原因，以便同学们 能够针对性地改进和提高。 题型一、积事件的概率 在解决这类问题时，要注意区分两个 事件的关系，一般地，P(AB)=P(A∩ B),当事件A,B相互独立时，P(AB)= P(A)P(B)。 例1已知密闭盒子中装有6个球，其 中3个红色，2个黑色，1个黄色，从中一次性 抽取3个球。记事件A:3个球中有红球；事 件B:3个球中有黑球。 (1)求P(AB); (2)若再从剩下的3个球中取出1个球， 求盒子中没有红球的概率。 解析：(1)从6个球中一次性抽取3个 球，共有C=20(种)取法。 由题意知，事件AB包括1个红球1个 黑球、2个红球1个黑球、1个红球2个黑球 三种情况，共有CCC+CC+CC=6+ 3+6=15(种).所以P(AB)8-是。 (2)由题意知，第一次取出3个球，第二 次取出1个球，则盒子里面还剩2个球，要使 盒子中没有红球，则有两种情况：一是第一次 取到3个红球，共有CC=3(种)；二是第一 次取到2个红球，第二次再取到1个红球，共 有CCC=9(种)。所以再从剩下的3个球 中取出1个球后盒子中没有红球的概率P= 1.19.11 20×3+20×3=6 28 季人 问题易错点分析 二中学周瑞 易错提醒：本题重点考查积事件的概率 问题，为了很好地展现易错点，题目设置了两 问。第一问为一般事件的积事件概率，从集 合角度分析，两个事件的公共事件是：既有红 球，又有黑球，此时P(AB)=P(A∩B);第 二问是两次抽取，两次抽取情况相互独立，所 以P(AB)=P(A)P(B)。因此，解答这类 问题的关键是看两个事件是否独立，若独立， 则积事件的概率就是两个事件的概率之积， 反之就是两个公共事件的概率。 题型二、条件概率 条件概率是建立在积事件概率的基础之 上的概念。要计算条件概率，首先，需要找出 条件与结论这两个事件的积事件概率；其次， 求出条件事件的概率；最后，应用条件概率公 式进行计算。 例2某公司将生产的零件按照一箱 10件进行装箱出售。已知该公司生产的零 件中，一箱有6件一等品，4件二等品，现质 量检测部门对该公司的产品进行抽查，若二 等品数量过多，则不能流入市场。 (1)质检员从箱子中一次抽取3件进行 检查，求在这3件等级不同的条件下，有2件 一等品的概率： (2)质检员按照抽一件，检测一件的方式 进行抽样检查，检测后的产品不放回，求在第 一次抽到一等品的条件下，第二次也抽到一 等品的概率。 解析：(1)设事件A为“质检员一次抽取 的3件产品的等级不同”：事件B为“质检员 一次抽取的3件产品中，有2件一等品”。 故事件AB为“质检员一次抽取的3件 产品中，有2件一等品和1件二等品”。 所以事件A发生的概率为P(A)= CCCC-善：事件AB发生的概率为 Ci。 P(AB)= CiC1 C。2 所以在这3件等级不同的条件下，有2 件一等品的概率为P(BA)=PCAB) P(A) (2)令事件C为“质检员第一次抽到一 等品”；事件D为“第二次也抽到一等品”。 故事件CD为“质检员第一次抽到一等 品的同时第二次也抽到一等品”。 所以事件C发生的概率为P(C)= C=号：件CD发生的概率为P(CD)= 3、C1 ×c=3 所以在质检员第一次抽到一等品的条件 下，第二次也抽到一等品的概率为P(DC) 易错提醒：本题是一个典型的条件概率 问题，通过设置两个问题，从不同角度展现了 问题的本质。在解答过程中，需要注意三个 易错点：首先，要正确识别题目类型，尽管大 部分题目的结构清晰，呈现出“在··条件 下，…发生的概率”的形式，但也存在一些 不明显的题目；其次，需要厘清事件之间的关 系，尤其是在计算积事件的概率时，要依据具 体情况进行处理：最后，要熟练掌握条件慨率 公式，并能够准确地运用它进行计算。 题型三、全概率 全概率是一种基于概率的模型，通过对 结构特征的细致分析，可以发现其核心思想 是通过多种途径来实现目标。在这个模型 中，每条路径都包含两个阶段：先做出选择， 再执行相应的任务。 例3某建筑公司有甲、乙两支施工 队，通过统计发现，该公司派甲队施工的概率 为号，派乙队施工的概率为 (1)公司现竞标成功一项工程，已知甲队 能顺利完成的概率为弓，乙队能顺利完成的 解氧数始服阳架朝新中学生教理化 概率为是，求该项工程能顺利完成的概率。 (2)已知公司已经派甲队出去施工了，乙 队还未完成业绩任务。现公司有A,B两项 工程没有完成，乙队能顺利完成A工程的概 率为，顺利完成B工程的概率为号。公司 规定：乙队只要从A,B工程中选择一项，能 顺利完成则达到业绩。求乙队能达到业绩的 概率。 解析：(1)该项工程能顺利完成的情况有 两种：一是派甲队去施工，并且能顺利完成， 概率为号×名-日：二是派乙队去施工，并日 能顺利完成，慨率为号×号-子故该项工 程衡顺利完成的钱本为号+片后 (2)已知甲队已经派出工作了，则只有乙 队能派出施工。 若乙队选择A工程，概率为2，能顺利 完成的概率为号，则乙队选择A工程且能顺 利完成的概率为×高 1 若乙队选择B工程，概率为2，能顺利 完成的概率为号，州乙队选择B工程且能顺 利完成的慨率为宁×号一号· .21 故乙队能达到业绩的概率为3+】=19 103301 易错提醒：本题是一个典型的全概率问 题。在解决过程中，并没有直接应用全概率 公式，而是依据全概率模型，遵循分类与分步 的原则来求解。解答全概率问题的关键在于 深入理解模型，一旦掌握了这个模型，无论是 直接求概率还是运用全概率公式，都会变得 相对简单。实际上，全概率模型的核心可以 概括为两个步骤：选择与完成。选择会带来 概率，而完成与否同样会产生概率。根据这 些分类和分步的结果进行计算即可。 (责任编辑王福华) 29