探析概率背景下的合理决策问题-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年6月 探析概率背景下 ■江苏省怀仁 伴随着数字化时代的到来，概率与统计 知识显得越来越重要，它是理解随机世界的 一把钥匙。如何对现实生活中随机事件作出 合理决策是高考压轴题的一类重点题型，它 能综合考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、 数据分析等核心素养。本文尝试从数学的角 度对概率背景下的决策问题进行分析，为同 学们积累“依托数据探索规律，从而作出判 断”的学习经验。 一、参照期望高低，择优选定方案 例1某零件厂销售部以箱为单位销 售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于 200箱按原价销售，不低于200箱有两种优 惠方案。 方案一：以200箱为基准，每多100箱免 12箱的金额。 方案二：通过双方议价，买方能以每箱优 惠8%的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠 6%的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠 5%的价格成交的概率为0.3。 (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零 件，并选择方案二，求甲以低于9.5万元的金 额购买这200箱零件的概率。 (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零 件，以购买总价的数学期望为决策依据，试 问：买方乙选择哪种优惠方案更划算？请说 明你的理由。 (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零 件，由于购买的箱数超过500箱，该厂的销售 部让买方丙综合使用这两种方案作为第三种 方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的 正整数倍)，另一部分使用方案二（箱数不 公花含公常点馆点心含公公点燃常盒公高心公点器瓷公高公体益公高公 点值代表该组数据，这是近似处理的关键；其 二，计算平均数不能简单地将各组中点值相 加后除以组数，而应采用加权平均的方法，即 用每组中点值乘以其对应的频率，再求和；其 34 的合理决策问题 中学 王志英 限)，试问：买方丙应该如何使用方案三，才能 获得最多的优惠？请说明你的理由。 解析：(1)买方甲要在该厂购买200箱这 种零件，并选择方案二。 若买方甲以每箱优惠8%的价格成交， 则成交的金额为500×(1一8%)×200 10 9.2(万元)； 若买方甲以每箱优惠6%的价格成交， 则成交的金额为500×1一6%)×200 10 9.4(万元)： 若买方甲以每箱优惠5%的价格成交， 则成交的金额为500×1一5%)×200一 10 9.5(万元)。 故买方甲以低于9.5万元的金额购买这 200箱零件的概率为0.3+0.4=0.7。 (2)买方乙在该厂购买400箱这种零件。 若买方乙选择方案一，则成交的金额为 (60×400-100o00×12×50)×d 100 18.8(万元)。 若买方乙选择方案二，设成交的金额为 X万元，则P(X=500×18%)×400)= 10 P(X=18.4)=0.3: P(x=500×1-6%)×4001 =P(X= 10' 18.8)=0.4: p(X=500×(1-5%)×400 =P(X= 10 19)=0.3。 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱 公公公含公公气保公公含公点第点燃g含公公益保常含公螺馆点保益公气 三，在求频率时，应注意频率等于频率分布直 方图中对应小长方形的高乘以组距，这一关 系容易被忽视或误用，是解题中常见的错误 来源。 (责任编辑王福华) 这种零件的成交金额的数学期望为E(X)= 18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74 (万元)。 因为18.74<18.8，所以方案二更优惠。 (3)设买方丙用方案一购买100n(3≤ n9,n∈N)箱。 若买方丙选择方案一，则需要支付的金 额为(100n×500-100n-200 100 ×12×500)× 10=4.4n十1.2（万元）； 若买方丙选择方案二，则需要支付的金 额的期望为960100m×18.74=44.976 400 4.685n(万元)。 所以买方丙购买的金额的期望为4.4n +1.2+44.976-4.685n=46.176-0.285n (万元)。 因为y=46.176-0.285n(3n9,n∈ N)为减函数，所以n越大，y越小。 故应该选择900箱使用方案一，60箱使 用方案二，这样才能获得最多的优惠。 点评：数学期望作为合理决策的一个重 要指标，在概率统计中有着广泛的应用。此 题阅读量较大，若能从题目中选取有效信息 并整合数据，揭示第(2)问与第(3)问期望间 的逻辑联系（特殊到一般），此题便迎刃而解， 且很好地体现了多想少算的高考指导思想。 二、比较概率大小，优化确定策略 例2甲、乙二人进行比赛，已知在每 局比赛中，甲获胜的概率为p,乙获胜的概率 为1一p,各局比赛的结果相互独立。为决出 最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择： 方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败 方得0分，则首次比对手高2分的一方获胜。 方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜。 (1)若p=0.75,且采用方案一，求第四 场比赛结束时恰好分出胜负的概率。 (2)若0<p<0.5,为使甲获胜的概率更 大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由。 附：当0<g<1时，1十g+g2+…= 1 1-q9 解数轻典愿癸整方青中学生教理化 解析：(1)第四场结束恰好分出胜负对应 的事件有以下四种情况： A1:甲赢第1,3,4局，乙赢第2局： A。:甲赢第2,3,4局，乙赢第1局： Ag:乙赢第1,3,4局，甲赢第2局； A,:乙赢第2,3,4局，甲赢第1局。 故所求概率为P(A1UA2 UA:UA,)= 2b(1-p)+21=p)p=6。 (2)设事件A:甲最终获胜，事件B:甲、 乙在前两局结束后得分相同。 记使用方案一、二时甲胜出的概率分别 为P1(A)、P(A)。 对于方案一：根据条件概率公式可得 P(A)=P(AB)+P(AB)=2+P(AB). P(B)=p+2(1-p)P(A|B)。 因为每场比赛的结果相互独立，所以在 前两局甲、乙各胜出一局达到同分的条件下， 甲从第三局开始出现优先超过乙两分的概率 恰为P(A),即P(A|B)=P(A)。 所以P(A)=p2+2p(1-p)P(A),故 P(A)= 2p2-2p+1 对于方案二：甲最终获胜对应的事件只 可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，即 每局胜者按照“甲乙甲乙…甲乙甲甲”或 “乙甲乙甲…乙甲甲甲”的规律进行。 从而甲获胜的概率P,(A)=b∑b(1 =0 -p)+b∑p(1-b)= N= p2-p+1 p(1-p)_2p2-p3 p2-p+1p2-b+19 P1(A) 显然P:(A)≠0，令P,A p .D一p+>1,化简整理可得 2p-2p+12p2-b3 (p-3）p-10>0.即>2 、1 因为0<p<0.5,所以P1(A)<P(A), 故应选择方案二。 点评：在现实生活中，我们经常会根据获 胜概率来调整作战策略，以期达到最佳效果。 虽然本题的情境同学们都比较熟悉，且阅读 35 中学生表理化鳞学鼻被方法 量不大，但对逻辑思维要求较高，尤其是第 (2)问中方案一和方案二的概率求解都异于 平时的解题套路，具有一定的创新性。 三、依据概率变化，诊断工作方略 例3某系统配置有2n一1个元件(n 为正整数)，每个元件正常工作的概率都是 (0力1)，且各元件是否正常工作相互独 立。如果该系统中有一半以上的元件正常工 作，那么系统就能正常工作。现将系统正常 工作的概率称为系统的可靠性。 (1)当n=3,p=0.5时，求该系统正常 工作的概率。 (2)现在为了改善原系统的性能，在原有 系统中增加2个元件，试问：增加2个元件后 新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请 给出你的结论，并说明理由。 解析：(1)记系统正常工作的概率为P, 由题意得P=C×0.53×0.52+C×0.5× 0.5+C×0.5i=0.5。 (2)方法一：系统配置有2n一1个元件 时，记系统正常工作的概率为p-1。 当前有2n+1个元件，记系统正常工作 的概率为pm+1。 考虑前2n一1个元件，有以下三种情况： 第一种情况：若前2n一1个元件中恰有 n一1个元件正常工作，则新系统正常工作的 概率为C1p”-1(1一p)”p”; 第二种情况：若前2n一1个元件中恰有 个元件正常工作，则新系统正常工作的概 率为Cm-1p"(1一p)-1[1一(1一p)2门： 第三种情况：若前2n一1个元件中至少 有n十1个元件正常工作，则新系统正常工作 的概率为pm-1一C-1p”(1一p)-1。 所以pm+1=C。1p"-1(1一p)”p2十 C.-1b”(1-p)"1[1-(1-p)2门+pm-1 C2m-1p”(1-p)”-1。 故p如+1一pw-1=C。1p"-1(1一p)”p2+ C。-1b”(1-p)"-1[1-(1-p)2]-C-1p”· (1-p)"-1=(2p-1)Cm-1p”(1-p)”。 所以当p=2时，系统可靠性不变： 36 当0<p<子时，系统可靠性降低： 当号<<1时，系统可筝性提高。 方法二：系统配置有2n一1个元件时，记 系统正常工作的概率为pm-1。 当前有2+1个元件，记系统正常工作 的概率为pm+1。 考虑增加的2个元件，有以下三种情况： 第一种情况：若增加的2个元件中恰有1 个元件正常工作，则新系统能正常工作的概 率为pm-1C:p(1一p): 第二种情况：若增加的2个元件都正常 工作，则新系统能正常工作的概率为[pm-1十 Cn1p"-1(1-p)"]p2; 第三种情况：若增加的2个元件都不正 常工作，则新系统能正常工作的概率为[p如-1 -C2w-1p"(1-p)”-1](1一p)。 所以pm+1=pm-iCp(1一p)十[pw-1十 Cg。p"-1(1-p)”]p2+[pm-1一C2-1p”(1一 p)”-1](1-p)2=pw-1[Cp(1-p)+p+(1 -p)]+C2.-1p”(1-p)"[p-(1-p)]= pm-1+(2p-1)C2m-1p"(1-p)”。 故p如+1一p2a-1=(2p一1)Cm-1b”(1一p)”。 所以当力=2时，系统可靠性不变； 当0<p<时，系统可筝性降低： 当号<p<1时，系统可靠性提高。 点评：在日常生活和实际生产中，经常会 利用概率的变化情况对随机事件的发展作出 有效决策，从而提高工作或生产效率。本题 寻找pm-1与pm+1的关系是解题的关键，对 综合能力要求较高，做题时要仔细分析数据， 发现这两个概率间的规律与关联性。 概率与统计是高考情境类试题的主阵 地，其中决策类问题是概率与统计知识的重 点应用方向。解答此类问题时，同学们只有 仔细阅读试题，脱去情境的外衣，筛选解决问 题所需要的有用条件，搭建、整理、挖掘数据 间的联系，才能更好地突破每一道概率统计 题。 (责任编辑王福华)