强基计划中函数与导数试题的思维突破策略-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

强基溯源 强皇计划中函数与导数试题的思维突破策略 ■湖南省郴州市第二中学 陈伟 强基计划中的函数与导数试题，往 b<0,同时还要有△=a2+8b>0,即 往不以复杂公式或繁重计算为难点，而以 <b<0。综上可得，a,b需要满足 隐藏的结构特征与转化策略为核心考查 8 点。看似零散的式子背后，常蕴含对称、 的条件是a>0,一名<6<0 图像、周期、复合层级、儿何意义等关键信 息，一旦抓住这些结构并灵活转化，题目 点评：本题的核心巧解思路是利用 便能从烦琐的“硬算”转向清晰的“巧解”。 导数与极值的对应关系，先将函数既有 这类试题之所以成为高频考点，正是因 极大值又有极小值的条件，转化为其导 为它能有效检验同学们的观察力、转化 函数对应的二次函数在定义域内存在 力与思维深度。本文精选近两年多所 两个不同正根的问题，再通过分析二次 高校强基典型真题，梳理了函数与导数 函数根的分布条件求解参数范围，避免 试题的思维突破策略，为同学们应对强 了直接对原函数的单调性进行分段讨 基挑战提供清晰指引，帮助其实现从 论的复杂运算和“硬算”步骤。这类强 “机械计算”到“结构巧解”的跨越。 基试题的突破口，往往藏在导数符号与 一、导数极值条件转换 原函数极值的内在联系中，先将导数条 例1(2025年兰州大学强基计 件转化为熟悉的二次函数根的分布问 题，再利用判别式、韦达定理等工具分 划)已知f(x)=nx+么十。若 析，是用转化化归思想解决导数极值条 f(x)既有极大值又有极小值，求a,b 件问题的重要策略。 需要满足的条件。 二、对称换元降维 解析：对函数f(x)求导得f'(x) 例2(2025年西安交通大学强 =1-a_2b_x2-ax-2b 基计划)设f(x)=(x一1)(x一2)(x2 。因为x +ax十b),且f(3一x)=f(3+x),求 >0,分母x3恒为正，所以f'(x)的符 f(x)的最小值。 号只由二次函数g(x)=x2-ax一2b 解析：因为f(3一x)=f(3十x), 决定。要使f(x)既有极大值又有极 所以函数f(x)的图像关于直线x=3 小值，则需g(x)在(0，+∞)上必有两 对称，则函数f(x)的零点也会关于直 个不同正根。设两个正根为r1,r2,则 线x=3对称。易知f(1)=f(2)=0, r1十r2=a,r1r2=一2b,所以有a>0, 则f(5)=f(4)=0。不妨设f(x)= 17 强基溯源 (x-1)(x-2)(x-4)(x-5),令u= 9 最小值为 (t-2) (x-3)2,又x-1=(x-3)+2,x-5 t+1 =(t+1)+ t+1-6。 =(x-3)-2,x-2=(x-3)十1，x一 由对勾函数的性质知，当t=4时，a2+ 4=(x-3)-1,于是(x-1)(x-5)= u-4,(x-2)(x-4)=u-1,则f(x) 公取得最小值。 点评：本题的核心巧解思路是利用 对勾函数的性质先确定y的取值范 9 f(x)的最小值为- 围，再将代数问题转化为几何距离问 题，通过换元将分式函数转化为对勾函 点评：本题的核心巧解思路是利用 数，避免了复杂的分类讨论和“硬算”步 函数的对称性识别隐藏的零点结构，通 骤。这类强基试题的突破口，往往藏在 过对称换元将四次多项式直接降维为 式子背后的几何结构中，先观察再转 二次函数，避免了展开、求导等烦琐的 化，是用几何意义简化代数最值问题的 “硬算”步骤。这类强基试题的突破，点， 重要策略。 往往藏在式子背后的对称结构中，先观 四、分段复合函数的分层拆解 察再运算，是发现隐藏规律、简化复杂 例4(2025年中国科学技术大 多项式运算的核心技巧。 学强基计划)设c∈(0,6)，f(x)= 三、几何视角解最值 x2-6x+3,x<c, 例3(2024年北京大学强基计 若f(f(x)=3恰 3x,x≥c, 划)已知f(y)=y2+ay+b-2,其中 有1个解，求c的取值范围。 y=x+若f)有零点，求。+6 解析：令f(x)=t,则f(t)=3。 由t2-6t+3=3,得t=0或6； 的最小值。 由3=3，得t=1。 解析：由对勾函数的性质得y=x ①若0<c≤1，由f(t)=3可得t +∈(-，-2]U[2,+o,若 =0或1，所以f(f(x)=3等价于 f(x)=0或1。令f(x)=0,则x=3 f(y)有零点，设f(y。)=0,则y+ 十√6（舍）或3一√6；令f(x)=1,则x ayo+b-2=0,即yo·a+b+y-2 =0。而a2+b2的几何意义是原点到 =3十√7（舍）或x=3-√7或x=0 直线y0·a+b+y-2=0上点(a,b) (舍)。当且仅当3-√7<c≤3-√6时， 的距离的平方，则a2+b2的最小值为 原方程只有x=3一√7这一个解。 (y8-2)2 1+3话。令=≥4，则a+6的 ②若1<c<6,由f(t)=3可得t =0,所以f(f(x)=3等价于f(x) 18 强基溯源 =0。令f(x)=0,则x=3十6或3 =0在（一1,0]上有两个根。由于t √6，当且仅当1<c≤3+√6时，原方程 Cosx在 [经x上单调，因此原方程有 只有x=3一√6这一个解。 两个解。 综上所述，c的取值范围是(3一 点评：本题的核心巧解思路是利用 √7,3-√6]U(1,3+√6]。 指数函数与三角函数的有界性先缩小变 点评：本题的核心巧解思路是利用 量的取值范围，再将三角超越方程解的个 分层拆解的思想先解外层方程f(t)= 数问题转化为辅助函数的零，点判定问题， 3,再将复合方程解的个数问题转化为 通过换元将三角超越方程转化为可利用 求解内层方程f(x)=t的问题，通过 导数分析的函数问题，避免了直接对原方 换元将分段复合函数问题转化为单一 程进行复杂的三角恒等变形和“硬算”试 函数的零点判定问题，避免了直接代入 根的步骤。这类强基试题的突破口，往往 复合式带来的复杂运算和“硬算”步骤。 藏在方程两边的函数值域限制与变量间 这类强基试题的突破口，往往藏在复合 的三角恒等关系中，先限定范围再转化分 函数的层级结构与参数对分段定义域 析，是用转化化归思想解决超越方程解的 的影响中，先拆解再分类，是用转化化 个数问题的重要策略。 归思想解决分段复合函数解的个数问 强基计划中的函数与导数试题看 题的重要策略。 似千变万化，真正拉开差距的，从来不 五、超越方程的有界性缩限 是谁掌握了更多“秒杀技巧”，而是谁能 例5(2024年北京大学强基计 更快看穿题目背后的结构逻辑与转化 划)求[0,2π]上方程2sx=sinx的解 路径。当你面对复杂式子时，不妨先停 的个数。 下“硬算”的冲动，主动追问：导数的极 解析：易知sinx>0,即0<xπ。 值条件能否转化为熟悉的二次函数问 又因为2ox=sinx≤1，所以cosx≤ 题？已知式子中是否藏着对称？是否 0,放智≤x<不：令1=cos,则1∈ 可以从几何视角求解最值？复合函数 是否可以分层拆解？超越方程能否先 (-1,0],且sinx=√1-t2,则原方程 限定范围再转化？对同学们而言，强基 化为2=√1-t2,两边平方得4'+t2- 备考的核心不是盲目刷题，而是通过典 1=0。设g(t)=4+t2-1,则g'(t) 型真题提炼可迁移的思维策略，掌握转 =(ln4)4'+2t,g"(t)=(ln4)24'+2 化化归、数形结合、降维简化、分层拆解 >0,故g(t)为下凸函数。又g(-1) 等核心思想，真正做到“会做一题，通 类题”，在面对新情境时也能从容破题。 >0,g-2）0,g(0)=0,所以g) (责任编辑王福华) 19