洞悉结构，择法而优——强基计划中不等式最值问题的多维度解析-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

强基溯源 洞悉结构，择法而优 强基计划中不等式最值问题的多维度解析 。外我A我Rn我AA86806金0。龙 ■北京师范大学贵阳附属中学 李鸿昌 高校强基计划旨在选拔基础学科 2V3 23 =83,当且仅 拔尖创新人才，其数学试题常以简洁的 y(1-y) y+1-y 条件包裹丰富的变形空间，对同学们的 2 代数直觉与模型识别能力提出极高的 当y= 23x==} 时等号成立，所 4 要求。不等式最值问题作为高频考点， 往往突破常规套路，需要在均值不等 以y+1 的最小值为83。 Tye 式、柯西不等式、配方、整体代换与几何 解法2：由题意，利用均值不等式 意义等方法之间灵活切换，考查的实质 是对代数结构的深层把握。本文精选 得y+1 1-y2 3x2+z2 ryz xzy(1-y)xzy(1-y) 2025年高校强基真题中的典型问题， 2√3xz 25 依据解题方法的核心特征，将其归纳为 72 =8√3，当 xzy(1-y) y+(1-y 四大类，深入剖析每类问题的结构本质 2 与破题策略，以期为同学们提供一套清 晰且可迁移的分析框架。 且仅当x= 1 4y= 6 时等号成立。 一、均值不等式的配凑与结构平衡 点评：对于多元不等式，首先考虑 在不等式最值问题中，均值不等式 的就是“消元”。目标分母含xyz,条件 是使用频率最高的工具。真正的难点 为平方和，两者通过均值不等式3x2十 在于如何拆项、添系数使和或积为定 x2≥2，√3x之建立联系。此处的均值不 值，并确保等号条件与题设相容。 等式起到“消去x,z”的桥梁作用，使多 例1(2025年清华大学强基计 元函数逐步归一。 划)已知正数x,y,之满足3x2+y2+ 二、恒等变形中的整体代换与函数 2=1,则y+1的最小值为 思想 有些题目若直接使用均值不等式 解法1：由题意，利用均值不等式 会显得生硬，而通过代数恒等变形揭示 得y十1 23 .y+ 隐含结构，则可化繁为简。 TyZ 2·√3x·z y 1.完全平方关系的整体显化 23 y+1=25.y+1 例2(2025年清华大学强基计 3x2十22 y 1-y2 y 划)已知x2+y2+之2+xy+yz十x之≤ 14 强基溯源 1,则x2十y2十z2的最大值为。 例4 (2025年北京大学强基计 解析：x2+y2+x2=2(x2+y2+ 划)求函数f(x)=√x2-2x+10 z2+xy+yz+xz)-(x+y+x)2 √x2-4x+5的值域。 2-(x+y+z)2≤2，当且仅当x=1, 解析：已知f(x)=√x2-2x+10 y=一1，之=0及其轮换时等号成立，故 x2+y2+z2的最大值为2。 √Jx2-4x+5=√(x-1)2+(0-3) 点评：解题时将条件整体视为一个 -√(x-2)2+(0-1)2。 “积木块”，通过代数恒等式直接表达目 设点A(1,3), 标式，避免了引入参数或烦琐放缩，体 B(2,1),C(x,0),如 现了“整体大于部分”的变形智慧。 图1，则f(x)=1AC 2.比值换元构造二次函数 -|BC|≤|AB|= 例3(2025年北京大学强基计划) 5,当且仅当点C在 已知产-y=1,水号兰的取值范固。 线段AB的延长线上 图1 时等号成立。 解析：由x2一y2=1,知x2≥1，则 当x→一∞时，直线AC,BC可近 0<)-1-<1。令4-则-1 似看作平行关系，此时f(x)→一1。 <1<1故-义=y义=5 故函数f(x)的值域是（一1，W5]。 x2 x-4 点评：本题是经典的距离差函数 [++=-+ 模型，需要利用配方法将根式表示为 线段的距离，然后利用三角形两边之 又-1<4<1，所以当1=一2时， 差小于第三边，即可得到函数的值域。 需要注意等号在哪里取到及等号是否 }兰取城大伯当：=1时，产 能取到。 四、平方和结构下的柯西不等式与 取最小值一1（注意最小值取不到）。故 三角代换 子产的取值范 (-1a 5 在平方和结构的条件下，可通过三 点评：此解法直击本质一利用齐 角代换或者柯西不等式进行处理，从而 次特征将二元函数转化为一元的二次 简化求解过程。 函数，值域一目了然。 例5(2025年北京大学强基计 三、距离模型的几何视角 划)求f(x)=√3一2x+√3x的最大值 挖掘代数条件的几何意义，往往能 与最小值之和。 获得直观且计算简捷的路径。 解法1：f(x)=√3一2x+√3x的 15 强基溯源 定义域为0,2 义0≤0≤受则g≤0+g≤管+g, 由柯西不等式得f(x)=√2· 所以 ≤sin(0+p)≤l. 图-x+后·丘≤2)+· 5 故5A+B≤ 2,得A十B的 +()2=5· √2 3 最大值与最小值之和是5+ 2。 √30 2 ,当且仅当之 一，即x= 9 所以f(x)的最大值与最小值之 等号成立，故八x)的最大值是 和是5+30 2 2 ,点评：两种方法都基于“平方和为 又因为f(x)=√3-2x+√3.x= 常数”这一隐藏结构，柯西不等式需要 √3-2x+3x+2·√/3-2x·√3x 洞察根式函数的代数结构，而三角代换 能更清晰地展示最值的变化，后者的技 W3+x+23·√3x-2x≥√3+x≥ 巧性较小，易推广。 3,当且仅当x=0时等号成立，所以 强基计划中的不等式最值问题，表 f(x)的最小值是√3。 面上条件各异、问法多元，但其内在脉络 所以f(x)的最大值与最小值之 清晰可循：善于均值配凑者，必先洞察等 和是+ 号成立时的变量关系；善于代数变形者， 29 贵在识别完全平方、整体换元等结构；而 解法2：令A=√3-2x,B=√3x, 几何与三角模型的运用，则需对平方和与 则3A2+2B2=9。问题等价于：已知 线性方程形式保持高度敏感。这三类方 A≥0，B≥0,3A2+2B2=9,求A+B 法并非彼此孤立，同一问题往往可多解联 的最大值与最小值之和。 立，如例5中柯西不等式与三角代换并 心 令A=√3cos0,B= sin0,0∈ 行。在解题实践中，同学们应从具体技法 2 上升到结构归类，在多解比较中领悟数学 02 ,则A+B=3 sin0+√3cos0= 思想的统一性，逐步形成对代数结构的直 2 觉。唯有如此，在面对陌生问题时才能从 m0+9,其中sin9= √30 容拆解，游刃有余，真正达到“观其形而知 5 其法”的境界。希望本文能帮助同学们在 于是sn经+g)=os9 解答强基不等式时构建一个精练而实用 5 5 的思维框架。 (责任编辑王福华) 16