聚焦概率模型中的递推关系与不等式证明-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

解题篇经典题突破方法 高三数学2026年6月 中学生数理化 聚焦概率模型中的递推关系与不等式证明 ■北京师范大学台州附属高级中学 杨宇生 近几年，概率在高考中的地位不断攀升， 经常出现在高考试卷的压轴题位置，而且往 号+×+×器 2.120 往与其他模块联合考查，例如，2025年全国 3P2 (2)由题意知，P,=1,P,= P: Ⅱ卷第19题就考查了不等式的证明，而且还 出现了数列递推关系的影子，又如，2024年 名则P,-P= 全国I卷第19题也是在概率的大背景下考 传球传到n+1号同学的情况有两种： 查了不等式的证明，难度都比较大，需要有强 2 1 大的逻辑思维能力和数据分析能力，对同学 3 3 ①n n+1;②n-1n+1。 们提出了非常高的要求。本文将结合例题， .2 剖析压轴题中概率问题的求解策略。 可得递推关系：P号p. 3P。1,即 一、概率模型背景下“显性”的递推关系 P1-P=-3n-P 运用问题 概率与数列递推关系相融合，在近几年 所以(P.1-P.)(2≤n≤28)是以号为 的高考及各地模拟考试中十分常见，在实际 解决问题时，有一些递推关系是“显性”的，该 首项，一号为公比的等比数列。 关系会由题中条件直接告知。 (3)由(2)可得，P1-卫.=日 × 例1学校篮球队30名同学按照1， 2,…,30号站成一列做传球投篮练习，篮球 (),借助累加法可得，P.=(P. 首先由1号同学传出，训练规则要求：m(1≤ P。-1)+…+(P,一P)十(P,一P)+P2 m≤28，m∈N)号同学得到球后传给m十1 号×(-)+…+日×(-)广+g× 2 号同学的概率为三，传给m+2号同学的概 (-君)+=+× -(-) 率为子，直到传给29号或30号时，认定一轮 1-(-)》 训练结束。已知29号同学投篮命中的概率为 1 是-×(》 3,30号同学投篮命中的概率为号，设传球传 6 到n(2≤n≤30，n∈N)号同学的概率为Pm。 故P=是-品×()”-是+立× (1)求P,的值； 1 (2)证明：{Pm+1一Pm}(2≤n≤28)是等 比数列； (←)] (3)比较29号同学和30号同学投篮命 所以29号同学投篮命中的概率为 中的概率大小。 解析：(1)由题意知，传球传到4号同学 P(A)= 号×[吴-×(-名)"门0号同 2 2 2 3.3 的情况有3种：①1323334，@13 3 学投篮命中的概率为P(B)= 6 7×3 2 2 8三4：1三2，所以,=号×号× .2 [是-品×()]经计算P(A)> P(B),即29号同学投篮命中的概率大于30 37 中学生表理化餐皱学鼻破方法 号同学投篮命中的概率。 (2)由(1)得，P,=(2p一1)P,-1+1一p 点评：本题是比较典型的概率与数列递 则P。一 推关系相结合的题型，在概率题的大背景下， =2-1D(p.-2） 2 先根据题意归纳总结出一个递推关系，再运 又P,-专-子所以卫，}是以宁为 用数列的方法和技巧处理递推关系，得出通 项公式，最后利用通项公式解决实际问题，当 首项，2p一1为公比的等比数列。 然这里的递推关系，题中做了明确提示，有一 放卫，-名=名(20-1)，所以P.= 定的引导，属于“显性”的递推关系。 二、概率模型背景下“隐性”的递推关系 22p-1)+2 (*) 运用问题 由题意知，第1只昆虫属于种群甲且传 在实际考查过程中，我们还会遇到一种递 递的是高浓度，所以当n=1时，H,=1。 推关系，就是题目中不会明确告知存在递推关 当n≥2时，我们希望第n只昆虫传递的 系，需要根据题意分析、总结出递推关系。 是高浓度，需要考虑两种情况：①第n一1只 例2在生态研究中，观察两种昆虫的 昆虫传递的是高浓度，且第n只昆虫属于种 信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特 群甲；②第n一1只昆虫传递的是低浓度，且 殊化学物质A,A的浓度代表环境是否安全， 第n只昆虫属于种群乙。 但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接 所以Hn=H。-1·P。+(1一H。-1)·(1 收到含高浓度A的信息素后，认为“安全”，传 P。),将()式代入后整理得H。=(2p 递含高浓度A的信息素，反之认为“危险”，传 1 递含低浓度A的信息素；种群乙接收到含高 1)=1、H。122p1)”1+之=(2p 浓度A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓 度A的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓 1·(H-）+移项得H一 度A的信息素。初始时，第1只昆虫属于种群 2-10(H.-2） 甲，其接收到了“安全”的环境信息并开始传 递。每只昆虫传递信息时，有p(0<p<1)的 令a,=H-其中a,=,则 a-1 概率将信息素传递给同种群的昆虫，1一p的 概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传 (2力-1)-1，所以a=.... an-l an-2 递仅传递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的 a1=(2p-1)"-1·(2p-1)"-2·…·(2p 准确性与传递给的对象无关。 1·-22-1 (0-12 (1)设P。为第n只昆虫属于种群甲的概 率，当p=之时，求P: (2)求第n只昆虫传递含高浓度化学物 点评：本题很显然也是在概率模型背景 质的信息素的概率H。。 下考查了数列的递推关系，但是题中并无告 解析：(1)由题意知，第1只昆虫属于种 知该关系，需要我们结合题意理解，并归纳出 群甲，所以当n=1时，P,=1。 递推关系，我们称之为“隐性”的递推关系。 当n≥2时，要想第n只昆虫属于种群 而本题中两问都是“隐性”的递推关系，且层 甲，那么第n一1只昆虫可以属于种群甲，也 层递进，环环相扣，考查非常全面，对同学们 可以属于种群乙，故P。=p·P。-1十(1一力)· 的数学抽象、逻辑推理、数学运算及数据分析 (1一P.-1),整理可得Pm=(2p一1)P.-1十 1一p。 等能力都提出非常高的要求，属于难题。 三、概率模型背景下的不等式证明问题 所以当p=子时，求得P,=合 概率模型背景下的不等式证明，也是近 38 解数学息恩突方清中学生表理化 几年高考的热点，而且考查的难度往往比较 (一1,0,1)，(0，-1,1)，(0,0,0) 大，对不等式相关性质的运用能力要求很高。 ⑥若第1秒末质点出现在(0,0，一1)，则 例3在空间直角坐标系Oxy之中，一 第2秒末可能在(1,0，一1)，(0,1，一1)，(0,0， 个质点从原点出发，每秒向x轴正、负方向， 0),(-1,0,-1),(0,-1,-1),(0,0,-2)。 y轴正、负方向，之轴正、负方向移动一个单 综上可知，的所有可能取值为一2,0， 位，且向六个方向移动的概率均相等。如在 3,期P-2)=品-是，P(传-0)-18 36 第1秒末，质点会等可能地出现在(1,0,0)， 1 91 (-1,0,0),(0,1,0),(0,一1,0)，(0,0,1)， 2,P(=2)=36=4。 (0,0,一1)六点处。 (1)求该质点在第4秒末移动到点(2,2， 故E()=-2x+0×号+2× 40。 0)的概率： (3)为了回到原点，那么该质点向x轴 (2)设该质点在第2秒末移动到点(x,y, 正、负方向移动的次数要相同，同理向y轴和 之)，记随机变量=x十y十之，求的均值； 之轴正、负方向移动的次数也要相同。 (3)设该质点在第n秒末回到原点的概 我们不妨先计算该质点仅沿着x轴、y 率为Pn,证明：Pn>（ 轴方向移动，沿着之轴方向不做运动的情况。 设向x轴正、负方向移动的次数均为x 解析：(1)记事件A为该质点在第4秒 次，向y轴正、负方向移动的次数均为n一x 末移动到点(2,2,0)。 次，向之轴正、负方向移动的次数均为0次， 由题意知，该质点向六个方向移动的概率 ·Cw2z 均相等，都为石，在移动过程中，第4秒末意味 则P.>C(合)·cg(6) 着该质点恰好从原点移动4次，为了通过4次 (6).c(6)=(6）)”· )Cn· 移动从原点到达(2,2,0)，该质点必须有2次 C5a-r·C2w2r。 向x轴正方向移动，有2次向y轴正方向移 又C5。C,·C8:=(2n-x)！x！ (2n)! (2n-x)! (2n-2x)! (2)在移动过程中，第2秒末意味着该质 (2n-2x)！x！· (n一x)！(n一x)！ 点恰好从原点移动2次，有如下几种情况： (2n)1 x！x！(nx)！(n一x) -=C·(C), ①若第1秒末质点出现在(1,0,0)，则第 2秒末可能在(2,0,0)，(1,1,0)，(1,0,1)， 所以P> (日)”c·c. (0,0,0),(1,-1,0),(1,0,一1)： ②若第1秒末质点出现在（一1,0,0），则 再由范德蒙恒等式∑(C)=C,可得 第2秒末可能在(0,0,0)，（一1,1,0），（一1,0， 1),(-2,0,0),(-1,-1,0),(-1,0,-1): P2> ③若第1秒末质点出现在(0,1,0)，则第 点评：本题在空间直角坐标系中研究一 2秒末可能在(1,1,0)，(0,2,0)，(0,1,1)， 个质，点的运动情况的概率，问题十分抽象，需 (-1,1,0),(0,0,0),(0,1,一1) 要先结合题意分析出该质，点运动的规律，这 ④若第1秒末质点出现在(0，一1,0)，则 样就能快速解决前面两问，但是第三问不等 第2秒末可能在(1，一1,0)，(0,0,0)，(0，一1， 式的证明难度极大，需要先根据题意列出P 1),(一1，一1,0)，(0，-2,0)，(0，一1，一1)； 的表达式，再整理、化简，这对代数运算能力 ⑤若第1秒末质点出现在(0,0,1)，则第 及不等式处理能力有着非常高的要求，属于 2秒末可能在(1,0,1)，(0,1,1)，(0,0,2)， 难题。 (责任编辑王福华) 39