解三角形中的最值问题归类探析-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

塑华新碧捏费滑中学生表理化 解三角形中的最值问题归类探析 ■厦门实验中学 王婷婷 解三角形作为高中数学的核心知识模 BC·CDsin∠BCD= 2 4 BC·CD。又 块，不仅是高考的必考内容，更是考查同学们 综合运用正弦定理、余弦定理及三角形面积 CD=2,S△ABC=S△ACD十SAm,所以AC·BC 公式解决问题的重要载体。而解三角形中的 =2AC十2BC。由基本不等式得AC·BC= 最值问题因其复杂性和综合性成为该模块的 2AC+2BC≥4JAC·BC,所以AC·BC≥ 难点题型。本文将对这类问题进行系统梳 16,当且仅当AC=BC=4时，等号成立。所 理，依据不同考查形式进行科学分类，并深入 以△ABC面积的最小值为×16=45。 探讨各类问题对应的解题策略，旨在帮助同 4 学们突破这一学习难点，提升解题能力。 点评：本题以爪型三角形为背景，在已知 一、三角形面积的最值问题 分割线CD=2且可求角C的条件下，重，点考 三角形面积的最值问题在解三角形题型 查三角形面积最小值的求解。解题过程中需 中最为常见，其核心特征是在给定条件下求 要综合运用正切函数的两角和公式、三角形 解三角形面积的最大值、最小值或取值范围。 面积公式及基本不等式等核心知识。其解题 解题时，除了需要灵活运用正弦定理和余弦 路径可总结为三个关键步骤：首先，根据已知 定理进行边角关系转化，还需掌握多种求最 条件确定基础边和角的值或等式关系；其次， 值的方法，如利用基本不等式构建最值关系， 通过面积公式建立目标函，数；最后，根据函数 通过函数求导确定极值点，以及结合几何图 特征选择合适的最值求解方法（如代数变形、 形进行直观分析等。这些方法往往需要综合 导数分析或不等式放缩等)。 运用，才能有效解决复杂的面积最值问题。 二、边长或边长和差形式的最值问题 例1在△ABC中，点D在AB边上， 该类题型的考查形式灵活多样，常见于 求边长、两边和差关系、中线、分割线、高线及 满足∠ACD=∠BCD。已知tanA+tanB 周长等几何量的最值或取值范围。解题时需 +√3 tan Atan B-√3=0，CD=2,求△ABC 综合运用正弦定理、余弦定理及三角形面积 面积的最小值。 公式，同时渗透函数、不等式等数学思想方 解析：由tanA+tanB+√3 tan Atan B 法，既考查基础知识的掌握程度，又检验数学 一√3=0变形得tanA十tanB=√3(1 建模与化归转化能力。 tan Atan B,即anA+anB=尽，所以 例2在△ABC中，角A,B,C的对 1-tan Atan B an(A十B)=E,则A+B=答，因此C=元 边分别为a,b,c。已知c-6=2csim含 c=1,求△ABC周长的最大值。 -(A+B)-。因为∠ACD=∠BCD,所 解析：由c一b=2csn合，得sn合 以∠ACD=∠BCD=5,则SAx-合AC· gA-2,即cosA= 2 。由余弦定 BCsin C= 3 1 4 AC·BC,S△am=2AC· 理得c0sA=b十2-a2b 化简得c2=a 2bc CDsin∠ACD= AC·CD,SABm= 十b,所以C=至，由正张定理得a=sinA, 15 中学生表理化学新摩程猜 b=sinB=cosA。又因为c=1,所以△ABC 的周长为a+b+c=sinA+cosA+1= 仅当兰能即6=c时，等号成立，故c0A Esim(A+)+1。设f(x)=Esim(A十 的最小值为g。 ,点评：本题属于已知三角形三边关系求 F)+1,因为A∈(o,),则A+至∈ 角的余弦值的最值的经典题型。其解题路径 可总结为三个关键步骤：首先，通过边角关系 (罕，3)，所以当A=至时，函数f(A) 建立方程，明确三边关系或直接求出一边的 2sin(A十)十1取得最大值为2+1，故 值；其次，运用余孩定理将目标角转化为边长 的函数表达式；最后，根据函数特征选择代数 △ABC周长的最大值为√2+1。 求导、不等式放缩等数学工具确定最值。这 点评：本题属于解三角形中已知一角及 种题型既考查余弦定理的灵活应用，又体现 其对边求周长最大值的经典题型，其核心特 数学建模与函数思想的综合运用。 征在于通过单一角与对边关系构建几何模 四、边长的积或商形式的最值问题 型。其解题路径可总结为三个关键步骤：首 该类问题的典型特征是在特定几何约束 先，由已知条件和正弦定理或余弦定理求出 条件下，求解三角形边长乘积或比值的最值 具体边角值或明确等式关系；其次，通过正弦 问题。解题过程需要深度融合解三角形核心 定理将边转化为角的正弦函数表达式；最后， 知识与三角函数性质，既要求灵活运用正弦 将几何最值问题转化为三角函数极值问题。 定理、余弦定理进行边角转化，又需结合三角 这种方法既体现了数形结合思想，又展现了 函数的周期性、单调性等特征建立函数模型， 代数工具在几何问题中的巧妙应用。 最终通过代数运算或图形分析确定最值。 三、角或角的三角函数值的最值问题 例4在锐角△ABC中，角A,B,C 该类问题的典型特征是在已知三角形一 边或三边关系的条件下，求解角或角的三角 的对边分别为a,b,c。已知sinA十cosA cos A-sin A 函数值的最值问题。解题过程需要综合运用 解三角形的核心知识—一正弦定理、余弦定 1+cos2B,求 sin 2B 求a十b的取值范围。 理及面积公式，其中余弦定理的应用尤为关 解析：由sinA十cosA sin 2B 键，往往成为突破问题的核心工具。 cosA-sinA=1+cos2B,得 tan A+1 例3在△ABC中，角A,B,C的对 1-tan A 2 sin Beos B,即tan(A+不）- 2cos'B 边分别为a,b,c。已知b(3cosC-1)= tanB。因为A,B为△ABC的内角，所以B c(1一3cosB),求cosA的最小值。 =A+子，则C=元-(A十B)-不-2A。由 解析：已知b(3cosC一1)=c(1 4 3cosB),由正弦定理得sinB(3cosC一1)= c2 正弦定理得。十6 sin'C sin2A+sin2B sinC(1一cosB),化简整理得sinB十sinC =3sin(B+C)。又因为B+C=π-A,所以 sim(-2a） (sin 2A+cos 2A) sinB十sinC=3sinA,再由正弦定理得b十c sinA+sin(a+至） 2+sin 2A-cos 2A =3a。由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 2bc 设sin2A一cos2A=m,则1-2sin2A· cos2A=m2。因为△ABC为锐角三角形，所 b2+c2 8b2+8c2-2bc4b14c 2bc 18bc 9c+9b 以0<+A<0< 4 -2A<2,则< 8 1 4b、4c1817 9≥2√9c×9b -9=9-9= 9,当且 A<,所以2A-牙∈(o,)则m=sin2A 16 舒微型新澳轻膏中学生表理化 熟知数列的模型结构， 突破数列在实际问题中的应用 ■湖南省长沙市第一中学 徐金波 数列作为高中数学的核心知识模块，不 例1角谷猜想（也称冰雹猜想）是数 仅是高考命题的重点考查内容，更是培养数 学史上最著名的数学猜想之一。其基本原理 学建模能力的关键载体。在新高考改革背景 是：任取一个正整数a,,若是奇数，则进行 下，随着数学试题情境化、应用化趋势的加 am+1=3am十1的运算；若为偶数，则进行am+i 强，数列实际应用问题己成为检验同学们综 合能力的重要题型。本文基于数列问题的本 一之的运算。反复进行这种规律的运算经 质特征，通过系统分析其模型结构，从题型特 过有限步骤后，必然进入循环圈1→4→2→ 征识别与解题策略构建两个维度展开深人研 1。根据以上运算，若a1=1,求a225的值。 究。文章采用理论分析与案例实证相结合的 解析：由题意知，若a1=1,则a2=4,a3 方法，重点揭示数列在实际问题中的建模规 =2,a1=1,a5=4,…,由此可知，数列{an}是 律，创新性地提出“分类一转化一验证”的三 以3为周期的周期数列。又因为2025=3× 步解题法，为破解数列应用难题提供了兼具 675,所以a225=a3=2。 理论深度和实用价值的解题框架。 ,点评：本题以角谷猜想的数学文化为背 一、数列定义模型 景，重，点考查数列周期性的分析能力。与函画 该类问题主要聚焦于实际生活中的数列 数周期性不同，数列周期性的判定缺乏普适 应用场景，尤其在数学文化领域，其核心在于 性结论，通常需要采用观察法、归纳法等手段 考查数列的变化规律及其特有的数学性质。 探寻规律。解题时，需从数学文化情境中提 个oo个660o个06个个个0660个06606个6666o6660o个06个·个个006· cos2A=巨sin(2A-F）∈(0,1)。所以 次，通过正弦定理将边长转化为角的正弦函 数表达式；再次，利用内角关系建立单一变量 (sin 2A+cos 2A)'2-m2 a2+b2 =2 的三角函数模型；最后，根据函，数特征选择求 2+sin 2A-cos 2A 2+m 导法确定最值。这种方法既体现了三角函数 m一2+m,m∈(0,1)。令f(m)=2-m 2 的转化思想，又展示了极限思维在几何问题 中的应用。 2+m,则f'(m)=-1+ 2 2 (2十m)。因为 本文系统探讨了解三角形中特定几何量 m∈(0,1)，所以f(m)0,则函数f(m)在 的最值问题。根据题型特征，将这类问题科 区间(0,1)上单调递减，所以f(1)<f(m) 学划分为四大类型：三角形面积的最值问题、 f0,即号<fm)<1。所以。+6的取值 边长或边长和差形式的最值问题、角或角的 3 三角函数值的最值问题，以及边长的积或商 范国为（号）小。 形式的最值问题。通过对每类题型的深人分 析，从题目结构特征、已知条件类型和问题表 点评：本题是在已知三角形三个内角等 现形式三个维度，提炼出具有普适性的解题 式关系的条件下，来。的取值范国。共 策略和思路框架，为破解此类难题提供了清 晰的解题路径和方法指导。 解题路径可总结为四个关键步骤：首先，根据 (责任编辑王福华) 已知条件，将两个内角用第三个内角表示；其 17