函数与导数情境类试题的命题探究-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

情境解构 函数与导数情境类试题的命题探究 ■安徽省霍邱县第二中学 童磊 ■安徽省霍邱县第一中学 余其权（特级教师） 函数与导数作为高中数学的核心 元，求生产数量x的取值范围。 模块，命题时常常将函数与导数知识融 情境拆解：核心是“利润=总收入 入生活实际、科技前沿、自然现象等情 一固定成本一可变成本”，先提炼数学 境中，重点考查同学们的数学建模、逻 模型，再利用导数求最值，契合“多想少 辑推理、运算求解和转化化归等能力。 算、回归本质”的命题导向。 本文从试题特征、考点拆解、解题策略 考点覆盖：函数解析式求解、定义 等维度，进行全面剖析，希望能助力同 域判断、导数求极值与最值、解不等式， 学们精准突破此类试题。 重点考查运算求解与转化化归等能力。 情境一、生活实际（利润、成本、产 分步解题：(1)解析式与定义域：总 量优化) 收入为50x万元，固定成本为100万 此类情境的核心是利用导数求解 元，可变成本为C(x),故L(x)=50a “最值”，贴合生活实际，题意易懂，但容 100 易因忽略定义域、运算失误丢分，本质 (-4+30)=- 是“二次函数十导数”的综合应用。 +4x2+20x一100。定义域需满足“生 例1某企业生产一款新型电子 产数量非负”且“可变成本有意义”，所 产品，已知生产该产品的固定成本为 以定义域为[0，+∞)。 100万元，每生产x千件产品，可变成 (2)利润最大值求解：核心是利用 导数判断单调性、求极值，再对比端点 本为C(x)=-4+30r(万元). 值确定最值，遵循“求导一找零点一分 且该产品的市场售价为每件500元（即 区间一判符号”的四步流程。 每千件50万元)，假设生产的产品全部 第一步，求导：L'(x)=一x2十8x 售出，设利润为L(x)(万元)。 +20。 (1)求利润函数L(x)的解析式， 第二步，找零点：令L'(x)=0,解 并写出定义域。 得x=10或x=一2（舍去，因x≥0）。 (2)当生产多少千件产品时，企业 第三步，判断单调性：当0≤x<10 获得的利润最大？最大利润为多少？ 时，L'(x)>0,L(x)单调递增；当x> (3)若企业要求利润不低于140万 10时，L'(x)<0,L(x)单调递减。 11 情境解构 第四步，求最值：故当x=10时， 论等能力。 L(x)取得极大值，也是最大值，代入得 分步解题：(1)当a=1时，W(t)= 500 tlnt-t+2,求导得W'(t)=lnt+1 L(10)= ≈166.67（万元）。 1=lnt。因为t∈[1，e2],所以lnt≥ (3)利润不低于140万元：对不等 0,即W'(t)≥0，故W(t)在[1，e]上单 式-3x3+4x2+20x-100≥140，化 1 调递增，所以其最小值为W(1)=1×0 -1+2=1(kWh)。 简整理得(x-12)(x2-60)≤0，结合 (2)因为W(t)在定义域内单调递 x≥0，解得2√15≤x≤12（千件）。 减，所以导函数W'(t)=lnt十1一a 情境二、科技前沿(AI能耗、参数 0,即a≥lnt+1在[1，e2]上恒成立。 优化)】 令h(t)=lnt+1,则h(t)在[1，e2]上 此类情境的核心是“优化问题”，情 单调递增，最大值为h(e2)=ln(e)+1 境看似复杂，但本质仍是利用导数求最 =3,故a≥3。 值、含参讨论，重点考查同学们“剥离情 (3)存在t。∈[1，e2],使得W(to) 境外衣、提炼数学模型”的能力。 =toln to-ato+2≤0，即a≥lnto+ 例2AI(人工智能)模型的能耗 令s)-h1+月则g') 2 与运行参数相关，某AI模型的运行能 耗W(单位：kWh)与运行参数t(单位： 2_t-2 h)的函数关系为W(t)=tlnt一at+2 t2 。由g'(1)=0,得t=2。 (a为常数，t∈[1，e2])。 当t∈[1,2)时，g'(t)<0,g(t)单调递 (1)当a=1时，求能耗W(t)的最 减：当t∈(2，e2]时，g'(t)>0,g(t)单 小值； 调递增。所以g(t)的最小值为g(2) (2)若能耗W(t)在定义域内单调 =ln2+1,因此a≥ln2+1。 递减，求实数a的取值范围； 情境三、自然现象（物质衰变、人口 (3)若存在t。∈[1，e2],使得 增长) W(to)≤0，求实数a的取值范围。 此类情境的核心是指数函数与导 情境拆解：AI能耗与运行参数的 数的应用，重点考查导数的几何意义、 关系，本质是“含对数函数的导数应 最值求解，难度适中，易得分但需注意 用”，涉及单调性、最值、能成立问题，核 定义域与实际情境的匹配。 心是利用导数工具解决函数性质问题。 例3放射性物质的衰变遵循指 考点覆盖：利用导数求最值、判断 数衰减规律，某放射性物质的剩余质量 函数单调性、含参不等式能成立问题， m(单位：mg)与衰变时间t(单位：天) 重点考查逻辑推理、运算求解和分类讨 的函数关系为m(t)=moe:(其中mo 12 情境解构 为初始质量，k为衰变常数，k>0,t≥ 0)。已知该物质经过10天衰变，剩余 moln2。岁。实际意义：m'(t)表示t 10e 时刻该放射性物质质量的瞬时变化率，因 质量为初始质量的 2。 为m'(t)<0,所以m'(t)的意义为t时刻 (1)求衰变常数k的值（结果保留 该物质质量的瞬时衰减速率(m'(t)表达 自然对数)。 式中的负号表示质量随时间递减)。 (2)求该物质剩余质量m(t)关于 时间t的导数，并解释其实际意义。 (3)①剩余质量不低于 m,即 (3)若该物质的剩余质量不低于初 m(t)≥1 ，代入得e的≥ ,两边 始质量的8，求衰变时间1的取值范 In 2 围；若要使剩余质量从m。衰减到 取自然对数，得-01≥n8 -3ln2,解得t≤30。又t≥0，所以t 8m,求衰减速率的最小值（衰减速率 1 的取值范围为[0,30]。 为-m'(t))。 ②由(2)知，衰减速率为一m'(t) 情境拆解：放射性物质衰变，核心 moln 2 是指数函数的导数应用，注意实际情境 mn2。的。令h(t)=” 10 e 10e 中“时间非负、质量为正”的限制，契合 高考“跨学科、重实际”的命题特点，本 t∈[0,30])，求导得')=mln2 10 质是指数函数导数的运算与最值求解。 In 2 mn2)2。 考点覆盖：指数函数求导、导数的 10 100 实际意义、解指数不等式、导数求最值， 因为m>0,n2>0,e岁>0，所以 重点考查运算求解、转化化归等能力。 h'(t)<0,即h(t)在[0,30]上单调递 分步解题：(1)由题意知，当t=10 减。故当t=30时，h(t)取得最小值， 时，(10)=me10t=2m。,两边同时 所以衰减速率的最小值为h(30) oln2。-n2moln2×1-moln2 除以m(m0>0),得e1ok= 2,两边取 10 10× 8 80 函数与导数情境类试题以情境为 1 自然对数，得-10k=ln2=-ln2,所 载体，函数为核心，导数为工具，契合高 以k=ln2 考“素养导向、回归本质”的命题特点； 10 题目外在背景复杂，但内核考点固定。 (2)由1)得m(u)-me ,求导 只要同学们遵循“去情境化、提炼模型、 运用导数”的解题思路，便能高效作答。 (责任编辑王福华) 13