函数与导数高考一轮复习要点-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

夯基固本 函数与导数高考一轮复习要点 ■云南省昆明市第八中学 杨春静 ■云南师范大学数学学院 王永生 函数是现代数学最基本的概念，是 的图像关于y轴对称台f(一x)= 研究问题最基本的数学语言与工具，是 f(.x)台f(x)-f(-x)=0。 贯穿高中数学课程的主线。函数与导 f(x)为奇函数台函数y=f(x) 数一直是高考数学试卷中的核心考查 的图像关于原点对称台f(一x)= 模块，也是区分不同能力层级考生的关 -f(x)台f(x)十f(一x)=0。 键内容，在一轮复习中做好该模块的系 3.对称性 统化梳理，对整体提升高考数学复习质 (1)函数y=f(x)的图像关于直 量有着十分重要的意义。 线x=a对称台f(2a-x)=f(x)。 一、知识结构 (2)函数y=f(x)与函数y= 高中函数与导数的知识结构如图 f(-x)的图像关于直线x=0(即y 1所示。 轴)对称。 图像 应用 (3)函数y=f(x)与函数y= 函数 基本函数 导数 一f(x)的图像关于直线y=0(即x 性刀 云算 轴)对称。 图1 (4)函数y=f(x)与函数y= 二、必记知识 一f(一x)的图像关于点(0,0)对称。 1.单调性 (5)函数y=f(x)和y=f-1(x) 定义1：f(x)在区间M上是增 的图像关于直线y=x对称。 (减)函数台Hx1,x2∈M,当x1<x2 4.分数指数幂 时，都有f(x1)<(或>)f(x2)。 定义2：在某个区间内函数y 若a>0,m,n∈N*且n>1,则a f(x)可导，如果在这个区间内f'(x)> 1 0,那么f(x)为增函数：如果在这个区间 a 内f'(x)<0,那么f(x)为减函数。 5.指数幂运算性质 2.奇偶性 am·a”=am+”,(am)”=amm, f(x)为偶函数台函数y=f(x) (ab)"=a"b”。 8 夯基固本 6.指数式与对数式的关系 11.二次函数的图像和性质 ab=N(a>0,a≠1)台b=log N。 二次函数的图像和性质如表2所示。 7.对数运算性质 表2 log。(MN)=log。M+log.V, f(x)=ax2+bx十c f(x）=ax2+bx+c 解析式 (a>0) (a<0) log.-log.M-log.N,log.M" y 图像 nloga M,log a=1,log 1=0.(M>0, 定义域 R R N>0,a>0,a≠1) 值域 TAac-b2 ,+o0) (-o,ac-6 8.对数的换底公式 Aa Aa 单调性 对称轴左侧是减函 对称轴左侧是增函 loge b 数，右侧是增函数 数，右侧是减函数 log.b=log a (c>0,且c≠1)，推 奇偶性 当b=0时，f(x)为偶函数：当b≠0时， f(x)为非奇非偶函数 论：l0gb-”1og.b。 对称性 m 关于直线=一会对称 9.指数函数和对数函数的图像与 12.二次函数在闭区间上的最值 性质 函数f(x)=ax2+bx十c(a>0) 指数、对数函数的图像与性质如表 在区间[m,n]上的最值有以下两种情 1所示。 况： 表1 (1)如果- 「[m,n],则函数的 指数函数 对数函数 y=a(a>0,a≠1) y=log。x(a>0,a≠1) 最小值是(-) Aac-b2 4a,函数的 图像 最大值是max{f(m),f(n)}; (2)如果-多E[m,n],则函数的 (1)定义域：R。 2a (1)定义域：(0， (2)值域：(0， +o)。(2)值域：R。 最小值是min{f(m),f(n)},函数的 十∞)。(3)过定 (3)过定点：(1,0)。 点：(0,1)。(4)当 (4)当a>1时，在 最大值是max{f(m),f(n)}。 性质 a>1时，在R上 (0,十∞)上是增函 是增函数；当0< 数；当0<a<1时， 13.导数定义 a<1时，在R上 在(0，十∞)上是减 f(x+△x)一f(x) 是减函数。 函数。 f(x)=lim △x0 △x 10.二次函数的三种表示形式 14.导数的几何意义 (1)一般式：y=ax2+bx十c。 函数y=f(x)在点x。处的导数 (2)顶点式：y=a(x-h)2+k。 是曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo) (3)零点式：y=a(x-x1)(x一 处的切线的斜率f'(xo),相应的切线 x2)。 方程是y-f(xo)=f'(xo)(x-x)。 夯基固本 15.常用公式 2.求函数极值的步骤 (1)C'=0(C为常数)。 (1)确定函数的定义域。(2)求导数 (2)(sinx)'=cosx。 f'(x)。(3)令f(x)=0,得到所有可能的 (3)(xn)'=nx-1(n∈R). 极值点。(4)分情况讨论，判断f'(x)在每 (4)(cosx)'=-sinx。 个极值点左右两侧的符号，若左正右负则 (5)(In x)=,(log,x)'= 该点为极大值点，对应极大值；若左负右 xIn a 正则该点为极小值点，对应极小值；若两 (6)(e*)'=e*,(a*)'=a"In a. 侧符号不变，则该点不是极值点。 16.运算法则 3.求函数在闭区间上最值的步骤 (1)(u士v)'=u'士v'。 (1)求出函数在区间内所有可能的 (2)(uo)'=u'v+uv'→(cu)'=c' 极值点的函数值。(2)求出区间端点处 十cv'=cv'(c为常数). 的函数值。(3)将上述函数值进行比 u'v-uv 较，最大的就是函数的最大值，最小的 3 -(0≠0)。 就是函数的最小值。 (4)y',=y'·t'x。 4.利用导数研究函数零点个数的 三、必会方法 方法 导数是研究函数性质的重要工具， (1)将问题转化为可导函数的零点 通过导数我们可以深入分析函数的单 问题，确定函数的定义域。(2)求导得 调性、极值、最值等关键特性，进而解决 到f'(x),分析得到函数的单调区间、 函数零点个数判断、参数范围求解等复 极值与最值。(3)结合函数的变化趋 杂问题。以下是利用导数研究函数的 势，根据极值、最值与0的大小关系，判 核心方法与步骤总结： 断函数零点的个数。 1.讨论函数单调性的方法 5.已知函数零点个数求参数范围 (1)定义法：取值、作差、变形、定 的方法 号、下结论，多用于抽象函数或用导数 (1)分离参数法：将参数分离，转化 法难以判断符号的题目。(2)导数法： 为求函数值域问题，根据零点个数确定 求导后通过导数的符号确定函数的单 参数的取值范围。(2)分类讨论法：对 调区间，是判断函数单调性最常用的方 参数分类，逐一讨论每种情况下函数的 法。(3)性质法：利用“增十增=增，减 单调性、极值，结合零点存在性定理确 十减=减，增一减=增，减一增=减”， 定满足零点个数的参数范围。(3)数形 以及奇函数在对称区间内单调性一致、 结合法：将方程变形为两个易作图的函 偶函数在对称区间内单调性相反的性 数，通过图像交点个数确定参数范围。 质判断。 (责任编辑侯若晨) 10