从关联到迁移：高效应对导数几何意义的客观题挑战-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

想贸草方诚故动提育中学生表理化 从关联到迁移： 高效应对导数几何意义的客观题挑战 ■安微省合肥市第一中学 陶金美 导数及其应用是高中数学的核心内容， 次，求切线的斜率，即对函数求导，并计算其在 其中导数的几何意义作为重要知识点，在历 切，点处的导数值；最后，利用直线的点斜式方 年高考试卷中均频繁出现。本文基于对高考 程，结合切点坐标和斜率，写出切线方程。 命题规律的统计分析，系统梳理导数的几何 2.求曲线过某点的切线方程 意义在客观题中的考查形式，并依据题目特 解答这类问题的关键：先设出切点坐标， 征将其划分为基础考查、关联应用和难点突 结合导数的几何意义求出切线方程，再将该 破三个层次，进而对各类题型进行分类探讨， 点代入切线方程，反向推导出切点坐标，最后 为同学们理解和掌握该知识点提供清晰的解 将切点代入直线方程，从而确定所求的直线 题思路与备考指导。 方程。整个过程需注意逻辑顺序和条件转 一、对导数几何意义的基础考查 换，避免因混淆已知与未知关系而出错。 这类问题主要围绕“函数的导数即为函 例2已知函数f(x)=xsin x,则曲 数在该点处切线的斜率”这一核心概念展开， 线y=f(x)过点(0,0)的切线方程为 考查形式多样，常见题型包括求曲线在某点 ()。 处的切线方程、曲线过某点（未必在曲线上） A.y=0或y=x 的切线方程，以及已知切线方程反求切点等 B.y=0或y=一x 问题，旨在考查同学们对导数几何意义的理 C.y=x或y=一x 解与综合应用能力。 D.y=0或y=x或y=-x 1.求曲线在某点的切线方程 解析：设切点坐标为(a,b)。 此类问题的主要特点是切点位于曲线 对函数f(x)求导，得f'(x)=sinx十 上。求解时可直接利用函数在该点的导数值 xcos x,则曲线y=f(x)的切线斜率为k 作为切线的斜率，再结合点斜式方程，即可快 sina+acos a,因此切线方程为y一b 速地求出切线方程。 (sina十acos a)(x一a)。又切线过原点(0， 例1已知函数f(x)=x2一2x一 0),所以-b=(sina十a cos a)(一a)。 1nx,则曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方 因为点(a,b)在曲线f(x)=rsin x上， 程为。 所以b=asin a。 解析：因为点(1，f(1)在曲线f(x)上， 则-asin a=(sina十acos a)(-a)。 所以f(1)=12-2×1-1n1=-1,即(1， 若a=0,则b=0,切点为坐标原点，切线 一1)。对函数f(x)求导，得f'(x)=2x一 方程为y=0; 则切线斜率k=∫'(1)=2-2-1 2-1 若a≠0，则sina=sina+acos a,所以 Lc0sa=0,解得a三罗+2kr(k∈Z)或a与 一1，因此切线方程为y一（一1）=一1×(x 1),即x+y=0。 2+2kπ(k∈Z)。 故填x十y=0。 ,点评：本题要求曲线在某一，点处的切线方 当a= 2+2kπ(k∈Z)时，b=a= 十 程，属于导数几何意义的直接应用。其解题步 2kπ(k∈Z),此时切线方程为y=x。 骤如下：首先，确定切点，若题目仅给出切，点的 横坐标，需代入原函数求出对应的纵坐标；其 当a=一 2+2kπ(k∈Z)时，b=-a= 17 知识篇方法技巧助提高 中学生数理化高三数学”2026年7-8月 2一2kπ(k∈Z),此时切线方程为y=一x。 切线问题，具有较强的综合性和典型性 1.与直线位置关系关联的问题 故选D。 这是高考中的热点题型，题目通常给出 ,点评：本题是求曲线过某，点的切线方程， 一条已知直线，要求求出曲线的切线方程，且 其解题步骤如下：首先，假设切，点坐标，根据 该切线与已知直线平行或垂直。解决此类问 该切点借助求导法得出对应切线方程；其次， 题的关键在于准确把握直线间的位置关系： 将已知，点代入所得的切线方程，并结合原曲 若两条直线平行，则它们的斜率相等；若两条 线方程联立求解，确定切点坐标，从而得到切 直线垂直，则它们的斜率之积为一1。在此基 线方程。在此类问题的处理过程中，常有人 础上，结合导数的几何意义求出切点处切线 建议先判断已知，点是否在曲线上，实际上这 的斜率，即可写出切线方程，从而顺利解答相 一环节并非必要。按照上述方法求解时，若 关问题。 已知，点恰为切点，结果自然会包含该情况，因 例4已知函数f(x)=2sinx。若曲 此无须单独验证，既简化了过程，又保证了解 法的完整性与普适性。 线y=f(x)在x=子处的切线与直线ax十 3.已知曲线的切线求切点问题 y一1=0垂直，则a=。 这类问题实际上是前两种题型的逆向延 伸，较为简单的情形是求切点，而较复杂的情 解析：因为曲线y=f(x)在x=于处的 况是求解函数中的参数。无论题型难易，解 切线与直线ax十y一1=0垂直，所以切线的 题思路均可依据“在某点”和“过某点”求切线 斜率k三。对函数f(x)求导，得∫(x) 方程的方法进行，按照相应的步骤推导即可 顺利解决。 2cos,所以k=f'(经） =2×c0sT=1,因 3 例3已知曲线y=a(x-1)-lnx在 点(1,0)处的切线方程为y=3x一3，则a= 此1 =1,即a=1。 )。 故填1。 A.1 B.2 C.3 D.4 点评：题目的解答是先由切线与已知直 解析：对函数f(x)求导，得f'(x)=a 线垂直的条件，求得切线的斜率；再根据曲线 在某，点处切线斜率的求法，通过求导得到该 ,又曲线在点(1,0)处的切线方程为y=32 点的导数值，即为切线的斜率。将这两种方 一3，则斜率k=f'(1)=a一1=3，即a=4。 法所得的斜率相等建立等式，便可得到关于 故选D。 参数的方程，解此方程即可求出相应参数。 点评：本题是已知切，点和切线，要求确定 2.曲线的公切线问题 曲线方程中的参数值。该问题属于典型的 这类问题本质上是“在某点”的切线方程 “在给定，点处求切线”的类型，由于函数在切 问题与“过某点”的切线方程问题的综合，既 点处的导数即为切线的斜率，因此只需令函 可能表现为两个“在某点”的切线问题，也可 数在该，点的导数值等于已知切线的斜率，建 能表现为两个“过某点”的切线问题，甚至二 立等式，进而解出所求参数。 者之间的交叉整合，因而具有较强的综合性 二、导数的几何意义在知识关联情境中 与灵活性。 的考查 例5已知曲线f(x)=x-21nx在 这类问题的形式多样，涵盖的知识点广 点x=1处的切线与曲线y=一x十m相切， 泛，且是新高考中的热点考查方向。经过梳 则m=( )。 理与分析发现，常见的类型主要分为两类： 7 3 是涉及直线位置关系的问题；二是曲线的公 A. c. D.-2 18 高三数学透费驰提育中学生教理化 知识篇方法技巧助提高 解析：f(1)=1一2ln1=1。 线方程为y一y=xoe(x一xo)。因为该直 对函数f(x)求导，得'(x)=1-2,则 线过点M(0,t),所以t一y。=xoe(一xo)= -x。e。又y。=(x。一1)e“,所以t-(x。 切线的斜率k=f'(1)=1一2=一1，故切线 1)e=-xen,即t=(x。-1)e-x6e"。 方程为y一1=-1·(x-1),即y=-x+2。 因为过点M(0,t)可作3条与曲线y= 对于曲线y=一x十m,设切点为(a,b),求导得 f(x)相切的直线，所以方程t=(x。一1)e y=一2x,故切线的斜率k=y'|x=。=一2a,因 此/-2a=-1, xe有3个实数解。 b=-a+2, 2,63 解得a= ，代入y= 设函数g(x)=(x一1一x)e,求导得 x+m,得3=1 g'(x)=(1-2x)e2+(x-1-x2)e=(-x =一+m,解得m= 4 -x2)e。令g'(x)>0,即-x-x>0,解得 故选A。 一1x0,所以函数g(x)在区间（一∞， ,点评：本题属于典型的公切线问题，涉及 一1)，(0，十∞)上单调递减，在区间（一1,0） 两条曲线的切线方程求解：对于第一条曲线， 上单调递增，则函数g(x)在x=一1处取得 是求在某一点处的切线方程，属于“在某点” 极小值，为g(-1)=一怎：在x=0处取得极 的切线方程问题；而对于第二条曲线，则是求 经过该点的切线方程，属于“过某，点”的切线 大值，为g0)=-1,所以∈(-是，-1。 方程问题。在解题过程中，需准确区分这两 种情形，并分别采用相应的切线求法。得到 故填（三-小 两条切线方程后，令其表示同一直线，即对应 点评：本题是已知过某一点可作曲线的 系数相等，从而联立方程求出切点坐标及所 3条切线，求参数的取值范围。解题时，首 含参数，最终实现问题的解答。 先，设出切点坐标，利用“过某点”的条件求出 三、导数几何意义的难点突破 对应的切线方程；其次，将已知点代入该切线 这类问题通常表现为求过某一点的切线 方程，结合切，点本身也在原曲线上的事实，得 或两条曲线的公切线条数，或已知切线条数 到两个关于切，点坐标的方程；再次，通过消元 反求参数的取值及其范围，本质上常转化为 处理，可将其转化为一个含有单一参数的方 函数零点个数的讨论。由于函数零点问题本 程，由于存在3条切线，意味着该方程应有3 身具有较高难度，再与曲线切线问题相结合， 个不同的实数解，从而问题转化为研究对应 使得问题的综合性更强、复杂度更高。解决 函数的零点个数问题；最后，借助函数的单调 此类问题的关键：先依据切线的求解方法，通 性、极值等性质分析其图像特征，从而完成对 过设切点、列方程等步骤，将切线条件转化为 参数的讨论与求解。 关于切点或参数的方程，进而归结为函数零 综上所述，函数导数的几何意义作为每 点的存在性与个数问题，再借助导数分析函 年高考的必考内容，其在求解曲线切线问题 数的单调性、极值等，结合图像或零点判定定 中的应用尤为重要。本文依据题型的结构特 理加以求解，从而实现从几何直观到代数运 征，将相关问题划分为基础应用、关联应用和 算的有效转化。 难点突破三个层次，并逐一展开探讨。通过 例6已知函数f(x)=(x-1)e,过 系统分析可见，解决此类问题的关键在于深 点M(0,t)可作3条与曲线y=f(x)相切的 刻理解并熟练掌握“在某点”求切线方程与 直线，则实数t的取值范围是一。 “过某点”求切线方程的核心思想与方法。只 解析：设切点为(x。,y。)。 有真正吃透这两种基本思路，才能在面对多 对函数f(x)求导，得f(x)=e十(x 样化的题型时游刃有余，切实提升解题能力。 l)e=xe,则切线的斜率k=x。e,所以切 (责任编辑王福华) 19